1682:
1034:
1677:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \!\left(\int _{0}^{t}{\frac {dB(s)}{1-s}}\right)&=\mathrm {d} \!\left(\sum _{j=0}^{n-1}{\frac {B((j+1)t/n)-B(jt/n)}{1-jt/n}}\right)\\&=\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {B((j+1)t/n)-B(jt/n)}{1-jt/n}}\right)-\left(\sum _{j=0}^{n-1}{\frac {B((j+1)t/n)-B(jt/n)}{1-jt/n}}\right)\\&={\frac {B((n+1)t/n)-B(t)}{1-t}}-\left\\&\to {\frac {dB(t)}{1-t}}\end{aligned}}}
2197:
1875:
1027:
16:
Edit this page (or any of the subsections by clicking "edit" next to the heading). Add, change, correct, modify anything you like. All the changes are logged anyway. If you think you know something (even just a vague general idea), just post it, and we'll see how much we can get out of it.
282:
612:
843:
2192:{\displaystyle df(X(t),t)={\frac {\partial f}{\partial t}}dt+{\frac {\partial f}{\partial X}}\underbrace {\left} _{dX_{t}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}b(X,t)^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial X^{2}}}} _{\mathrm {Ito} \;\mathrm {correction} }dt}
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1022:{\displaystyle \mathrm {d} \!\left(\int _{0}^{t}{\frac {dB(s)}{1-s}}\right)=\int _{0}^{t}\mathrm {d} \left({\frac {dB(s)}{1-s}}\right)={\frac {dB(t)}{1-t}}}
25:
hah. If you thought the 2005 final was bad, go look at the one with carbon nanotube crystals. That's crazy. I can't even find papers on how to do it.
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401:
277:{\displaystyle {\bigg \langle }\int _{0}^{t}G(s)dB(s)\cdot \int _{0}^{t}H(s)dB(s){\bigg \rangle }=\int _{0}^{t}\langle G(s)H(s)\rangle ds}
288:
607:{\displaystyle \phi (t)=\phi _{0}+{\frac {\omega _{0}}{\gamma }}\left(1-e^{-\gamma t}\right)+\sigma \int _{0}^{t}e^{\gamma s}B(s)\,ds}
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2373:
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838:{\displaystyle \omega _{t}={\frac {d\phi (t)}{dt}}=\omega _{0}-\gamma \left(\phi _{t}-\phi _{0}\right)+\sigma B_{t}}
2971:
3024:
3134:
2432:
1815:
2751:
2483:
2298:{\displaystyle df(x(t),t)={\frac {\partial f}{\partial t}}dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}dx}
710:{\displaystyle d\omega _{t}=-\gamma \,\underbrace {\omega _{t}\,dt} _{d\phi _{t}}+\sigma dB_{t}}
1828:
1799:
1819:
3242:{\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{2\gamma }}\left(1-e^{-2\gamma t}\right)}
2875:{\displaystyle X_{t}=X_{0}e^{-\gamma t}+\sigma \int e^{\gamma (s-t)}dB(s)}
104:{\displaystyle {\bigg \langle }\int _{0}^{t}G(s)dB(s){\bigg \rangle }=0}
2364:{\displaystyle \langle {\dot {\phi }}\rangle =\omega _{0}e^{-\gamma t}}
459:{\displaystyle {\ddot {\phi }}=-\gamma {\dot {\phi }}+\sigma \eta (t)}
390:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})\{B_{t_{i+1}}-B_{t_{i}}\}}
2960:{\displaystyle dN_{t}=rN_{t}\,dt+\alpha N_{t}\,dB_{t}}
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