40:
4897:
2476:
459:
2223:
278:
2471:{\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\,\mapsto {\begin{bmatrix}1&a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n-1}&a_{n}\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&0\\0&0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}}
1909:
1758:
1607:
2157:
1115:
1456:
454:{\displaystyle \mathbb {U} _{n}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&\cdots &*&*\\0&1&\cdots &*&*\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&*\\0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}\right\}.}
3148:
700:
1763:
1612:
1461:
2025:
975:
1321:
2568:
2014:
2643:
2835:
3212:
of any given dimension can in principle be classified, but in practice the complexity of the classification increases very rapidly with the dimension, so people tend to give up somewhere around dimension 6.
2215:
2719:
3355:
3773:
There is also a version of the Jordan decomposition for groups: any commutative linear algebraic group over a perfect field is the product of a unipotent group and a semisimple group.
1284:
1197:
3062:
2892:
2947:
2508:
1952:
964:
816:
532:
499:
243:
3175:
2916:
2675:
2746:
4555:
3445:
2983:
3009:
1904:{\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(3)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}
1753:{\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(2)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&*\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}
1602:{\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(1)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&*&*\\0&1&0&*\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}
543:
3054:
897:
870:
843:
2152:{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&b\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&a+b\\0&1\end{bmatrix}}}
3551:
1313:
1110:{\displaystyle \mathbb {U} _{n}=\mathbb {U} _{n}^{(0)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(1)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(2)}\supset \cdots \supset \mathbb {U} _{n}^{(m)}=e}
3679:
3659:
3635:
3613:
3593:
3573:
3520:
3500:
3465:
3418:
3398:
3378:
3290:
1451:{\displaystyle \mathbb {U} _{4}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*&*\\0&1&*&*\\0&0&1&*\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}
267:
4769:
3019:
915:
then it has a non-zero fixed vector. In fact, the latter property characterizes unipotent groups. In particular, this implies there are no non-trivial
3988:
4860:
3766:
matrix is conjugate to the product of a diagonal matrix and an upper triangular one, which is (more or less) the multiplicative version of the
2519:
1960:
4779:
4545:
61:
2579:
3767:
3695:
2754:
3868:
83:
2894:
such that the iterated adjoint action eventually terminates to the zero-map. In terms of matrices, this means it is a subalgebra
2165:
4580:
3638:
4127:
27:
This article is about the algebraic term. For a biological cell having the capacity to develop into only one cell type, see
3960:
3942:
3921:
3233:
4344:
3981:
3181:
4419:
3955:
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2683:
3792:
54:
48:
4575:
4097:
3310:
3209:
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4679:
4550:
4464:
3015:
916:
148:
65:
4784:
4674:
4382:
4062:
3787:
3018:
of finite-dimensional nilpotent Lie algebras and unipotent algebraic groups. This can be constructed using the
2853:
3244:, and contains all other such subgroups. A group is called reductive if its unipotent radical is trivial. If
3143:{\displaystyle H:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}{\text{ where }}(X,Y)\mapsto H(X,Y)}
1202:
1126:
4819:
4748:
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4490:
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3974:
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4635:
4372:
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4829:
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3997:
3932:
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3156:
2897:
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193:
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4845:
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4794:
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4659:
4525:
4262:
4257:
4192:
4182:
4047:
3896:
3841:
2724:
108:
695:{\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} \!\left}{(x_{ii}=1,x_{i>j}=0)}}\right)}
4912:
4699:
4694:
4684:
4664:
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3907:
3864:
3423:
3257:
2952:
773:
119:
2988:
749:. (Locally unipotent means that its restriction to any finite-dimensional stable subspace of
4907:
4875:
4804:
4743:
4738:
4718:
4654:
4560:
4530:
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4500:
4495:
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4352:
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4142:
4122:
4032:
4012:
3888:
3024:
765:
764:
to a closed subgroup of the group of upper triangular matrices with diagonal entries 1, and
185:
875:
848:
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4605:
4540:
4520:
4505:
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3782:
3731:
3297:
3226:
769:
718:
3528:
1292:
3260:, but the statement of how they decompose depends upon the characteristic of their base
4865:
4809:
4789:
4774:
4733:
4610:
4570:
4535:
4459:
4398:
4377:
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4162:
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3644:
3620:
3598:
3578:
3558:
3505:
3485:
3450:
3403:
3383:
3363:
3275:
908:
705:
and an affine group scheme is unipotent if it is a closed group scheme of this scheme.
252:
178:
144:
4927:
4870:
4728:
4669:
4600:
4590:
4585:
4510:
4439:
4313:
4303:
4232:
4152:
4137:
4072:
3818:
3705:
3256:
Algebraic groups can be decomposed into unipotent groups, multiplicative groups, and
134:
4753:
4710:
4615:
4328:
4267:
4177:
4057:
3874:
912:
535:
28:
3272:
Over characteristic 0 there is a nice decomposition theorem of an algebraic group
4595:
4565:
4333:
4167:
4037:
3189:
2678:
97:
2856:
0 there is a nice classification of unipotent algebraic groups with respect to
17:
4646:
4107:
761:
742:
163:
911:, all its orbits are closed, and if it acts linearly on a finite-dimensional
4880:
3840:
Brion, Michel (2016-09-27). "Commutative algebraic groups up to isogeny".
4814:
469:
3900:
3682:
2563:{\displaystyle {\mathcal {O}}:{\textbf {Sch}}^{op}\to {\textbf {Sets}}}
2511:
2162:
hence this is a group embedding. More generally, there is an embedding
2009:{\displaystyle a\mapsto {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}
768:
any such subgroup is unipotent. In particular any unipotent group is a
3420:
is, geometrically, a product of tori and algebraic groups of the form
3184:
takes any nilpotent square matrix to a unipotent matrix. Moreover, if
3892:
760:
if all its elements are unipotent. Any unipotent algebraic group is
3846:
2638:{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(X)}
3056:, where given a finite-dimensional nilpotent Lie algebra, the map
3966:
3188:
is a commutative unipotent group, the exponential map induces an
2830:{\displaystyle \alpha _{p}(X)=\{x\in {\mathcal {O}}(X):x^{p}=0\}}
3970:
2860:. Recall that a nilpotent Lie algebra is a subalgebra of some
33:
721:
is unipotent when its associated right translation operator,
2791:
2662:
2615:
2595:
2525:
2210:{\displaystyle \mathbb {G} _{a}^{n}\to \mathbb {U} _{n+1}}
2848:
Classification of unipotent groups over characteristic 0
3482:
there is an analogous statement for an algebraic group
1289:
there are associated unipotent groups. For example, on
772:, though the converse is not true (counterexample: the
2271:
2112:
2073:
2034:
1975:
1802:
1651:
1500:
1349:
306:
173:
means that some power is unipotent, for example for a
3667:
3647:
3623:
3601:
3581:
3561:
3531:
3508:
3488:
3453:
3426:
3406:
3386:
3366:
3313:
3278:
3159:
3065:
3027:
2991:
2955:
2924:
2900:
2866:
2757:
2727:
2686:
2659:
2582:
2522:
2487:
2226:
2168:
2028:
1963:
1931:
1766:
1615:
1464:
1324:
1295:
1205:
1129:
978:
943:
878:
851:
824:
795:
546:
511:
478:
281:
255:
222:
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4762:
4708:
4644:
4478:
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4281:
4005:
3673:
3653:
3629:
3607:
3587:
3567:
3545:
3514:
3494:
3459:
3439:
3412:
3392:
3372:
3349:
3284:
3169:
3142:
3048:
3003:
2977:
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2886:
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2713:
2669:
2637:
2562:
2502:
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2209:
2151:
2008:
1946:
1903:
1752:
1601:
1450:
1307:
1278:
1191:
1109:
958:
891:
864:
837:
810:
741:is locally unipotent as an element of the ring of
694:
526:
493:
453:
261:
237:
3240:. It is a connected unipotent normal subgroup of
1914:given some induced examples of unipotent groups.
753:is unipotent in the usual ring-theoretic sense.)
564:
2714:{\displaystyle {\textbf {Sch}}/\mathbb {F} _{p}}
269:'s along the diagonal, so they are the group of
3826:. pp. 252–253, Unipotent algebraic groups.
3153:gives a Unipotent algebraic group structure on
3982:
3762:), this essentially says that any invertible
3478:When the characteristic of the base field is
3350:{\displaystyle 0\to M\times U\to G\to A\to 0}
3292:relating its structure to the structure of a
200:is then a group with all elements unipotent.
8:
2824:
2780:
789:For example, the standard representation of
192:if it acts unipotently in a certain natural
1954:is a unipotent group through the embedding
1315:, the central series are the matrix groups
4556:Fundamental (linear differential equation)
3989:
3975:
3967:
3248:is reductive then its radical is a torus.
3877:(1956), "Groupes linéaires algébriques",
3845:
3666:
3646:
3622:
3600:
3580:
3560:
3535:
3530:
3507:
3487:
3452:
3431:
3425:
3405:
3385:
3365:
3312:
3277:
3161:
3160:
3158:
3099:
3093:
3092:
3083:
3082:
3073:
3072:
3064:
3026:
2990:
2960:
2954:
2933:
2927:
2926:
2923:
2902:
2901:
2899:
2878:
2869:
2868:
2865:
2812:
2790:
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2762:
2756:
2732:
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1471:
1467:
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1237:
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284:
283:
280:
254:
229:
225:
224:
221:
84:Learn how and when to remove this message
3232:is the set of unipotent elements in the
47:This article includes a list of general
4861:Matrix representation of conic sections
3804:
3708:can be written uniquely as the product
2019:Notice the matrix multiplication gives
1279:{\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(2)}=}
1192:{\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(1)}=}
3575:is an extension of an abelian variety
903:Definition with representation theory
7:
3835:
3833:
3812:
3810:
3808:
3400:is of multiplicative type (meaning,
2887:{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}
2840:so it is given by the kernel of the
756:An affine algebraic group is called
3887:(1), Annals of Mathematics: 20–82,
3704:of a linear algebraic group over a
3502:: there exists a smallest subgroup
3162:
3094:
3084:
3074:
2942:{\displaystyle {\mathfrak {n}}_{n}}
2928:
2903:
2873:
2870:
2689:
2555:
2536:
126: − 1) is zero for some
53:it lacks sufficient corresponding
25:
3252:Decomposition of algebraic groups
937:Of course, the group of matrices
4895:
2503:{\displaystyle \mathbb {G} _{a}}
1947:{\displaystyle \mathbb {G} _{a}}
959:{\displaystyle \mathbb {U} _{n}}
907:If a unipotent group acts on an
811:{\displaystyle \mathbb {U} _{n}}
527:{\displaystyle \mathbb {U} _{n}}
494:{\displaystyle \mathbb {U} _{n}}
238:{\displaystyle \mathbb {U} _{n}}
198:unipotent affine algebraic group
38:
4763:Used in science and engineering
3170:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
3020:Baker–Campbell–Hausdorff series
2911:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
166:of a unipotent matrix are 1.
4006:Explicitly constrained entries
3768:Jordan–Chevalley decomposition
3696:Jordan–Chevalley decomposition
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635:
177:with eigenvalues that are all
162: − 1. Thus all the
29:Cell potency § Unipotency
1:
4780:Fundamental (computer vision)
3752:. In the case of the group GL
4546:Duplication and elimination
4345:eigenvalues or eigenvectors
3956:Encyclopedia of Mathematics
3938:Encyclopedia of Mathematics
3917:Encyclopedia of Mathematics
3730:of commuting unipotent and
3180:In the other direction the
2741:{\displaystyle \alpha _{p}}
709:Definition with ring theory
4960:
4479:With specific applications
4108:Discrete Fourier Transform
3949:Suprunenko, D.A. (2001) ,
3693:
3210:algebraically closed field
2721:, there is the subfunctor
917:semisimple representations
26:
4889:
4770:Cabibbo–Kobayashi–Maskawa
4397:Satisfying conditions on
3208:Unipotent groups over an
3016:equivalence of categories
247:upper-triangular matrices
149:characteristic polynomial
3788:Unipotent representation
3440:{\displaystyle \mu _{n}}
3192:from the Lie algebra of
2978:{\displaystyle a_{ij}=0}
966:is unipotent. Using the
209:Definition with matrices
4128:Generalized permutation
3861:Linear algebraic groups
3820:Linear Algebraic Groups
3615:of multiplicative type.
3380:is an abelian variety,
3004:{\displaystyle i\leq j}
2649:Kernel of the Frobenius
68:more precise citations.
4902:Mathematics portal
3793:Deligne–Lusztig theory
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3655:
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93:
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