1492:
1568:
1247:
2083:
850:
480:
2800:
2658:
2954:
2696:
2737:
2545:
1985:
2928:
1210:
783:
2614:
2039:
414:
318:
151:
2059:
2956:
matrix of all zeroes, and by intent. Indeed, this is an example of the very definition of any parity check matrix with respect to its generator matrix.
1487:{\displaystyle x^{12}+y^{12}+z^{12}+22\left(x^{6}y^{6}+y^{6}z^{6}+z^{6}x^{6}\right)+220\left(x^{6}y^{3}z^{3}+y^{6}z^{3}x^{3}+z^{6}x^{3}y^{3}\right).}
3007:
1542:
Consider all codewords of the extended code which have just six nonzero digits. The sets of positions at which these nonzero digits occur form the
342:
175:
3102:
2817:
of the rows. The inner product of any two rows of the generator matrix will always sum to zero. These rows, or vectors, are said to be
3270:
3244:
3215:
3178:
3127:
2802:. Products of these finite field elements are identical to those of the integers. Row and column sums are evaluated modulo 3.
3070:
821:
with 11 games, the ternary Golay code corresponds to 729 bets and guarantees exactly one bet with at most 2 wrong outcomes.
335:
168:
2995:
3301:
3296:
3165:, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 290 (3rd ed.), New York: Springer-Verlag,
3110:
793:
421:
2979:
enthusiast Juhani
Virtakallio, who published it in 1947 in issues 27, 28 and 33 of the football magazine
428:
of the code is as large as it possibly can be for a ternary code, and hence, the ternary Golay code is a
1238:
364:
328:
161:
3232:
3265:, Carus Mathematical Monographs, vol. 21, Washington, DC: Mathematical Association of America,
2746:
462:
788:
Any two different codewords differ in at least 5 positions. Every ternary word of length 11 has a
3154:
3098:
3041:
2965:
1498:
1216:
199:
32:
2622:
2933:
2663:
3266:
3240:
3211:
3174:
3012:
2991:
2701:
1516:
1220:
214:
47:
2074:
1559:
3203:
3166:
3079:
3051:
3032:
Prakash, Shiroman (September 2020). "Magic state distillation with the ternary Golay code".
2827:
1550:
841:
832:
789:
471:
3280:
3254:
3225:
3188:
3123:
3091:
3276:
3250:
3221:
3184:
3119:
3087:
2553:
1993:
1529:
374:
278:
111:
2044:
1543:
448:, the extended ternary Golay code is sometimes referred to as the ternary Golay code.
3290:
3195:
2990:
The ternary Golay code has been shown to be useful for an approach to fault-tolerant
2976:
818:
356:
3034:
Proceedings of the Royal
Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences
797:
445:
429:
3158:
1528:
The extended ternary Golay code can be constructed as the span of the rows of a
792:
of at most 2 from exactly one codeword. The code can also be constructed as the
441:
437:
417:
3239:, North-Holland Mathematical Library, vol. 54, Amsterdam: North-Holland,
3207:
3170:
425:
271:
261:
251:
241:
231:
221:
104:
94:
84:
74:
64:
54:
3055:
2619:
The three elements of the underlying finite field are represented here by
825:
3083:
2973:
461:
The ternary Golay code consists of 3 = 729 codewords. Its
3263:
From Error
Correcting Codes through Sphere Packings to Simple Groups
3046:
1990:
The corresponding parity check matrix for this generator matrix is
2824:
The matrix product of the generator and parity-check matrices,
3202:, Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag,
3068:
Barg, Alexander (1993), "At the dawn of the theory of codes",
2972:). It was independently discovered two years earlier by the
824:
The set of codewords with
Hamming weight 5 is a 3-(11,5,4)
3235:; Honkala, Iiro; Litsyn, Simon; Lobstein, Antoine (1997),
3149:, Stroudsburg, Pennsylvania: Dowden, Hutchinson & Ross
1229:, which is the smallest of the sporadic simple groups.
2936:
2830:
2749:
2704:
2666:
2625:
2556:
2077:
2047:
1996:
1562:
1250:
844:
474:
377:
281:
114:
2809:, of the rows of the matrix produces all possible
270:
260:
250:
240:
230:
220:
210:
205:
195:
190:
103:
93:
83:
73:
63:
53:
43:
38:
28:
23:
2948:
2922:
2813:contained in the code. This is referred to as the
2794:
2731:
2690:
2652:
2608:
2539:
2053:
2033:
1979:
1486:
1204:
777:
408:
312:
145:
2068:An alternative generator matrix for this code is
3147:Algebraic Coding Theory: History and Development
336:
169:
8:
2685:
2667:
2647:
2626:
1219:of the (original) ternary Golay code is the
343:
329:
176:
162:
3045:
2935:
2914:
2904:
2895:
2882:
2881:
2870:
2854:
2853:
2844:
2838:
2829:
2748:
2703:
2665:
2624:
2600:
2590:
2581:
2568:
2567:
2555:
2518:
2517:
2508:
2502:
2082:
2076:
2046:
2025:
2015:
2006:
1995:
1963:
1957:
1567:
1561:
1470:
1460:
1450:
1437:
1427:
1417:
1404:
1394:
1384:
1358:
1348:
1335:
1325:
1312:
1302:
1281:
1268:
1255:
1249:
849:
843:
479:
473:
400:
376:
367:. The code generally known simply as the
304:
280:
137:
113:
2964:The ternary Golay code was published by
1501:of the extended ternary Golay code is 2.
3024:
1553:for the extended ternary Golay code is
1241:of the extended ternary Golay code is
187:
20:
16:Pair of related error-correcting codes
2969:
7:
3163:Sphere packings, lattices and groups
2984:
835:given by Golay (1949, Table 1.) is
2889:
2886:
2883:
2861:
2858:
2855:
2575:
2572:
2569:
2525:
2522:
2519:
14:
3008:Berlekamp–van Lint–Seidel graph
2743:the additive inverse of 1) and
2698:. It is also understood that
2550:And its parity check matrix is
3071:The Mathematical Intelligencer
2911:
2896:
2871:
2867:
2845:
2831:
2795:{\displaystyle -2=(-1)+(-1)=1}
2783:
2774:
2768:
2759:
2597:
2582:
2557:
2531:
2509:
2495:
2022:
2007:
1997:
1971:
1964:
1950:
440:obtained by adding a zero-sum
397:
378:
301:
282:
134:
115:
1:
3261:Thompson, Thomas M. (1983),
1532:of order 12 over the field
1233:Extended ternary Golay code
434:extended ternary Golay code
191:Extended ternary Golay code
3318:
2653:{\displaystyle \{0,1,-1\}}
1239:complete weight enumerator
24:Perfect ternary Golay code
3208:10.1007/978-3-662-03516-0
3171:10.1007/978-1-4757-6568-7
3103:"Notes on digital coding"
2949:{\displaystyle 6\times 6}
2691:{\displaystyle \{0,1,2\}}
324:
157:
2996:magic state distillation
2960:History and Applications
2805:Linear combinations, or
2732:{\displaystyle 2=1+1=-1}
444:to the code. In finite
416:-code, that is, it is a
363:are two closely related
2540:{\displaystyle \left=.}
1980:{\displaystyle \left=.}
3200:Twelve Sporadic Groups
3111:Proceedings of the IRE
3056:10.1098/rspa.2020.0187
2950:
2924:
2923:{\displaystyle \,^{T}}
2796:
2733:
2692:
2654:
2610:
2541:
2055:
2035:
1981:
1488:
1206:
1205:{\displaystyle \left.}
796:of length 11 over the
794:quadratic residue code
779:
778:{\displaystyle \left.}
410:
365:error-correcting codes
314:
147:
3196:Griess, Robert L. Jr.
3145:Blake, I. F. (1973),
2951:
2925:
2797:
2734:
2693:
2655:
2611:
2542:
2056:
2036:
1982:
1489:
1207:
780:
411:
315:
148:
2934:
2828:
2747:
2702:
2664:
2623:
2609:{\displaystyle ^{T}}
2554:
2075:
2045:
2034:{\displaystyle ^{T}}
1994:
1560:
1248:
842:
472:
409:{\displaystyle _{3}}
375:
313:{\displaystyle _{3}}
279:
146:{\displaystyle _{3}}
112:
463:parity check matrix
361:ternary Golay codes
3084:10.1007/BF03025254
3040:(2241): 20200187.
2946:
2920:
2792:
2729:
2688:
2650:
2606:
2537:
2486:
2051:
2031:
1977:
1941:
1499:automorphism group
1484:
1217:automorphism group
1202:
1193:
813:
775:
766:
457:Ternary Golay code
406:
369:ternary Golay code
310:
200:Marcel J. E. Golay
143:
33:Marcel J. E. Golay
3013:Binary Golay code
2992:quantum computing
2660:, rather than by
2054:{\displaystyle T}
811:
810:the Galois Field
426:relative distance
353:
352:
215:Linear block code
186:
185:
48:Linear block code
3309:
3283:
3257:
3228:
3191:
3159:Sloane, N. J. A.
3150:
3134:
3133:on 19 April 2015
3132:
3126:, archived from
3107:
3094:
3060:
3059:
3049:
3029:
2955:
2953:
2952:
2947:
2929:
2927:
2926:
2921:
2919:
2918:
2909:
2908:
2899:
2894:
2893:
2892:
2866:
2865:
2864:
2848:
2843:
2842:
2801:
2799:
2798:
2793:
2738:
2736:
2735:
2730:
2697:
2695:
2694:
2689:
2659:
2657:
2656:
2651:
2615:
2613:
2612:
2607:
2605:
2604:
2595:
2594:
2585:
2580:
2579:
2578:
2546:
2544:
2543:
2538:
2530:
2529:
2528:
2512:
2507:
2506:
2491:
2487:
2060:
2058:
2057:
2052:
2040:
2038:
2037:
2032:
2030:
2029:
2020:
2019:
2010:
1986:
1984:
1983:
1978:
1967:
1962:
1961:
1946:
1942:
1551:generator matrix
1493:
1491:
1490:
1485:
1480:
1476:
1475:
1474:
1465:
1464:
1455:
1454:
1442:
1441:
1432:
1431:
1422:
1421:
1409:
1408:
1399:
1398:
1389:
1388:
1368:
1364:
1363:
1362:
1353:
1352:
1340:
1339:
1330:
1329:
1317:
1316:
1307:
1306:
1286:
1285:
1273:
1272:
1260:
1259:
1211:
1209:
1208:
1203:
1198:
1194:
833:generator matrix
790:Hamming distance
784:
782:
781:
776:
771:
767:
415:
413:
412:
407:
405:
404:
345:
338:
331:
319:
317:
316:
311:
309:
308:
188:
178:
171:
164:
152:
150:
149:
144:
142:
141:
21:
3317:
3316:
3312:
3311:
3310:
3308:
3307:
3306:
3287:
3286:
3273:
3260:
3247:
3231:
3218:
3194:
3181:
3153:
3144:
3141:
3139:Further reading
3130:
3105:
3099:Golay, M. J. E.
3097:
3067:
3064:
3063:
3031:
3030:
3026:
3021:
3004:
2962:
2932:
2931:
2910:
2900:
2877:
2849:
2834:
2826:
2825:
2807:vector addition
2745:
2744:
2700:
2699:
2662:
2661:
2621:
2620:
2596:
2586:
2563:
2552:
2551:
2513:
2498:
2485:
2484:
2479:
2474:
2466:
2458:
2453:
2448:
2443:
2438:
2433:
2428:
2423:
2417:
2416:
2411:
2406:
2401:
2393:
2385:
2380:
2375:
2370:
2365:
2360:
2355:
2349:
2348:
2340:
2335:
2330:
2325:
2317:
2312:
2307:
2302:
2297:
2292:
2287:
2281:
2280:
2272:
2264:
2259:
2254:
2249:
2244:
2239:
2234:
2229:
2224:
2219:
2213:
2212:
2207:
2199:
2191:
2186:
2181:
2176:
2171:
2166:
2161:
2156:
2151:
2145:
2144:
2139:
2134:
2129:
2124:
2119:
2114:
2109:
2104:
2099:
2094:
2089:
2078:
2073:
2072:
2065:of the matrix.
2043:
2042:
2021:
2011:
1992:
1991:
1953:
1940:
1939:
1934:
1929:
1924:
1919:
1914:
1909:
1904:
1899:
1894:
1889:
1884:
1878:
1877:
1872:
1867:
1862:
1857:
1852:
1847:
1842:
1837:
1832:
1827:
1822:
1816:
1815:
1810:
1805:
1800:
1795:
1790:
1785:
1780:
1775:
1770:
1765:
1760:
1754:
1753:
1748:
1743:
1738:
1733:
1728:
1723:
1718:
1713:
1708:
1703:
1698:
1692:
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