User:Quietbritishjim/Approximate identity
Source 📝
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1548:{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\left\vert \mathbf {y} \right\vert >\alpha _{1}}\left\vert f(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\right\vert \varphi _{\varepsilon }(\mathbf {y} )\,\mathrm {d} \mathbf {y} \leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}\left\vert f(\mathbf {y} )\right\vert \mathrm {d} \mathbf {y} \sup _{\left\vert \mathbf {y} \right\vert >\alpha _{1}}\varphi _{\varepsilon }(\mathbf {y} )\to 0&&\quad {\text{as }}\varepsilon \to \infty ,\\&\int _{\left\vert \mathbf {y} \right\vert >\alpha _{1}}\left\vert f(\mathbf {x} )\right\vert \varphi _{\varepsilon }(\mathbf {y} )\,\mathrm {d} \mathbf {y} \leq \left\vert f(\mathbf {x} )\right\vert \int _{\vert \mathbf {y} \vert >\alpha _{1}}\varphi _{\varepsilon }(\mathbf {y} )\,\mathrm {d} \mathbf {y} \to 0&&\quad {\text{as }}\varepsilon \to \infty ,\\\end{aligned}}}
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270:{\displaystyle \textstyle \int \varphi _{\varepsilon }(\mathbf {x} )\,\mathrm {d} \mathbf {x} =1}
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