3712:
2089:
3413:
1759:
3707:{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\nabla }}B_{\alpha \beta }&=\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }C+CB_{\alpha \gamma }B_{\beta }^{\gamma }\\{\dot {\nabla }}B_{\beta }^{\alpha }&=\nabla _{\beta }\nabla ^{\alpha }C+CB_{\gamma }^{\alpha }B_{\beta }^{\gamma }\\{\dot {\nabla }}B^{\alpha \beta }&=\nabla ^{\alpha }\nabla ^{\beta }C+CB^{\gamma \alpha }B_{\gamma }^{\beta }\end{aligned}}}
2084:{\displaystyle {\dot {\nabla }}T_{j\beta }^{i\alpha }={\frac {\partial T_{j\beta }^{i\alpha }}{\partial t}}-V^{\eta }\nabla _{\eta }T_{j\beta }^{i\alpha }+V^{m}\Gamma _{mk}^{i}T_{j\beta }^{k\alpha }-V^{m}\Gamma _{mj}^{k}T_{k\beta }^{i\alpha }+{\dot {\Gamma }}_{\eta }^{\alpha }T_{j\beta }^{i\eta }-{\dot {\Gamma }}_{\beta }^{\eta }T_{j\eta }^{i\alpha }}
129:
31:
630:
622:
2852:
3923:
2476:
4091:
3306:
2625:
1676:
2216:
2665:
3782:
848:
2326:
1482:
3997:
1285:
412:
3418:
4002:
3787:
3217:
3212:
1203:
1537:
3989:
3959:
1044:
2495:
1581:
1751:
3405:
2248:
561:
3021:
2988:
3369:
3339:
3204:
3170:
1706:
115:
3133:
3100:
2657:
2314:
2281:
2127:
1566:
962:
893:
695:
662:
259:
81:
3747:
2951:
2847:{\displaystyle {\dot {\nabla }}\delta _{j}^{i}=0,{\dot {\nabla }}Z_{ij}=0,{\dot {\nabla }}Z^{ij}=0,{\dot {\nabla }}\varepsilon _{ijk}=0,{\dot {\nabla }}\varepsilon ^{ijk}=0}
475:
2136:
1354:
1152:
1105:
722:
588:
502:
161:
3918:{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\nabla }}Z_{\alpha }^{i}&=N^{i}\nabla _{\alpha }C\\{\dot {\nabla }}N^{i}&=-Z_{\alpha }^{i}\nabla ^{\alpha }C\end{aligned}}}
1413:
287:
184:
3067:
2915:
2885:
3774:
1384:
1074:
442:
1308:
1125:
982:
933:
746:
608:
522:
331:
311:
227:
204:
2471:{\displaystyle {\dot {\nabla }}(S_{\alpha }^{i}T_{j}^{\beta })=T_{j}^{\beta }{\dot {\nabla }}S_{\alpha }^{i}+S_{\alpha }^{i}{\dot {\nabla }}T_{j}^{\beta }}
754:
610:
is analogous to the relationship between location and velocity in elementary calculus: knowing either quantity allows one to construct the other by
4086:{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\nabla }}\varepsilon _{\alpha \beta }&=0\\{\dot {\nabla }}\varepsilon ^{\alpha \beta }&=0\end{aligned}}}
3173:
3136:
1421:
1214:
342:
3035:. The preceding rule is valid in general coordinates, where the definition of the Levi-Civita symbols must include the square root of the
4177:
3301:{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\nabla }}S_{\alpha \beta }&=0\\{\dot {\nabla }}S^{\alpha \beta }&=0\end{aligned}}}
1107:
are the surface coordinates. By convention, tensor indices of function arguments are dropped. Thus the above equations contains
164:
4167:
1157:
4172:
3032:
4102:
1487:
3964:
3934:
2620:{\displaystyle {\dot {\nabla }}F_{k}^{j}(Z,t)={\frac {\partial F_{k}^{j}}{\partial t}}+CN^{i}\nabla _{i}F_{k}^{j}}
990:
1671:{\displaystyle {\dot {\nabla }}F={\frac {\partial F\left(t,S\right)}{\partial t}}-V^{\alpha }\nabla _{\alpha }F}
4146:
J. Hadamard, Leçons Sur La
Propagation Des Ondes Et Les Équations de l'Hydrodynamique. Paris: Hermann, 1903.
1718:
1077:
118:
3135:
derivative of the key surface objects leads to highly concise and attractive formulas. When applied to the
3378:
2486:
2221:
527:
230:
2993:
2960:
912:
900:
615:
3344:
3314:
3179:
3145:
1684:
93:
4121:
Grinfeld, P. (2010). "Hamiltonian
Dynamic Equations for Fluid Films". Studies in Applied Mathematics.
3109:
3076:
2633:
2290:
2257:
2097:
1542:
938:
869:
671:
636:
235:
57:
3720:
2924:
2211:{\displaystyle {\dot {\Gamma }}_{\beta }^{\alpha }=\nabla _{\beta }V^{\alpha }-CB_{\beta }^{\alpha }}
862:. In analytical settings, direct application of these definitions may not be possible. The CMS gives
88:
3372:
2130:
447:
334:
1316:
3929:
3028:
3024:
1206:
1130:
1083:
700:
566:
480:
266:
139:
4134:
1389:
563:
points in the direction of the chosen normal, and negative otherwise. The relationship between
17:
4182:
4130:
1715:, an appropriate generalization is needed. The proper definition for a representative tensor
504:
at point P. This definition is illustrated in the first geometric figure below. The velocity
272:
169:
4162:
4122:
3042:
2890:
2860:
84:
3752:
1362:
1052:
420:
2954:
1293:
1110:
967:
918:
731:
593:
507:
316:
296:
290:
212:
189:
4156:
4126:
3140:
2918:
843:{\displaystyle {\frac {\delta F}{\delta t}}=\lim _{h\to 0}{\frac {F(P^{*})-F(P)}{h}}}
2317:
1569:
3036:
2482:
1477:{\displaystyle Z_{i}^{\alpha }={\textbf {S}}^{\alpha }\cdot {\textbf {Z}}_{i}}
1418:
Also, defining the shift tensor representation of the
Surface's Tangent Space
725:
611:
262:
1280:{\displaystyle V^{i}={\frac {\partial Z^{i}\left(t,S\right)}{\partial t}}}
896:
858:
207:
51:
34:
The surface of a flag in the wind is an example of a deforming manifold.
407:{\displaystyle C=\lim _{h\to 0}{\frac {{\text{Distance}}(P,P^{*})}{h}}}
2250:
is a matrix representation of the surface's curvature shape operator)
128:
30:
3375:. These curvature tensors, as well as for the mixed curvature tensor
3072:
2253:
122:
47:
629:
127:
853:
This definition is also illustrated in second geometric figure.
621:
132:
Jacques
Salomon Hadamard, French Mathematician, 1865–1963 CE
54:. Central to the CMS is the Tensorial Time Derivative
4000:
3967:
3937:
3785:
3755:
3723:
3416:
3381:
3347:
3317:
3215:
3182:
3148:
3112:
3079:
3045:
2996:
2963:
2927:
2893:
2863:
2668:
2636:
2498:
2329:
2316:-derivative commutes with contraction, satisfies the
2293:
2260:
2224:
2139:
2100:
1762:
1721:
1687:
1584:
1545:
1490:
1424:
1392:
1365:
1319:
1296:
1217:
1160:
1133:
1113:
1086:
1055:
993:
970:
941:
921:
872:
757:
734:
703:
674:
639:
596:
569:
530:
510:
483:
450:
423:
345:
319:
299:
275:
238:
215:
192:
172:
142:
96:
60:
4103:
time differentiation of volume and surface integrals
1198:{\displaystyle {\textbf {V}}=V^{i}{\textbf {Z}}_{i}}
4085:
3983:
3953:
3917:
3768:
3741:
3706:
3399:
3371:are the doubly covariant and doubly contravariant
3363:
3333:
3300:
3198:
3164:
3127:
3094:
3061:
3015:
2982:
2945:
2909:
2879:
2846:
2651:
2619:
2470:
2308:
2275:
2242:
2210:
2121:
2083:
1745:
1700:
1670:
1560:
1531:
1476:
1407:
1386:are the covariant components of the normal vector
1378:
1348:
1302:
1279:
1197:
1146:
1119:
1099:
1068:
1038:
976:
956:
927:
887:
842:
740:
716:
689:
656:
602:
582:
555:
516:
496:
469:
436:
406:
325:
305:
281:
253:
221:
198:
178:
155:
109:
75:
1532:{\displaystyle V^{\alpha }=Z_{i}^{\alpha }V^{i}}
782:
625:Geometric construction of the surface velocity C
477:that lies on the straight line perpendicular to
353:
2218:is the surface's appropriate temporal symbols (
265:foundations of the CMS. The velocity C is the
1310:can be computed most directly by the formula
87:. It plays the role analogous to that of the
8:
3984:{\displaystyle \varepsilon ^{\alpha \beta }}
3954:{\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }}
83:whose original definition was put forth by
2659:-derivatives of spatial "metrics" vanishes
1039:{\displaystyle Z^{i}=Z^{i}\left(t,S\right)}
3031:on Levi-Civita symbols describes them for
524:is a signed quantity: it is positive when
27:Extension of the classical tensor calculus
4060:
4045:
4044:
4021:
4006:
4005:
4001:
3999:
3972:
3966:
3942:
3936:
3902:
3892:
3887:
3867:
3852:
3851:
3838:
3828:
3811:
3806:
3791:
3790:
3786:
3784:
3760:
3754:
3733:
3728:
3722:
3694:
3689:
3676:
3657:
3647:
3627:
3612:
3611:
3601:
3596:
3586:
3581:
3562:
3552:
3535:
3530:
3515:
3514:
3504:
3499:
3486:
3467:
3457:
3437:
3422:
3421:
3417:
3415:
3391:
3386:
3380:
3352:
3346:
3322:
3316:
3275:
3260:
3259:
3236:
3221:
3220:
3216:
3214:
3187:
3181:
3153:
3147:
3114:
3113:
3111:
3081:
3080:
3078:
3050:
3044:
3001:
2995:
2968:
2962:
2937:
2932:
2926:
2898:
2892:
2868:
2862:
2826:
2811:
2810:
2789:
2774:
2773:
2755:
2740:
2739:
2721:
2706:
2705:
2690:
2685:
2670:
2669:
2667:
2638:
2637:
2635:
2611:
2606:
2596:
2586:
2559:
2554:
2544:
2520:
2515:
2500:
2499:
2497:
2462:
2457:
2442:
2441:
2435:
2430:
2417:
2412:
2397:
2396:
2390:
2385:
2369:
2364:
2354:
2349:
2331:
2330:
2328:
2295:
2294:
2292:
2262:
2261:
2259:
2234:
2229:
2223:
2202:
2197:
2181:
2171:
2158:
2153:
2142:
2141:
2138:
2113:
2105:
2099:
2072:
2064:
2054:
2049:
2038:
2037:
2024:
2016:
2006:
2001:
1990:
1989:
1976:
1968:
1958:
1950:
1940:
1924:
1916:
1906:
1898:
1888:
1872:
1864:
1854:
1844:
1817:
1809:
1799:
1787:
1779:
1764:
1763:
1761:
1734:
1726:
1720:
1692:
1686:
1659:
1649:
1603:
1586:
1585:
1583:
1547:
1546:
1544:
1523:
1513:
1508:
1495:
1489:
1468:
1462:
1461:
1451:
1445:
1444:
1434:
1429:
1423:
1394:
1393:
1391:
1370:
1364:
1340:
1330:
1318:
1295:
1241:
1231:
1222:
1216:
1189:
1183:
1182:
1175:
1162:
1161:
1159:
1138:
1132:
1112:
1091:
1085:
1060:
1054:
1011:
998:
992:
969:
943:
942:
940:
920:
874:
873:
871:
810:
797:
785:
758:
756:
748:in the instantaneously normal direction:
733:
708:
702:
676:
675:
673:
643:
638:
595:
574:
568:
541:
531:
529:
509:
488:
482:
455:
449:
428:
422:
389:
371:
368:
356:
344:
318:
298:
274:
240:
239:
237:
214:
191:
171:
147:
141:
101:
95:
62:
61:
59:
628:
620:
29:
4114:
895:in terms of elementary operations from
1746:{\displaystyle T_{j\beta }^{i\alpha }}
7:
3400:{\displaystyle B_{\beta }^{\alpha }}
2243:{\displaystyle B_{\beta }^{\alpha }}
556:{\displaystyle {\overline {PP^{*}}}}
46:) is an extension of the classical
1463:
1446:
1184:
1163:
664:-derivative of an invariant field F
4047:
4008:
3899:
3854:
3835:
3793:
3654:
3644:
3614:
3559:
3549:
3517:
3464:
3454:
3424:
3262:
3223:
3206:, the following identities result
3116:
3083:
3016:{\displaystyle \varepsilon ^{ijk}}
2983:{\displaystyle \varepsilon _{ijk}}
2813:
2776:
2742:
2708:
2672:
2640:
2593:
2567:
2547:
2502:
2444:
2399:
2333:
2297:
2264:
2168:
2144:
2102:
2040:
1992:
1947:
1895:
1851:
1828:
1802:
1766:
1708:is the covariant derivative on S.
1689:
1656:
1633:
1606:
1588:
1549:
1268:
1234:
945:
876:
705:
678:
571:
485:
452:
276:
242:
173:
144:
98:
64:
25:
4097:Time differentiation of integrals
3364:{\displaystyle B^{\alpha \beta }}
3334:{\displaystyle B_{\alpha \beta }}
3199:{\displaystyle S^{\alpha \beta }}
3165:{\displaystyle S_{\alpha \beta }}
1701:{\displaystyle \nabla _{\alpha }}
206:. The definitions of the surface
186:indexed by a time-like parameter
110:{\displaystyle \nabla _{\alpha }}
4127:10.1111/j.1467-9590.2010.00485.x
3128:{\displaystyle {\dot {\nabla }}}
3095:{\displaystyle {\dot {\nabla }}}
2917:are covariant and contravariant
2652:{\displaystyle {\dot {\nabla }}}
2309:{\displaystyle {\dot {\nabla }}}
2276:{\displaystyle {\dot {\nabla }}}
2122:{\displaystyle \Gamma _{mj}^{k}}
1561:{\displaystyle {\dot {\nabla }}}
957:{\displaystyle {\dot {\nabla }}}
888:{\displaystyle {\dot {\nabla }}}
697:for a scalar field F defined on
690:{\displaystyle {\dot {\nabla }}}
657:{\displaystyle \delta /\delta t}
254:{\displaystyle {\dot {\nabla }}}
76:{\displaystyle {\dot {\nabla }}}
3742:{\displaystyle Z_{\alpha }^{i}}
3039:of the covariant metric tensor
2946:{\displaystyle \delta _{j}^{i}}
18:The Calculus of Moving Surfaces
3073:Differentiation table for the
2538:
2526:
2375:
2342:
2320:for any collection of indices
1399:
831:
825:
816:
803:
789:
668:The Tensorial Time Derivative
633:Geometric construction of the
395:
376:
360:
269:of deformation of the surface
1:
1539:, then the definition of the
1078:curvilinear space coordinates
470:{\displaystyle \Sigma _{t+h}}
3033:Cartesian coordinate systems
1484:and the Tangent Velocity as
1349:{\displaystyle C=V^{i}N_{i}}
964:, consider the evolution of
548:
4101:The CMS provides rules for
1147:{\displaystyle S^{\alpha }}
1100:{\displaystyle S^{\alpha }}
717:{\displaystyle \Sigma _{t}}
583:{\displaystyle \Sigma _{t}}
497:{\displaystyle \Sigma _{t}}
156:{\displaystyle \Sigma _{t}}
40:calculus of moving surfaces
4199:
2630:Chain rule shows that the
1408:{\displaystyle {\vec {N}}}
856:The above definitions are
125:when applied to a tensor.
293:direction. The value of
163:is the evolution of the
4178:Curvature (mathematics)
282:{\displaystyle \Sigma }
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