3357:
834:
42:
30:
520:
3367:
533:
277:
1929:
are all more frequently discussed in the literature. This may be because these other (non-trapezoidal) distributions seem to occur more frequently in nature than the trapezoidal distribution does. The normal distribution in particular is especially common in nature, just as one would expect from the
1856:
1469:
1161:
829:{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{d+c-a-b}}{\frac {1}{b-a}}(x-a)^{2}&{\text{for }}a\leq x<b\\{\frac {1}{d+c-a-b}}(2x-a-b)&{\text{for }}b\leq x<c\\1-{\frac {1}{d+c-a-b}}{\frac {1}{d-c}}(d-x)^{2}&{\text{for }}c\leq x\leq d\end{cases}}}
991:
1595:
trapezoidal distribution. However, not all trapezoidal distributions are so precisely shaped. In the standard case, where the middle part of the trapezoid is completely flat, and the side ramps are perfectly linear, all of the values between
515:{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {2}{d+c-a-b}}{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{for }}a\leq x<b\\{\frac {2}{d+c-a-b}}&{\text{for }}b\leq x<c\\{\frac {2}{d+c-a-b}}{\frac {d-x}{d-c}}&{\text{for }}c\leq x\leq d\end{cases}}}
1292:
1612:) of the distribution. On the other hand, though, if the middle part of the trapezoid is not completely flat, or if one or both of the side ramps are not perfectly linear, then the trapezoidal distribution in question is a
1636:
1305:
1004:
177:
133:
847:
2015:
215:
89:
264:
2144:
2627:
1174:
2535:
3322:
3188:
2400:
2159:
2008:
3083:
2847:
2521:
2842:
2786:
2446:
2084:
2592:
3128:
2862:
2715:
2390:
2134:
3466:
Kacker, R. N.; Lawrence, J. F. (2007-02-26). "Trapezoidal and triangular distributions for Type B evaluation of standard uncertainty".
3370:
2587:
1851:{\displaystyle E={\frac {2}{d+c-b-a}}{\frac {1}{(k+1)(k+2)}}\left({\frac {d^{k+2}-c^{k+2}}{d-c}}-{\frac {b^{k+2}-a^{k+2}}{b-a}}\right)}
3360:
3032:
3008:
2001:
3229:
2857:
3507:
3106:
3067:
3039:
3013:
2931:
2280:
2028:
1958:
1902:
1864:
1551:
1616:, and more complicated and context-dependent rules may apply. The side ramps of a trapezoidal distribution are not required to be
3217:
3183:
3049:
3044:
2889:
2697:
2395:
2149:
526:
2967:
2880:
2852:
2761:
2710:
2684:
2582:
2365:
2330:
2981:
2898:
2735:
2482:
2360:
2335:
2199:
2194:
2189:
2659:
2169:
2164:
1464:{\displaystyle {\frac {2}{d+c-b-a}}{\frac {1}{t^{2}}}\left({\frac {e^{dt}-e^{ct}}{d-c}}-{\frac {e^{bt}-e^{at}}{b-a}}\right)}
3297:
3163:
2871:
2720:
2652:
2637:
2530:
2504:
2436:
2275:
2106:
2091:
1613:
2814:
3193:
3133:
3123:
2740:
2441:
2300:
1493:
270:
2542:
2285:
2214:
1968:
1910:
3178:
3173:
3118:
3054:
2819:
2597:
2494:
2079:
2998:
2806:
3312:
3088:
2907:
2689:
2642:
2511:
2487:
2467:
2310:
2184:
2064:
1540:
1298:
3317:
2260:
1156:{\displaystyle {\frac {1}{6(d+c-b-a)}}\left({\frac {d^{4}-c^{4}}{d-c}}-{\frac {b^{4}-a^{4}}{b-a}}\right)-\mu ^{2}}
3101:
3062:
2936:
2773:
2617:
2562:
2460:
2424:
2295:
3003:
2791:
2557:
2516:
2431:
2385:
2325:
2290:
2179:
2074:
2024:
1948:
1489:
2116:
3302:
3244:
2915:
2702:
2612:
2567:
2552:
2472:
2370:
2320:
2315:
2096:
1983:
1963:
1926:
1906:
1888:
1548:
41:
29:
3168:
3156:
3145:
3027:
2923:
2730:
2174:
2154:
2059:
1519:
1512:
986:{\displaystyle {\frac {1}{3(d+c-b-a)}}\left({\frac {d^{3}-c^{3}}{d-c}}-{\frac {b^{3}-a^{3}}{b-a}}\right)}
3292:
3249:
3093:
2768:
2622:
2602:
2499:
2069:
1953:
1931:
224:
49:
140:
96:
3342:
3337:
3332:
3327:
3264:
3234:
3113:
2756:
2647:
2547:
2250:
2209:
2204:
2101:
1988:
1918:
1901:). Trapezoidal probability distributions seem to not be discussed very often in the literature. The
1628:
542:
286:
3276:
2801:
2781:
2751:
2725:
2679:
2607:
2419:
2355:
1978:
1922:
1536:
1167:
184:
3413:
3307:
2796:
2577:
2572:
2477:
2414:
2409:
2265:
2255:
2139:
1973:
1914:
1477:
58:
3483:
3448:
3205:
2632:
2375:
2305:
2270:
2219:
1609:
1605:
3475:
3440:
3405:
2380:
2054:
231:
3431:
van Dorp, J. René; Kotz, Samuel (2003-08-01). "Generalized trapezoidal distributions".
3396:
Dorp, J. René van; Kotz, Samuel (March 2003). "Generalized
Trapezoidal Distributions".
2453:
840:
3501:
3479:
3076:
2824:
2111:
3417:
1993:
1860:
1287:{\displaystyle {\frac {d-c+b-a}{2(d+c-b-a)}}+\ln \left({\frac {d+c-b-a}{2}}\right)}
1544:
1481:
3487:
3452:
1943:
1592:
1497:
3444:
3409:
1621:
1617:
997:
1604:
will occur with equal frequency, and therefore all such points will be
1505:
1547:
is always zero). In addition, there are two sharp bending points (non-
1501:
1997:
1500:. Likewise, trapezoidal distributions also roughly resemble
822:
508:
1554:) within the probability distribution, which we will call
1620:
in the general case, just as the sides of trapezoids in
1639:
1543:
on the distribution can occur (i.e. beyond which the
1308:
1177:
1007:
850:
536:
280:
234:
187:
143:
99:
61:
3285:
3243:
3144:
2980:
2958:
2949:
2833:
2668:
2344:
2241:
2232:
2125:
2045:
2036:
1297:
1166:
996:
839:
525:
269:
223:
48:
1850:
1463:
1286:
1155:
985:
828:
514:
258:
209:
171:
127:
83:
2009:
8:
1863:of the trapezoidal distribution include the
19:
2955:
2238:
2042:
2016:
2002:
1994:
191:
147:
103:
65:
18:
1817:
1798:
1791:
1762:
1743:
1736:
1692:
1662:
1650:
1638:
1591:The image to the right shows a perfectly
1433:
1417:
1410:
1384:
1368:
1361:
1348:
1339:
1309:
1307:
1250:
1178:
1176:
1147:
1115:
1102:
1095:
1072:
1059:
1052:
1008:
1006:
958:
945:
938:
915:
902:
895:
851:
849:
799:
791:
757:
727:
697:
641:
617:
609:
575:
545:
537:
535:
485:
457:
427:
403:
371:
347:
319:
289:
281:
279:
233:
186:
142:
98:
60:
3388:
1631:of the trapezoidal distribution are
7:
3366:
1614:generalized trapezoidal distribution
1511:Each trapezoidal distribution has a
1624:are not required to be symmetric.
14:
1959:Uniform distribution (continuous)
172:{\displaystyle c\;(b<c\leq d)}
128:{\displaystyle b\;(a\leq b<c)}
3365:
3356:
3355:
40:
38:Cumulative distribution function
28:
1725:
1713:
1710:
1698:
1656:
1643:
1231:
1207:
1041:
1017:
884:
860:
788:
775:
692:
671:
606:
593:
253:
241:
204:
192:
166:
148:
122:
104:
78:
66:
1:
1494:probability density function
210:{\displaystyle d\;(c\leq d)}
26:Probability density function
84:{\displaystyle a\;(a<d)}
3524:
3480:10.1088/0026-1394/44/2/003
3189:Wrapped asymmetric Laplace
2160:Extended negative binomial
3351:
2848:Generalized extreme value
2628:Relativistic Breit–Wigner
2025:Probability distributions
1302:
1171:
1001:
844:
530:
274:
228:
53:
36:
24:
3508:Continuous distributions
1949:Probability distribution
1927:multimodal distributions
1490:probability distribution
1486:trapezoidal distribution
16:Probability distribution
2843:Generalized chi-squared
2787:Normal-inverse Gaussian
1984:Multimodal distribution
1969:Irwin–Hall distribution
1964:Triangular distribution
1889:triangular distribution
3155:Univariate (circular)
2716:Generalized hyperbolic
2145:Conway–Maxwell–Poisson
2135:Beta negative binomial
1852:
1562:, which occur between
1465:
1288:
1157:
987:
830:
516:
260:
211:
173:
129:
85:
3445:10.1007/s001840200230
3410:10.1007/S001840200230
3200:Bivariate (spherical)
2698:Kaniadakis Îş-Gaussian
1954:Central limit theorem
1932:central limit theorem
1853:
1466:
1289:
1158:
988:
831:
517:
261:
259:{\displaystyle x\in }
212:
174:
130:
86:
3265:Dirac delta function
3212:Bivariate (toroidal)
3169:Univariate von Mises
3040:Multivariate Laplace
2932:Shifted log-logistic
2281:Continuous Bernoulli
1989:Poisson distribution
1865:uniform distribution
1637:
1306:
1175:
1005:
848:
534:
278:
232:
185:
141:
97:
59:
3313:Natural exponential
3218:Bivariate von Mises
3184:Wrapped exponential
3050:Multivariate stable
3045:Multivariate normal
2366:Benktander 2nd kind
2361:Benktander 1st kind
2150:Discrete phase-type
1979:Normal distribution
21:
2968:Rectified Gaussian
2853:Generalized Pareto
2711:Generalized normal
2583:Matrix-exponential
1974:Bates distribution
1848:
1535:, beyond which no
1496:graph resembles a
1478:probability theory
1461:
1284:
1153:
983:
826:
821:
512:
507:
256:
207:
169:
125:
81:
3379:
3378:
2976:
2975:
2945:
2944:
2836:whose type varies
2782:Normal (Gaussian)
2736:Hyperbolic secant
2685:Exponential power
2588:Maxwell–Boltzmann
2336:Wigner semicircle
2228:
2227:
2200:Parabolic fractal
2190:Negative binomial
1841:
1786:
1729:
1690:
1608:(local frequency
1474:
1473:
1454:
1405:
1354:
1337:
1278:
1235:
1133:
1090:
1045:
976:
933:
888:
802:
773:
755:
700:
669:
620:
591:
573:
488:
481:
455:
406:
399:
350:
343:
317:
3515:
3492:
3491:
3463:
3457:
3456:
3428:
3422:
3421:
3393:
3369:
3368:
3359:
3358:
3298:Compound Poisson
3273:
3261:
3230:von Mises–Fisher
3226:
3214:
3202:
3164:Circular uniform
3160:
3080:
3024:
2995:
2956:
2858:Marchenko–Pastur
2721:Geometric stable
2638:Truncated normal
2531:Inverse Gaussian
2437:Hyperexponential
2276:Beta rectangular
2244:bounded interval
2239:
2107:Discrete uniform
2092:Poisson binomial
2043:
2018:
2011:
2004:
1995:
1900:
1886:
1876:
1857:
1855:
1854:
1849:
1847:
1843:
1842:
1840:
1829:
1828:
1827:
1809:
1808:
1792:
1787:
1785:
1774:
1773:
1772:
1754:
1753:
1737:
1730:
1728:
1693:
1691:
1689:
1663:
1655:
1654:
1627:The non-central
1603:
1599:
1587:
1569:
1565:
1561:
1557:
1534:
1524:
1517:
1488:is a continuous
1470:
1468:
1467:
1462:
1460:
1456:
1455:
1453:
1442:
1441:
1440:
1425:
1424:
1411:
1406:
1404:
1393:
1392:
1391:
1376:
1375:
1362:
1355:
1353:
1352:
1340:
1338:
1336:
1310:
1293:
1291:
1290:
1285:
1283:
1279:
1274:
1251:
1236:
1234:
1202:
1179:
1162:
1160:
1159:
1154:
1152:
1151:
1139:
1135:
1134:
1132:
1121:
1120:
1119:
1107:
1106:
1096:
1091:
1089:
1078:
1077:
1076:
1064:
1063:
1053:
1046:
1044:
1009:
992:
990:
989:
984:
982:
978:
977:
975:
964:
963:
962:
950:
949:
939:
934:
932:
921:
920:
919:
907:
906:
896:
889:
887:
852:
835:
833:
832:
827:
825:
824:
803:
800:
796:
795:
774:
772:
758:
756:
754:
728:
701:
698:
670:
668:
642:
621:
618:
614:
613:
592:
590:
576:
574:
572:
546:
521:
519:
518:
513:
511:
510:
489:
486:
482:
480:
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