29:
4886:
2465:
448:
2212:
267:
2460:{\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\,\mapsto {\begin{bmatrix}1&a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n-1}&a_{n}\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&0\\0&0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}}
1898:
1747:
1596:
2146:
1104:
1445:
443:{\displaystyle \mathbb {U} _{n}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&\cdots &*&*\\0&1&\cdots &*&*\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&*\\0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}\right\}.}
3137:
689:
1752:
1601:
1450:
2014:
964:
1310:
2557:
2003:
2632:
2824:
3201:
of any given dimension can in principle be classified, but in practice the complexity of the classification increases very rapidly with the dimension, so people tend to give up somewhere around dimension 6.
2204:
2708:
3344:
3762:
There is also a version of the Jordan decomposition for groups: any commutative linear algebraic group over a perfect field is the product of a unipotent group and a semisimple group.
1273:
1186:
3051:
2881:
2936:
2497:
1941:
953:
805:
521:
488:
232:
3164:
2905:
2664:
2735:
4544:
3434:
2972:
2998:
1893:{\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(3)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}
1742:{\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(2)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&*\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}
1591:{\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(1)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&*&*\\0&1&0&*\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}
532:
3043:
886:
859:
832:
2141:{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&b\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&a+b\\0&1\end{bmatrix}}}
3540:
1302:
1099:{\displaystyle \mathbb {U} _{n}=\mathbb {U} _{n}^{(0)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(1)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(2)}\supset \cdots \supset \mathbb {U} _{n}^{(m)}=e}
3668:
3648:
3624:
3602:
3582:
3562:
3509:
3489:
3454:
3407:
3387:
3367:
3279:
1440:{\displaystyle \mathbb {U} _{4}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*&*\\0&1&*&*\\0&0&1&*\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}
256:
4758:
3008:
904:
then it has a non-zero fixed vector. In fact, the latter property characterizes unipotent groups. In particular, this implies there are no non-trivial
3977:
4849:
3755:
matrix is conjugate to the product of a diagonal matrix and an upper triangular one, which is (more or less) the multiplicative version of the
2508:
1949:
4768:
4534:
50:
2568:
3756:
3684:
2743:
3857:
72:
2883:
such that the iterated adjoint action eventually terminates to the zero-map. In terms of matrices, this means it is a subalgebra
2154:
4569:
3627:
4116:
16:
This article is about the algebraic term. For a biological cell having the capacity to develop into only one cell type, see
3949:
3931:
3910:
3222:
4333:
3970:
3170:
4408:
3944:
3926:
3905:
2672:
3781:
43:
37:
4564:
4086:
3299:
3198:
4932:
4668:
4539:
4453:
3004:
905:
137:
54:
4773:
4663:
4371:
4051:
3776:
3007:
of finite-dimensional nilpotent Lie algebras and unipotent algebraic groups. This can be constructed using the
2842:
3233:, and contains all other such subgroups. A group is called reductive if its unipotent radical is trivial. If
3132:{\displaystyle H:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}{\text{ where }}(X,Y)\mapsto H(X,Y)}
1191:
1115:
4808:
4737:
4619:
4479:
4076:
3963:
235:
4927:
4678:
4261:
4066:
3282:
2852:
2830:
720:
2910:
4624:
4361:
4211:
4206:
4041:
4016:
4011:
3868:
2846:
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3939:
2473:
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497:
464:
208:
4922:
4818:
4176:
4006:
3986:
3921:
3290:
3145:
2886:
956:
491:
259:
182:
2645:
4839:
4813:
4391:
4196:
4186:
3250:
203:
4890:
4844:
4834:
4788:
4783:
4712:
4648:
4514:
4251:
4246:
4181:
4171:
4036:
3885:
3830:
2713:
97:
684:{\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} \!\left}{(x_{ii}=1,x_{i>j}=0)}}\right)}
4901:
4688:
4683:
4673:
4653:
4614:
4609:
4438:
4433:
4418:
4413:
4404:
4399:
4346:
4241:
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4136:
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4101:
4081:
4071:
4031:
3917:
3896:
3853:
3412:
3246:
2941:
762:
108:
2977:
738:. (Locally unipotent means that its restriction to any finite-dimensional stable subspace of
4896:
4864:
4793:
4732:
4727:
4707:
4643:
4549:
4519:
4504:
4489:
4484:
4423:
4376:
4351:
4341:
4312:
4231:
4226:
4201:
4131:
4111:
4021:
4001:
3877:
3013:
754:
753:
to a closed subgroup of the group of upper triangular matrices with diagonal entries 1, and
174:
864:
837:
810:
4594:
4529:
4509:
4494:
4474:
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4236:
4121:
4091:
3771:
3720:
3286:
3215:
758:
707:
3517:
1281:
3249:, but the statement of how they decompose depends upon the characteristic of their base
4854:
4798:
4778:
4763:
4722:
4599:
4559:
4524:
4448:
4387:
4366:
4307:
4297:
4282:
4216:
4161:
4151:
4146:
4056:
3752:
3653:
3633:
3609:
3587:
3567:
3547:
3494:
3474:
3439:
3392:
3372:
3352:
3264:
897:
694:
and an affine group scheme is unipotent if it is a closed group scheme of this scheme.
241:
167:
133:
4916:
4859:
4717:
4658:
4589:
4579:
4574:
4499:
4428:
4302:
4292:
4221:
4141:
4126:
4061:
3807:
3694:
3245:
Algebraic groups can be decomposed into unipotent groups, multiplicative groups, and
123:
4742:
4699:
4604:
4317:
4256:
4166:
4046:
3863:
901:
524:
17:
3261:
Over characteristic 0 there is a nice decomposition theorem of an algebraic group
4584:
4554:
4322:
4156:
4026:
3178:
2667:
86:
2845:
0 there is a nice classification of unipotent algebraic groups with respect to
4635:
4096:
750:
731:
152:
900:, all its orbits are closed, and if it acts linearly on a finite-dimensional
4869:
3829:
Brion, Michel (2016-09-27). "Commutative algebraic groups up to isogeny".
4803:
458:
3889:
3671:
2552:{\displaystyle {\mathcal {O}}:{\textbf {Sch}}^{op}\to {\textbf {Sets}}}
2500:
2151:
hence this is a group embedding. More generally, there is an embedding
1998:{\displaystyle a\mapsto {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}
757:
any such subgroup is unipotent. In particular any unipotent group is a
3409:
is, geometrically, a product of tori and algebraic groups of the form
3173:
takes any nilpotent square matrix to a unipotent matrix. Moreover, if
3881:
749:
if all its elements are unipotent. Any unipotent algebraic group is
3835:
2627:{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(X)}
3045:, where given a finite-dimensional nilpotent Lie algebra, the map
3955:
3177:
is a commutative unipotent group, the exponential map induces an
2819:{\displaystyle \alpha _{p}(X)=\{x\in {\mathcal {O}}(X):x^{p}=0\}}
3959:
2849:. Recall that a nilpotent Lie algebra is a subalgebra of some
22:
710:
is unipotent when its associated right translation operator,
2780:
2651:
2604:
2584:
2514:
2199:{\displaystyle \mathbb {G} _{a}^{n}\to \mathbb {U} _{n+1}}
2837:
Classification of unipotent groups over characteristic 0
3471:
there is an analogous statement for an algebraic group
1278:
there are associated unipotent groups. For example, on
761:, though the converse is not true (counterexample: the
2260:
2101:
2062:
2023:
1964:
1791:
1640:
1489:
1338:
295:
162:
means that some power is unipotent, for example for a
3656:
3636:
3612:
3590:
3570:
3550:
3520:
3497:
3477:
3442:
3415:
3395:
3375:
3355:
3302:
3267:
3148:
3054:
3016:
2980:
2944:
2913:
2889:
2855:
2746:
2716:
2675:
2648:
2571:
2511:
2476:
2215:
2157:
2017:
1952:
1920:
1755:
1604:
1453:
1313:
1284:
1194:
1118:
967:
932:
867:
840:
813:
784:
535:
500:
467:
270:
244:
211:
4827:
4751:
4697:
4633:
4467:
4385:
4331:
4270:
3994:
3662:
3642:
3618:
3596:
3576:
3556:
3534:
3503:
3483:
3448:
3428:
3401:
3381:
3361:
3338:
3273:
3158:
3131:
3037:
2992:
2966:
2930:
2899:
2875:
2818:
2729:
2702:
2658:
2626:
2551:
2491:
2459:
2198:
2140:
1997:
1935:
1892:
1741:
1590:
1439:
1296:
1267:
1180:
1098:
947:
880:
853:
826:
799:
730:is locally unipotent as an element of the ring of
683:
515:
482:
442:
250:
226:
3229:. It is a connected unipotent normal subgroup of
1903:given some induced examples of unipotent groups.
742:is unipotent in the usual ring-theoretic sense.)
553:
2703:{\displaystyle {\textbf {Sch}}/\mathbb {F} _{p}}
258:'s along the diagonal, so they are the group of
3815:. pp. 252–253, Unipotent algebraic groups.
3142:gives a Unipotent algebraic group structure on
3971:
3751:), this essentially says that any invertible
3467:When the characteristic of the base field is
3339:{\displaystyle 0\to M\times U\to G\to A\to 0}
3281:relating its structure to the structure of a
189:is then a group with all elements unipotent.
8:
2813:
2769:
778:For example, the standard representation of
181:if it acts unipotently in a certain natural
1943:is a unipotent group through the embedding
1304:, the central series are the matrix groups
4545:Fundamental (linear differential equation)
3978:
3964:
3956:
3237:is reductive then its radical is a torus.
3866:(1956), "Groupes linéaires algébriques",
3834:
3655:
3635:
3611:
3589:
3569:
3549:
3524:
3519:
3496:
3476:
3441:
3420:
3414:
3394:
3374:
3354:
3301:
3266:
3150:
3149:
3147:
3088:
3082:
3081:
3072:
3071:
3062:
3061:
3053:
3015:
2979:
2949:
2943:
2922:
2916:
2915:
2912:
2891:
2890:
2888:
2867:
2858:
2857:
2854:
2801:
2779:
2778:
2751:
2745:
2721:
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2694:
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2689:
2683:
2677:
2676:
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2647:
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2530:
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1460:
1456:
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1226:
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1169:
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1120:
1117:
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1073:
1069:
1068:
1046:
1041:
1037:
1036:
1020:
1015:
1011:
1010:
994:
989:
985:
984:
974:
970:
969:
966:
939:
935:
934:
931:
872:
866:
845:
839:
818:
812:
791:
787:
786:
783:
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631:
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576:
563:
549:
548:
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534:
507:
503:
502:
499:
474:
470:
469:
466:
290:
277:
273:
272:
269:
243:
218:
214:
213:
210:
73:Learn how and when to remove this message
3221:is the set of unipotent elements in the
36:This article includes a list of general
4850:Matrix representation of conic sections
3793:
3697:can be written uniquely as the product
2008:Notice the matrix multiplication gives
1268:{\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(2)}=}
1181:{\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(1)}=}
3564:is an extension of an abelian variety
892:Definition with representation theory
7:
3824:
3822:
3801:
3799:
3797:
3389:is of multiplicative type (meaning,
2876:{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}
2829:so it is given by the kernel of the
745:An affine algebraic group is called
3876:(1), Annals of Mathematics: 20–82,
3693:of a linear algebraic group over a
3491:: there exists a smallest subgroup
3151:
3083:
3073:
3063:
2931:{\displaystyle {\mathfrak {n}}_{n}}
2917:
2892:
2862:
2859:
2678:
2544:
2525:
115: − 1) is zero for some
42:it lacks sufficient corresponding
14:
3241:Decomposition of algebraic groups
926:Of course, the group of matrices
4884:
2492:{\displaystyle \mathbb {G} _{a}}
1936:{\displaystyle \mathbb {G} _{a}}
948:{\displaystyle \mathbb {U} _{n}}
896:If a unipotent group acts on an
800:{\displaystyle \mathbb {U} _{n}}
516:{\displaystyle \mathbb {U} _{n}}
483:{\displaystyle \mathbb {U} _{n}}
227:{\displaystyle \mathbb {U} _{n}}
187:unipotent affine algebraic group
27:
4752:Used in science and engineering
3159:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
3009:Baker–Campbell–Hausdorff series
2900:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
155:of a unipotent matrix are 1.
3995:Explicitly constrained entries
3757:Jordan–Chevalley decomposition
3685:Jordan–Chevalley decomposition
3330:
3324:
3318:
3306:
3126:
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1001:
995:
671:
624:
166:with eigenvalues that are all
151: − 1. Thus all the
18:Cell potency § Unipotency
1:
4769:Fundamental (computer vision)
3741:. In the case of the group GL
4535:Duplication and elimination
4334:eigenvalues or eigenvectors
3945:Encyclopedia of Mathematics
3927:Encyclopedia of Mathematics
3906:Encyclopedia of Mathematics
3719:of commuting unipotent and
3169:In the other direction the
2730:{\displaystyle \alpha _{p}}
698:Definition with ring theory
4949:
4468:With specific applications
4097:Discrete Fourier Transform
3938:Suprunenko, D.A. (2001) ,
3682:
3199:algebraically closed field
2710:, there is the subfunctor
906:semisimple representations
15:
4878:
4759:Cabibbo–Kobayashi–Maskawa
4386:Satisfying conditions on
3197:Unipotent groups over an
3005:equivalence of categories
236:upper-triangular matrices
138:characteristic polynomial
3777:Unipotent representation
3429:{\displaystyle \mu _{n}}
3181:from the Lie algebra of
2967:{\displaystyle a_{ij}=0}
955:is unipotent. Using the
198:Definition with matrices
4117:Generalized permutation
3850:Linear algebraic groups
3809:Linear Algebraic Groups
3604:of multiplicative type.
3369:is an abelian variety,
2993:{\displaystyle i\leq j}
2638:Kernel of the Frobenius
57:more precise citations.
4891:Mathematics portal
3782:Deligne–Lusztig theory
3664:
3644:
3620:
3598:
3578:
3558:
3536:
3505:
3485:
3456:is a unipotent group.
3450:
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3403:
3383:
3363:
3340:
3283:linear algebraic group
3275:
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721:affine coordinate ring
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523:can be defined as the
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444:
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457:can be defined as a
268:
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183:group representation
4840:Linear independence
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732:linear endomorphism
111:; in other words, (
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4669:Fisher information
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4454:Totally unimodular
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3003:Then, there is an
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4902:Category:Matrices
4774:Fuzzy associative
4664:Doubly stochastic
4372:Positive-definite
4052:Block tridiagonal
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3872:, Second Series,
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3557:{\displaystyle H}
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3402:{\displaystyle M}
3382:{\displaystyle M}
3362:{\displaystyle A}
3274:{\displaystyle G}
3247:abelian varieties
3212:unipotent radical
3206:Unipotent radical
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3090: where
2680:
2546:
2527:
763:diagonal matrices
675:
615:
614:
539:
251:{\displaystyle 1}
173:In the theory of
122:In particular, a
109:nilpotent element
103:is one such that
91:unipotent element
83:
82:
75:
4940:
4933:Algebraic groups
4897:List of matrices
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4888:
4865:Row echelon form
4809:State transition
4738:Seidel adjacency
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4480:Alternating sign
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3641:
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3626:is unique up to
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2555:
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2547:
2538:
2537:
2529:
2528:
2518:
2517:
2499:is given by the
2498:
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2495:
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2488:
2487:
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175:algebraic groups
147:) is a power of
131:unipotent matrix
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53:this article by
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