3058:
2469:
2461:
3053:{\displaystyle y^{T}={\begin{bmatrix}h_{1}&h_{2}&h_{3}&\cdots &h_{m-1}&h_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&\cdots &x_{n}&0&0&0&\cdots &0\\0&x_{1}&x_{2}&x_{3}&\cdots &x_{n}&0&0&\cdots &0\\0&0&x_{1}&x_{2}&x_{3}&\ldots &x_{n}&0&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\0&\cdots &0&0&x_{1}&\cdots &x_{n-2}&x_{n-1}&x_{n}&0\\0&\cdots &0&0&0&x_{1}&\cdots &x_{n-2}&x_{n-1}&x_{n}\end{bmatrix}}.}
1910:
2456:{\displaystyle y=h\ast x={\begin{bmatrix}h_{1}&0&\cdots &0&0\\h_{2}&h_{1}&&\vdots &\vdots \\h_{3}&h_{2}&\cdots &0&0\\\vdots &h_{3}&\cdots &h_{1}&0\\h_{m-1}&\vdots &\ddots &h_{2}&h_{1}\\h_{m}&h_{m-1}&&\vdots &h_{2}\\0&h_{m}&\ddots &h_{m-2}&\vdots \\0&0&\cdots &h_{m-1}&h_{m-2}\\\vdots &\vdots &&h_{m}&h_{m-1}\\0&0&0&\cdots &h_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}}
655:
3513:
5421:
276:
3176:
650:{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&\cdots &\cdots &a_{-(n-1)}\\a_{1}&a_{0}&a_{-1}&\ddots &&\vdots \\a_{2}&a_{1}&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &a_{-1}&a_{-2}\\\vdots &&\ddots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\\a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{2}&a_{1}&a_{0}\end{bmatrix}}}
3508:{\displaystyle A={\begin{bmatrix}&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\cdots &a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&a_{-3}&\cdots \\\cdots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&\cdots \\\cdots &a_{2}&a_{1}&a_{0}&a_{-1}&\cdots \\\cdots &a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&\cdots \\&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{bmatrix}}.}
219:
56:
1779:
1612:
3117:
830:
214:{\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\f&a&b&c&d\\g&f&a&b&c\\h&g&f&a&b\\i&h&g&f&a\end{bmatrix}}.}
4022:
Chen, W. W.; Hurvich, C. M.; Lu, Y. (2006), "On the correlation matrix of the discrete
Fourier transform and the fast solution of large Toeplitz systems for long-memory time series",
1319:
1675:
1261:
3720:
3658:
5079:
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4024:
1006:
1415:
979:
877:
3965:
3927:
688:
1524:
4223:
Yang, Zai; Xie, Lihua; Stoica, Petre (2016), "Vandermonde decomposition of multilevel
Toeplitz matrices with application to multidimensional super-resolution",
3631:
3611:
3587:
3564:
3540:
3137:
1902:
1882:
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1638:
1209:
924:
904:
708:
268:
1495:
to a finite-dimensional space, can be represented by such a matrix. Similarly, one can represent linear convolution as multiplication by a
Toeplitz matrix.
5293:
3859:
Bojanczyk, A. W.; Brent, R. P.; de Hoog, F. R.; Sweet, D. R. (1995), "On the stability of the
Bareiss and related Toeplitz factorization algorithms",
1864:
operation can be constructed as a matrix multiplication, where one of the inputs is converted into a
Toeplitz matrix. For example, the convolution of
4512:
4452:
5384:
4225:
4393:
4184:
4129:
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5069:
4147:
4437:
4088:
4353:
4071:
1492:
3990:
Chandrasekeran, S.; Gu, M.; Sun, X.; Xia, J.; Zhu, J. (2007), "A superfast algorithm for
Toeplitz systems of linear equations",
5104:
4651:
4345:
1156:
is stable. An LU decomposition gives a quick method for solving a
Toeplitz system, and also for computing the determinant.
50:
in which each descending diagonal from left to right is constant. For instance, the following matrix is a
Toeplitz matrix:
4868:
4505:
4943:
4391:
Noor, F.; Morgera, S. D. (1992), "Construction of a
Hermitian Toeplitz matrix from an arbitrary set of eigenvalues",
3092:
5099:
4621:
4176:
4113:
1065:
749:
5203:
5074:
4988:
1008:. We might therefore expect that the solution of a Toeplitz system would be easier, and indeed that is the case.
5308:
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5343:
5272:
5154:
5014:
4611:
4498:
4272:
Bareiss, E. H. (1969), "Numerical solution of linear equations with
Toeplitz and vector Toeplitz matrices",
3730:
1484:
3922:(1999), "Stability of fast algorithms for structured linear systems", in Kailath, T.; Sayed, A. H. (eds.),
5213:
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4033:
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1465:
1153:
1062:
4140:"On some properties of positive definite Toeplitz matrices and their possible applications"
1607:{\displaystyle {\frac {1}{a_{0}}}A=GG^{\operatorname {T} }-(G-I)(G-I)^{\operatorname {T} }}
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4429:
4333:
4326:
4295:
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Stewart, M. (2003), "A superfast Toeplitz solver with improved numerical stability",
4161:
3724:
1057:
time. Variants of the latter have been shown to be weakly stable (i.e. they exhibit
836:
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3739: – compression of a multiplication operator on the circle to the Hardy space
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Press, W. H.; Teukolsky, S. A.; Vetterling, W. T.; Flannery, B. P. (2007),
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Toeplitz Matrices, Asymptotic Linear Algebra, and Functional Analysis
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1113:
A Toeplitz matrix can also be decomposed (i.e. factored) in
1515:
For symmetric Toeplitz matrices, there is the decomposition
1385:
matrices (under matrix addition and scalar multiplication).
4450:(2016), "Every matrix is a product of Toeplitz matrices",
3820:
3664:
is easy to establish and can be found as Theorem 1.1 of.
1011:
Toeplitz systems can be solved by algorithms such as the
3727:, an "upside down" (i.e., row-reversed) Toeplitz matrix
3522:
if and only if the coefficients of the Toeplitz matrix
3089:
A bi-infinite Toeplitz matrix (i.e. entries indexed by
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time (by storing only one value of each diagonal) and
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256:
230:
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Mukherjee, Bishwa Nath; Maiti, Sadhan Samar (1988),
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Fast Reliable Algorithms for Matrices with Structure
3741:
Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
1510:
when the row and column dimension tends to infinity.
5362:
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5002:
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4866:
4805:
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952:Toeplitz matrix, then the system has at most only
4172:Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing
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4064:Statistical digital signal processing and modeling
3714:
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1479:Toeplitz matrices are also closely connected with
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262:
242:
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3831:
3733: – Determinant of large Toeplitz matrices
4506:
3962:An Introduction to Iterative Toeplitz Solvers
8:
825:{\displaystyle A_{i,j}=A_{i+1,j+1}=a_{i-j}.}
3786:
1191:Toeplitz matrix may be defined as a matrix
5080:Fundamental (linear differential equation)
4513:
4499:
4491:
4465:
4373:Toeplitz and Circulant Matrices: A Review
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3063:This approach can be extended to compute
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298:
286:
278:
255:
229:
61:
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3752:
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3542:are the Fourier coefficients of some
835:A Toeplitz matrix is not necessarily
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3960:Chan, R. H.-F.; Jin, X.-Q. (2007),
1670:{\displaystyle {\frac {1}{a_{0}}}A}
4089:SIAM Journal on Numerical Analysis
3645:
1763:
1747:
1599:
1559:
25:
1152:. The Bareiss algorithm for an
5419:
1640:is the lower triangular part of
5287:Used in science and engineering
4110:Numerical Methods of Statistics
1256:{\displaystyle A_{i,j}=c_{i-j}}
60:
4530:Explicitly constrained entries
4346:Johns Hopkins University Press
4080:Krishna, H.; Wang, Y. (1993),
3764:§2.8.2—Toeplitz matrices
1768:
1736:
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847:A matrix equation of the form
366:
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5304:Fundamental (computer vision)
3800:, §4.5—Toeplitz systems
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5070:Duplication and elimination
4869:eigenvalues or eigenvectors
3936:10.1137/1.9781611971354.ch4
3843:Böttcher & Grudsky 2012
3653:{\displaystyle L^{\infty }}
1468:Toeplitz matrices are both
981:unique values, rather than
5474:
5003:With specific applications
4632:Discrete Fourier Transform
4177:Cambridge University Press
4114:Cambridge University Press
4048:10.1198/016214505000001069
3832:Mukherjee & Maiti 1988
3082:
1498:Toeplitz matrices commute
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5413:
5294:Cabibbo–Kobayashi–Maskawa
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4062:Hayes, Monson H. (1996),
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3163:{\displaystyle \ell ^{2}}
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3660:norm of its symbol. The
3518:The induced operator is
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4652:Generalized permutation
4108:Monahan, J. F. (2011),
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3787:Krishna & Wang 1993
3593:of the Toeplitz matrix
1485:multiplication operator
1351:Toeplitz matrices is a
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3544:essentially bounded
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