2336:
2009:
3725:
2331:{\displaystyle {\begin{array}{ccccccccccccccc}A&&&&&&&\subseteq &&&&&&&B^{\complement }\\A&&&\subseteq &&&\ U(1/2)&\subseteq &V(1/2)&&&\subseteq &&&B^{\complement }\\A&\subseteq &U(1/4)&\subseteq &V(1/4)&\subseteq &U(1/2)&\subseteq &V(1/2)&\subseteq &U(3/4)&\subseteq &V(3/4)&\subseteq &B^{\complement }\end{array}}}
3508:
3746:
3714:
1274:
3783:
3756:
3736:
91:
2902:
2727:
779:
is a topological space in which any two disjoint closed sets can be separated by neighbourhoods. Urysohn's lemma states that a topological space is normal if and only if any two disjoint closed sets can be separated by a continuous function.
2719:
1034:
Urysohn's lemma has led to the formulation of other topological properties such as the 'Tychonoff property' and 'completely
Hausdorff spaces'. For example, a corollary of the lemma is that normal
1447:
1760:
2897:{\displaystyle V\left({\frac {a}{2^{n}}}\right)\subseteq U\left({\frac {2a+1}{2^{n+1}}}\right)\subseteq V\left({\frac {2a+1}{2^{n+1}}}\right)\subseteq U\left({\frac {a+1}{2^{n}}}\right)}
2602:
3063:
2545:
2497:
2385:
3222:
3178:
1919:
1826:
1557:
1718:
2978:
2014:
1369:
1264:
1602:
1220:
879:
2449:
1179:
560:
380:
3089:
2943:
2420:
1875:
902:
531:
496:
470:
3109:
3251:
1981:
1952:
1660:
1631:
2632:
1135:
965:
607:
3786:
3137:
2998:
2652:
2001:
1846:
1780:
1680:
1530:
1510:
1490:
1470:
1409:
1389:
1343:
1319:
1299:
1112:
1092:
1072:
1025:
1005:
985:
942:
922:
843:
821:
801:
770:
750:
730:
710:
690:
670:
647:
627:
584:
400:
329:
309:
286:
266:
246:
226:
206:
186:
159:
136:
116:
435:
3807:
57:
Urysohn's lemma is commonly used to construct continuous functions with various properties on normal spaces. It is widely applicable since all
3328:
3420:
3774:
3769:
3355:
824:
3764:
2657:
336:
3822:
3666:
3382:
1414:
3377:
162:
1723:
3817:
3674:
79:
2550:
3745:
3473:
166:
69:
3003:
3759:
332:
47:
2502:
2454:
2348:
3694:
3689:
3615:
3492:
3480:
3453:
3413:
3183:
2342:
3142:
3536:
3463:
1880:
1787:
3724:
1535:
3684:
3636:
3610:
3458:
1688:
2948:
1281:
The proof proceeds by repeatedly applying the following alternate characterization of normality. If
3735:
3531:
3372:
51:
28:
1348:
3729:
3679:
3600:
3590:
3468:
3448:
3320:
1225:
1569:
1184:
849:
3717:
3583:
3541:
3406:
3351:
3334:
3324:
139:
32:
2428:
1140:
536:
341:
3497:
3443:
3068:
2913:
2390:
1854:
884:
692:
are separated by a function then so are their closures. Also it follows that if two subsets
501:
475:
440:
3094:
3812:
3556:
3551:
3393:
3227:
1957:
1928:
1636:
1607:
1563:
1512:. The main idea of the proof is to repeatedly apply this characterization of normality to
1043:
65:
2611:
1117:
947:
589:
3646:
3578:
3122:
2983:
2637:
1986:
1831:
1765:
1665:
1515:
1495:
1475:
1455:
1394:
1374:
1328:
1304:
1284:
1097:
1077:
1057:
1010:
990:
970:
927:
907:
828:
806:
786:
755:
735:
715:
695:
675:
655:
632:
612:
569:
385:
314:
294:
271:
251:
231:
211:
191:
171:
144:
121:
101:
3260:
has completely formalised and automatically checked a proof of
Urysohn's lemma in the
408:
3801:
3656:
3566:
3546:
3316:
2605:
403:
76:
62:
40:
3749:
3641:
3561:
3507:
3389:
3257:
1028:
776:
58:
36:
1273:
3310:
3739:
3651:
68:
are normal. The lemma is generalised by (and usually used in the proof of) the
3595:
3526:
3485:
43:
3620:
3273:
3116:
3261:
3338:
90:
3605:
3573:
3522:
3429:
1322:
1035:
20:
1074:
is normal if and only if, for any two non-empty closed disjoint subsets
3112:
89:
3402:
1277:
Illustration of the first few sets built as part of the proof.
3398:
16:
Characterization of normal spaces by continuous functions
3394:
http://mizar.org/version/current/html/urysohn3.html#T20
2714:{\displaystyle a\in \left\{0,1,\ldots ,2^{n}-1\right\}}
3230:
3186:
3145:
3125:
3097:
3071:
3006:
2986:
2951:
2916:
2730:
2721:, we can find an open set and a closed set such that
2660:
2640:
2614:
2553:
2505:
2457:
2431:
2393:
2351:
2012:
1989:
1960:
1931:
1883:
1857:
1834:
1790:
1768:
1726:
1691:
1668:
1639:
1610:
1572:
1559:, continuing with the new sets built on every step.
1538:
1518:
1498:
1478:
1458:
1417:
1397:
1377:
1351:
1331:
1307:
1287:
1228:
1187:
1143:
1120:
1100:
1080:
1060:
1013:
993:
973:
950:
930:
910:
887:
852:
831:
809:
789:
758:
738:
718:
698:
678:
658:
635:
615:
592:
572:
539:
504:
478:
443:
411:
388:
344:
317:
297:
274:
254:
234:
214:
194:
174:
147:
124:
104:
1027:
are precisely separated by a continuous function is
3665:
3629:
3515:
3436:
3245:
3216:
3172:
3131:
3103:
3083:
3057:
2992:
2972:
2937:
2896:
2713:
2646:
2626:
2596:
2539:
2491:
2443:
2414:
2379:
2330:
1995:
1975:
1946:
1913:
1869:
1840:
1820:
1774:
1754:
1712:
1674:
1654:
1625:
1596:
1551:
1524:
1504:
1484:
1464:
1442:{\displaystyle Y\subseteq U\subseteq V\subseteq Z}
1441:
1403:
1383:
1363:
1337:
1313:
1293:
1258:
1214:
1173:
1129:
1106:
1086:
1066:
1019:
999:
979:
959:
936:
916:
896:
873:
837:
815:
795:
764:
744:
724:
704:
684:
664:
641:
621:
601:
578:
554:
525:
490:
464:
429:
394:
374:
323:
303:
280:
260:
240:
220:
200:
180:
153:
130:
110:
3098:
3022:
846:, i.e., it is not necessary and guaranteed that
3115:. Using the fact that the dyadic rationals are
2907:The above three conditions are then verified.
2345:. For the base step, we define two extra sets
1755:{\displaystyle V(r)\subseteq B^{\complement }}
3414:
8:
3208:
3202:
3167:
3161:
3052:
3025:
2591:
2560:
1250:
1244:
1209:
1203:
987:in which every two disjoint closed subsets
3782:
3755:
3421:
3407:
3399:
2597:{\displaystyle k\in \{1,\ldots ,2^{n}-1\}}
3229:
3185:
3144:
3124:
3096:
3070:
3005:
2985:
2950:
2915:
2882:
2865:
2837:
2817:
2789:
2769:
2747:
2738:
2729:
2694:
2659:
2639:
2613:
2579:
2552:
2526:
2517:
2504:
2478:
2469:
2456:
2430:
2392:
2371:
2350:
2318:
2296:
2269:
2242:
2215:
2188:
2161:
2132:
2106:
2079:
2043:
2013:
2011:
1988:
1959:
1930:
1882:
1856:
1833:
1789:
1767:
1746:
1725:
1690:
1667:
1638:
1609:
1571:
1543:
1537:
1517:
1497:
1477:
1457:
1416:
1396:
1376:
1350:
1330:
1306:
1286:
1227:
1186:
1142:
1119:
1099:
1079:
1059:
1012:
992:
972:
949:
929:
909:
886:
851:
830:
808:
788:
757:
737:
717:
697:
677:
657:
634:
614:
591:
571:
538:
503:
477:
442:
410:
387:
343:
316:
296:
273:
253:
233:
213:
193:
173:
146:
123:
103:
3058:{\displaystyle f(x)=\inf\{r:x\in U(r)\}}
1272:
3292:
3285:
3119:, it is then not too hard to show that
2540:{\displaystyle V\left(k/2^{n}\right)}
2492:{\displaystyle U\left(k/2^{n}\right)}
2380:{\displaystyle U(1)=B^{\complement }}
1371:is closed, then there exists an open
7:
3217:{\displaystyle f(B)\subseteq \{1\}.}
94:Two sets separated by neighborhoods.
3173:{\displaystyle f(A)\subseteq \{0\}}
3139:is continuous and has the property
2910:Once we have these sets, we define
2547:have already been constructed for
1914:{\displaystyle V(r)\subseteq U(s)}
1821:{\displaystyle U(r)\subseteq V(r)}
333:separated by a continuous function
14:
1562:The sets we build are indexed by
772:are separated by neighbourhoods.
732:are separated by a function then
248:that are disjoint. In particular
3781:
3754:
3744:
3734:
3723:
3713:
3712:
3506:
1552:{\displaystyle B^{\complement }}
1983:expand outwards in layers from
1713:{\displaystyle A\subseteq U(r)}
652:It follows that if two subsets
3808:Theory of continuous functions
3240:
3234:
3196:
3190:
3155:
3149:
3049:
3043:
3016:
3010:
2973:{\displaystyle x\not \in U(r)}
2967:
2961:
2926:
2920:
2403:
2397:
2361:
2355:
2341:This construction proceeds by
2304:
2290:
2277:
2263:
2250:
2236:
2223:
2209:
2196:
2182:
2169:
2155:
2114:
2100:
2087:
2073:
1970:
1964:
1941:
1935:
1908:
1902:
1893:
1887:
1815:
1809:
1800:
1794:
1736:
1730:
1707:
1701:
1649:
1643:
1620:
1614:
1604:, we construct an open subset
1591:
1579:
1492:be disjoint closed subsets of
1238:
1232:
1197:
1191:
1168:
1156:
1153:
1137:there exists a continuous map
862:
856:
562:Any such function is called a
514:
508:
453:
447:
424:
412:
369:
357:
354:
1:
75:The lemma is named after the
1566:. For every dyadic fraction
1364:{\displaystyle Y\subseteq Z}
3378:Encyclopedia of Mathematics
1259:{\displaystyle f(B)=\{1\}.}
163:separated by neighbourhoods
3839:
3675:Banach fixed-point theorem
3309:Willard, Stephen (2004) .
1597:{\displaystyle r\in (0,1)}
1215:{\displaystyle f(A)=\{0\}}
874:{\displaystyle f(x)\neq 0}
649:are necessarily disjoint.
288:are necessarily disjoint.
3708:
3504:
3346:Willard, Stephen (1970).
80:Pavel Samuilovich Urysohn
70:Tietze extension theorem
3253:sets in order to work.
3224:This step requires the
2444:{\displaystyle n\geq 0}
1174:{\displaystyle f:X\to }
825:precisely separated by
555:{\displaystyle b\in B.}
375:{\displaystyle f:X\to }
39:if and only if any two
3730:Mathematics portal
3630:Metrics and properties
3616:Second-countable space
3350:. Dover Publications.
3247:
3218:
3174:
3133:
3105:
3085:
3084:{\displaystyle x\in X}
3059:
2994:
2974:
2939:
2938:{\displaystyle f(x)=1}
2898:
2715:
2648:
2628:
2598:
2541:
2493:
2445:
2416:
2415:{\displaystyle V(0)=A}
2381:
2343:mathematical induction
2332:
1997:
1977:
1948:
1925:Intuitively, the sets
1915:
1871:
1870:{\displaystyle r<s}
1842:
1822:
1776:
1756:
1714:
1676:
1656:
1627:
1598:
1553:
1526:
1506:
1486:
1466:
1443:
1405:
1385:
1365:
1339:
1315:
1295:
1278:
1260:
1216:
1175:
1131:
1108:
1088:
1068:
1021:
1001:
981:
961:
938:
918:
898:
897:{\displaystyle \neq 1}
875:
839:
817:
797:
766:
746:
726:
706:
686:
666:
643:
623:
603:
580:
556:
527:
526:{\displaystyle f(b)=1}
492:
491:{\displaystyle a\in A}
466:
465:{\displaystyle f(a)=0}
431:
396:
376:
325:
305:
282:
262:
242:
222:
202:
182:
155:
132:
112:
95:
3248:
3219:
3175:
3134:
3106:
3104:{\displaystyle \inf }
3086:
3060:
2995:
2975:
2940:
2899:
2716:
2649:
2629:
2599:
2542:
2494:
2446:
2417:
2382:
2333:
1998:
1978:
1949:
1916:
1872:
1843:
1823:
1777:
1757:
1715:
1677:
1657:
1628:
1599:
1554:
1527:
1507:
1487:
1467:
1444:
1406:
1386:
1366:
1340:
1316:
1296:
1276:
1261:
1217:
1176:
1132:
1109:
1089:
1069:
1022:
1002:
982:
962:
939:
919:
899:
876:
840:
818:
798:
767:
747:
727:
707:
687:
667:
644:
624:
604:
581:
557:
528:
493:
467:
432:
397:
377:
326:
306:
283:
263:
243:
223:
203:
183:
156:
133:
113:
93:
3823:Theorems in topology
3685:Invariance of domain
3637:Euler characteristic
3611:Bundle (mathematics)
3246:{\displaystyle V(r)}
3228:
3184:
3143:
3123:
3095:
3069:
3004:
2984:
2949:
2914:
2728:
2658:
2638:
2612:
2604:. Note that this is
2551:
2503:
2455:
2429:
2391:
2349:
2010:
1987:
1976:{\displaystyle V(r)}
1958:
1947:{\displaystyle U(r)}
1929:
1881:
1855:
1832:
1788:
1766:
1724:
1689:
1666:
1655:{\displaystyle V(r)}
1637:
1633:and a closed subset
1626:{\displaystyle U(r)}
1608:
1570:
1536:
1516:
1496:
1476:
1456:
1415:
1395:
1375:
1349:
1329:
1305:
1285:
1226:
1185:
1141:
1118:
1098:
1078:
1058:
1054:A topological space
1011:
991:
971:
967:A topological space
948:
928:
908:
885:
850:
829:
807:
787:
756:
736:
716:
696:
676:
656:
633:
613:
590:
570:
537:
502:
476:
441:
409:
386:
342:
315:
295:
272:
252:
232:
212:
192:
172:
145:
122:
102:
3695:Tychonoff's theorem
3690:Poincaré conjecture
3444:General (point-set)
2654:is normal, for any
2627:{\displaystyle n=0}
1301:is a normal space,
337:continuous function
52:continuous function
31:that states that a
3680:De Rham cohomology
3601:Polyhedral complex
3591:Simplicial complex
3321:Dover Publications
3243:
3214:
3170:
3129:
3101:
3081:
3055:
2990:
2970:
2935:
2894:
2711:
2644:
2624:
2594:
2537:
2489:
2451:and that the sets
2441:
2412:
2377:
2328:
2326:
1993:
1973:
1944:
1911:
1867:
1838:
1818:
1772:
1752:
1710:
1672:
1652:
1623:
1594:
1549:
1522:
1502:
1482:
1462:
1439:
1401:
1381:
1361:
1335:
1311:
1291:
1279:
1256:
1212:
1171:
1130:{\displaystyle X,}
1127:
1104:
1084:
1064:
1017:
997:
977:
960:{\displaystyle B.}
957:
934:
914:
894:
871:
835:
813:
793:
762:
742:
722:
702:
682:
662:
639:
619:
602:{\displaystyle B.}
599:
576:
552:
523:
488:
462:
427:
392:
372:
335:if there exists a
321:
301:
291:Two plain subsets
278:
258:
238:
218:
198:
178:
151:
128:
108:
96:
3818:Separation axioms
3795:
3794:
3584:fundamental group
3330:978-0-486-43479-7
3132:{\displaystyle f}
2993:{\displaystyle r}
2888:
2849:
2801:
2753:
2647:{\displaystyle X}
2069:
1996:{\displaystyle A}
1841:{\displaystyle r}
1775:{\displaystyle r}
1675:{\displaystyle X}
1525:{\displaystyle A}
1505:{\displaystyle X}
1485:{\displaystyle B}
1465:{\displaystyle A}
1404:{\displaystyle V}
1384:{\displaystyle U}
1338:{\displaystyle X}
1314:{\displaystyle Z}
1294:{\displaystyle X}
1107:{\displaystyle B}
1087:{\displaystyle A}
1067:{\displaystyle X}
1020:{\displaystyle B}
1000:{\displaystyle A}
980:{\displaystyle X}
937:{\displaystyle A}
917:{\displaystyle x}
838:{\displaystyle f}
816:{\displaystyle B}
796:{\displaystyle A}
765:{\displaystyle B}
745:{\displaystyle A}
725:{\displaystyle B}
705:{\displaystyle A}
685:{\displaystyle B}
665:{\displaystyle A}
642:{\displaystyle B}
622:{\displaystyle A}
579:{\displaystyle A}
395:{\displaystyle X}
324:{\displaystyle B}
304:{\displaystyle A}
281:{\displaystyle B}
261:{\displaystyle A}
241:{\displaystyle B}
221:{\displaystyle V}
201:{\displaystyle A}
181:{\displaystyle U}
154:{\displaystyle X}
140:topological space
131:{\displaystyle B}
111:{\displaystyle A}
33:topological space
3830:
3785:
3784:
3758:
3757:
3748:
3738:
3728:
3727:
3716:
3715:
3510:
3423:
3416:
3409:
3400:
3386:
3361:
3348:General Topology
3342:
3312:General Topology
3296:
3290:
3252:
3250:
3249:
3244:
3223:
3221:
3220:
3215:
3179:
3177:
3176:
3171:
3138:
3136:
3135:
3130:
3110:
3108:
3107:
3102:
3090:
3088:
3087:
3082:
3064:
3062:
3061:
3056:
2999:
2997:
2996:
2991:
2979:
2977:
2976:
2971:
2944:
2942:
2941:
2936:
2903:
2901:
2900:
2895:
2893:
2889:
2887:
2886:
2877:
2866:
2854:
2850:
2848:
2847:
2832:
2818:
2806:
2802:
2800:
2799:
2784:
2770:
2758:
2754:
2752:
2751:
2739:
2720:
2718:
2717:
2712:
2710:
2706:
2699:
2698:
2653:
2651:
2650:
2645:
2633:
2631:
2630:
2625:
2603:
2601:
2600:
2595:
2584:
2583:
2546:
2544:
2543:
2538:
2536:
2532:
2531:
2530:
2521:
2498:
2496:
2495:
2490:
2488:
2484:
2483:
2482:
2473:
2450:
2448:
2447:
2442:
2425:Now assume that
2421:
2419:
2418:
2413:
2386:
2384:
2383:
2378:
2376:
2375:
2337:
2335:
2334:
2329:
2327:
2323:
2322:
2300:
2273:
2246:
2219:
2192:
2165:
2137:
2136:
2126:
2125:
2119:
2118:
2110:
2083:
2067:
2065:
2064:
2058:
2057:
2048:
2047:
2037:
2036:
2035:
2034:
2033:
2032:
2026:
2025:
2024:
2023:
2022:
2021:
2002:
2000:
1999:
1994:
1982:
1980:
1979:
1974:
1953:
1951:
1950:
1945:
1920:
1918:
1917:
1912:
1876:
1874:
1873:
1868:
1847:
1845:
1844:
1839:
1827:
1825:
1824:
1819:
1781:
1779:
1778:
1773:
1761:
1759:
1758:
1753:
1751:
1750:
1719:
1717:
1716:
1711:
1681:
1679:
1678:
1673:
1661:
1659:
1658:
1653:
1632:
1630:
1629:
1624:
1603:
1601:
1600:
1595:
1564:dyadic fractions
1558:
1556:
1555:
1550:
1548:
1547:
1531:
1529:
1528:
1523:
1511:
1509:
1508:
1503:
1491:
1489:
1488:
1483:
1471:
1469:
1468:
1463:
1448:
1446:
1445:
1440:
1410:
1408:
1407:
1402:
1390:
1388:
1387:
1382:
1370:
1368:
1367:
1362:
1344:
1342:
1341:
1336:
1320:
1318:
1317:
1312:
1300:
1298:
1297:
1292:
1265:
1263:
1262:
1257:
1221:
1219:
1218:
1213:
1180:
1178:
1177:
1172:
1136:
1134:
1133:
1128:
1113:
1111:
1110:
1105:
1093:
1091:
1090:
1085:
1073:
1071:
1070:
1065:
1050:Formal statement
1029:perfectly normal
1026:
1024:
1023:
1018:
1006:
1004:
1003:
998:
986:
984:
983:
978:
966:
964:
963:
958:
943:
941:
940:
935:
923:
921:
920:
915:
903:
901:
900:
895:
880:
878:
877:
872:
844:
842:
841:
836:
822:
820:
819:
814:
802:
800:
799:
794:
771:
769:
768:
763:
751:
749:
748:
743:
731:
729:
728:
723:
711:
709:
708:
703:
691:
689:
688:
683:
671:
669:
668:
663:
648:
646:
645:
640:
628:
626:
625:
620:
608:
606:
605:
600:
585:
583:
582:
577:
564:Urysohn function
561:
559:
558:
553:
532:
530:
529:
524:
497:
495:
494:
489:
471:
469:
468:
463:
436:
434:
433:
430:{\displaystyle }
428:
401:
399:
398:
393:
381:
379:
378:
373:
330:
328:
327:
322:
310:
308:
307:
302:
287:
285:
284:
279:
267:
265:
264:
259:
247:
245:
244:
239:
227:
225:
224:
219:
207:
205:
204:
199:
187:
185:
184:
179:
160:
158:
157:
152:
137:
135:
134:
129:
117:
115:
114:
109:
66:Hausdorff spaces
3838:
3837:
3833:
3832:
3831:
3829:
3828:
3827:
3798:
3797:
3796:
3791:
3722:
3704:
3700:Urysohn's lemma
3661:
3625:
3511:
3502:
3474:low-dimensional
3432:
3427:
3373:"Urysohn lemma"
3371:
3368:
3358:
3345:
3331:
3308:
3305:
3300:
3299:
3291:
3287:
3282:
3270:
3226:
3225:
3182:
3181:
3141:
3140:
3121:
3120:
3093:
3092:
3067:
3066:
3002:
3001:
2982:
2981:
2947:
2946:
2912:
2911:
2878:
2867:
2861:
2833:
2819:
2813:
2785:
2771:
2765:
2743:
2734:
2726:
2725:
2690:
2671:
2667:
2656:
2655:
2636:
2635:
2610:
2609:
2575:
2549:
2548:
2522:
2513:
2509:
2501:
2500:
2474:
2465:
2461:
2453:
2452:
2427:
2426:
2389:
2388:
2367:
2347:
2346:
2325:
2324:
2314:
2312:
2307:
2285:
2280:
2258:
2253:
2231:
2226:
2204:
2199:
2177:
2172:
2150:
2145:
2139:
2138:
2128:
2124:
2117:
2095:
2090:
2063:
2056:
2050:
2049:
2039:
2031:
2020:
2008:
2007:
1985:
1984:
1956:
1955:
1927:
1926:
1879:
1878:
1853:
1852:
1830:
1829:
1786:
1785:
1764:
1763:
1742:
1722:
1721:
1687:
1686:
1664:
1663:
1635:
1634:
1606:
1605:
1568:
1567:
1539:
1534:
1533:
1514:
1513:
1494:
1493:
1474:
1473:
1454:
1453:
1413:
1412:
1393:
1392:
1373:
1372:
1347:
1346:
1327:
1326:
1303:
1302:
1283:
1282:
1271:
1224:
1223:
1183:
1182:
1139:
1138:
1116:
1115:
1096:
1095:
1076:
1075:
1056:
1055:
1052:
1039:
1009:
1008:
989:
988:
969:
968:
946:
945:
926:
925:
906:
905:
883:
882:
848:
847:
827:
826:
805:
804:
785:
784:
754:
753:
734:
733:
714:
713:
694:
693:
674:
673:
654:
653:
631:
630:
611:
610:
588:
587:
568:
567:
535:
534:
500:
499:
474:
473:
439:
438:
407:
406:
384:
383:
340:
339:
331:are said to be
313:
312:
293:
292:
270:
269:
250:
249:
230:
229:
210:
209:
190:
189:
170:
169:
161:are said to be
143:
142:
120:
119:
100:
99:
88:
25:Urysohn's lemma
17:
12:
11:
5:
3836:
3834:
3826:
3825:
3820:
3815:
3810:
3800:
3799:
3793:
3792:
3790:
3789:
3779:
3778:
3777:
3772:
3767:
3752:
3742:
3732:
3720:
3709:
3706:
3705:
3703:
3702:
3697:
3692:
3687:
3682:
3677:
3671:
3669:
3663:
3662:
3660:
3659:
3654:
3649:
3647:Winding number
3644:
3639:
3633:
3631:
3627:
3626:
3624:
3623:
3618:
3613:
3608:
3603:
3598:
3593:
3588:
3587:
3586:
3581:
3579:homotopy group
3571:
3570:
3569:
3564:
3559:
3554:
3549:
3539:
3534:
3529:
3519:
3517:
3513:
3512:
3505:
3503:
3501:
3500:
3495:
3490:
3489:
3488:
3478:
3477:
3476:
3466:
3461:
3456:
3451:
3446:
3440:
3438:
3434:
3433:
3428:
3426:
3425:
3418:
3411:
3403:
3397:
3396:
3387:
3367:
3366:External links
3364:
3363:
3362:
3356:
3343:
3329:
3304:
3301:
3298:
3297:
3284:
3283:
3281:
3278:
3277:
3276:
3269:
3266:
3242:
3239:
3236:
3233:
3213:
3210:
3207:
3204:
3201:
3198:
3195:
3192:
3189:
3169:
3166:
3163:
3160:
3157:
3154:
3151:
3148:
3128:
3100:
3080:
3077:
3074:
3054:
3051:
3048:
3045:
3042:
3039:
3036:
3033:
3030:
3027:
3024:
3021:
3018:
3015:
3012:
3009:
2989:
2969:
2966:
2963:
2960:
2957:
2954:
2934:
2931:
2928:
2925:
2922:
2919:
2905:
2904:
2892:
2885:
2881:
2876:
2873:
2870:
2864:
2860:
2857:
2853:
2846:
2843:
2840:
2836:
2831:
2828:
2825:
2822:
2816:
2812:
2809:
2805:
2798:
2795:
2792:
2788:
2783:
2780:
2777:
2774:
2768:
2764:
2761:
2757:
2750:
2746:
2742:
2737:
2733:
2709:
2705:
2702:
2697:
2693:
2689:
2686:
2683:
2680:
2677:
2674:
2670:
2666:
2663:
2643:
2623:
2620:
2617:
2608:satisfied for
2593:
2590:
2587:
2582:
2578:
2574:
2571:
2568:
2565:
2562:
2559:
2556:
2535:
2529:
2525:
2520:
2516:
2512:
2508:
2487:
2481:
2477:
2472:
2468:
2464:
2460:
2440:
2437:
2434:
2411:
2408:
2405:
2402:
2399:
2396:
2374:
2370:
2366:
2363:
2360:
2357:
2354:
2339:
2338:
2321:
2317:
2313:
2311:
2308:
2306:
2303:
2299:
2295:
2292:
2289:
2286:
2284:
2281:
2279:
2276:
2272:
2268:
2265:
2262:
2259:
2257:
2254:
2252:
2249:
2245:
2241:
2238:
2235:
2232:
2230:
2227:
2225:
2222:
2218:
2214:
2211:
2208:
2205:
2203:
2200:
2198:
2195:
2191:
2187:
2184:
2181:
2178:
2176:
2173:
2171:
2168:
2164:
2160:
2157:
2154:
2151:
2149:
2146:
2144:
2141:
2140:
2135:
2131:
2127:
2123:
2120:
2116:
2113:
2109:
2105:
2102:
2099:
2096:
2094:
2091:
2089:
2086:
2082:
2078:
2075:
2072:
2066:
2062:
2059:
2055:
2052:
2051:
2046:
2042:
2038:
2030:
2027:
2019:
2016:
2015:
1992:
1972:
1969:
1966:
1963:
1943:
1940:
1937:
1934:
1923:
1922:
1910:
1907:
1904:
1901:
1898:
1895:
1892:
1889:
1886:
1866:
1863:
1860:
1849:
1837:
1817:
1814:
1811:
1808:
1805:
1802:
1799:
1796:
1793:
1783:
1771:
1749:
1745:
1741:
1738:
1735:
1732:
1729:
1709:
1706:
1703:
1700:
1697:
1694:
1671:
1651:
1648:
1645:
1642:
1622:
1619:
1616:
1613:
1593:
1590:
1587:
1584:
1581:
1578:
1575:
1546:
1542:
1521:
1501:
1481:
1461:
1438:
1435:
1432:
1429:
1426:
1423:
1420:
1400:
1380:
1360:
1357:
1354:
1334:
1310:
1290:
1270:
1267:
1255:
1252:
1249:
1246:
1243:
1240:
1237:
1234:
1231:
1211:
1208:
1205:
1202:
1199:
1196:
1193:
1190:
1170:
1167:
1164:
1161:
1158:
1155:
1152:
1149:
1146:
1126:
1123:
1103:
1083:
1063:
1051:
1048:
1037:
1016:
996:
976:
956:
953:
933:
913:
893:
890:
870:
867:
864:
861:
858:
855:
834:
812:
792:
761:
741:
721:
701:
681:
661:
638:
618:
609:In particular
598:
595:
575:
551:
548:
545:
542:
522:
519:
516:
513:
510:
507:
487:
484:
481:
461:
458:
455:
452:
449:
446:
426:
423:
420:
417:
414:
391:
371:
368:
365:
362:
359:
356:
353:
350:
347:
320:
300:
277:
257:
237:
217:
197:
177:
167:neighbourhoods
150:
127:
107:
87:
84:
44:closed subsets
15:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
3835:
3824:
3821:
3819:
3816:
3814:
3811:
3809:
3806:
3805:
3803:
3788:
3780:
3776:
3773:
3771:
3768:
3766:
3763:
3762:
3761:
3753:
3751:
3747:
3743:
3741:
3737:
3733:
3731:
3726:
3721:
3719:
3711:
3710:
3707:
3701:
3698:
3696:
3693:
3691:
3688:
3686:
3683:
3681:
3678:
3676:
3673:
3672:
3670:
3668:
3664:
3658:
3657:Orientability
3655:
3653:
3650:
3648:
3645:
3643:
3640:
3638:
3635:
3634:
3632:
3628:
3622:
3619:
3617:
3614:
3612:
3609:
3607:
3604:
3602:
3599:
3597:
3594:
3592:
3589:
3585:
3582:
3580:
3577:
3576:
3575:
3572:
3568:
3565:
3563:
3560:
3558:
3555:
3553:
3550:
3548:
3545:
3544:
3543:
3540:
3538:
3535:
3533:
3530:
3528:
3524:
3521:
3520:
3518:
3514:
3509:
3499:
3496:
3494:
3493:Set-theoretic
3491:
3487:
3484:
3483:
3482:
3479:
3475:
3472:
3471:
3470:
3467:
3465:
3462:
3460:
3457:
3455:
3454:Combinatorial
3452:
3450:
3447:
3445:
3442:
3441:
3439:
3435:
3431:
3424:
3419:
3417:
3412:
3410:
3405:
3404:
3401:
3395:
3391:
3388:
3384:
3380:
3379:
3374:
3370:
3369:
3365:
3359:
3357:0-486-43479-6
3353:
3349:
3344:
3340:
3336:
3332:
3326:
3322:
3318:
3317:Mineola, N.Y.
3314:
3313:
3307:
3306:
3302:
3294:
3289:
3286:
3279:
3275:
3272:
3271:
3267:
3265:
3263:
3262:URYSOHN3 file
3259:
3258:Mizar project
3254:
3237:
3231:
3211:
3205:
3199:
3193:
3187:
3164:
3158:
3152:
3146:
3126:
3118:
3114:
3078:
3075:
3072:
3046:
3040:
3037:
3034:
3031:
3028:
3019:
3013:
3007:
2987:
2964:
2958:
2955:
2952:
2932:
2929:
2923:
2917:
2908:
2890:
2883:
2879:
2874:
2871:
2868:
2862:
2858:
2855:
2851:
2844:
2841:
2838:
2834:
2829:
2826:
2823:
2820:
2814:
2810:
2807:
2803:
2796:
2793:
2790:
2786:
2781:
2778:
2775:
2772:
2766:
2762:
2759:
2755:
2748:
2744:
2740:
2735:
2731:
2724:
2723:
2722:
2707:
2703:
2700:
2695:
2691:
2687:
2684:
2681:
2678:
2675:
2672:
2668:
2664:
2661:
2641:
2621:
2618:
2615:
2607:
2588:
2585:
2580:
2576:
2572:
2569:
2566:
2563:
2557:
2554:
2533:
2527:
2523:
2518:
2514:
2510:
2506:
2485:
2479:
2475:
2470:
2466:
2462:
2458:
2438:
2435:
2432:
2423:
2409:
2406:
2400:
2394:
2372:
2368:
2364:
2358:
2352:
2344:
2319:
2315:
2309:
2301:
2297:
2293:
2287:
2282:
2274:
2270:
2266:
2260:
2255:
2247:
2243:
2239:
2233:
2228:
2220:
2216:
2212:
2206:
2201:
2193:
2189:
2185:
2179:
2174:
2166:
2162:
2158:
2152:
2147:
2142:
2133:
2129:
2121:
2111:
2107:
2103:
2097:
2092:
2084:
2080:
2076:
2070:
2060:
2053:
2044:
2040:
2028:
2017:
2006:
2005:
2004:
1990:
1967:
1961:
1938:
1932:
1905:
1899:
1896:
1890:
1884:
1864:
1861:
1858:
1850:
1835:
1812:
1806:
1803:
1797:
1791:
1784:
1769:
1747:
1743:
1739:
1733:
1727:
1704:
1698:
1695:
1692:
1685:
1684:
1683:
1669:
1646:
1640:
1617:
1611:
1588:
1585:
1582:
1576:
1573:
1565:
1560:
1544:
1540:
1519:
1499:
1479:
1459:
1450:
1436:
1433:
1430:
1427:
1424:
1421:
1418:
1398:
1391:and a closed
1378:
1358:
1355:
1352:
1332:
1324:
1308:
1288:
1275:
1268:
1266:
1253:
1247:
1241:
1235:
1229:
1206:
1200:
1194:
1188:
1165:
1162:
1159:
1150:
1147:
1144:
1124:
1121:
1101:
1081:
1061:
1049:
1047:
1045:
1041:
1032:
1030:
1014:
994:
974:
954:
951:
931:
911:
891:
888:
868:
865:
859:
853:
845:
832:
810:
790:
781:
778:
773:
759:
739:
719:
699:
679:
659:
650:
636:
616:
596:
593:
573:
565:
549:
546:
543:
540:
520:
517:
511:
505:
485:
482:
479:
459:
456:
450:
444:
421:
418:
415:
405:
404:unit interval
389:
366:
363:
360:
351:
348:
345:
338:
334:
318:
298:
289:
275:
255:
235:
215:
195:
175:
168:
165:if there are
164:
148:
141:
125:
105:
92:
85:
83:
81:
78:
77:mathematician
73:
71:
67:
64:
60:
59:metric spaces
55:
53:
49:
45:
42:
38:
34:
30:
26:
22:
3787:Publications
3699:
3652:Chern number
3642:Betti number
3525: /
3516:Key concepts
3464:Differential
3390:Mizar system
3376:
3347:
3311:
3293:Willard 1970
3288:
3255:
3111:denotes the
3000:; otherwise
2909:
2906:
2424:
2340:
1924:
1561:
1451:
1280:
1269:Proof sketch
1053:
1033:
823:need not be
782:
777:normal space
774:
651:
563:
290:
98:Two subsets
97:
74:
56:
24:
18:
3750:Wikiversity
3667:Key results
3295:Section 15.
1682:such that:
3802:Categories
3596:CW complex
3537:Continuity
3527:Closed set
3486:cohomology
3303:References
3065:for every
1411:such that
1325:subset of
1181:such that
437:such that
86:Discussion
3775:geometric
3770:algebraic
3621:Cobordism
3557:Hausdorff
3552:connected
3469:Geometric
3459:Continuum
3449:Algebraic
3383:EMS Press
3274:Mollifier
3200:⊆
3159:⊆
3076:∈
3038:∈
2856:⊆
2808:⊆
2760:⊆
2701:−
2685:…
2665:∈
2606:vacuously
2586:−
2570:…
2558:∈
2436:≥
2373:∁
2320:∁
2310:⊆
2283:⊆
2256:⊆
2229:⊆
2202:⊆
2175:⊆
2148:⊆
2134:∁
2122:⊆
2093:⊆
2061:⊆
2045:∁
2029:⊆
1897:⊆
1804:⊆
1748:∁
1740:⊆
1696:⊆
1577:∈
1545:∁
1434:⊆
1428:⊆
1422:⊆
1356:⊆
1154:→
1044:Tychonoff
889:≠
866:≠
783:The sets
544:∈
483:∈
402:into the
355:→
48:separated
3740:Wikibook
3718:Category
3606:Manifold
3574:Homotopy
3532:Interior
3523:Open set
3481:Homology
3430:Topology
3268:See also
3091:, where
2980:for any
2956:∉
2634:. Since
1828:for all
1762:for all
924:outside
533:for all
472:for all
61:and all
41:disjoint
21:topology
3765:general
3567:uniform
3547:compact
3498:Digital
3392:proof:
3385:, 2001
3113:infimum
63:compact
46:can be
3813:Lemmas
3760:Topics
3562:metric
3437:Fields
3354:
3339:115240
3337:
3327:
2068:
1345:, and
1321:is an
1040:spaces
37:normal
3542:Space
3280:Notes
3117:dense
382:from
138:of a
50:by a
29:lemma
27:is a
3352:ISBN
3335:OCLC
3325:ISBN
3256:The
3180:and
2499:and
2387:and
1954:and
1862:<
1851:For
1720:and
1532:and
1472:and
1452:Let
1323:open
1222:and
1094:and
1042:are
1007:and
944:and
904:for
881:and
803:and
752:and
712:and
672:and
629:and
586:and
566:for
498:and
311:and
268:and
208:and
118:and
3099:inf
3023:inf
2945:if
2422:.
1662:of
1449:.
1114:of
228:of
188:of
35:is
19:In
3804::
3381:,
3375:,
3333:.
3323:.
3319::
3315:.
3264:.
2003::
1877:,
1046:.
1031:.
775:A
82:.
72:.
54:.
23:,
3422:e
3415:t
3408:v
3360:.
3341:.
3241:)
3238:r
3235:(
3232:V
3212:.
3209:}
3206:1
3203:{
3197:)
3194:B
3191:(
3188:f
3168:}
3165:0
3162:{
3156:)
3153:A
3150:(
3147:f
3127:f
3079:X
3073:x
3053:}
3050:)
3047:r
3044:(
3041:U
3035:x
3032::
3029:r
3026:{
3020:=
3017:)
3014:x
3011:(
3008:f
2988:r
2968:)
2965:r
2962:(
2959:U
2953:x
2933:1
2930:=
2927:)
2924:x
2921:(
2918:f
2891:)
2884:n
2880:2
2875:1
2872:+
2869:a
2863:(
2859:U
2852:)
2845:1
2842:+
2839:n
2835:2
2830:1
2827:+
2824:a
2821:2
2815:(
2811:V
2804:)
2797:1
2794:+
2791:n
2787:2
2782:1
2779:+
2776:a
2773:2
2767:(
2763:U
2756:)
2749:n
2745:2
2741:a
2736:(
2732:V
2708:}
2704:1
2696:n
2692:2
2688:,
2682:,
2679:1
2676:,
2673:0
2669:{
2662:a
2642:X
2622:0
2619:=
2616:n
2592:}
2589:1
2581:n
2577:2
2573:,
2567:,
2564:1
2561:{
2555:k
2534:)
2528:n
2524:2
2519:/
2515:k
2511:(
2507:V
2486:)
2480:n
2476:2
2471:/
2467:k
2463:(
2459:U
2439:0
2433:n
2410:A
2407:=
2404:)
2401:0
2398:(
2395:V
2369:B
2365:=
2362:)
2359:1
2356:(
2353:U
2316:B
2305:)
2302:4
2298:/
2294:3
2291:(
2288:V
2278:)
2275:4
2271:/
2267:3
2264:(
2261:U
2251:)
2248:2
2244:/
2240:1
2237:(
2234:V
2224:)
2221:2
2217:/
2213:1
2210:(
2207:U
2197:)
2194:4
2190:/
2186:1
2183:(
2180:V
2170:)
2167:4
2163:/
2159:1
2156:(
2153:U
2143:A
2130:B
2115:)
2112:2
2108:/
2104:1
2101:(
2098:V
2088:)
2085:2
2081:/
2077:1
2074:(
2071:U
2054:A
2041:B
2018:A
1991:A
1971:)
1968:r
1965:(
1962:V
1942:)
1939:r
1936:(
1933:U
1921:.
1909:)
1906:s
1903:(
1900:U
1894:)
1891:r
1888:(
1885:V
1865:s
1859:r
1848:,
1836:r
1816:)
1813:r
1810:(
1807:V
1801:)
1798:r
1795:(
1792:U
1782:,
1770:r
1744:B
1737:)
1734:r
1731:(
1728:V
1708:)
1705:r
1702:(
1699:U
1693:A
1670:X
1650:)
1647:r
1644:(
1641:V
1621:)
1618:r
1615:(
1612:U
1592:)
1589:1
1586:,
1583:0
1580:(
1574:r
1541:B
1520:A
1500:X
1480:B
1460:A
1437:Z
1431:V
1425:U
1419:Y
1399:V
1379:U
1359:Z
1353:Y
1333:X
1309:Z
1289:X
1254:.
1251:}
1248:1
1245:{
1242:=
1239:)
1236:B
1233:(
1230:f
1210:}
1207:0
1204:{
1201:=
1198:)
1195:A
1192:(
1189:f
1169:]
1166:1
1163:,
1160:0
1157:[
1151:X
1148::
1145:f
1125:,
1122:X
1102:B
1082:A
1062:X
1038:1
1036:T
1015:B
995:A
975:X
955:.
952:B
932:A
912:x
892:1
869:0
863:)
860:x
857:(
854:f
833:f
811:B
791:A
760:B
740:A
720:B
700:A
680:B
660:A
637:B
617:A
597:.
594:B
574:A
550:.
547:B
541:b
521:1
518:=
515:)
512:b
509:(
506:f
486:A
480:a
460:0
457:=
454:)
451:a
448:(
445:f
425:]
422:1
419:,
416:0
413:[
390:X
370:]
367:1
364:,
361:0
358:[
352:X
349::
346:f
319:B
299:A
276:B
256:A
236:B
216:V
196:A
176:U
149:X
126:B
106:A
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
