4967:
2266:
2289:(roughly speaking, smooth functions that decay quickly and whose derivatives all decay quickly). This condition has the benefit that it is an elementary direct statement about the function (as opposed to imposing a condition on its Fourier transform), and the integral that defines the Fourier transform and its inverse are absolutely integrable. This version of the theorem is used in the proof of the Fourier inversion theorem for tempered distributions (see below).
31:
1881:
6550:
2261:{\displaystyle {\begin{aligned}f&={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }\,e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi \\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi ix\cdot \zeta }\,e^{2\pi iy\cdot \zeta }\,f(y)\,dy\,d\zeta \\&={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x).\end{aligned}}}
6114:
2304:) with absolutely integrable Fourier transform. This includes all Schwartz functions, so is a strictly stronger form of the theorem than the previous one mentioned. These conditions have the benefit that the integrals that define the Fourier transform and its inverse are absolutely integrable. This condition is the one used above in the
3224:
6275:
5327:
3002:
5173:
2276:
When used in physics and engineering, the
Fourier inversion theorem is often used under the assumption that everything "behaves nicely". In mathematics such heuristic arguments are not permitted, and the Fourier inversion theorem includes an explicit specification of what class of functions is being
5889:
3573:
4259:
4145:
6545:{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-\pi \varepsilon ^{2}|\xi |^{2}+2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {1}{\varepsilon ^{n}}}e^{-{\frac {\pi }{\varepsilon ^{2}}}|x-y|^{2}}f(y)\,dy=(\phi _{\varepsilon }*f)(x),}
3031:
1269:
6252:
4387:
6770:
1115:
457:
2819:) but merely piecewise continuous then a version of the Fourier inversion theorem still holds. In this case the integral in the inverse Fourier transform is defined with the aid of a smooth rather than a sharp cut off function; specifically we define
2570:
877:
4709:
3762:
3999:
314:
734:
196:
5184:
2825:
4608:
5045:
4499:
2704:
4939:
6109:{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-\pi \varepsilon ^{2}|\xi |^{2}+2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi .}
4979:
the
Fourier inversion theorem often plays a critical role. In many situations the basic strategy is to apply the Fourier transform, perform some operation or simplification, and then apply the inverse Fourier transform.
3422:
5654:
4831:
6649:
1423:
5566:
5444:
3634:
558:
4153:
1802:
4970:
Some problems, such as certain differential equations, become easier to solve when the
Fourier transform is applied. In that case the solution to the original problem is recovered using the inverse Fourier
3313:
1685:
967:
3929:
2408:
1597:
3881:
5878:
3389:
2766:
4147:, either by duality from the inverse transform on Schwartz functions in the same way, or by defining it in terms of the flip operator (where the flip operator is defined by duality). We then have
1886:
5039:
may easily be used for the inverse
Fourier transform by composing the looked-up function with the flip operator. For example, looking up the Fourier transform of the rect function we see that
5707:
3828:
3219:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\vert \xi \vert ^{2}}.}
3329:
and assume merely that it is absolutely integrable, then a version of the theorem still holds. The inverse transform is again be define the smooth cut off, but with the conclusion that
1132:
6792:
is a transformation that maps functions to functions. The flip operator, the
Fourier transform, the inverse Fourier transform and the identity transform are all examples of operators.
6139:
4307:
6660:
4050:
983:
325:
5021:
The inverse
Fourier transform is extremely similar to the original Fourier transform: as discussed above, it differs only in the application of a flip operator. For this reason the
4029:
3412:
In this case the
Fourier transform cannot be defined directly as an integral since the it may not be absolutely convergent, so it is instead defined by a density argument (see the
1523:
1839:
1722:
2447:
585:. However, even under more general conditions versions of the Fourier inversion theorem hold. In these cases the integrals above may not make sense, or the theorem may hold for
1486:
1456:
1863:
766:
1345:
4619:
5322:{\displaystyle g(\xi )=\operatorname {rect} (a\xi )\quad \Rightarrow \quad ({\mathcal {F}}^{-1}g)(x)={\frac {1}{|a|}}\operatorname {sinc} \left(-{\frac {x}{a}}\right)\!.}
3648:
3937:
207:
2997:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} }\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\xi ^{2}}.}
624:
86:
5168:{\displaystyle f(x)=\operatorname {rect} (ax)\quad \Rightarrow \quad ({\mathcal {F}}f)(\xi )={\frac {1}{|a|}}\operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{a}}\right)\!,}
2277:
allowed. However, there is no "best" class of functions to consider so several variants of the
Fourier inversion theorem exist, albeit with compatible conclusions.
4505:
4393:
2587:
4966:
3642:
norm. The inverse transform may be defined by density in the same way or by defining it terms of the
Fourier transform and the flip operator. We then have
4837:
3568:{\displaystyle g_{k}(\xi ):=\int _{\{y\in \mathbb {R} ^{n}:\left\vert y\right\vert \leq k\}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,\qquad k\in \mathbb {N} ,}
2800:
A higher dimensional analogue of this form of the theorem also holds, but according to
Folland (1992) is "rather delicate and not terribly useful".
5593:
4715:
6578:
1356:
6816:
5478:
4254:{\displaystyle {\mathcal {F}}{\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}.}
5373:
3581:
500:
1730:
747:
The most common statement of the Fourier inversion theorem is to state the inverse transform as an integral. For any integrable function
3025:
then the Fourier inversion theorem still holds so long as we again define the inverse transform with a smooth cut off function i.e.
3241:
1613:
895:
3886:
2339:
1528:
5825:
6813:
3335:
2712:
3833:
40:
article. This process is now complete and the text below has been moved to the main space; any changes should be made there.
5881:
4298:
5676:
3791:
5030:
1264:{\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\cos(2\pi i(x-y)\cdot \xi )\,f(y)\,dy\,d\xi .}
6247:{\displaystyle ({\mathcal {F}}g)(y)={\frac {1}{\varepsilon ^{n}}}e^{-{\frac {\pi }{\varepsilon ^{2}}}|x-y|^{2}}.}
4382:{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,\quad {\hat {f}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}
37:
6765:{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =f(x).\qquad \square }
4140:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\colon {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}
1110:{\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}
452:{\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}
1724:
is a left inverse for the Fourier transform. However it is also a right inverse for the Fourier transform i.e.
4007:
2565:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{-R}^{R}e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi .}
5762:
4984:
1491:
1810:
1693:
2441:) and is piecewise smooth then a version of the Fourier inversion theorem holds. In this case we define
872:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi .}
4270:
When considering the Fourier series of a function it is conventional to rescale it so that it acts on
1461:
1431:
4704:{\displaystyle f\colon ^{n}\to \mathbb {C} ,\quad {\hat {f}}\colon \mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {C} ,}
570:
17:
3757:{\displaystyle f(x)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x)={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}
1844:
5026:
3994:{\displaystyle \langle {\mathcal {F}}f,\varphi \rangle :=\langle f,{\mathcal {F}}\varphi \rangle ,}
1297:
309:{\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }\,({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi .}
2317:
be continuous but still require that it and its Fourier transform are absolutely integrable. Then
2297:
The Fourier inversion theorem holds for all continuous functions that absolutely integrable (i.e.
729:{\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\xi ):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy.}
191:{\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\xi ):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,}
3007:
The conclusion of the theorem is then the same as for the piecewise smooth case discussed above.
4983:
More abstractly, the Fourier inversion theorem is a statement about the Fourier transform as an
5036:
5022:
4988:
4976:
3786:
3413:
2327:
2286:
615:
77:
55:
1428:
It is immediate from the definition of the Fourier transform and the flip operator that both
4603:{\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }\,{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}
4494:{\displaystyle {\hat {f}}(\xi ):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,}
2699:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)={\frac {1}{2}}(f(x_{-})+f(x_{+})),}
3830:
by duality of the Fourier transform on the space of Schwartz functions. Specifically for
63:
4934:{\displaystyle f(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot k}\,{\hat {f}}(k).}
3768:
3395:
54:
says that for many types of function it is possible to recover a function from its
1865:, this follows very easily from the Fourier inversion theorem (changing variables
4282:
periodic). In this section we instead use the somewhat unusual convention taking
1126:
is real valued then by taking the real part of each side of the above we obtain
5747:
4047:
then this agrees with the usual definition. We may define the inverse transform
47:
1607:
The form of the Fourier inversion theorem stated above, as is common, is that
586:
66:
information about a wave then we may reconstruct the original wave precisely.
59:
5649:{\displaystyle \textstyle \int f({\mathcal {F}}g)=\int ({\mathcal {F}}f)g}
6789:
4826:{\displaystyle {\hat {f}}(k):=\int _{^{n}}e^{-2\pi iy\cdot k}\,f(y)\,dy,}
6644:{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}\phi _{\varepsilon }*f(x)=f(x).}
1418:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f:=R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}Rf.}
5561:{\displaystyle ({\mathcal {F}}g)(\xi )=({\mathcal {F}}f)(\xi /a)/a^{n}}
4293:, since that matches the convention of the Fourier transform used here.
739:
Furthermore, we assume that the Fourier transform is also integrable.
5439:{\displaystyle ({\mathcal {F}}g)(\xi )=({\mathcal {F}}f)(\xi -\eta )}
3629:{\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}f:=\lim _{k\to \infty }g_{k}}
553:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}R=R{\mathcal {F}}.}
58:. Intuitively it may be viewed as the statement that if we know all
1797:{\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(\xi )=f(\xi ).}
2808:
If the function is absolutely integrable in one dimension (i.e.
2430:
If the function is absolutely integrable in one dimension (i.e.
3323:
If we drop all assumptions about the (piecewise) continuity of
25:
3308:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}
1680:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}
962:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}
6713:
6367:
6148:
6076:
5942:
5831:
5682:
5631:
5609:
5515:
5487:
5410:
5382:
5232:
5092:
4219:
4203:
4187:
4167:
4159:
4110:
4077:
4057:
4013:
3977:
3946:
3924:{\displaystyle \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}
3898:
3846:
3797:
3734:
3715:
3680:
3669:
3588:
3361:
3342:
3267:
3248:
3038:
2832:
2738:
2719:
2613:
2594:
2454:
2403:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=g(x)}
2365:
2346:
2311:
A slight variant is to drop the condition that the function
2222:
2211:
1921:
1902:
1850:
1817:
1747:
1736:
1700:
1639:
1620:
1592:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}
1554:
1535:
1498:
1467:
1440:
1401:
1388:
1363:
921:
902:
773:
633:
569:
and its Fourier transform are absolutely integrable (in the
542:
526:
507:
276:
95:
5873:{\displaystyle {\mathcal {F}}f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}
5002:
shows that the Fourier transform is a unitary operator on
1525:, and in particular are equal to each other and satisfy
5178:
so the corresponding fact for the inverse transform is
3384:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}
2761:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}
5597:
3876:{\displaystyle f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}
3585:
2293:
Integrable functions with integrable Fourier transform
6663:
6581:
6278:
6142:
5892:
5828:
5679:
5596:
5481:
5376:
5187:
5048:
4840:
4718:
4622:
4508:
4396:
4310:
4156:
4053:
4010:
3940:
3889:
3836:
3794:
3787:
may be defined on the space of tempered distributions
3651:
3584:
3425:
3338:
3244:
3034:
2828:
2715:
2590:
2450:
2342:
1884:
1847:
1813:
1733:
1696:
1616:
1531:
1494:
1464:
1434:
1359:
1300:
1135:
986:
898:
769:
627:
503:
328:
210:
89:
5025:
hold for the inverse Fourier transform, such as the
2768:equals the average of the left and right limits of
36:This page was used while drafting a rewrite of the
6764:
6643:
6544:
6246:
6108:
5872:
5701:
5648:
5560:
5438:
5321:
5167:
4933:
4825:
4703:
4602:
4493:
4381:
4297:The Fourier inversion theorem is analogous to the
4253:
4139:
4023:
3993:
3923:
3875:
3822:
3756:
3628:
3567:
3383:
3307:
3218:
2996:
2760:
2698:
2564:
2402:
2260:
1857:
1833:
1796:
1716:
1679:
1591:
1517:
1480:
1450:
1417:
1339:
1263:
1109:
961:
871:
728:
552:
469:Another way to state the theorem is note that, if
451:
308:
190:
5315:
5161:
4991:). For example, the Fourier inversion theorem on
3319:No regularity condition; any number of dimensions
6583:
6133:. Applying the first and second fact from above
5973:
5702:{\displaystyle {\mathcal {F}}\varphi =\varphi .}
3823:{\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}
3600:
3068:
2862:
2484:
6807:Introduction to Partial Differential Equations
6654:Putting together the above we have shown that
614:is an integrable continuous function. Use the
76:satisfying certain conditions, and we use the
8:
3985:
3966:
3960:
3941:
3494:
3453:
3202:
3195:
2285:The Fourier inversion theorem holds for all
69:The theorem says that if we have a function
6809:, 2nd ed, Princeton University Press, 1995.
4950:is simply an integer and the sum runs from
4613:In the Fourier series case we instead have
3021:is continuous and absolutely integrable on
1275:Inverse transform in terms of flip operator
4031:is defined using the integral formula. If
3229:The conclusion is now simply that for all
6733:
6712:
6711:
6687:
6675:
6671:
6670:
6668:
6662:
6602:
6586:
6580:
6515:
6498:
6478:
6473:
6458:
6450:
6441:
6437:
6425:
6416:
6408:
6404:
6403:
6401:
6387:
6366:
6365:
6333:
6328:
6319:
6313:
6302:
6290:
6286:
6285:
6283:
6277:
6233:
6228:
6213:
6205:
6196:
6192:
6180:
6171:
6147:
6146:
6141:
6096:
6075:
6074:
6042:
6037:
6028:
6022:
6011:
5999:
5995:
5994:
5992:
5976:
5962:
5941:
5940:
5916:
5904:
5900:
5899:
5897:
5891:
5861:
5857:
5856:
5846:
5830:
5829:
5827:
5681:
5680:
5678:
5630:
5629:
5608:
5607:
5595:
5552:
5543:
5532:
5514:
5513:
5486:
5485:
5480:
5409:
5408:
5381:
5380:
5375:
5300:
5278:
5270:
5264:
5237:
5231:
5230:
5186:
5147:
5129:
5121:
5115:
5091:
5090:
5047:
4908:
4907:
4906:
4885:
4873:
4869:
4868:
4860:
4839:
4813:
4800:
4776:
4764:
4747:
4720:
4719:
4717:
4694:
4693:
4684:
4680:
4679:
4664:
4663:
4655:
4654:
4645:
4621:
4590:
4570:
4569:
4568:
4547:
4535:
4531:
4530:
4528:
4507:
4481:
4468:
4444:
4432:
4428:
4427:
4425:
4398:
4397:
4395:
4372:
4371:
4362:
4358:
4357:
4342:
4341:
4333:
4332:
4323:
4319:
4318:
4309:
4237:
4233:
4232:
4218:
4217:
4215:
4202:
4201:
4192:
4186:
4185:
4172:
4166:
4165:
4158:
4157:
4155:
4128:
4124:
4123:
4109:
4108:
4095:
4091:
4090:
4076:
4075:
4062:
4056:
4055:
4052:
4012:
4011:
4009:
3976:
3975:
3945:
3944:
3939:
3912:
3908:
3907:
3897:
3896:
3888:
3864:
3860:
3859:
3845:
3844:
3835:
3811:
3807:
3806:
3796:
3795:
3793:
3733:
3732:
3720:
3714:
3713:
3685:
3679:
3678:
3668:
3667:
3650:
3619:
3603:
3587:
3586:
3583:
3558:
3557:
3540:
3527:
3503:
3468:
3464:
3463:
3452:
3430:
3424:
3360:
3359:
3347:
3341:
3340:
3337:
3266:
3265:
3253:
3247:
3246:
3243:
3205:
3191:
3161:
3148:
3127:
3122:
3111:
3094:
3090:
3089:
3087:
3071:
3043:
3037:
3036:
3033:
2983:
2975:
2945:
2932:
2914:
2909:
2898:
2883:
2882:
2881:
2865:
2837:
2831:
2830:
2827:
2737:
2736:
2724:
2718:
2717:
2714:
2681:
2659:
2636:
2612:
2611:
2599:
2593:
2592:
2589:
2552:
2539:
2521:
2511:
2503:
2487:
2459:
2453:
2452:
2449:
2364:
2363:
2351:
2345:
2344:
2341:
2227:
2221:
2220:
2210:
2209:
2192:
2185:
2172:
2151:
2146:
2122:
2110:
2106:
2105:
2103:
2091:
2087:
2086:
2084:
2063:
2056:
2043:
2019:
2014:
1993:
1981:
1977:
1976:
1974:
1962:
1958:
1957:
1955:
1920:
1919:
1907:
1901:
1900:
1885:
1883:
1849:
1848:
1846:
1822:
1816:
1815:
1812:
1752:
1746:
1745:
1735:
1734:
1732:
1705:
1699:
1698:
1695:
1638:
1637:
1625:
1619:
1618:
1615:
1553:
1552:
1540:
1534:
1533:
1530:
1503:
1497:
1496:
1493:
1466:
1465:
1463:
1439:
1438:
1433:
1400:
1399:
1387:
1386:
1368:
1362:
1361:
1358:
1299:
1251:
1244:
1231:
1181:
1177:
1176:
1174:
1162:
1158:
1157:
1155:
1134:
1097:
1090:
1077:
1044:
1032:
1028:
1027:
1025:
1013:
1009:
1008:
1006:
985:
920:
919:
907:
901:
900:
897:
859:
846:
825:
813:
809:
808:
806:
778:
772:
771:
768:
716:
703:
679:
667:
663:
662:
660:
632:
631:
626:
541:
540:
525:
524:
512:
506:
505:
502:
439:
432:
419:
386:
374:
370:
369:
367:
355:
351:
350:
348:
327:
296:
275:
274:
270:
249:
237:
233:
232:
230:
209:
178:
165:
141:
129:
125:
124:
122:
94:
93:
88:
6561:with an approximate identity. But since
4965:
4301:. In the Fourier transform case we have
743:Inverse Fourier transform as an integral
6781:
319:In other words, the theorem says that
4977:applications of the Fourier transforrm
4024:{\displaystyle {\mathcal {F}}\varphi }
6817:Category:Theorems in Fourier analysis
5818:(where the convergence is pointwise).
2421:Integrable functions in one dimension
7:
4989:Fourier transform on function spaces
3011:Continuous; any number of dimensions
1518:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}
616:convention for the Fourier transform
78:convention for the Fourier transform
6257:Thus using the third fact above on
5023:properties of the Fourier transform
2804:Piecewise continuous; one dimension
1834:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}
1717:{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}
3610:
3078:
2872:
2494:
24:
2786:is continuous this simply equals
1488:match the integral definition of
462:This last equation is called the
5590:, Fubini's theorem implies that
4944:In particular, in one dimension
3636:where the limit is taken in the
1481:{\displaystyle {\mathcal {F}}Rf}
1451:{\displaystyle R{\mathcal {F}}f}
977:The theorem can be restated as
29:
6758:
5225:
5221:
5086:
5082:
5017:Properties of inverse transform
4662:
4340:
3550:
3171:
2955:
2426:Piecewise smooth; one dimension
608:In this section we assume that
6814:Category:Generalized functions
6752:
6746:
6730:
6724:
6721:
6708:
6635:
6629:
6620:
6614:
6590:
6536:
6530:
6527:
6508:
6495:
6489:
6474:
6459:
6384:
6378:
6375:
6362:
6329:
6320:
6229:
6214:
6165:
6159:
6156:
6143:
6093:
6087:
6084:
6071:
6038:
6029:
5980:
5959:
5953:
5950:
5937:
5867:
5852:
5639:
5626:
5617:
5604:
5540:
5526:
5523:
5510:
5504:
5498:
5495:
5482:
5433:
5421:
5418:
5405:
5399:
5393:
5390:
5377:
5279:
5271:
5258:
5252:
5249:
5226:
5222:
5218:
5209:
5197:
5191:
5130:
5122:
5109:
5103:
5100:
5087:
5083:
5079:
5070:
5058:
5052:
4925:
4919:
4913:
4850:
4844:
4810:
4804:
4761:
4748:
4737:
4731:
4725:
4690:
4669:
4651:
4642:
4629:
4587:
4581:
4575:
4518:
4512:
4478:
4472:
4415:
4409:
4403:
4368:
4347:
4329:
4243:
4228:
4134:
4119:
4104:
4101:
4086:
3918:
3903:
3870:
3855:
3817:
3802:
3751:
3745:
3742:
3729:
3706:
3700:
3697:
3674:
3661:
3655:
3607:
3537:
3531:
3442:
3436:
3378:
3372:
3369:
3356:
3299:
3293:
3284:
3278:
3275:
3262:
3181:
3175:
3158:
3152:
3119:
3105:
3075:
3061:
3055:
2965:
2959:
2942:
2936:
2906:
2892:
2869:
2855:
2849:
2755:
2749:
2746:
2733:
2690:
2687:
2674:
2665:
2652:
2646:
2630:
2624:
2621:
2608:
2549:
2543:
2491:
2477:
2471:
2397:
2391:
2382:
2376:
2373:
2360:
2336:is a continuous function, and
2305:
2248:
2242:
2239:
2216:
2182:
2176:
2053:
2047:
1938:
1932:
1929:
1916:
1858:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
1788:
1782:
1773:
1767:
1764:
1741:
1671:
1665:
1656:
1650:
1647:
1634:
1586:
1580:
1571:
1565:
1562:
1549:
1331:
1322:
1313:
1307:
1241:
1235:
1228:
1219:
1207:
1195:
1145:
1139:
1087:
1081:
1066:
1054:
996:
990:
953:
947:
938:
932:
929:
916:
856:
850:
796:
790:
713:
707:
650:
644:
641:
628:
429:
423:
408:
396:
338:
332:
293:
287:
284:
271:
220:
214:
175:
169:
112:
106:
103:
90:
1:
5882:dominated convergence theorem
5763:approximation to the identity
4299:convergence of Fourier series
1340:{\displaystyle Rg(x):=g(-x).}
5337:The proof uses a few facts.
5037:Tables of Fourier transforms
2780:. Note that at points where
1350:Then we may instead define
3883:and for all test functions
3408:Square integrable functions
579:is continuous at the point
6832:
4265:Relation to Fourier series
2272:Conditions on the function
563:The theorem holds if both
475:is the flip operator i.e.
3416:). For example, putting
3414:Fourier transform article
1285:define the flip operator
52:Fourier inversion theorem
38:Fourier inversion theorem
973:Fourier integral theorem
464:Fourier integral theorem
5822:First note that, since
6766:
6645:
6546:
6248:
6110:
5874:
5703:
5650:
5562:
5440:
5323:
5169:
5031:Riemann–Lebesgue lemma
4972:
4935:
4827:
4705:
4604:
4495:
4383:
4255:
4141:
4025:
3995:
3925:
3877:
3824:
3785:The Fourier transform
3781:Tempered distributions
3758:
3630:
3569:
3385:
3309:
3220:
2998:
2762:
2700:
2566:
2404:
2262:
1859:
1835:
1798:
1718:
1681:
1593:
1519:
1482:
1452:
1419:
1341:
1265:
1111:
963:
873:
730:
554:
453:
310:
192:
6767:
6646:
6547:
6249:
6111:
5875:
5765:: for any continuous
5704:
5651:
5563:
5441:
5324:
5170:
4969:
4936:
4828:
4706:
4605:
4496:
4384:
4256:
4142:
4026:
3996:
3926:
3878:
3825:
3759:
3631:
3570:
3386:
3310:
3221:
2999:
2763:
2701:
2567:
2405:
2263:
1860:
1836:
1799:
1719:
1682:
1594:
1520:
1483:
1453:
1420:
1342:
1266:
1112:
964:
874:
731:
555:
454:
311:
193:
6661:
6579:
6276:
6140:
5890:
5826:
5677:
5594:
5479:
5374:
5185:
5046:
4838:
4716:
4620:
4506:
4394:
4308:
4154:
4051:
4008:
3938:
3887:
3834:
3792:
3649:
3582:
3423:
3336:
3242:
3032:
2826:
2713:
2588:
2448:
2340:
1882:
1845:
1811:
1731:
1694:
1614:
1529:
1492:
1462:
1432:
1357:
1298:
1133:
984:
896:
767:
625:
594:rather than for all
501:
326:
208:
87:
18:User:Quietbritishjim
6572:the last fact says
6555:the convolution of
5027:Convolution theorem
2516:
6762:
6641:
6597:
6542:
6244:
6106:
5987:
5870:
5699:
5646:
5645:
5558:
5436:
5319:
5165:
4973:
4931:
4880:
4823:
4701:
4600:
4491:
4379:
4251:
4137:
4021:
3991:
3921:
3873:
3820:
3754:
3626:
3625:
3614:
3565:
3381:
3305:
3216:
3082:
2994:
2876:
2758:
2696:
2562:
2499:
2498:
2400:
2287:Schwartz functions
2281:Schwartz functions
2258:
2256:
1855:
1831:
1794:
1714:
1677:
1589:
1515:
1478:
1448:
1415:
1337:
1261:
1107:
959:
869:
726:
550:
449:
306:
188:
6582:
6456:
6431:
6211:
6186:
5972:
5308:
5284:
5155:
5135:
4916:
4856:
4728:
4672:
4578:
4406:
4350:
4037:is a function in
3599:
3067:
2861:
2644:
2483:
2328:almost everywhere
2306:statement section
1841:is so similar to
1603:Two sided inverse
1279:For any function
56:Fourier transform
44:
43:
6823:
6793:
6786:
6771:
6769:
6768:
6763:
6717:
6716:
6707:
6706:
6682:
6681:
6680:
6679:
6674:
6650:
6648:
6647:
6642:
6607:
6606:
6596:
6571:
6560:
6551:
6549:
6548:
6543:
6520:
6519:
6485:
6484:
6483:
6482:
6477:
6462:
6457:
6455:
6454:
6442:
6432:
6430:
6429:
6417:
6415:
6414:
6413:
6412:
6407:
6371:
6370:
6361:
6360:
6338:
6337:
6332:
6323:
6318:
6317:
6297:
6296:
6295:
6294:
6289:
6268:
6262:
6253:
6251:
6250:
6245:
6240:
6239:
6238:
6237:
6232:
6217:
6212:
6210:
6209:
6197:
6187:
6185:
6184:
6172:
6152:
6151:
6132:
6115:
6113:
6112:
6107:
6080:
6079:
6070:
6069:
6047:
6046:
6041:
6032:
6027:
6026:
6006:
6005:
6004:
6003:
5998:
5986:
5946:
5945:
5936:
5935:
5911:
5910:
5909:
5908:
5903:
5879:
5877:
5876:
5871:
5866:
5865:
5860:
5851:
5850:
5835:
5834:
5817:
5782:
5775:
5760:
5745:
5741:
5708:
5706:
5705:
5700:
5686:
5685:
5672:
5655:
5653:
5652:
5647:
5635:
5634:
5613:
5612:
5589:
5582:
5576:
5567:
5565:
5564:
5559:
5557:
5556:
5547:
5536:
5519:
5518:
5491:
5490:
5474:
5455:
5445:
5443:
5442:
5437:
5414:
5413:
5386:
5385:
5369:
5347:
5328:
5326:
5325:
5320:
5314:
5310:
5309:
5301:
5285:
5283:
5282:
5274:
5265:
5245:
5244:
5236:
5235:
5174:
5172:
5171:
5166:
5160:
5156:
5148:
5136:
5134:
5133:
5125:
5116:
5096:
5095:
5012:
5001:
4957:
4953:
4949:
4940:
4938:
4937:
4932:
4918:
4917:
4909:
4905:
4904:
4879:
4878:
4877:
4872:
4832:
4830:
4829:
4824:
4799:
4798:
4771:
4770:
4769:
4768:
4730:
4729:
4721:
4710:
4708:
4707:
4702:
4697:
4689:
4688:
4683:
4674:
4673:
4665:
4658:
4650:
4649:
4609:
4607:
4606:
4601:
4580:
4579:
4571:
4567:
4566:
4542:
4541:
4540:
4539:
4534:
4500:
4498:
4497:
4492:
4467:
4466:
4439:
4438:
4437:
4436:
4431:
4408:
4407:
4399:
4388:
4386:
4385:
4380:
4375:
4367:
4366:
4361:
4352:
4351:
4343:
4336:
4328:
4327:
4322:
4288:
4280:
4260:
4258:
4257:
4252:
4247:
4246:
4242:
4241:
4236:
4227:
4223:
4222:
4207:
4206:
4200:
4199:
4191:
4190:
4180:
4179:
4171:
4170:
4163:
4162:
4146:
4144:
4143:
4138:
4133:
4132:
4127:
4118:
4114:
4113:
4100:
4099:
4094:
4085:
4081:
4080:
4070:
4069:
4061:
4060:
4046:
4036:
4030:
4028:
4027:
4022:
4017:
4016:
4000:
3998:
3997:
3992:
3981:
3980:
3950:
3949:
3930:
3928:
3927:
3922:
3917:
3916:
3911:
3902:
3901:
3882:
3880:
3879:
3874:
3869:
3868:
3863:
3854:
3850:
3849:
3829:
3827:
3826:
3821:
3816:
3815:
3810:
3801:
3800:
3776:
3763:
3761:
3760:
3755:
3738:
3737:
3728:
3727:
3719:
3718:
3693:
3692:
3684:
3683:
3673:
3672:
3641:
3635:
3633:
3632:
3627:
3624:
3623:
3613:
3592:
3591:
3574:
3572:
3571:
3566:
3561:
3526:
3525:
3498:
3497:
3487:
3473:
3472:
3467:
3435:
3434:
3403:
3390:
3388:
3387:
3382:
3365:
3364:
3355:
3354:
3346:
3345:
3328:
3314:
3312:
3311:
3306:
3271:
3270:
3261:
3260:
3252:
3251:
3235:
3225:
3223:
3222:
3217:
3212:
3211:
3210:
3209:
3147:
3146:
3115:
3101:
3100:
3099:
3098:
3093:
3081:
3051:
3050:
3042:
3041:
3024:
3020:
3003:
3001:
3000:
2995:
2990:
2989:
2988:
2987:
2931:
2930:
2902:
2888:
2887:
2886:
2875:
2845:
2844:
2836:
2835:
2818:
2796:
2785:
2779:
2773:
2767:
2765:
2764:
2759:
2742:
2741:
2732:
2731:
2723:
2722:
2705:
2703:
2702:
2697:
2686:
2685:
2664:
2663:
2645:
2637:
2617:
2616:
2607:
2606:
2598:
2597:
2581:
2571:
2569:
2568:
2563:
2538:
2537:
2515:
2510:
2497:
2467:
2466:
2458:
2457:
2440:
2416:
2409:
2407:
2406:
2401:
2369:
2368:
2359:
2358:
2350:
2349:
2335:
2326:
2316:
2303:
2267:
2265:
2264:
2259:
2257:
2235:
2234:
2226:
2225:
2215:
2214:
2202:
2171:
2170:
2145:
2144:
2117:
2116:
2115:
2114:
2109:
2098:
2097:
2096:
2095:
2090:
2073:
2042:
2041:
2013:
2012:
1988:
1987:
1986:
1985:
1980:
1969:
1968:
1967:
1966:
1961:
1944:
1925:
1924:
1915:
1914:
1906:
1905:
1874:
1864:
1862:
1861:
1856:
1854:
1853:
1840:
1838:
1837:
1832:
1830:
1829:
1821:
1820:
1803:
1801:
1800:
1795:
1760:
1759:
1751:
1750:
1740:
1739:
1723:
1721:
1720:
1715:
1713:
1712:
1704:
1703:
1690:In other words,
1686:
1684:
1683:
1678:
1643:
1642:
1633:
1632:
1624:
1623:
1598:
1596:
1595:
1590:
1558:
1557:
1548:
1547:
1539:
1538:
1524:
1522:
1521:
1516:
1511:
1510:
1502:
1501:
1487:
1485:
1484:
1479:
1471:
1470:
1457:
1455:
1454:
1449:
1444:
1443:
1424:
1422:
1421:
1416:
1405:
1404:
1392:
1391:
1376:
1375:
1367:
1366:
1346:
1344:
1343:
1338:
1290:
1284:
1270:
1268:
1267:
1262:
1188:
1187:
1186:
1185:
1180:
1169:
1168:
1167:
1166:
1161:
1125:
1116:
1114:
1113:
1108:
1076:
1075:
1039:
1038:
1037:
1036:
1031:
1020:
1019:
1018:
1017:
1012:
968:
966:
965:
960:
925:
924:
915:
914:
906:
905:
888:
878:
876:
875:
870:
845:
844:
820:
819:
818:
817:
812:
786:
785:
777:
776:
759:
752:
735:
733:
732:
727:
702:
701:
674:
673:
672:
671:
666:
637:
636:
613:
599:
593:
584:
578:
568:
559:
557:
556:
551:
546:
545:
530:
529:
520:
519:
511:
510:
493:
474:
458:
456:
455:
450:
418:
417:
381:
380:
379:
378:
373:
362:
361:
360:
359:
354:
315:
313:
312:
307:
280:
279:
269:
268:
244:
243:
242:
241:
236:
197:
195:
194:
189:
164:
163:
136:
135:
134:
133:
128:
99:
98:
75:
33:
32:
26:
6831:
6830:
6826:
6825:
6824:
6822:
6821:
6820:
6802:
6797:
6796:
6787:
6783:
6778:
6683:
6669:
6664:
6659:
6658:
6598:
6577:
6576:
6562:
6556:
6511:
6472:
6446:
6433:
6421:
6402:
6397:
6327:
6309:
6298:
6284:
6279:
6274:
6273:
6264:
6258:
6227:
6201:
6188:
6176:
6138:
6137:
6120:
6036:
6018:
6007:
5993:
5988:
5912:
5898:
5893:
5888:
5887:
5855:
5842:
5824:
5823:
5799:
5791:
5784:
5777:
5766:
5759:
5751:
5743:
5720:
5712:
5675:
5674:
5660:
5592:
5591:
5584:
5578:
5572:
5548:
5477:
5476:
5457:
5450:
5372:
5371:
5349:
5342:
5335:
5296:
5292:
5269:
5229:
5183:
5182:
5143:
5120:
5044:
5043:
5019:
5003:
4992:
4964:
4955:
4951:
4945:
4881:
4867:
4836:
4835:
4772:
4760:
4743:
4714:
4713:
4678:
4641:
4618:
4617:
4543:
4529:
4524:
4504:
4503:
4440:
4426:
4421:
4392:
4391:
4356:
4317:
4306:
4305:
4284:
4275:
4267:
4231:
4216:
4211:
4184:
4164:
4152:
4151:
4122:
4107:
4089:
4074:
4054:
4049:
4048:
4038:
4032:
4006:
4005:
3936:
3935:
3906:
3885:
3884:
3858:
3843:
3832:
3831:
3805:
3790:
3789:
3783:
3771:
3712:
3677:
3647:
3646:
3637:
3615:
3580:
3579:
3499:
3477:
3462:
3448:
3426:
3421:
3420:
3410:
3398:
3339:
3334:
3333:
3324:
3245:
3240:
3239:
3230:
3201:
3187:
3123:
3088:
3083:
3035:
3030:
3029:
3022:
3016:
2979:
2971:
2910:
2877:
2829:
2824:
2823:
2809:
2787:
2781:
2775:
2769:
2716:
2711:
2710:
2677:
2655:
2591:
2586:
2585:
2576:
2517:
2451:
2446:
2445:
2431:
2423:
2411:
2343:
2338:
2337:
2331:
2318:
2312:
2298:
2295:
2283:
2274:
2255:
2254:
2219:
2200:
2199:
2147:
2118:
2104:
2099:
2085:
2080:
2071:
2070:
2015:
1989:
1975:
1970:
1956:
1951:
1942:
1941:
1899:
1892:
1880:
1879:
1866:
1843:
1842:
1814:
1809:
1808:
1744:
1729:
1728:
1697:
1692:
1691:
1617:
1612:
1611:
1605:
1532:
1527:
1526:
1495:
1490:
1489:
1460:
1459:
1430:
1429:
1360:
1355:
1354:
1296:
1295:
1286:
1280:
1277:
1175:
1170:
1156:
1151:
1131:
1130:
1121:
1040:
1026:
1021:
1007:
1002:
982:
981:
975:
899:
894:
893:
883:
821:
807:
802:
770:
765:
764:
754:
748:
745:
675:
661:
656:
623:
622:
609:
606:
595:
589:
580:
574:
564:
504:
499:
498:
476:
470:
382:
368:
363:
349:
344:
324:
323:
245:
231:
226:
206:
205:
137:
123:
118:
85:
84:
70:
30:
22:
21:
20:
12:
11:
5:
6829:
6827:
6811:
6810:
6805:G.B. Folland,
6801:
6798:
6795:
6794:
6780:
6779:
6777:
6774:
6773:
6772:
6761:
6757:
6754:
6751:
6748:
6745:
6742:
6739:
6736:
6732:
6729:
6726:
6723:
6720:
6715:
6710:
6705:
6702:
6699:
6696:
6693:
6690:
6686:
6678:
6673:
6667:
6652:
6651:
6640:
6637:
6634:
6631:
6628:
6625:
6622:
6619:
6616:
6613:
6610:
6605:
6601:
6595:
6592:
6589:
6585:
6553:
6552:
6541:
6538:
6535:
6532:
6529:
6526:
6523:
6518:
6514:
6510:
6507:
6504:
6501:
6497:
6494:
6491:
6488:
6481:
6476:
6471:
6468:
6465:
6461:
6453:
6449:
6445:
6440:
6436:
6428:
6424:
6420:
6411:
6406:
6400:
6396:
6393:
6390:
6386:
6383:
6380:
6377:
6374:
6369:
6364:
6359:
6356:
6353:
6350:
6347:
6344:
6341:
6336:
6331:
6326:
6322:
6316:
6312:
6308:
6305:
6301:
6293:
6288:
6282:
6255:
6254:
6243:
6236:
6231:
6226:
6223:
6220:
6216:
6208:
6204:
6200:
6195:
6191:
6183:
6179:
6175:
6170:
6167:
6164:
6161:
6158:
6155:
6150:
6145:
6117:
6116:
6105:
6102:
6099:
6095:
6092:
6089:
6086:
6083:
6078:
6073:
6068:
6065:
6062:
6059:
6056:
6053:
6050:
6045:
6040:
6035:
6031:
6025:
6021:
6017:
6014:
6010:
6002:
5997:
5991:
5985:
5982:
5979:
5975:
5971:
5968:
5965:
5961:
5958:
5955:
5952:
5949:
5944:
5939:
5934:
5931:
5928:
5925:
5922:
5919:
5915:
5907:
5902:
5896:
5869:
5864:
5859:
5854:
5849:
5845:
5841:
5838:
5833:
5820:
5819:
5795:
5786:
5755:
5716:
5709:
5698:
5695:
5692:
5689:
5684:
5657:
5644:
5641:
5638:
5633:
5628:
5625:
5622:
5619:
5616:
5611:
5606:
5603:
5600:
5569:
5555:
5551:
5546:
5542:
5539:
5535:
5531:
5528:
5525:
5522:
5517:
5512:
5509:
5506:
5503:
5500:
5497:
5494:
5489:
5484:
5447:
5435:
5432:
5429:
5426:
5423:
5420:
5417:
5412:
5407:
5404:
5401:
5398:
5395:
5392:
5389:
5384:
5379:
5334:
5331:
5330:
5329:
5318:
5313:
5307:
5304:
5299:
5295:
5291:
5288:
5281:
5277:
5273:
5268:
5263:
5260:
5257:
5254:
5251:
5248:
5243:
5240:
5234:
5228:
5224:
5220:
5217:
5214:
5211:
5208:
5205:
5202:
5199:
5196:
5193:
5190:
5176:
5175:
5164:
5159:
5154:
5151:
5146:
5142:
5139:
5132:
5128:
5124:
5119:
5114:
5111:
5108:
5105:
5102:
5099:
5094:
5089:
5085:
5081:
5078:
5075:
5072:
5069:
5066:
5063:
5060:
5057:
5054:
5051:
5018:
5015:
4963:
4960:
4942:
4941:
4930:
4927:
4924:
4921:
4915:
4912:
4903:
4900:
4897:
4894:
4891:
4888:
4884:
4876:
4871:
4866:
4863:
4859:
4855:
4852:
4849:
4846:
4843:
4833:
4822:
4819:
4816:
4812:
4809:
4806:
4803:
4797:
4794:
4791:
4788:
4785:
4782:
4779:
4775:
4767:
4763:
4759:
4756:
4753:
4750:
4746:
4742:
4739:
4736:
4733:
4727:
4724:
4711:
4700:
4696:
4692:
4687:
4682:
4677:
4671:
4668:
4661:
4657:
4653:
4648:
4644:
4640:
4637:
4634:
4631:
4628:
4625:
4611:
4610:
4599:
4596:
4593:
4589:
4586:
4583:
4577:
4574:
4565:
4562:
4559:
4556:
4553:
4550:
4546:
4538:
4533:
4527:
4523:
4520:
4517:
4514:
4511:
4501:
4490:
4487:
4484:
4480:
4477:
4474:
4471:
4465:
4462:
4459:
4456:
4453:
4450:
4447:
4443:
4435:
4430:
4424:
4420:
4417:
4414:
4411:
4405:
4402:
4389:
4378:
4374:
4370:
4365:
4360:
4355:
4349:
4346:
4339:
4335:
4331:
4326:
4321:
4316:
4313:
4266:
4263:
4262:
4261:
4250:
4245:
4240:
4235:
4230:
4226:
4221:
4214:
4210:
4205:
4198:
4195:
4189:
4183:
4178:
4175:
4169:
4161:
4136:
4131:
4126:
4121:
4117:
4112:
4106:
4103:
4098:
4093:
4088:
4084:
4079:
4073:
4068:
4065:
4059:
4020:
4015:
4002:
4001:
3990:
3987:
3984:
3979:
3974:
3971:
3968:
3965:
3962:
3959:
3956:
3953:
3948:
3943:
3920:
3915:
3910:
3905:
3900:
3895:
3892:
3872:
3867:
3862:
3857:
3853:
3848:
3842:
3839:
3819:
3814:
3809:
3804:
3799:
3782:
3779:
3765:
3764:
3753:
3750:
3747:
3744:
3741:
3736:
3731:
3726:
3723:
3717:
3711:
3708:
3705:
3702:
3699:
3696:
3691:
3688:
3682:
3676:
3671:
3666:
3663:
3660:
3657:
3654:
3622:
3618:
3612:
3609:
3606:
3602:
3598:
3595:
3590:
3576:
3575:
3564:
3560:
3556:
3553:
3549:
3546:
3543:
3539:
3536:
3533:
3530:
3524:
3521:
3518:
3515:
3512:
3509:
3506:
3502:
3496:
3493:
3490:
3486:
3483:
3480:
3476:
3471:
3466:
3461:
3458:
3455:
3451:
3447:
3444:
3441:
3438:
3433:
3429:
3409:
3406:
3392:
3391:
3380:
3377:
3374:
3371:
3368:
3363:
3358:
3353:
3350:
3344:
3321:
3320:
3316:
3315:
3304:
3301:
3298:
3295:
3292:
3289:
3286:
3283:
3280:
3277:
3274:
3269:
3264:
3259:
3256:
3250:
3227:
3226:
3215:
3208:
3204:
3200:
3197:
3194:
3190:
3186:
3183:
3180:
3177:
3174:
3170:
3167:
3164:
3160:
3157:
3154:
3151:
3145:
3142:
3139:
3136:
3133:
3130:
3126:
3121:
3118:
3114:
3110:
3107:
3104:
3097:
3092:
3086:
3080:
3077:
3074:
3070:
3066:
3063:
3060:
3057:
3054:
3049:
3046:
3040:
3013:
3012:
3005:
3004:
2993:
2986:
2982:
2978:
2974:
2970:
2967:
2964:
2961:
2958:
2954:
2951:
2948:
2944:
2941:
2938:
2935:
2929:
2926:
2923:
2920:
2917:
2913:
2908:
2905:
2901:
2897:
2894:
2891:
2885:
2880:
2874:
2871:
2868:
2864:
2860:
2857:
2854:
2851:
2848:
2843:
2840:
2834:
2806:
2805:
2757:
2754:
2751:
2748:
2745:
2740:
2735:
2730:
2727:
2721:
2707:
2706:
2695:
2692:
2689:
2684:
2680:
2676:
2673:
2670:
2667:
2662:
2658:
2654:
2651:
2648:
2643:
2640:
2635:
2632:
2629:
2626:
2623:
2620:
2615:
2610:
2605:
2602:
2596:
2573:
2572:
2561:
2558:
2555:
2551:
2548:
2545:
2542:
2536:
2533:
2530:
2527:
2524:
2520:
2514:
2509:
2506:
2502:
2496:
2493:
2490:
2486:
2482:
2479:
2476:
2473:
2470:
2465:
2462:
2456:
2428:
2427:
2422:
2419:
2399:
2396:
2393:
2390:
2387:
2384:
2381:
2378:
2375:
2372:
2367:
2362:
2357:
2354:
2348:
2294:
2291:
2282:
2279:
2273:
2270:
2269:
2268:
2253:
2250:
2247:
2244:
2241:
2238:
2233:
2230:
2224:
2218:
2213:
2208:
2205:
2203:
2201:
2198:
2195:
2191:
2188:
2184:
2181:
2178:
2175:
2169:
2166:
2163:
2160:
2157:
2154:
2150:
2143:
2140:
2137:
2134:
2131:
2128:
2125:
2121:
2113:
2108:
2102:
2094:
2089:
2083:
2079:
2076:
2074:
2072:
2069:
2066:
2062:
2059:
2055:
2052:
2049:
2046:
2040:
2037:
2034:
2031:
2028:
2025:
2022:
2018:
2011:
2008:
2005:
2002:
1999:
1996:
1992:
1984:
1979:
1973:
1965:
1960:
1954:
1950:
1947:
1945:
1943:
1940:
1937:
1934:
1931:
1928:
1923:
1918:
1913:
1910:
1904:
1898:
1895:
1893:
1891:
1888:
1887:
1852:
1828:
1825:
1819:
1805:
1804:
1793:
1790:
1787:
1784:
1781:
1778:
1775:
1772:
1769:
1766:
1763:
1758:
1755:
1749:
1743:
1738:
1711:
1708:
1702:
1688:
1687:
1676:
1673:
1670:
1667:
1664:
1661:
1658:
1655:
1652:
1649:
1646:
1641:
1636:
1631:
1628:
1622:
1604:
1601:
1588:
1585:
1582:
1579:
1576:
1573:
1570:
1567:
1564:
1561:
1556:
1551:
1546:
1543:
1537:
1514:
1509:
1506:
1500:
1477:
1474:
1469:
1447:
1442:
1437:
1426:
1425:
1414:
1411:
1408:
1403:
1398:
1395:
1390:
1385:
1382:
1379:
1374:
1371:
1365:
1348:
1347:
1336:
1333:
1330:
1327:
1324:
1321:
1318:
1315:
1312:
1309:
1306:
1303:
1276:
1273:
1272:
1271:
1260:
1257:
1254:
1250:
1247:
1243:
1240:
1237:
1234:
1230:
1227:
1224:
1221:
1218:
1215:
1212:
1209:
1206:
1203:
1200:
1197:
1194:
1191:
1184:
1179:
1173:
1165:
1160:
1154:
1150:
1147:
1144:
1141:
1138:
1118:
1117:
1106:
1103:
1100:
1096:
1093:
1089:
1086:
1083:
1080:
1074:
1071:
1068:
1065:
1062:
1059:
1056:
1053:
1050:
1047:
1043:
1035:
1030:
1024:
1016:
1011:
1005:
1001:
998:
995:
992:
989:
974:
971:
970:
969:
958:
955:
952:
949:
946:
943:
940:
937:
934:
931:
928:
923:
918:
913:
910:
904:
880:
879:
868:
865:
862:
858:
855:
852:
849:
843:
840:
837:
834:
831:
828:
824:
816:
811:
805:
801:
798:
795:
792:
789:
784:
781:
775:
744:
741:
737:
736:
725:
722:
719:
715:
712:
709:
706:
700:
697:
694:
691:
688:
685:
682:
678:
670:
665:
659:
655:
652:
649:
646:
643:
640:
635:
630:
605:
602:
571:Lebesgue sense
561:
560:
549:
544:
539:
536:
533:
528:
523:
518:
515:
509:
460:
459:
448:
445:
442:
438:
435:
431:
428:
425:
422:
416:
413:
410:
407:
404:
401:
398:
395:
392:
389:
385:
377:
372:
366:
358:
353:
347:
343:
340:
337:
334:
331:
317:
316:
305:
302:
299:
295:
292:
289:
286:
283:
278:
273:
267:
264:
261:
258:
255:
252:
248:
240:
235:
229:
225:
222:
219:
216:
213:
199:
198:
187:
184:
181:
177:
174:
171:
168:
162:
159:
156:
153:
150:
147:
144:
140:
132:
127:
121:
117:
114:
111:
108:
105:
102:
97:
92:
42:
41:
34:
23:
15:
14:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
6828:
6819:
6818:
6815:
6808:
6804:
6803:
6799:
6791:
6785:
6782:
6775:
6759:
6755:
6749:
6743:
6740:
6737:
6734:
6727:
6718:
6703:
6700:
6697:
6694:
6691:
6688:
6684:
6676:
6665:
6657:
6656:
6655:
6638:
6632:
6626:
6623:
6617:
6611:
6608:
6603:
6599:
6593:
6587:
6575:
6574:
6573:
6569:
6565:
6559:
6539:
6533:
6524:
6521:
6516:
6512:
6505:
6502:
6499:
6492:
6486:
6479:
6469:
6466:
6463:
6451:
6447:
6443:
6438:
6434:
6426:
6422:
6418:
6409:
6398:
6394:
6391:
6388:
6381:
6372:
6357:
6354:
6351:
6348:
6345:
6342:
6339:
6334:
6324:
6314:
6310:
6306:
6303:
6299:
6291:
6280:
6272:
6271:
6270:
6269:we thus have
6267:
6261:
6241:
6234:
6224:
6221:
6218:
6206:
6202:
6198:
6193:
6189:
6181:
6177:
6173:
6168:
6162:
6153:
6136:
6135:
6134:
6131:
6127:
6123:
6103:
6100:
6097:
6090:
6081:
6066:
6063:
6060:
6057:
6054:
6051:
6048:
6043:
6033:
6023:
6019:
6015:
6012:
6008:
6000:
5989:
5983:
5977:
5969:
5966:
5963:
5956:
5947:
5932:
5929:
5926:
5923:
5920:
5917:
5913:
5905:
5894:
5886:
5885:
5884:
5883:
5862:
5847:
5843:
5839:
5836:
5815:
5811:
5807:
5803:
5798:
5794:
5789:
5780:
5773:
5769:
5764:
5758:
5754:
5749:
5740:
5736:
5732:
5728:
5724:
5719:
5715:
5710:
5696:
5693:
5690:
5687:
5671:
5667:
5663:
5658:
5642:
5636:
5623:
5620:
5614:
5601:
5598:
5587:
5581:
5575:
5570:
5553:
5549:
5544:
5537:
5533:
5529:
5520:
5507:
5501:
5492:
5472:
5468:
5464:
5460:
5453:
5448:
5430:
5427:
5424:
5415:
5402:
5396:
5387:
5367:
5363:
5360:
5356:
5352:
5345:
5340:
5339:
5338:
5332:
5316:
5311:
5305:
5302:
5297:
5293:
5289:
5286:
5275:
5266:
5261:
5255:
5246:
5241:
5238:
5215:
5212:
5206:
5203:
5200:
5194:
5188:
5181:
5180:
5179:
5162:
5157:
5152:
5149:
5144:
5140:
5137:
5126:
5117:
5112:
5106:
5097:
5076:
5073:
5067:
5064:
5061:
5055:
5049:
5042:
5041:
5040:
5038:
5034:
5032:
5028:
5024:
5016:
5014:
5010:
5006:
4999:
4995:
4990:
4986:
4981:
4978:
4968:
4961:
4959:
4948:
4928:
4922:
4910:
4901:
4898:
4895:
4892:
4889:
4886:
4882:
4874:
4864:
4861:
4857:
4853:
4847:
4841:
4834:
4820:
4817:
4814:
4807:
4801:
4795:
4792:
4789:
4786:
4783:
4780:
4777:
4773:
4765:
4757:
4754:
4751:
4744:
4740:
4734:
4722:
4712:
4698:
4685:
4675:
4666:
4659:
4646:
4638:
4635:
4632:
4626:
4623:
4616:
4615:
4614:
4597:
4594:
4591:
4584:
4572:
4563:
4560:
4557:
4554:
4551:
4548:
4544:
4536:
4525:
4521:
4515:
4509:
4502:
4488:
4485:
4482:
4475:
4469:
4463:
4460:
4457:
4454:
4451:
4448:
4445:
4441:
4433:
4422:
4418:
4412:
4400:
4390:
4376:
4363:
4353:
4344:
4337:
4324:
4314:
4311:
4304:
4303:
4302:
4300:
4295:
4294:
4291:
4287:
4283:
4279:
4274:
4271:
4264:
4248:
4238:
4224:
4212:
4208:
4196:
4193:
4181:
4176:
4173:
4150:
4149:
4148:
4129:
4115:
4096:
4082:
4071:
4066:
4063:
4045:
4041:
4035:
4018:
3988:
3982:
3972:
3969:
3963:
3957:
3954:
3951:
3934:
3933:
3932:
3913:
3893:
3890:
3865:
3851:
3840:
3837:
3812:
3788:
3780:
3778:
3774:
3770:
3748:
3739:
3724:
3721:
3709:
3703:
3694:
3689:
3686:
3664:
3658:
3652:
3645:
3644:
3643:
3640:
3620:
3616:
3604:
3596:
3593:
3562:
3554:
3551:
3547:
3544:
3541:
3534:
3528:
3522:
3519:
3516:
3513:
3510:
3507:
3504:
3500:
3491:
3488:
3484:
3481:
3478:
3474:
3469:
3459:
3456:
3449:
3445:
3439:
3431:
3427:
3419:
3418:
3417:
3415:
3407:
3405:
3401:
3397:
3375:
3366:
3351:
3348:
3332:
3331:
3330:
3327:
3318:
3317:
3302:
3296:
3290:
3287:
3281:
3272:
3257:
3254:
3238:
3237:
3236:
3233:
3213:
3206:
3198:
3192:
3188:
3184:
3178:
3172:
3168:
3165:
3162:
3155:
3149:
3143:
3140:
3137:
3134:
3131:
3128:
3124:
3116:
3112:
3108:
3102:
3095:
3084:
3072:
3064:
3058:
3052:
3047:
3044:
3028:
3027:
3026:
3019:
3010:
3009:
3008:
2991:
2984:
2980:
2976:
2972:
2968:
2962:
2956:
2952:
2949:
2946:
2939:
2933:
2927:
2924:
2921:
2918:
2915:
2911:
2903:
2899:
2895:
2889:
2878:
2866:
2858:
2852:
2846:
2841:
2838:
2822:
2821:
2820:
2816:
2812:
2803:
2802:
2801:
2798:
2794:
2790:
2784:
2778:
2772:
2752:
2743:
2728:
2725:
2693:
2682:
2678:
2671:
2668:
2660:
2656:
2649:
2641:
2638:
2633:
2627:
2618:
2603:
2600:
2584:
2583:
2582:
2579:
2575:Then for all
2559:
2556:
2553:
2546:
2540:
2534:
2531:
2528:
2525:
2522:
2518:
2512:
2507:
2504:
2500:
2488:
2480:
2474:
2468:
2463:
2460:
2444:
2443:
2442:
2438:
2434:
2425:
2424:
2420:
2418:
2414:
2394:
2388:
2385:
2379:
2370:
2355:
2352:
2334:
2329:
2325:
2321:
2315:
2309:
2307:
2301:
2292:
2290:
2288:
2280:
2278:
2271:
2251:
2245:
2236:
2231:
2228:
2206:
2204:
2196:
2193:
2189:
2186:
2179:
2173:
2167:
2164:
2161:
2158:
2155:
2152:
2148:
2141:
2138:
2135:
2132:
2129:
2126:
2123:
2119:
2111:
2100:
2092:
2081:
2077:
2075:
2067:
2064:
2060:
2057:
2050:
2044:
2038:
2035:
2032:
2029:
2026:
2023:
2020:
2016:
2009:
2006:
2003:
2000:
1997:
1994:
1990:
1982:
1971:
1963:
1952:
1948:
1946:
1935:
1926:
1911:
1908:
1896:
1894:
1889:
1878:
1877:
1876:
1873:
1869:
1826:
1823:
1791:
1785:
1779:
1776:
1770:
1761:
1756:
1753:
1727:
1726:
1725:
1709:
1706:
1674:
1668:
1662:
1659:
1653:
1644:
1629:
1626:
1610:
1609:
1608:
1602:
1600:
1583:
1577:
1574:
1568:
1559:
1544:
1541:
1512:
1507:
1504:
1475:
1472:
1445:
1435:
1412:
1409:
1406:
1396:
1393:
1383:
1380:
1377:
1372:
1369:
1353:
1352:
1351:
1334:
1328:
1325:
1319:
1316:
1310:
1304:
1301:
1294:
1293:
1292:
1289:
1283:
1274:
1258:
1255:
1252:
1248:
1245:
1238:
1232:
1225:
1222:
1216:
1213:
1210:
1204:
1201:
1198:
1192:
1189:
1182:
1171:
1163:
1152:
1148:
1142:
1136:
1129:
1128:
1127:
1124:
1104:
1101:
1098:
1094:
1091:
1084:
1078:
1072:
1069:
1063:
1060:
1057:
1051:
1048:
1045:
1041:
1033:
1022:
1014:
1003:
999:
993:
987:
980:
979:
978:
972:
956:
950:
944:
941:
935:
926:
911:
908:
892:
891:
890:
886:
882:Then for all
866:
863:
860:
853:
847:
841:
838:
835:
832:
829:
826:
822:
814:
803:
799:
793:
787:
782:
779:
763:
762:
761:
757:
751:
742:
740:
723:
720:
717:
710:
704:
698:
695:
692:
689:
686:
683:
680:
676:
668:
657:
653:
647:
638:
621:
620:
619:
617:
612:
603:
601:
598:
592:
588:
583:
577:
572:
567:
547:
537:
534:
531:
521:
516:
513:
497:
496:
495:
491:
487:
483:
479:
473:
467:
465:
446:
443:
440:
436:
433:
426:
420:
414:
411:
405:
402:
399:
393:
390:
387:
383:
375:
364:
356:
345:
341:
335:
329:
322:
321:
320:
303:
300:
297:
290:
281:
265:
262:
259:
256:
253:
250:
246:
238:
227:
223:
217:
211:
204:
203:
202:
185:
182:
179:
172:
166:
160:
157:
154:
151:
148:
145:
142:
138:
130:
119:
115:
109:
100:
83:
82:
81:
79:
73:
67:
65:
61:
57:
53:
49:
39:
35:
28:
27:
19:
6812:
6806:
6784:
6653:
6567:
6563:
6557:
6554:
6265:
6259:
6256:
6129:
6125:
6121:
6118:
5821:
5813:
5809:
5805:
5801:
5796:
5792:
5787:
5778:
5771:
5767:
5756:
5752:
5742:. Then with
5738:
5734:
5730:
5726:
5722:
5717:
5713:
5669:
5665:
5661:
5585:
5579:
5573:
5470:
5466:
5462:
5458:
5451:
5365:
5361:
5358:
5354:
5350:
5343:
5336:
5177:
5035:
5020:
5008:
5004:
4997:
4993:
4982:
4974:
4962:Applications
4946:
4943:
4612:
4296:
4292:
4289:
4285:
4281:
4277:
4272:
4269:
4268:
4043:
4039:
4033:
4003:
3784:
3772:
3769:almost every
3766:
3638:
3577:
3411:
3399:
3396:almost every
3393:
3325:
3322:
3231:
3228:
3017:
3014:
3006:
2814:
2810:
2807:
2799:
2792:
2788:
2782:
2776:
2770:
2708:
2577:
2574:
2436:
2432:
2429:
2412:
2332:
2323:
2319:
2313:
2310:
2299:
2296:
2284:
2275:
1871:
1867:
1806:
1689:
1606:
1427:
1349:
1287:
1281:
1278:
1122:
1119:
976:
884:
881:
755:
749:
746:
738:
610:
607:
596:
590:
581:
575:
565:
562:
489:
485:
481:
477:
471:
468:
463:
461:
318:
200:
71:
68:
51:
45:
5748:convolution
3578:we can set
48:mathematics
6800:References
5776:and point
4971:transform.
4290:to act on
2410:for every
587:almost all
6760:◻
6738:ξ
6728:ξ
6704:ξ
6701:⋅
6692:π
6666:∫
6609:∗
6604:ε
6600:ϕ
6591:→
6588:ε
6522:∗
6517:ε
6513:ϕ
6467:−
6448:ε
6444:π
6439:−
6423:ε
6399:∫
6392:ξ
6382:ξ
6358:ξ
6355:⋅
6346:π
6325:ξ
6311:ε
6307:π
6304:−
6281:∫
6222:−
6203:ε
6199:π
6194:−
6178:ε
6101:ξ
6091:ξ
6067:ξ
6064:⋅
6055:π
6034:ξ
6020:ε
6016:π
6013:−
5990:∫
5981:→
5978:ε
5967:ξ
5957:ξ
5933:ξ
5930:⋅
5921:π
5895:∫
5880:, by the
5840:∈
5746:denoting
5694:φ
5688:φ
5624:∫
5599:∫
5530:ξ
5502:ξ
5431:η
5428:−
5425:ξ
5397:ξ
5298:−
5290:
5239:−
5223:⇒
5216:ξ
5207:
5195:ξ
5150:ξ
5141:
5107:ξ
5084:⇒
5068:
4914:^
4899:⋅
4890:π
4865:∈
4858:∑
4793:⋅
4784:π
4778:−
4745:∫
4726:^
4691:→
4676::
4670:^
4652:→
4627::
4595:ξ
4585:ξ
4576:^
4564:ξ
4561:⋅
4552:π
4526:∫
4464:ξ
4461:⋅
4452:π
4446:−
4423:∫
4413:ξ
4404:^
4369:→
4354::
4348:^
4330:→
4315::
4194:−
4174:−
4105:→
4072::
4064:−
4019:φ
3986:⟩
3983:φ
3967:⟨
3961:⟩
3958:φ
3942:⟨
3894:∈
3891:φ
3841:∈
3722:−
3687:−
3611:∞
3608:→
3555:∈
3523:ξ
3520:⋅
3511:π
3505:−
3489:≤
3460:∈
3450:∫
3440:ξ
3349:−
3255:−
3199:ξ
3193:−
3179:ξ
3173:φ
3166:ξ
3156:ξ
3144:ξ
3141:⋅
3132:π
3109:ξ
3103:φ
3085:∫
3079:∞
3076:→
3045:−
2981:ξ
2977:−
2963:ξ
2957:φ
2950:ξ
2940:ξ
2928:ξ
2919:π
2896:ξ
2890:φ
2879:∫
2873:∞
2870:→
2839:−
2726:−
2661:−
2601:−
2557:ξ
2547:ξ
2535:ξ
2526:π
2505:−
2501:∫
2495:∞
2492:→
2461:−
2353:−
2229:−
2197:ζ
2168:ζ
2165:⋅
2156:π
2142:ζ
2139:⋅
2130:π
2124:−
2101:∫
2082:∫
2068:ξ
2039:ξ
2036:⋅
2027:π
2021:−
2010:ξ
2007:⋅
1998:π
1972:∫
1953:∫
1909:−
1824:−
1786:ξ
1771:ξ
1754:−
1707:−
1627:−
1542:−
1505:−
1370:−
1326:−
1256:ξ
1226:ξ
1223:⋅
1214:−
1202:π
1193:
1172:∫
1153:∫
1102:ξ
1073:ξ
1070:⋅
1061:−
1049:π
1023:∫
1004:∫
909:−
864:ξ
854:ξ
842:ξ
839:⋅
830:π
804:∫
780:−
699:ξ
696:⋅
687:π
681:−
658:∫
648:ξ
604:Statement
514:−
444:ξ
415:ξ
412:⋅
403:−
391:π
365:∫
346:∫
301:ξ
291:ξ
266:ξ
263:⋅
254:π
228:∫
161:ξ
158:⋅
149:π
143:−
120:∫
110:ξ
60:frequency
6790:operator
5029:and the
4985:operator
4225:′
4116:′
4083:′
3852:′
889:we have
753:and all
494:, then
6119:Define
5711:Define
5673:; then
5659:Define
5475:, then
5370:, then
4273:(or is
3931:we set
5761:is an
4004:where
2330:where
1807:Since
618:that
573:) and
80:that
50:, the
6776:Notes
5333:Proof
4987:(see
2709:i.e.
201:then
74:: ℝ→ℂ
64:phase
16:<
6263:and
5577:and
5571:For
5465:) =
5456:and
5357:) =
5348:and
5287:sinc
5204:rect
5138:sinc
5065:rect
3767:for
3394:for
1458:and
760:set
62:and
6788:An
6584:lim
6570:(ℝ)
5974:lim
5785:lim
5774:(ℝ)
5725:):=
5668:):=
5588:(ℝ)
5583:in
5449:If
5341:If
5033:.
5011:(ℝ)
5000:(ℝ)
4975:In
4954:to
3601:lim
3069:lim
3015:If
2863:lim
2817:(ℝ)
2774:at
2485:lim
2439:(ℝ)
2302:(ℝ)
1875:):
1870::=−
1291:by
1190:cos
1120:If
484:):=
46:In
6128:)=
5808:)=
5790:→0
5783:,
5781:∈ℝ
5750:,
5737:)/
5471:ax
5454:∈ℝ
5346:∈ℝ
5013:.
4958:.
4952:−∞
4741::=
4419::=
4213:Id
3964::=
3777:.
3775:∈ℝ
3597::=
3446::=
3404:.
3402:∈ℝ
3234:∈ℝ
3185::=
3065::=
2969::=
2859::=
2797:.
2580:∈ℝ
2481::=
2417:.
2415:∈ℝ
2308:.
1599:.
1381::=
1317::=
887:∈ℝ
800::=
758:∈ℝ
654::=
600:.
488:(−
478:Rf
466:.
116::=
6756:.
6753:)
6750:x
6747:(
6744:f
6741:=
6735:d
6731:)
6725:(
6722:)
6719:f
6714:F
6709:(
6698:x
6695:i
6689:2
6685:e
6677:n
6672:R
6639:.
6636:)
6633:x
6630:(
6627:f
6624:=
6621:)
6618:x
6615:(
6612:f
6594:0
6568:L
6566:∈
6564:f
6558:f
6540:,
6537:)
6534:x
6531:(
6528:)
6525:f
6509:(
6506:=
6503:y
6500:d
6496:)
6493:y
6490:(
6487:f
6480:2
6475:|
6470:y
6464:x
6460:|
6452:2
6435:e
6427:n
6419:1
6410:n
6405:R
6395:=
6389:d
6385:)
6379:(
6376:)
6373:f
6368:F
6363:(
6352:x
6349:i
6343:2
6340:+
6335:2
6330:|
6321:|
6315:2
6300:e
6292:n
6287:R
6266:g
6260:f
6242:.
6235:2
6230:|
6225:y
6219:x
6215:|
6207:2
6190:e
6182:n
6174:1
6169:=
6166:)
6163:y
6160:(
6157:)
6154:g
6149:F
6144:(
6130:e
6126:ξ
6124:(
6122:g
6104:.
6098:d
6094:)
6088:(
6085:)
6082:f
6077:F
6072:(
6061:x
6058:i
6052:2
6049:+
6044:2
6039:|
6030:|
6024:2
6009:e
6001:n
5996:R
5984:0
5970:=
5964:d
5960:)
5954:(
5951:)
5948:f
5943:F
5938:(
5927:x
5924:i
5918:2
5914:e
5906:n
5901:R
5868:)
5863:n
5858:R
5853:(
5848:1
5844:L
5837:f
5832:F
5816:)
5814:x
5812:(
5810:f
5806:x
5804:(
5802:f
5800:∗
5797:ε
5793:φ
5788:ε
5779:x
5772:L
5770:∈
5768:f
5757:ε
5753:φ
5744:∗
5739:ε
5735:ε
5733:/
5731:x
5729:(
5727:φ
5723:x
5721:(
5718:ε
5714:φ
5697:.
5691:=
5683:F
5670:e
5666:x
5664:(
5662:φ
5656:.
5643:g
5640:)
5637:f
5632:F
5627:(
5621:=
5618:)
5615:g
5610:F
5605:(
5602:f
5586:L
5580:g
5574:f
5568:.
5554:n
5550:a
5545:/
5541:)
5538:a
5534:/
5527:(
5524:)
5521:f
5516:F
5511:(
5508:=
5505:)
5499:(
5496:)
5493:g
5488:F
5483:(
5473:)
5469:(
5467:f
5463:x
5461:(
5459:g
5452:a
5446:.
5434:)
5422:(
5419:)
5416:f
5411:F
5406:(
5403:=
5400:)
5394:(
5391:)
5388:g
5383:F
5378:(
5368:)
5366:x
5364:(
5362:f
5359:e
5355:x
5353:(
5351:g
5344:η
5317:.
5312:)
5306:a
5303:x
5294:(
5280:|
5276:a
5272:|
5267:1
5262:=
5259:)
5256:x
5253:(
5250:)
5247:g
5242:1
5233:F
5227:(
5219:)
5213:a
5210:(
5201:=
5198:)
5192:(
5189:g
5163:,
5158:)
5153:a
5145:(
5131:|
5127:a
5123:|
5118:1
5113:=
5110:)
5104:(
5101:)
5098:f
5093:F
5088:(
5080:)
5077:x
5074:a
5071:(
5062:=
5059:)
5056:x
5053:(
5050:f
5009:L
5007:∈
5005:f
4998:L
4996:∈
4994:f
4956:∞
4947:k
4929:.
4926:)
4923:k
4920:(
4911:f
4902:k
4896:x
4893:i
4887:2
4883:e
4875:n
4870:Z
4862:k
4854:=
4851:)
4848:x
4845:(
4842:f
4821:,
4818:y
4815:d
4811:)
4808:y
4805:(
4802:f
4796:k
4790:y
4787:i
4781:2
4774:e
4766:n
4762:]
4758:1
4755:,
4752:0
4749:[
4738:)
4735:k
4732:(
4723:f
4699:,
4695:C
4686:n
4681:Z
4667:f
4660:,
4656:C
4647:n
4643:]
4639:1
4636:,
4633:0
4630:[
4624:f
4598:.
4592:d
4588:)
4582:(
4573:f
4558:x
4555:i
4549:2
4545:e
4537:n
4532:R
4522:=
4519:)
4516:x
4513:(
4510:f
4489:,
4486:y
4483:d
4479:)
4476:y
4473:(
4470:f
4458:y
4455:i
4449:2
4442:e
4434:n
4429:R
4416:)
4410:(
4401:f
4377:,
4373:C
4364:n
4359:R
4345:f
4338:,
4334:C
4325:n
4320:R
4312:f
4286:f
4278:π
4276:2
4249:.
4244:)
4239:n
4234:R
4229:(
4220:S
4209:=
4204:F
4197:1
4188:F
4182:=
4177:1
4168:F
4160:F
4135:)
4130:n
4125:R
4120:(
4111:S
4102:)
4097:n
4092:R
4087:(
4078:S
4067:1
4058:F
4044:L
4042:+
4040:L
4034:f
4014:F
3989:,
3978:F
3973:,
3970:f
3955:,
3952:f
3947:F
3919:)
3914:n
3909:R
3904:(
3899:S
3871:)
3866:n
3861:R
3856:(
3847:S
3838:f
3818:)
3813:n
3808:R
3803:(
3798:S
3773:x
3752:)
3749:x
3746:(
3743:)
3740:f
3735:F
3730:(
3725:1
3716:F
3710:=
3707:)
3704:x
3701:(
3698:)
3695:f
3690:1
3681:F
3675:(
3670:F
3665:=
3662:)
3659:x
3656:(
3653:f
3639:L
3621:k
3617:g
3605:k
3594:f
3589:F
3563:,
3559:N
3552:k
3548:,
3545:y
3542:d
3538:)
3535:y
3532:(
3529:f
3517:y
3514:i
3508:2
3501:e
3495:}
3492:k
3485:|
3482:y
3479:|
3475::
3470:n
3465:R
3457:y
3454:{
3443:)
3437:(
3432:k
3428:g
3400:x
3379:)
3376:x
3373:(
3370:)
3367:f
3362:F
3357:(
3352:1
3343:F
3326:f
3303:.
3300:)
3297:x
3294:(
3291:f
3288:=
3285:)
3282:x
3279:(
3276:)
3273:f
3268:F
3263:(
3258:1
3249:F
3232:x
3214:.
3207:2
3203:|
3196:|
3189:e
3182:)
3176:(
3169:,
3163:d
3159:)
3153:(
3150:g
3138:x
3135:i
3129:2
3125:e
3120:)
3117:R
3113:/
3106:(
3096:n
3091:R
3073:R
3062:)
3059:x
3056:(
3053:g
3048:1
3039:F
3023:ℝ
3018:f
2992:.
2985:2
2973:e
2966:)
2960:(
2953:,
2947:d
2943:)
2937:(
2934:g
2925:x
2922:i
2916:2
2912:e
2907:)
2904:R
2900:/
2893:(
2884:R
2867:R
2856:)
2853:x
2850:(
2847:g
2842:1
2833:F
2815:L
2813:∈
2811:f
2795:)
2793:x
2791:(
2789:f
2783:f
2777:x
2771:f
2756:)
2753:x
2750:(
2747:)
2744:f
2739:F
2734:(
2729:1
2720:F
2694:,
2691:)
2688:)
2683:+
2679:x
2675:(
2672:f
2669:+
2666:)
2657:x
2653:(
2650:f
2647:(
2642:2
2639:1
2634:=
2631:)
2628:x
2625:(
2622:)
2619:f
2614:F
2609:(
2604:1
2595:F
2578:x
2560:.
2554:d
2550:)
2544:(
2541:g
2532:x
2529:i
2523:2
2519:e
2513:R
2508:R
2489:R
2478:)
2475:x
2472:(
2469:g
2464:1
2455:F
2437:L
2435:∈
2433:f
2413:x
2398:)
2395:x
2392:(
2389:g
2386:=
2383:)
2380:x
2377:(
2374:)
2371:f
2366:F
2361:(
2356:1
2347:F
2333:g
2324:g
2322:=
2320:f
2314:f
2300:L
2252:.
2249:)
2246:x
2243:(
2240:)
2237:f
2232:1
2223:F
2217:(
2212:F
2207:=
2194:d
2190:y
2187:d
2183:)
2180:y
2177:(
2174:f
2162:y
2159:i
2153:2
2149:e
2136:x
2133:i
2127:2
2120:e
2112:n
2107:R
2093:n
2088:R
2078:=
2065:d
2061:y
2058:d
2054:)
2051:y
2048:(
2045:f
2033:y
2030:i
2024:2
2017:e
2004:x
2001:i
1995:2
1991:e
1983:n
1978:R
1964:n
1959:R
1949:=
1939:)
1936:x
1933:(
1930:)
1927:f
1922:F
1917:(
1912:1
1903:F
1897:=
1890:f
1872:ξ
1868:ζ
1851:F
1827:1
1818:F
1792:.
1789:)
1783:(
1780:f
1777:=
1774:)
1768:(
1765:)
1762:f
1757:1
1748:F
1742:(
1737:F
1710:1
1701:F
1675:.
1672:)
1669:x
1666:(
1663:f
1660:=
1657:)
1654:x
1651:(
1648:)
1645:f
1640:F
1635:(
1630:1
1621:F
1587:)
1584:x
1581:(
1578:f
1575:=
1572:)
1569:x
1566:(
1563:)
1560:f
1555:F
1550:(
1545:1
1536:F
1513:f
1508:1
1499:F
1476:f
1473:R
1468:F
1446:f
1441:F
1436:R
1413:.
1410:f
1407:R
1402:F
1397:=
1394:f
1389:F
1384:R
1378:f
1373:1
1364:F
1335:.
1332:)
1329:x
1323:(
1320:g
1314:)
1311:x
1308:(
1305:g
1302:R
1288:R
1282:g
1259:.
1253:d
1249:y
1246:d
1242:)
1239:y
1236:(
1233:f
1229:)
1220:)
1217:y
1211:x
1208:(
1205:i
1199:2
1196:(
1183:n
1178:R
1164:n
1159:R
1149:=
1146:)
1143:x
1140:(
1137:f
1123:f
1105:.
1099:d
1095:y
1092:d
1088:)
1085:y
1082:(
1079:f
1067:)
1064:y
1058:x
1055:(
1052:i
1046:2
1042:e
1034:n
1029:R
1015:n
1010:R
1000:=
997:)
994:x
991:(
988:f
957:.
954:)
951:x
948:(
945:f
942:=
939:)
936:x
933:(
930:)
927:f
922:F
917:(
912:1
903:F
885:x
867:.
861:d
857:)
851:(
848:g
836:x
833:i
827:2
823:e
815:n
810:R
797:)
794:x
791:(
788:g
783:1
774:F
756:x
750:g
724:.
721:y
718:d
714:)
711:y
708:(
705:f
693:y
690:i
684:2
677:e
669:n
664:R
651:)
645:(
642:)
639:f
634:F
629:(
611:f
597:x
591:x
582:x
576:f
566:f
548:.
543:F
538:R
535:=
532:R
527:F
522:=
517:1
508:F
492:)
490:x
486:f
482:x
480:(
472:R
447:.
441:d
437:y
434:d
430:)
427:y
424:(
421:f
409:)
406:y
400:x
397:(
394:i
388:2
384:e
376:n
371:R
357:n
352:R
342:=
339:)
336:x
333:(
330:f
304:.
298:d
294:)
288:(
285:)
282:f
277:F
272:(
260:x
257:i
251:2
247:e
239:n
234:R
224:=
221:)
218:x
215:(
212:f
186:,
183:y
180:d
176:)
173:y
170:(
167:f
155:y
152:i
146:2
139:e
131:n
126:R
113:)
107:(
104:)
101:f
96:F
91:(
72:f
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
