2347:
2020:
3736:
2342:{\displaystyle {\begin{array}{ccccccccccccccc}A&&&&&&&\subseteq &&&&&&&B^{\complement }\\A&&&\subseteq &&&\ U(1/2)&\subseteq &V(1/2)&&&\subseteq &&&B^{\complement }\\A&\subseteq &U(1/4)&\subseteq &V(1/4)&\subseteq &U(1/2)&\subseteq &V(1/2)&\subseteq &U(3/4)&\subseteq &V(3/4)&\subseteq &B^{\complement }\end{array}}}
3519:
3757:
3725:
1285:
3794:
3767:
3747:
102:
2913:
2738:
790:
is a topological space in which any two disjoint closed sets can be separated by neighbourhoods. Urysohn's lemma states that a topological space is normal if and only if any two disjoint closed sets can be separated by a continuous function.
2730:
1045:
Urysohn's lemma has led to the formulation of other topological properties such as the 'Tychonoff property' and 'completely
Hausdorff spaces'. For example, a corollary of the lemma is that normal
1458:
1771:
2908:{\displaystyle V\left({\frac {a}{2^{n}}}\right)\subseteq U\left({\frac {2a+1}{2^{n+1}}}\right)\subseteq V\left({\frac {2a+1}{2^{n+1}}}\right)\subseteq U\left({\frac {a+1}{2^{n}}}\right)}
2613:
3074:
2556:
2508:
2396:
3233:
3189:
1930:
1837:
1568:
1729:
2989:
2025:
1380:
1275:
1613:
1231:
890:
2460:
1190:
571:
391:
3100:
2954:
2431:
1886:
913:
542:
507:
481:
3120:
3262:
1992:
1963:
1671:
1642:
2643:
1146:
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618:
3797:
3148:
3009:
2663:
2012:
1857:
1791:
1691:
1541:
1521:
1501:
1481:
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1400:
1354:
1330:
1310:
1123:
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1083:
1036:
1016:
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953:
933:
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741:
721:
701:
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658:
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320:
297:
277:
257:
237:
217:
197:
170:
147:
127:
446:
3818:
68:
Urysohn's lemma is commonly used to construct continuous functions with various properties on normal spaces. It is widely applicable since all
3339:
3431:
3785:
3780:
3366:
835:
3775:
2668:
347:
3833:
3677:
3393:
1425:
3388:
173:
1734:
3828:
3685:
90:
2561:
3756:
3484:
177:
80:
3014:
3770:
343:
58:
2513:
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3705:
3700:
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3491:
3464:
3424:
3194:
2353:
3153:
3547:
3474:
1891:
1798:
3735:
1546:
3695:
3647:
3621:
3469:
1699:
2959:
1292:
The proof proceeds by repeatedly applying the following alternate characterization of normality. If
3746:
3542:
3383:
62:
39:
1359:
3740:
3690:
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3601:
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3459:
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1580:
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3728:
3594:
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3362:
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3335:
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2439:
1151:
547:
352:
3508:
3454:
3079:
2924:
2401:
1865:
895:
703:
are separated by a function then so are their closures. Also it follows that if two subsets
512:
486:
451:
3105:
3823:
3567:
3562:
3404:
3238:
1968:
1939:
1647:
1618:
1574:
1523:. The main idea of the proof is to repeatedly apply this characterization of normality to
1054:
76:
2622:
17:
1128:
958:
600:
3657:
3589:
3133:
2994:
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1997:
1842:
1776:
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1466:
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1339:
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1295:
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1088:
1068:
1021:
1001:
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938:
918:
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817:
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766:
746:
726:
706:
686:
666:
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262:
242:
222:
202:
182:
155:
132:
112:
3271:
has completely formalised and automatically checked a proof of
Urysohn's lemma in the
419:
3812:
3667:
3577:
3557:
3327:
2616:
414:
87:
73:
51:
3760:
3652:
3572:
3518:
3400:
3268:
1039:
787:
69:
47:
1284:
3321:
3750:
3662:
79:
are normal. The lemma is generalised by (and usually used in the proof of) the
3606:
3537:
3496:
54:
3631:
3284:
3127:
3272:
3349:
101:
3616:
3584:
3533:
3440:
1333:
1046:
31:
1085:
is normal if and only if, for any two non-empty closed disjoint subsets
3123:
100:
3413:
1288:
Illustration of the first few sets built as part of the proof.
3409:
27:
Characterization of normal spaces by continuous functions
3405:
http://mizar.org/version/current/html/urysohn3.html#T20
2725:{\displaystyle a\in \left\{0,1,\ldots ,2^{n}-1\right\}}
3241:
3197:
3156:
3136:
3108:
3082:
3017:
2997:
2962:
2927:
2741:
2732:, we can find an open set and a closed set such that
2671:
2651:
2625:
2564:
2516:
2468:
2442:
2404:
2362:
2023:
2000:
1971:
1942:
1894:
1868:
1845:
1801:
1779:
1737:
1702:
1679:
1650:
1621:
1583:
1570:, continuing with the new sets built on every step.
1549:
1529:
1509:
1489:
1469:
1428:
1408:
1388:
1362:
1342:
1318:
1298:
1239:
1198:
1154:
1131:
1111:
1091:
1071:
1024:
1004:
984:
961:
941:
921:
898:
863:
842:
820:
800:
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749:
729:
709:
689:
669:
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626:
603:
583:
550:
515:
489:
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399:
355:
328:
308:
285:
265:
245:
225:
205:
185:
158:
135:
115:
1038:
are precisely separated by a continuous function is
3676:
3640:
3526:
3447:
3256:
3227:
3183:
3142:
3114:
3094:
3068:
3003:
2983:
2948:
2907:
2724:
2657:
2637:
2607:
2550:
2502:
2454:
2425:
2390:
2341:
2006:
1986:
1957:
1924:
1880:
1851:
1831:
1785:
1765:
1723:
1685:
1665:
1636:
1607:
1562:
1535:
1515:
1495:
1475:
1453:{\displaystyle Y\subseteq U\subseteq V\subseteq Z}
1452:
1414:
1394:
1374:
1348:
1324:
1304:
1269:
1225:
1184:
1140:
1117:
1097:
1077:
1030:
1010:
990:
970:
947:
927:
907:
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806:
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755:
735:
715:
695:
675:
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632:
612:
589:
565:
536:
501:
475:
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405:
385:
334:
314:
291:
271:
251:
231:
211:
191:
164:
141:
121:
3109:
3033:
857:, i.e., it is not necessary and guaranteed that
3126:. Using the fact that the dyadic rationals are
2918:The above three conditions are then verified.
2356:. For the base step, we define two extra sets
1766:{\displaystyle V(r)\subseteq B^{\complement }}
3425:
8:
3219:
3213:
3178:
3172:
3063:
3036:
2602:
2571:
1261:
1255:
1220:
1214:
998:in which every two disjoint closed subsets
3793:
3766:
3432:
3418:
3410:
2608:{\displaystyle k\in \{1,\ldots ,2^{n}-1\}}
3240:
3196:
3155:
3135:
3107:
3081:
3016:
2996:
2961:
2926:
2893:
2876:
2848:
2828:
2800:
2780:
2758:
2749:
2740:
2705:
2670:
2650:
2624:
2590:
2563:
2537:
2528:
2515:
2489:
2480:
2467:
2441:
2403:
2382:
2361:
2329:
2307:
2280:
2253:
2226:
2199:
2172:
2143:
2117:
2090:
2054:
2024:
2022:
1999:
1970:
1941:
1893:
1867:
1844:
1800:
1778:
1757:
1736:
1701:
1678:
1649:
1620:
1582:
1554:
1548:
1528:
1508:
1488:
1468:
1427:
1407:
1387:
1361:
1341:
1317:
1297:
1238:
1197:
1153:
1130:
1110:
1090:
1070:
1023:
1003:
983:
960:
940:
920:
897:
862:
841:
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748:
728:
708:
688:
668:
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514:
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453:
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354:
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307:
284:
264:
244:
224:
204:
184:
157:
134:
114:
3069:{\displaystyle f(x)=\inf\{r:x\in U(r)\}}
1283:
3303:
3296:
3130:, it is then not too hard to show that
2551:{\displaystyle V\left(k/2^{n}\right)}
2503:{\displaystyle U\left(k/2^{n}\right)}
2391:{\displaystyle U(1)=B^{\complement }}
1382:is closed, then there exists an open
7:
3228:{\displaystyle f(B)\subseteq \{1\}.}
105:Two sets separated by neighborhoods.
3184:{\displaystyle f(A)\subseteq \{0\}}
3150:is continuous and has the property
2921:Once we have these sets, we define
2558:have already been constructed for
1925:{\displaystyle V(r)\subseteq U(s)}
1832:{\displaystyle U(r)\subseteq V(r)}
344:separated by a continuous function
25:
1573:The sets we build are indexed by
783:are separated by neighbourhoods.
743:are separated by a function then
259:that are disjoint. In particular
3792:
3765:
3755:
3745:
3734:
3724:
3723:
3517:
1563:{\displaystyle B^{\complement }}
1994:expand outwards in layers from
1724:{\displaystyle A\subseteq U(r)}
663:It follows that if two subsets
3819:Theory of continuous functions
3251:
3245:
3207:
3201:
3166:
3160:
3060:
3054:
3027:
3021:
2984:{\displaystyle x\not \in U(r)}
2978:
2972:
2937:
2931:
2414:
2408:
2372:
2366:
2352:This construction proceeds by
2315:
2301:
2288:
2274:
2261:
2247:
2234:
2220:
2207:
2193:
2180:
2166:
2125:
2111:
2098:
2084:
1981:
1975:
1952:
1946:
1919:
1913:
1904:
1898:
1826:
1820:
1811:
1805:
1747:
1741:
1718:
1712:
1660:
1654:
1631:
1625:
1615:, we construct an open subset
1602:
1590:
1503:be disjoint closed subsets of
1249:
1243:
1208:
1202:
1179:
1167:
1164:
1148:there exists a continuous map
873:
867:
573:Any such function is called a
525:
519:
464:
458:
435:
423:
380:
368:
365:
1:
86:The lemma is named after the
1577:. For every dyadic fraction
1375:{\displaystyle Y\subseteq Z}
3389:Encyclopedia of Mathematics
1270:{\displaystyle f(B)=\{1\}.}
174:separated by neighbourhoods
3850:
3686:Banach fixed-point theorem
3320:Willard, Stephen (2004) .
1608:{\displaystyle r\in (0,1)}
1226:{\displaystyle f(A)=\{0\}}
885:{\displaystyle f(x)\neq 0}
660:are necessarily disjoint.
299:are necessarily disjoint.
3719:
3515:
3357:Willard, Stephen (1970).
91:Pavel Samuilovich Urysohn
18:Urysohn extension theorem
81:Tietze extension theorem
3264:sets in order to work.
3235:This step requires the
2455:{\displaystyle n\geq 0}
1185:{\displaystyle f:X\to }
836:precisely separated by
566:{\displaystyle b\in B.}
386:{\displaystyle f:X\to }
50:if and only if any two
3741:Mathematics portal
3641:Metrics and properties
3627:Second-countable space
3361:. Dover Publications.
3258:
3229:
3185:
3144:
3116:
3096:
3095:{\displaystyle x\in X}
3070:
3005:
2985:
2950:
2949:{\displaystyle f(x)=1}
2909:
2726:
2659:
2639:
2609:
2552:
2504:
2456:
2427:
2426:{\displaystyle V(0)=A}
2392:
2354:mathematical induction
2343:
2008:
1988:
1959:
1936:Intuitively, the sets
1926:
1882:
1881:{\displaystyle r<s}
1853:
1833:
1787:
1767:
1725:
1687:
1667:
1638:
1609:
1564:
1537:
1517:
1497:
1477:
1454:
1416:
1396:
1376:
1350:
1326:
1306:
1289:
1271:
1227:
1186:
1142:
1119:
1099:
1079:
1032:
1012:
992:
972:
949:
929:
909:
908:{\displaystyle \neq 1}
886:
850:
828:
808:
777:
757:
737:
717:
697:
677:
654:
634:
614:
591:
567:
538:
537:{\displaystyle f(b)=1}
503:
502:{\displaystyle a\in A}
477:
476:{\displaystyle f(a)=0}
442:
407:
387:
336:
316:
293:
273:
253:
233:
213:
193:
166:
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