5329:
4265:
4850:
3826:
2864:
5324:{\displaystyle {\begin{aligned}t_{k}(x)&=D(x-x_{k},N)={\begin{cases}{\dfrac {\sin {\tfrac {1}{2}}N(x-x_{k})}{N\tan {\tfrac {1}{2}}(x-x_{k})}}{\text{ for }}x\neq x_{k}\\\lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {\sin {\tfrac {1}{2}}Nx}{N\tan {\tfrac {1}{2}}x}}=1{\text{ for }}x=x_{k}.\end{cases}}\\&={\frac {\mathrm {sinc} \,{\tfrac {1}{2}}N(x-x_{k})}{\mathrm {sinc} \,{\tfrac {1}{2}}(x-x_{k})}}\cos {\tfrac {1}{2}}(x-x_{k})\end{aligned}}}
4260:{\displaystyle {\begin{aligned}t_{k}(x)&=D(x-x_{k},N)={\begin{cases}{\dfrac {\sin {\tfrac {1}{2}}N(x-x_{k})}{N\sin {\tfrac {1}{2}}(x-x_{k})}}{\text{ for }}x\neq x_{k}\\\lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {\sin {\tfrac {1}{2}}Nx}{N\sin {\tfrac {1}{2}}x}}=1{\text{ for }}x=x_{k}\end{cases}}\\&={\frac {\mathrm {sinc} \,{\tfrac {1}{2}}N(x-x_{k})}{\mathrm {sinc} \,{\tfrac {1}{2}}(x-x_{k})}}.\end{aligned}}}
3278:
2487:
2294:
2994:
2859:{\displaystyle t_{k}(x)={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}{\Biggl (}2Kx-\alpha _{k}+\displaystyle \sum \limits _{m=0,\,m\neq k}^{2K-1}x_{m}{\Biggr )}+\sum \limits _{m=-(K-1)}^{K-1}c_{k}e^{imx}}{2^{N}\sin {\tfrac {1}{2}}(x_{k}-\alpha _{k})\displaystyle \prod \limits _{m=0,\,m\neq k}^{2K-1}\sin {\tfrac {1}{2}}(x_{k}-x_{m})}}.}
4584:
1829:
1179:
1988:
3575:
6457:, a fully integrated software system written in MATLAB for computing with functions, uses trigonometric interpolation and Fourier expansions for computing with periodic functions. Many algorithms related to trigonometric interpolation are readily available in
2983:
3273:{\displaystyle t_{k}(x)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(x-\alpha _{k})}{\sin {\tfrac {1}{2}}(x_{k}-\alpha _{k})}}\prod _{\begin{aligned}m&=0\\m&\neq k\end{aligned}}^{2K-1}{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(x-x_{m})}{\sin {\tfrac {1}{2}}(x_{k}-x_{m})}}.}
4370:
4797:
3773:
1584:
1646:
230:
6390:
966:
6395:(Because of the way the problem was formulated above, we have restricted ourselves to odd numbers of points. This is not strictly necessary; for even numbers of points, one includes another cosine term corresponding to the
484:
2289:{\displaystyle t_{k}(x)=e^{-iKx+iKx_{k}}{\frac {e^{ix}-e^{i\alpha _{k}}}{e^{ix_{k}}-e^{i\alpha _{k}}}}\prod _{\begin{aligned}m&=0\\m&\neq k\end{aligned}}^{2K-1}{\frac {e^{ix}-e^{ix_{m}}}{e^{ix_{k}}-e^{ix_{m}}}}.}
3398:
6254:
6113:
3120:
2897:
2144:
1677:
1035:
822:+1 depending upon the particular set of data points). Moreover, the interpolating polynomial is unique if and only if the number of adjustable coefficients is equal to the number of data points, i.e.,
4334:
1962:
377:
942:
593:
4855:
3831:
692:
756:
3370:
2875:
5450:
5409:
4693:
4579:{\displaystyle D(x,N)={\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\cos {\tfrac {1}{2}}Nx+{\frac {2}{N}}\sum _{k=1}^{(N-1)/2}\cos(kx)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}Nx}{N\tan {\tfrac {1}{2}}x}}.}
1237:
1346:
2440:
2467:
2337:
5368:
4836:
3812:
2413:
2378:
1636:
1382:
4701:
3677:
1422:
4652:
4622:
3669:
3639:
3604:
1412:
1297:
1267:
5477:
3316:
1824:{\displaystyle t_{k}(x)=\prod _{\begin{aligned}m&=0\\m&\neq k\end{aligned}}^{2K}{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(x-x_{m})}{\sin {\tfrac {1}{2}}(x_{k}-x_{m})}}.}
4362:
85:
6490:
1174:{\displaystyle t_{k}(x)=e^{-iKx+iKx_{k}}\prod _{\begin{aligned}m&=0\\m&\neq k\end{aligned}}^{2K}{\frac {e^{ix}-e^{ix_{m}}}{e^{ix_{k}}-e^{ix_{m}}}}.}
6262:
6442:, etc., from a finite set of observation points; since the orbits are periodic, a trigonometric interpolation was a natural choice. See also Heideman
392:
493:
in general require these points to be equally spaced.) The interpolation problem is now to find coefficients such that the trigonometric polynomial
765:. Existence and uniqueness for trigonometric interpolation now follows immediately from the corresponding results for polynomial interpolation.
3570:{\displaystyle D(x,N)={\frac {1}{N}}+{\frac {2}{N}}\sum _{k=1}^{(N-1)/2}\cos(kx)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}Nx}{N\sin {\tfrac {1}{2}}x}},}
6402:
The case of the cosine-only interpolation for equally spaced points, corresponding to a trigonometric interpolation when the points have
2345:) contains an odd number of unknown constants. A common choice is to require that the highest frequency is of the form a constant times
6155:
6483:
6050:
6430:
algorithm to evaluate it rapidly. Clairaut, Lagrange, and Gauss were all concerned with studying the problem of inferring the
6427:
4280:
1872:
301:
858:
512:
768:
For more information on formulation of trigonometric interpolating polynomials in the complex plane, see p. 156 of
617:
61:
An important special case is when the given data points are equally spaced, in which case the solution is given by the
6146:
62:
6411:
703:
3324:
2978:{\displaystyle \alpha _{k}=\sum _{\begin{aligned}m&=0\\m&\neq k\end{aligned}}^{2K-1}x_{m}-2\varphi _{K}}
43:
4923:
3899:
1239:
in this formula compensates for the fact that the complex plane formulation contains also negative powers of
6419:
5414:
5373:
4657:
6545:
6403:
51:
5488:
50:. For trigonometric interpolation, this function has to be a trigonometric polynomial, that is, a sum of
6550:
6415:
1864:
to the polynomial formulation in the complex plane yields that the solution can be written in the form
850:
to the polynomial formulation in the complex plane yields that the solution can be written in the form
3389:) would be an obvious approach, but is obviously involved. A much simpler approach is to consider the
1187:
17:
6516:
6423:
4738:
3714:
1302:
806:, the number of data points, is not larger than the number of coefficients in the polynomial, i.e.,
6414:. The sine-only expansion for equally spaced points, corresponding to odd symmetry, was solved by
1861:
847:
761:
This reduces the problem of trigonometric interpolation to that of polynomial interpolation on the
2418:
769:
6422:. The full cosine and sine interpolating polynomial, which gives rise to the DFT, was solved by
2445:
2315:
4792:{\displaystyle D(x_{m},N)={\begin{cases}0{\text{ for }}m\neq 0\\1{\text{ for }}m=0\end{cases}}.}
3768:{\displaystyle D(x_{m},N)={\begin{cases}0{\text{ for }}m\neq 0\\1{\text{ for }}m=0\end{cases}}.}
1579:{\displaystyle e^{iz_{1}}-e^{iz_{2}}=2i\sin {\tfrac {1}{2}}(z_{1}-z_{2})\,e^{(z_{1}+z_{2})i/2},}
3283:
Note that care must be taken in order to avoid infinities caused by zeros in the denominators.
6479:
6396:
5337:
4805:
3781:
2383:
2348:
1605:
1351:
830: + 1. In the remainder of this article, we will assume this condition to hold true.
55:
4627:
4592:
3644:
3609:
3583:
3390:
1387:
1272:
1242:
5455:
3294:
6407:
6504:
5479:. Multiples of this term can, therefore, always be added, but it is commonly left out.
4347:
600:
225:{\displaystyle p(x)=a_{0}+\sum _{k=1}^{K}a_{k}\cos(kx)+\sum _{k=1}^{K}b_{k}\sin(kx).\,}
6539:
6385:{\displaystyle y_{n}=p(x_{n})={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}Y_{k}\ e^{i2\pi nk/N}\,}
2415:
term vanishes, but in general the phase of the highest frequency can be chosen to be
506:
39:
46:. Interpolation is the process of finding a function which goes through some given
2339:
can be chosen freely. This is caused by the fact that the interpolating function (
6462:
762:
291:, and we wish to compute those coefficients so that the function passes through
47:
31:
479:{\displaystyle 0\leq x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{N-1}<2\pi .\,}
1299:. The correctness of this expression can easily be verified by observing that
6439:
6458:
6454:
780:
Under the above conditions, there exists a solution to the problem for
54:
of given periods. This form is especially suited for interpolation of
6435:
6478:(2nd edition), Section 3.8. John Wiley & Sons, New York, 1988.
382:
Since the trigonometric polynomial is periodic with period 2π, the
6431:
6426:
in unpublished work around 1805, at which point he also derived a
6044:
are equally spaced is especially important. In this case, we have
4271:
6249:{\displaystyle Y_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}y_{n}\ e^{-i2\pi nk/N}\,}
509:. We can rewrite the formula for a trigonometric polynomial as
6108:{\displaystyle x_{n}=2\pi {\frac {n}{N}},\qquad 0\leq n<N.}
3778:
Since these two properties uniquely define the coefficients
6503:
G.B. Wright, M. Javed, H. Montanelli, and L.N. Trefethen, "
5154:
4782:
4127:
3758:
3291:
Further simplification of the problem is possible if nodes
505:
The problem becomes more natural if we formulate it in the
6530:
6520:, Volume II, Chapter X, Cambridge University Press, 1988.
5522:% x equispaced interpolation nodes (vector, length N)
4802:
Using these properties, it follows that the coefficients
5531:% P values of the trigonometric interpolant (vector)
386:
points can be distributed and ordered in one period as
6410:
in 1754. In this case the solution is equivalent to a
5552:% Adjust the spacing of the given independent variable.
4329:{\displaystyle \mathrm {sinc} \,x={\frac {\sin x}{x}}.}
4274:-function prevents any singularities and is defined by
1957:{\displaystyle p(x)=\sum _{k=0}^{2K-1}y_{k}\,t_{k}(x),}
372:{\displaystyle p(x_{n})=y_{n},\quad n=0,\ldots ,N-1.\,}
5519:% xi evaluation points for the interpolant (vector)
5425:
5384:
5284:
5241:
5187:
5103:
5074:
4985:
4937:
4668:
4556:
4527:
4425:
4214:
4160:
4079:
4050:
3961:
3913:
3547:
3518:
3224:
3182:
3072:
3030:
2809:
2718:
2523:
1775:
1733:
1485:
6265:
6158:
6053:
5458:
5417:
5376:
5340:
5064:
4927:
4853:
4808:
4704:
4660:
4630:
4595:
4373:
4350:
4283:
4040:
3903:
3829:
3784:
3680:
3647:
3612:
3586:
3401:
3327:
3297:
2997:
2878:
2758:
2566:
2490:
2448:
2421:
2386:
2351:
2318:
1991:
1875:
1649:
1608:
1425:
1390:
1354:
1305:
1275:
1245:
1190:
969:
937:{\displaystyle p(x)=\sum _{k=0}^{2K}y_{k}\,t_{k}(x),}
861:
706:
620:
515:
395:
304:
88:
588:{\displaystyle p(x)=\sum _{k=-K}^{K}c_{k}e^{ikx},\,}
6491:
Gauss and the history of the fast
Fourier transform
6489:M. T. Heideman, D. H. Johnson, and C. S. Burrus, "
6384:
6248:
6107:
5487:A MATLAB implementation of the above can be found
5471:
5444:
5403:
5362:
5323:
4830:
4791:
4687:
4646:
4616:
4578:
4356:
4328:
4259:
3806:
3767:
3663:
3633:
3598:
3569:
3364:
3310:
3272:
2977:
2858:
2461:
2434:
2407:
2372:
2331:
2288:
1956:
1823:
1630:
1578:
1406:
1376:
1340:
1291:
1261:
1231:
1173:
936:
750:
687:{\displaystyle q(z)=\sum _{k=-K}^{K}c_{k}z^{k},\,}
686:
587:
478:
371:
224:
2622:
2536:
1269:and is therefore not a polynomial expression in
5525:% y interpolation values (vector, length N)
4624:is a linear combination of the right powers of
3641:is a linear combination of the right powers of
1384:is a linear combination of the right powers of
6118:The transformation that maps the data points
1862:Lagrange formula for polynomial interpolation
848:Lagrange formula for polynomial interpolation
8:
6031:Relation with the discrete Fourier transform
27:Interpolation with trigonometric polynomials
751:{\displaystyle q(e^{ix})\triangleq p(x).\,}
6505:Extension of Chebfun to periodic functions
3365:{\displaystyle x_{m}={\frac {2\pi m}{N}},}
6381:
6371:
6355:
6342:
6326:
6315:
6301:
6289:
6270:
6264:
6245:
6235:
6216:
6203:
6187:
6176:
6163:
6157:
6073:
6058:
6052:
5513:% TRIGINTERP Trigonometric interpolation.
5463:
5457:
5424:
5416:
5411:as well. Finally, note that the function
5383:
5375:
5345:
5339:
5308:
5283:
5265:
5240:
5239:
5225:
5214:
5186:
5185:
5171:
5168:
5142:
5127:
5102:
5073:
5063:
5051:
5037:
5022:
5009:
4984:
4964:
4936:
4926:
4918:
4900:
4862:
4854:
4852:
4813:
4807:
4765:
4744:
4733:
4715:
4703:
4667:
4659:
4635:
4629:
4594:
4555:
4526:
4517:
4486:
4470:
4459:
4445:
4424:
4408:
4395:
4372:
4349:
4305:
4298:
4284:
4282:
4238:
4213:
4212:
4198:
4187:
4159:
4158:
4144:
4141:
4118:
4103:
4078:
4049:
4039:
4027:
4013:
3998:
3985:
3960:
3940:
3912:
3902:
3894:
3876:
3838:
3830:
3828:
3789:
3783:
3741:
3720:
3709:
3691:
3679:
3652:
3646:
3611:
3585:
3546:
3517:
3508:
3477:
3461:
3450:
3436:
3423:
3400:
3341:
3332:
3326:
3302:
3296:
3255:
3242:
3223:
3206:
3181:
3172:
3157:
3119:
3103:
3090:
3071:
3054:
3029:
3020:
3002:
2996:
2969:
2953:
2934:
2896:
2883:
2877:
2840:
2827:
2808:
2787:
2776:
2763:
2749:
2736:
2717:
2705:
2686:
2676:
2660:
2634:
2621:
2620:
2614:
2595:
2584:
2571:
2557:
2535:
2534:
2522:
2513:
2495:
2489:
2453:
2447:
2426:
2420:
2385:
2350:
2323:
2317:
2272:
2264:
2249:
2241:
2227:
2219:
2203:
2196:
2181:
2143:
2128:
2120:
2105:
2097:
2083:
2075:
2059:
2052:
2044:
2018:
1996:
1990:
1936:
1931:
1925:
1906:
1895:
1874:
1806:
1793:
1774:
1757:
1732:
1723:
1714:
1676:
1654:
1648:
1613:
1607:
1563:
1551:
1538:
1530:
1525:
1516:
1503:
1484:
1461:
1453:
1438:
1430:
1424:
1395:
1389:
1359:
1353:
1323:
1310:
1304:
1280:
1274:
1250:
1244:
1221:
1195:
1189:
1157:
1149:
1134:
1126:
1112:
1104:
1088:
1081:
1072:
1034:
1022:
996:
974:
968:
916:
911:
905:
892:
881:
860:
747:
717:
705:
683:
674:
664:
654:
640:
619:
584:
569:
559:
549:
535:
514:
475:
451:
432:
419:
406:
394:
368:
331:
315:
303:
221:
194:
184:
173:
142:
132:
121:
108:
87:
4364:even, we define the Dirichlet kernel as
814:+1 (a solution may or may not exist if
497:satisfies the interpolation conditions.
69:Formulation of the interpolation problem
5800:% Form is different for even and odd N.
770:Interpolation using Fourier Polynomials
5445:{\displaystyle \sin {\tfrac {1}{2}}Nx}
5404:{\displaystyle \sin {\tfrac {1}{2}}Nx}
4688:{\displaystyle \sin {\tfrac {1}{2}}Nx}
18:Trigonometric interpolation polynomial
6476:An Introduction to Numerical Analysis
6418:in 1762, for which the solution is a
6035:The special case in which the points
73:A trigonometric polynomial of degree
7:
1982:
1866:
1640:
1416:
852:
79:
6450:Applications in numerical computing
3606:is odd. It can easily be seen that
2760:
2631:
2568:
5235:
5232:
5229:
5226:
5181:
5178:
5175:
5172:
4589:Again, it can easily be seen that
4294:
4291:
4288:
4285:
4208:
4205:
4202:
4199:
4154:
4151:
4148:
4145:
25:
6461:; several examples are available
3383:Further simplification by using (
1232:{\displaystyle e^{-iKx+iKx_{k}}}
501:Formulation in the complex plane
6086:
340:
6295:
6282:
5357:
5351:
5314:
5295:
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3502:
3493:
3474:
3462:
3417:
3405:
3375:see Zygmund for more details.
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3060:
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2002:
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1371:
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1341:{\displaystyle t_{k}(x_{k})=1}
1329:
1316:
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980:
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871:
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710:
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525:
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308:
215:
206:
163:
154:
98:
92:
1:
5794:'MATLAB:divideByZero'
2481:) can be written on the form
4654:, does not contain the term
2435:{\displaystyle \varphi _{K}}
5452:vanishes at all the points
5048:
4840:
4024:
3816:
3385:
2477:
2471:
2462:{\displaystyle \alpha _{k}}
2442:. To get an expression for
2341:
2332:{\displaystyle \alpha _{k}}
1638:can be written in the form
36:trigonometric interpolation
6567:
6147:discrete Fourier transform
1414:. Upon using the identity
784:given set of data points {
248:This expression contains 2
63:discrete Fourier transform
6412:discrete cosine transform
44:trigonometric polynomials
6500:(4), 14–21 (1984).
5493:
5363:{\displaystyle t_{k}(x)}
4831:{\displaystyle t_{k}(x)}
3807:{\displaystyle t_{k}(x)}
2408:{\displaystyle \sin(Kx)}
2373:{\displaystyle \cos(Kx)}
1852:If the number of points
1631:{\displaystyle t_{k}(x)}
1377:{\displaystyle t_{k}(x)}
838:If the number of points
6420:discrete sine transform
6149:(DFT) of order N.
5654:% Evaluate interpolant.
776:Solution of the problem
6511:, 37 (2015), C554-C573
6428:fast Fourier transform
6386:
6337:
6250:
6198:
6109:
5473:
5446:
5405:
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4832:
4793:
4689:
4648:
4647:{\displaystyle e^{ix}}
4618:
4617:{\displaystyle D(x,N)}
4580:
4495:
4358:
4330:
4261:
3808:
3769:
3665:
3664:{\displaystyle e^{ix}}
3635:
3634:{\displaystyle D(x,N)}
3600:
3599:{\displaystyle N>0}
3571:
3486:
3366:
3318:are equidistant, i.e.
3312:
3274:
3171:
2979:
2948:
2860:
2801:
2671:
2609:
2469:, we obtain by using (
2463:
2436:
2409:
2374:
2333:
2290:
2195:
1958:
1920:
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1632:
1580:
1408:
1407:{\displaystyle e^{ix}}
1378:
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1292:{\displaystyle e^{ix}}
1263:
1262:{\displaystyle e^{ix}}
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659:
589:
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373:
226:
189:
137:
6509:SIAM. J. Sci. Comput.
6474:Kendall E. Atkinson,
6416:Joseph Louis Lagrange
6387:
6311:
6251:
6172:
6145:is obtained from the
6110:
5474:
5472:{\displaystyle x_{m}}
5447:
5406:
5370:does not contain the
5365:
5326:
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4794:
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4455:
4359:
4340:Even number of points
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2567:
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1959:
1891:
1848:Even number of points
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1581:
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1379:
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117:
6517:Trigonometric Series
6424:Carl Friedrich Gauss
6263:
6156:
6127:to the coefficients
6051:
5456:
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5374:
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3379:Odd number of points
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2419:
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2316:
2312:Here, the constants
1989:
1873:
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1352:
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859:
834:Odd number of points
704:
618:
611:, then this becomes
513:
393:
302:
86:
3820:), it follows that
6495:IEEE ASSP Magazine
6382:
6246:
6105:
6025:% fix value at x=0
5469:
5442:
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3757:
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3556:
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684:
585:
476:
369:
252:+ 1 coefficients,
222:
56:periodic functions
6406:, was treated by
6397:Nyquist frequency
6350:
6309:
6211:
6081:
5491:and is given by:
5433:
5392:
5292:
5275:
5249:
5195:
5130:
5118:
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3431:
3357:
3287:Equidistant nodes
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957:
489:(Note that we do
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16:(Redirected from
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