1946:
3146:
3772:
2346:
2158:
1410:
6009:
4261:
4953:
1666:
3414:
2880:
2745:
2974:
3965:
6397:
would have implied a positive answer to
Dixmier's problem, had it been true. In any case, it follows that a counter-example to Dixmier's conjecture could only be a non-amenable group without free subgroups. In particular, Dixmier's conjecture is true for all
3600:
2525:
5070:
4606:
3518:
6147:
3233:
2185:
1991:
6348:
1000:
1236:
5753:
5249:
4003:
4444:
5684:
5572:
1504:
1587:
417:
5446:
1127:
593:
5254:
As in the previous proof, uniform boundedess guarantees that the norm defined by this inner product is equivalent to the original inner product. But then the original representation would be unitarizable on
661:
1941:{\displaystyle \displaystyle {(f_{m},f_{m})_{\sigma }=\prod _{i=1}^{|m|}{i-1/2-\sigma \over i-1/2+\sigma }={\Gamma (1/2+\sigma )\Gamma (|m|+1/2-\sigma ) \over \Gamma (1/2-\sigma )\Gamma (m+1/2+\sigma )}.}}
6773:
6756:
835:
4778:
2959:
4695:
4360:
4763:
3252:
506:
2805:
2554:
3141:{\displaystyle \displaystyle {\pi _{\sigma }(g^{-1})f(z)=|{\overline {\beta }}z+{\overline {\alpha }}|^{1-2\sigma }f\left({\alpha z+\beta \over {\overline {\beta }}z+{\overline {\alpha }}}\right).}}
6427:
The potential gap between unitarizability and amenability can be further illustrated by the following open problems, all of which become elementary if "unitarizable" were replaced by "amenable":
1193:
738:
1655:
6214:
3803:
156:
3767:{\displaystyle \displaystyle {\pi _{s}(g^{-1})f(z)=|{\overline {\beta }}z+{\overline {\alpha }}|^{1-2s}f\left({\alpha z+\beta \over {\overline {\beta }}z+{\overline {\alpha }}}\right).}}
2371:
1219:. These representations can be realized on functions on the circle or on the real line: the Cayley transform provides the unitary equivalence between the two realizations.
4968:
4455:
7006:
5307:
3433:
2341:{\displaystyle \displaystyle {(F,G)_{\sigma }^{\prime }=C_{\sigma }\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {F}}(t){\overline {{\widehat {G}}(t)}}|t|^{-2\sigma }\,dt.}}
6595:
6507:
6020:
3165:
6567:
6547:
6527:
6479:
6459:
5101:) as a closed subgroup of finite covolume, since this subgroup acts on the upper half plane with a fundamental domain of finite hyperbolic area. The group SL(2,
83:
60:
37:
2153:{\displaystyle \displaystyle {(F,G)_{\sigma }^{\prime }=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }F(x){\overline {G(y)}}|x-y|^{2\sigma -1}\,dx\,dy.}}
174:
of all the positive and negative powers must be uniformly bounded. The result on unitarizability of uniformly bounded representations was extended in 1950 by
6233:
1405:{\displaystyle \displaystyle {(f,g)_{\sigma }={1 \over 4\pi ^{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(s){\overline {g(t)}}k_{\sigma }(s-t)\,ds\,dt,}}
6825:
6004:{\displaystyle \displaystyle {\|\pi _{z}(g)f\|=\|\lambda (g)f+\sum _{n=0}^{\infty }z^{n+1}T^{n}f\|\leq 1+2\sum _{n=0}^{n}|z|^{n+1}={1+|z| \over 1-|z|}.}}
854:
6014:
For |z| < 1/√3, these representations are all similar to the regular representation λ. If on the other hand 1/√3 < |z| <1, then the operator
4256:{\displaystyle \displaystyle {\pi _{s}(L_{0})f_{m}=mf_{m},\,\,\pi _{s}(L_{-1})f_{m}=-(m+1/2+s)f_{m+1},\,\,\pi _{s}(L_{1})f_{m}=-(m-1/2-s)f_{m-1}.}}
5161:
4371:
5591:
5476:
1421:
7232:
7214:
7161:
7136:
5147:
is uniformly bounded and non-unitarizable. For if not, applying a bounded invertible operator, the inner product can be made invariant under
1522:
319:
5370:
1023:
521:
5270:
There are more direct constructions of uniformly bounded representations of free groups that are non-unitarizable: these are surveyed in
1212:
7114:
6895:
4948:{\displaystyle \displaystyle {\|v_{1}\|^{2}=(L_{-1}^{\prime }v_{0},v_{1})=(v_{0},L_{1}^{\prime }v_{1})={\overline {c}}\|v_{0}\|^{2}.}}
604:
7188:
3409:{\displaystyle \displaystyle {\pi _{\sigma }^{\prime }((g^{\prime })^{-1})F(x)=|cx+d|^{1-2\sigma }F\left({ax+b \over cx+d}\right).}}
749:
3562:, both representations are unitary. The representations are irreducible because the action of the Lie algebra on the basis vectors
2891:
2875:{\displaystyle \displaystyle {g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},}}
2740:{\displaystyle \displaystyle {U^{*}F(e^{it})=2^{3/4-\sigma /2}\pi |1-e^{it}|^{1-2\sigma }F\left({1+e^{it} \over 1-e^{it}}\right).}}
6424:
who linked unitarizability to a notion of factorization length. This allowed him to solve a modified form of the
Dixmier problem.
4635:
4300:
4706:
440:
6386:, i.e. the property that all their uniformly bounded representations are unitarizable. This problem remains open to this day.
7320:
7037:
6861:
5470:, a rooted tree, this corresponds to passing from a vertex to the next closest vertex to the origin or root. For |z| < 1
190:
conjectured that a locally compact group is amenable if and only if every uniformly bounded representation is unitarizable.
182:, following essentially the method of proof of Sz-Nagy. The result is known to fail for non-amenable groups such as SL(2,
7315:
3960:{\displaystyle \displaystyle {\pi _{s}^{\prime }((g^{\prime })^{-1})F(x)=|cx+d|^{1-2s}F\left({ax+b \over cx+d}\right).}}
1138:
6789:
Day, Mahlon M. (1950), "Means for the bounded functions and ergodicity of the bounded representations of semi-groups",
676:
1601:
6158:
96:
430:. By construction the algebra is invariant under left translation. By amenability there is an invariant state φ on
159:
2520:{\displaystyle \displaystyle {Uf(x)=2^{\sigma /2-3/4}\pi ^{-1}|x+i|^{1-2\sigma }f\left({x-i \over x+i}\right).}}
7310:
6432:
90:
2751:
170:. For the integers this gives a criterion for an invertible operator to be similar to a unitary operator: the
301:
is an invertible operator with all its positive and negative powers uniformly bounded in operator norm, then
7010:
6394:
6390:
167:
7250:
Pytlik, T.; Szwarc, R. (1986), "An analytic family of uniformly bounded representations of free groups",
40:
3997:. The action of the standard basis of the complexification Lie algebra on this basis can be computed:
6942:
6922:
5065:{\displaystyle \displaystyle {c={1 \over 4}-s^{2}={1 \over 4}-\sigma ^{2}+\tau ^{2}-2i\sigma \tau ,}}
5267:, which are cocompact subgroups, have uniformly bounded representations that are not unitarizable.
4601:{\displaystyle \displaystyle {=(m-n)L_{m+n}^{\prime },\,\,(L_{i}^{\prime })^{*}=L_{-i}^{\prime }.}}
7094:
7066:
7046:
6912:
6848:
6830:
6808:
7228:
7210:
7184:
7157:
7132:
7110:
6970:
6891:
3513:{\displaystyle \displaystyle {U\pi _{\sigma }(g)U^{*}=\pi _{\sigma }^{\prime }(g^{\prime }).}}
6413:
shows that there are also non-unitarizable groups without free subgroups. In fact, even some
6393:
argument shows that a subgroup of a unitarizable group remains unitarizable. Therefore, the
4611:
It is elementary to verify that infinitesimally such a representation cannot exist if τ ≠ 0.
162:
established that any uniformly bounded representation of the integers or the real numbers is
7288:
7259:
7086:
7056:
7019:
6960:
6950:
6870:
6840:
6798:
6403:
7198:
6984:
6142:{\displaystyle \displaystyle {D=\pi _{z}(a)+\pi _{z}(a^{-1})+\pi _{z}(b)+\pi _{z}(b^{-1})}}
5292:
3228:{\displaystyle \displaystyle {g^{\prime }={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},}}
7194:
6379:
175:
6572:
6484:
7273:
7225:
Combinatorial group theory. Presentations of groups in terms of generators and relations
6946:
6926:
6552:
6532:
6512:
6464:
6444:
6414:
203:
179:
68:
45:
22:
6965:
6933:
Ehrenpreis, L.; Mautner, F. I. (1955), "Uniformly bounded representations of groups",
6803:
3579:
constructed an analytic continuation of this family of representations as follows. If
7304:
7032:
7024:
6904:
6883:
6820:
6421:
6410:
6343:{\displaystyle \displaystyle {f(1)=1,\,\,f(g)={3 \over 4}(3z)^{-L(g)}\,\,(g\neq 1).}}
5714:, the finite-dimensional space of functions supported on the set of vertices joining
5264:
171:
63:
7070:
6852:
7035:; Ozawa, Narutaka (2010), "The Dixmier problem, lamplighters and Burnside groups",
6399:
5467:
86:
6859:
Nakamura, Masahiro; Takeda, Ziro (1951), "Group representation and Banach limit",
4294:
would therefore still be orthogonal for the new inner product and the operators
995:{\displaystyle \displaystyle {(ST_{g}x,ST_{g}y)=(PT_{g}x,T_{g}y)=(Px,y)=(Sx,Sy).}}
7077:
Bargmann, V. (1947), "Irreducible unitary representations of the
Lorentz group",
3569:
is irreducible. This family of irreducible unitary representations is called the
7174:, Le Mathématicien, vol. 2 (2nd ed.), Presses Universitaires de France
4266:
If the representation were unitarizable for τ ≠ 0, then the similarity operator
7145:
7061:
7109:, North-Holland Mathematical Library, vol. 44 (2nd ed.), Elsevier,
6875:
7245:, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, vol. 87, Marcel Dekker
5581:
had earlier proved that it extends to a uniformly bounded representation on
6974:
5244:{\displaystyle \displaystyle {(x,y)_{1}=\int _{H\backslash G}(gx,gy)\,dg.}}
6955:
6844:
5743:, on which they acts as contractions and adjoints of each other. Hence if
6890:, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1618 (2nd ed.), Springer,
4439:{\displaystyle \displaystyle {f_{m}^{\prime }=Tf_{m}=\lambda _{m}f_{m}.}}
5679:{\displaystyle \displaystyle {\|\pi _{z}(g)\|\leq {1+|z| \over 1-|z|}.}}
5567:{\displaystyle \displaystyle {\pi _{z}(g)=(I-zT)^{-1}\lambda (g)(I-zT)}}
5259:, a contradiction. The same argument works for any discrete subgroup of
1499:{\displaystyle \displaystyle {k_{\sigma }(s)=(1-\cos s)^{\sigma -1/2}.}}
7264:
7098:
6812:
6774:"Les moyennes invariantes dans les semi-groupes et leurs applications"
7293:
7274:"An analytic series of irreducible representations of the free group"
6917:
1963:
defines an inner product. The
Hilbert space completion is denoted by
1582:{\displaystyle \displaystyle {(f,g)_{\sigma }\leq \|f\|\cdot \|g\|,}}
412:{\displaystyle \displaystyle {f_{x,y}(g)=(T_{g}^{-1}x,T_{g}^{-1}y),}}
227:), the group of an invertible operators on a Hilbert space such that
7090:
5441:{\displaystyle \displaystyle {Te_{1}=0,\,\,Te_{g}=e_{g^{\prime }},}}
1215:
of irreducible unitary representations of SL(2,R) was introduced by
1122:{\displaystyle \displaystyle {(ST_{g}S^{-1}x,ST_{g}S^{-1}y)=(x,y).}}
588:{\displaystyle \displaystyle {M^{-1}\|x\|\leq \|x\|_{0}\leq M\|x\|}}
5131:
is a closed subgroup of finite covolume in a locally compact group
7051:
7008:
des coefficients de représentation et opérateurs de convolution",
6835:
89:
into the bounded invertible operators which is continuous for the
7156:, Graduate Texts in Mathematics, vol. 105, Springer-Verlag,
5718:
to the origin. For on any function vanishing on this finite set,
5316:), of a holomorphic family of uniformly bounded representations π
3539:
corresponds to the diagonal matrices in SU(1,1). Since evidently
7205:
Gelfand, I. M.; Graev, M. I.; Pyatetskii-Shapiro, I. I. (1969),
5278:, where an analogue of the complementary series is constructed.
5135:, and π is non-unitarizable uniformly bounded representation of
656:{\displaystyle \displaystyle {M=\sup _{g}\|T_{g}\|<\infty .}}
6823:(2009), "Non-unitarisable representations and random forests",
7107:
6757:"On uniformly bounded linear transformations in Hilbert space"
6683:
5455:' is obtained by erasing the last letter in the expression of
5285:
gave a related but simpler construction, on the
Hilbert space
830:{\displaystyle \displaystyle {(T_{g}x,T_{g}y)_{0}=(x,y)_{0}.}}
5329:
for |z| < 1; these are non-unitarizable when 1/√3 < |
2954:{\displaystyle \displaystyle {|\alpha |^{2}-|\beta |^{2}=1,}}
305:
is conjugate by a positive invertible operator to a unitary.
6911:, Progress in Mathematics, vol. 248, pp. 323–362,
5426:
5200:
4886:
4826:
4722:
4690:{\displaystyle \displaystyle {v_{1}=L_{-1}^{\prime }v_{0}.}}
4667:
4588:
4557:
4534:
4492:
4474:
4387:
4355:{\displaystyle \displaystyle {L_{i}^{\prime }=TL_{i}T^{-1}}}
4316:
3835:
3819:
3497:
3484:
3284:
3268:
3176:
2213:
2163:
Since, regarded as distributions, the
Fourier transform of |
2019:
7241:
Figà-Talamanca, Alessandro; Picardello, Massimo A. (1983),
7223:
Magnus, Wilhelm; Karrass, Abraham; Solitar, Donald (1976),
6382:
asked in 1950 whether amenable groups are characterized by
4758:{\displaystyle \displaystyle {L_{1}^{\prime }v_{1}=cv_{0}}}
501:{\displaystyle \displaystyle {(x,y)_{0}=\varphi (f_{x,y})}}
6438:
Is a directed union of unitarizable groups unitarizable?
5275:
4962:
must be real and positive. The formulas above show that
3189:
2822:
6987:
6575:
6555:
6535:
6515:
6487:
6467:
6447:
6237:
6236:
6162:
6161:
6024:
6023:
5757:
5756:
5595:
5594:
5480:
5479:
5374:
5373:
5364:
be the bounded operator defined on basis elements by
5295:
5165:
5164:
4972:
4971:
4782:
4781:
4710:
4709:
4639:
4638:
4459:
4458:
4375:
4374:
4304:
4303:
4007:
4006:
3807:
3806:
3604:
3603:
3437:
3436:
3256:
3255:
3169:
3168:
2978:
2977:
2895:
2894:
2809:
2808:
2558:
2557:
2375:
2374:
2189:
2188:
1995:
1994:
1670:
1669:
1605:
1604:
1526:
1525:
1425:
1424:
1240:
1239:
1142:
1141:
1027:
1026:
858:
857:
753:
752:
680:
679:
608:
607:
525:
524:
444:
443:
323:
322:
99:
71:
48:
25:
7125:
Non-abelian
Harmonic Analysis: Applications of SL(2,
6699:
6417:are non-unitarizable, as shown by Monod and Ozawa.
7183:, translated by Stillwell, John, Springer-Verlag,
7000:
6589:
6561:
6541:
6521:
6501:
6473:
6453:
6342:
6208:
6141:
6003:
5678:
5566:
5440:
5301:
5243:
5064:
4947:
4757:
4689:
4600:
4438:
4354:
4285:preserves the original inner product. The vectors
4255:
3959:
3766:
3512:
3408:
3227:
3140:
2953:
2874:
2739:
2519:
2340:
2152:
1940:
1649:
1581:
1498:
1404:
1198:are invertible, it follows that they are unitary.
1188:{\displaystyle \displaystyle {U_{g}=ST_{g}S^{-1}}}
1187:
1121:
994:
829:
732:
655:
587:
500:
411:
150:
77:
54:
31:
5689:In fact it is easy to check that the operator λ(
5577:is well-defined on finitely supported functions.
3576:
733:{\displaystyle \displaystyle {(x,y)_{0}=(Px,y).}}
426:of the uniformly bounded continuous functions on
178:, Day and Nakamura-Takeda to all locally compact
5105:) contains a subgroup of index 12 isomorphic to
2773:intertwines corresponding actions of SU(1,1) on
1650:{\displaystyle \displaystyle {f_{m}(t)=e^{imt}}}
1516:is integrable, this integral converges. In fact
617:
166:, i.e. conjugate by an invertible operator to a
101:
7207:Representation theory and automorphic functions
6888:Similarity Problems and Completely Bounded Maps
6361:has an eigenvalue which is not real. But then π
6209:{\displaystyle \displaystyle {Df=(3z+z^{-1})f}}
2361:The Cayley transform gives rise to an operator
2750:The Cayley transform exchanges the actions by
151:{\displaystyle \sup _{g\in G}\|T_{g}\|_{B(H)}}
6371:would be similar to a self-adjoint operator.
263:Then there is a positive invertible operator
8:
6729:
6684:Gelfand, Graev & Pyatetskii-Shapiro 1969
5885:
5790:
5784:
5759:
5619:
5597:
5578:
5274:. The first such examples are described in
4931:
4917:
4798:
4784:
3535:the subgroup of positive diagonal matrices.
1571:
1565:
1559:
1553:
1202:Examples of non-unitarizable representations
639:
626:
580:
574:
559:
552:
546:
540:
130:
116:
5734:) are equal; and they both leave invariant
1981:continuous functions of compact support on
666:So there is a positive invertible operator
6826:International Mathematics Research Notices
6740:
1230:continuous functions on the circle define
422:generate a separable unital C* subalgebra
7292:
7263:
7060:
7050:
7023:
6992:
6986:
6964:
6954:
6916:
6874:
6834:
6802:
6579:
6574:
6554:
6534:
6514:
6491:
6486:
6466:
6446:
6319:
6318:
6300:
6277:
6261:
6260:
6238:
6235:
6189:
6163:
6160:
6125:
6112:
6090:
6071:
6058:
6036:
6025:
6022:
5988:
5980:
5967:
5959:
5950:
5935:
5930:
5921:
5915:
5904:
5852:
5836:
5826:
5815:
5766:
5758:
5755:
5663:
5655:
5642:
5634:
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3989:by a uniformly bounded representation on
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3523:Polar decomposition shows that SL(2,R) =
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2212:
2207:
2190:
2187:
2179:, the above expression can be rewritten:
2138:
2131:
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133:
123:
104:
98:
70:
47:
24:
6651:
6636:
6529:is unitarizable? (It is elementary that
6435:of two unitarizable groups unitarizable?
6367:cannot be unitarizable, since otherwise
5112:the free group on two generators. Hence
1216:
186:) and the free group on two generators.
6656:
6613:
6606:
6420:Considerable progress has been made by
5097:) contains the discrete group Γ = SL(2,
1592:where the norms are the usual L norms.
313:By assumption the continuous functions
187:
6625:
5282:
5276:Figà-Talamanca & Picardello (1983)
5271:
5263:of finite covolume. In particular the
1951:Since these quantities are positive, (
844:be the unique positive square root of
6717:
6704:
6678:
6509:is unitarizable, does it follow that
4365:would satisfy the same relations for
2358:denote its Hilbert space completion.
7:
7227:(2nd ed.), Dover Publications,
6661:
6461:contains a normal amenable subgroup
5345:) denote the reduced word length on
250:the operator norms of the operators
7123:Howe, Roger; Tan, Eng-chye (1992),
6761:Acta Univ. Szeged. Sect. Sci. Math.
5151:; and then in turn invariant under
6700:Magnus, Karrass & Solitar 1976
5827:
5120:of finite covolume, isomorphic to
2351:Hence it is an inner product. Let
2244:
2239:
2058:
2053:
2040:
2035:
1898:
1872:
1828:
1802:
1222:In fact for 0 < σ < 1/2 and
645:
14:
7131:, Universitext, Springer-Verlag,
6909:Are Unitarizable Groups Amenable?
6804:10.1090/s0002-9947-1950-0044031-5
7243:Harmonic analysis on free groups
6981:Lohoué, N. (1980), "Estimations
3583:= σ + iτ, g lies in SU(1,1) and
3427:under the Cayley transform then
18:uniformly bounded representation
6409:A criterion due to Epstein and
5747:has finite support and norm 1,
5459:as a reduced word; identifying
5081:is unitarizable only if τ = 0.
3974:intertwines these two actions.
3577:Ehrenpreis & Mautner (1955)
7038:Journal of Functional Analysis
6332:
6320:
6313:
6307:
6297:
6287:
6271:
6265:
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5541:
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5520:
5504:
5498:
5492:
5352:for a given set of generators
5226:
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2261:
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2191:
2175:| for some positive constant C
2112:
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2087:
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2072:
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2010:
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707:
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682:
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474:
459:
446:
401:
353:
347:
341:
143:
137:
1:
7281:Annales de l'Institut Fourier
6935:Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.
7025:10.1016/0001-8708(80)90004-3
5085:Free group on two generators
4912:
3747:
3731:
3676:
3660:
3121:
3105:
3050:
3034:
2854:
2842:
2295:
2091:
1353:
7179:Serre, Jean-Pierre (1980),
7170:Serre, Jean-Pierre (1977),
6862:Tôhoku Mathematical Journal
5705:has finite rank, with range
4277:would have to commute with
7337:
5579:Pytlik & Szwarc (1986)
5143:, then its restriction to
2548:. Its adjoint is given by
2533:extends to an isometry of
511:is a new inner product on
7062:10.1016/j.jfa.2009.06.029
6772:Dixmier, Jacques (1950),
5466:with the vertices of its
7272:Szwarc, Ryszard (1988),
7105:Sugiura, Mitsuo (1990),
6730:Epstein & Monod 2009
91:strong operator topology
7011:Advances in Mathematics
6791:Trans. Amer. Math. Soc.
5075:so the representation π
7002:
6876:10.2748/tmj/1178245513
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6755:Sz-Nagy, Béla (1947),
6741:Monod & Ozawa 2010
6591:
6563:
6543:
6523:
6503:
6475:
6455:
6395:von Neumann conjecture
6344:
6210:
6143:
6005:
5920:
5831:
5680:
5568:
5442:
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4759:
4691:
4602:
4440:
4356:
4257:
3970:As before the unitary
3961:
3768:
3514:
3410:
3229:
3142:
2955:
2876:
2752:Möbius transformations
2741:
2521:
2342:
2154:
1942:
1741:
1651:
1583:
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1189:
1123:
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831:
734:
657:
589:
502:
413:
259:are uniformly bounded.
168:unitary representation
152:
79:
56:
33:
7321:Representation theory
7003:
7001:{\displaystyle L^{p}}
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6564:
6544:
6524:
6504:
6476:
6456:
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5681:
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5443:
5304:
5302:{\displaystyle \ell }
5246:
5067:
4950:
4772:. On the other hand,
4760:
4692:
4603:
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4357:
4258:
3962:
3769:
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2956:
2877:
2742:
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1943:
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1124:
997:
832:
735:
658:
590:
503:
414:
297:As a consequence, if
286:is unitary for every
215:be a homomorphism of
202:be a locally compact
153:
80:
57:
41:locally compact group
34:
7172:Cours d'arithmétique
6985:
6573:
6553:
6533:
6513:
6485:
6465:
6445:
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6159:
6021:
5754:
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5371:
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3571:complementary series
3434:
3253:
3166:
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2892:
2806:
2799:in SU(1,1) given by
2555:
2372:
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1992:
1667:
1660:are orthogonal with
1602:
1523:
1422:
1237:
1213:complementary series
1139:
1132:Since the operators
1024:
855:
750:
677:
605:
522:
441:
320:
160:Béla Szőkefalvi-Nagy
97:
69:
46:
23:
7316:Functional analysis
6947:1955PNAS...41..231E
6927:2004math......5282P
6845:10.1093/imrn/rnp090
6657:Howe & Tan 1992
6590:{\displaystyle G/N}
6549:is unitarizable if
6502:{\displaystyle G/N}
5139:on a Hilbert space
4890:
4830:
4726:
4671:
4592:
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2217:
2062:
2044:
2023:
1509:Since the function
1324:
1306:
397:
373:
158:is finite. In 1947
7265:10.1007/bf02392596
7209:, Academic Press,
6998:
6664:, pp. 122–123
6616:, pp. 391–393
6587:
6559:
6539:
6519:
6499:
6471:
6451:
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6339:
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6139:
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6000:
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5675:
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5563:
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4876:
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4768:for some constant
4755:
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4252:
3978:acts unitarily on
3957:
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3809:
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