1494:
384:
910:
1079:
198:
1306:
726:
1402:
494:
707:
144:
1157:
379:{\displaystyle \Phi (n)=\sum _{k=1}^{n}k\sum _{d\mid k}{\frac {\mu (d)}{d}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor \left(1+\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor \right)}
921:
1165:
604:
53:
905:{\displaystyle A=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)^{2}}{k\varphi (k)}}={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)}
1433:
1321:
402:
177:
167:
618:
69:
1098:
1074:{\displaystyle B=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)^{2}\log k}{k\,\varphi (k)}}=A\,\prod _{p}\left({\frac {\log p}{p^{2}-p+1}}\right).}
1535:
1301:{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k\varphi (k)}}=\zeta (2)\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}\right)=2.20386\ldots }
535:
717:
1554:
189:
60:
1559:
1528:
504:
1474:
1413:
1521:
56:
1453:
1450:
29:
1505:
1548:
609:
20:
1311:
In this case, the product over the primes in the right side is a constant known as
1480:
Decimal expansion of totient constant product(1 + 1/(p^2*(p-1))), p prime >= 2)
1501:
1397:{\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}\right)=1.339784\ldots }
489:{\displaystyle \Phi (n)\sim {\frac {1}{2\zeta (2)}}n^{2}+O\left(n\log n\right),}
702:{\displaystyle S(n)\sim A(\gamma +\log n)+B+O\left({\frac {\log n}{n}}\right)}
1458:
139:{\displaystyle \Phi (n):=\sum _{k=1}^{n}\varphi (k),\quad n\in \mathbf {N} }
1493:
1152:{\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k\varphi (k)}}}
160:
The first few values are 0, 1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, 22, 28, 32 (sequence
150:
612:
showed in 1900 that this function has the asymptotic behavior
599:{\displaystyle S(n):=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}}
1479:
1437:
529:
The summatory of reciprocal totient function is defined as
172:
162:
1509:
1102:
1324:
1168:
1101:
924:
729:
621:
538:
405:
201:
72:
32:
1396:
1300:
1151:
1073:
904:
701:
598:
488:
378:
138:
47:
1529:
8:
525:The summatory of reciprocal totient function
1536:
1522:
1356:
1346:
1329:
1323:
1260:
1250:
1233:
1190:
1184:
1173:
1167:
1124:
1118:
1107:
1100:
1043:
1025:
1015:
1010:
988:
968:
952:
946:
935:
923:
870:
853:
802:
773:
757:
751:
740:
728:
677:
620:
575:
569:
558:
537:
449:
421:
404:
357:
328:
306:
295:
281:
257:
245:
232:
221:
200:
131:
103:
92:
71:
31:
170:). Values for powers of 10 at (sequence
1425:
517:is the number of coprime integer pairs
7:
1490:
1488:
192:to the totient function, we obtain
1508:. You can help Knowledge (XXG) by
1185:
1119:
947:
752:
406:
202:
73:
33:
14:
1492:
132:
1475:OEIS Totient summatory function
124:
1374:
1362:
1278:
1266:
1226:
1220:
1208:
1202:
1142:
1136:
998:
992:
965:
958:
891:
879:
840:
834:
826:
820:
814:
808:
793:
787:
770:
763:
658:
640:
631:
625:
590:
584:
548:
542:
439:
433:
415:
409:
321:
315:
269:
263:
211:
205:
118:
112:
82:
76:
42:
36:
1:
396:has the asymptotic expansion
1454:"Totient Summatory Function"
1159:is convergent and equal to:
1576:
1487:
1313:totient summatory constant
25:totient summatory function
1093:Landau's totient constant
718:Euler–Mascheroni constant
1089: = 1.943596...
61:Euler's totient function
48:{\displaystyle \Phi (n)}
1504:-related article is a
1398:
1302:
1189:
1153:
1123:
1091:is sometimes known as
1075:
951:
906:
756:
703:
600:
574:
490:
380:
311:
237:
140:
108:
49:
1399:
1303:
1169:
1154:
1103:
1076:
931:
907:
736:
704:
601:
554:
519:{p, q}, 1 ≤ p ≤ q ≤ n
505:Riemann zeta function
491:
381:
291:
217:
155:{p, q}, 1 ≤ p ≤ q ≤ n
141:
88:
50:
1555:Arithmetic functions
1322:
1315:, and its value is:
1166:
1099:
922:
727:
619:
536:
403:
199:
149:It is the number of
70:
30:
1414:Arithmetic function
16:Arithmetic function
1451:Weisstein, Eric W.
1394:
1334:
1298:
1238:
1149:
1148:
1071:
1020:
902:
858:
699:
596:
486:
376:
256:
136:
57:summatory function
45:
1560:Mathematics stubs
1517:
1516:
1378:
1325:
1282:
1229:
1212:
1146:
1062:
1011:
1002:
895:
849:
844:
797:
693:
594:
507:for the value 2.
443:
365:
336:
289:
276:
241:
1567:
1538:
1531:
1524:
1496:
1489:
1464:
1463:
1441:
1440:
1430:
1403:
1401:
1400:
1395:
1384:
1380:
1379:
1377:
1361:
1360:
1347:
1333:
1307:
1305:
1304:
1299:
1288:
1284:
1283:
1281:
1265:
1264:
1251:
1237:
1213:
1211:
1191:
1188:
1183:
1158:
1156:
1155:
1150:
1147:
1145:
1125:
1122:
1117:
1090:
1080:
1078:
1077:
1072:
1067:
1063:
1061:
1048:
1047:
1037:
1026:
1019:
1003:
1001:
983:
973:
972:
953:
950:
945:
911:
909:
908:
903:
901:
897:
896:
894:
871:
857:
845:
843:
829:
803:
798:
796:
779:
778:
777:
758:
755:
750:
715:
708:
706:
705:
700:
698:
694:
689:
678:
605:
603:
602:
597:
595:
593:
576:
573:
568:
520:
516:
502:
495:
493:
492:
487:
482:
478:
454:
453:
444:
442:
422:
395:
385:
383:
382:
377:
375:
371:
370:
366:
358:
341:
337:
329:
310:
305:
290:
282:
277:
272:
258:
255:
236:
231:
190:Möbius inversion
175:
165:
156:
145:
143:
142:
137:
135:
107:
102:
54:
52:
51:
46:
1575:
1574:
1570:
1569:
1568:
1566:
1565:
1564:
1545:
1544:
1543:
1542:
1485:
1471:
1449:
1448:
1445:
1444:
1432:
1431:
1427:
1422:
1410:
1352:
1351:
1339:
1335:
1320:
1319:
1256:
1255:
1243:
1239:
1195:
1164:
1163:
1129:
1097:
1096:
1085:
1039:
1038:
1027:
1021:
984:
964:
954:
920:
919:
875:
863:
859:
830:
804:
780:
769:
759:
725:
724:
713:
679:
673:
617:
616:
580:
534:
533:
527:
518:
510:
500:
465:
461:
445:
426:
401:
400:
389:
353:
346:
342:
324:
259:
197:
196:
186:
171:
161:
154:
68:
67:
28:
27:
17:
12:
11:
5:
1573:
1571:
1563:
1562:
1557:
1547:
1546:
1541:
1540:
1533:
1526:
1518:
1515:
1514:
1497:
1483:
1482:
1477:
1470:
1469:External links
1467:
1466:
1465:
1443:
1442:
1424:
1423:
1421:
1418:
1417:
1416:
1409:
1406:
1405:
1404:
1393:
1390:
1387:
1383:
1376:
1373:
1370:
1367:
1364:
1359:
1355:
1350:
1345:
1342:
1338:
1332:
1328:
1309:
1308:
1297:
1294:
1291:
1287:
1280:
1277:
1274:
1271:
1268:
1263:
1259:
1254:
1249:
1246:
1242:
1236:
1232:
1228:
1225:
1222:
1219:
1216:
1210:
1207:
1204:
1201:
1198:
1194:
1187:
1182:
1179:
1176:
1172:
1144:
1141:
1138:
1135:
1132:
1128:
1121:
1116:
1113:
1110:
1106:
1082:
1081:
1070:
1066:
1060:
1057:
1054:
1051:
1046:
1042:
1036:
1033:
1030:
1024:
1018:
1014:
1009:
1006:
1000:
997:
994:
991:
987:
982:
979:
976:
971:
967:
963:
960:
957:
949:
944:
941:
938:
934:
930:
927:
913:
912:
900:
893:
890:
887:
884:
881:
878:
874:
869:
866:
862:
856:
852:
848:
842:
839:
836:
833:
828:
825:
822:
819:
816:
813:
810:
807:
801:
795:
792:
789:
786:
783:
776:
772:
768:
765:
762:
754:
749:
746:
743:
739:
735:
732:
710:
709:
697:
692:
688:
685:
682:
676:
672:
669:
666:
663:
660:
657:
654:
651:
648:
645:
642:
639:
636:
633:
630:
627:
624:
607:
606:
592:
589:
586:
583:
579:
572:
567:
564:
561:
557:
553:
550:
547:
544:
541:
526:
523:
497:
496:
485:
481:
477:
474:
471:
468:
464:
460:
457:
452:
448:
441:
438:
435:
432:
429:
425:
420:
417:
414:
411:
408:
387:
386:
374:
369:
364:
361:
356:
352:
349:
345:
340:
335:
332:
327:
323:
320:
317:
314:
309:
304:
301:
298:
294:
288:
285:
280:
275:
271:
268:
265:
262:
254:
251:
248:
244:
240:
235:
230:
227:
224:
220:
216:
213:
210:
207:
204:
185:
182:
153:integer pairs
147:
146:
134:
130:
127:
123:
120:
117:
114:
111:
106:
101:
98:
95:
91:
87:
84:
81:
78:
75:
44:
41:
38:
35:
15:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
1572:
1561:
1558:
1556:
1553:
1552:
1550:
1539:
1534:
1532:
1527:
1525:
1520:
1519:
1513:
1511:
1507:
1503:
1498:
1495:
1491:
1486:
1481:
1478:
1476:
1473:
1472:
1468:
1461:
1460:
1455:
1452:
1447:
1446:
1439:
1435:
1429:
1426:
1419:
1415:
1412:
1411:
1407:
1391:
1388:
1385:
1381:
1371:
1368:
1365:
1357:
1353:
1348:
1343:
1340:
1336:
1330:
1326:
1318:
1317:
1316:
1314:
1295:
1292:
1289:
1285:
1275:
1272:
1269:
1261:
1257:
1252:
1247:
1244:
1240:
1234:
1230:
1223:
1217:
1214:
1205:
1199:
1196:
1192:
1180:
1177:
1174:
1170:
1162:
1161:
1160:
1139:
1133:
1130:
1126:
1114:
1111:
1108:
1104:
1094:
1088:
1084:The constant
1068:
1064:
1058:
1055:
1052:
1049:
1044:
1040:
1034:
1031:
1028:
1022:
1016:
1012:
1007:
1004:
995:
989:
985:
980:
977:
974:
969:
961:
955:
942:
939:
936:
932:
928:
925:
918:
917:
916:
898:
888:
885:
882:
876:
872:
867:
864:
860:
854:
850:
846:
837:
831:
823:
817:
811:
805:
799:
790:
784:
781:
774:
766:
760:
747:
744:
741:
737:
733:
730:
723:
722:
721:
719:
695:
690:
686:
683:
680:
674:
670:
667:
664:
661:
655:
652:
649:
646:
643:
637:
634:
628:
622:
615:
614:
613:
611:
610:Edmund Landau
587:
581:
577:
570:
565:
562:
559:
555:
551:
545:
539:
532:
531:
530:
524:
522:
514:
508:
506:
483:
479:
475:
472:
469:
466:
462:
458:
455:
450:
446:
436:
430:
427:
423:
418:
412:
399:
398:
397:
393:
372:
367:
362:
359:
354:
350:
347:
343:
338:
333:
330:
325:
318:
312:
307:
302:
299:
296:
292:
286:
283:
278:
273:
266:
260:
252:
249:
246:
242:
238:
233:
228:
225:
222:
218:
214:
208:
195:
194:
193:
191:
183:
181:
179:
174:
169:
164:
158:
152:
128:
125:
121:
115:
109:
104:
99:
96:
93:
89:
85:
79:
66:
65:
64:
62:
58:
39:
26:
22:
21:number theory
1510:expanding it
1499:
1484:
1457:
1428:
1312:
1310:
1092:
1086:
1083:
914:
711:
608:
528:
512:
509:
498:
391:
388:
187:
159:
148:
63:defined by:
24:
18:
1502:mathematics
1549:Categories
1420:References
1095:. The sum
184:Properties
1459:MathWorld
1392:…
1369:−
1327:∏
1296:…
1273:−
1231:∏
1218:ζ
1200:φ
1186:∞
1171:∑
1134:φ
1120:∞
1105:∑
1050:−
1032:
1013:∏
990:φ
978:
956:μ
948:∞
933:∑
886:−
851:∏
832:ζ
818:ζ
806:ζ
785:φ
761:μ
753:∞
738:∑
684:
653:
644:γ
635:∼
582:φ
556:∑
473:
431:ζ
419:∼
407:Φ
313:μ
293:∑
261:μ
250:∣
243:∑
219:∑
203:Φ
129:∈
110:φ
90:∑
74:Φ
34:Φ
1408:See also
1389:1.339784
368:⌋
355:⌊
339:⌋
326:⌊
1438:A065483
1436::
1293:2.20386
716:is the
503:is the
176:in the
173:A064018
166:in the
163:A002088
151:coprime
712:where
499:where
188:Using
23:, the
1500:This
55:is a
1506:stub
1434:OEIS
915:and
501:ζ(2)
178:OEIS
168:OEIS
1029:log
975:log
681:log
650:log
470:log
180:).
59:of
19:In
1551::
1456:.
720:,
552::=
521:.
511:Φ(
390:Φ(
157:.
86::=
1537:e
1530:t
1523:v
1512:.
1462:.
1386:=
1382:)
1375:)
1372:1
1366:p
1363:(
1358:2
1354:p
1349:1
1344:+
1341:1
1337:(
1331:p
1290:=
1286:)
1279:)
1276:1
1270:p
1267:(
1262:2
1258:p
1253:1
1248:+
1245:1
1241:(
1235:p
1227:)
1224:2
1221:(
1215:=
1209:)
1206:k
1203:(
1197:k
1193:1
1181:1
1178:=
1175:k
1143:)
1140:k
1137:(
1131:k
1127:1
1115:1
1112:=
1109:k
1087:A
1069:.
1065:)
1059:1
1056:+
1053:p
1045:2
1041:p
1035:p
1023:(
1017:p
1008:A
1005:=
999:)
996:k
993:(
986:k
981:k
970:2
966:)
962:k
959:(
943:1
940:=
937:k
929:=
926:B
899:)
892:)
889:1
883:p
880:(
877:p
873:1
868:+
865:1
861:(
855:p
847:=
841:)
838:6
835:(
827:)
824:3
821:(
815:)
812:2
809:(
800:=
794:)
791:k
788:(
782:k
775:2
771:)
767:k
764:(
748:1
745:=
742:k
734:=
731:A
714:Îł
696:)
691:n
687:n
675:(
671:O
668:+
665:B
662:+
659:)
656:n
647:+
641:(
638:A
632:)
629:n
626:(
623:S
591:)
588:k
585:(
578:1
571:n
566:1
563:=
560:k
549:)
546:n
543:(
540:S
515:)
513:n
484:,
480:)
476:n
467:n
463:(
459:O
456:+
451:2
447:n
440:)
437:2
434:(
428:2
424:1
416:)
413:n
410:(
394:)
392:n
373:)
363:k
360:n
351:+
348:1
344:(
334:k
331:n
322:)
319:k
316:(
308:n
303:1
300:=
297:k
287:2
284:1
279:=
274:d
270:)
267:d
264:(
253:k
247:d
239:k
234:n
229:1
226:=
223:k
215:=
212:)
209:n
206:(
133:N
126:n
122:,
119:)
116:k
113:(
105:n
100:1
97:=
94:k
83:)
80:n
77:(
43:)
40:n
37:(
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
