4156:
31:
6912:) says that the beginning of the "P" interval (i.e. its left end) must be to the left of the beginning of the "D" interval, and that the end of the "P" interval (i.e. its right end) must be to the left of the end of the "D" interval. But there is still the possibility that the intervals overlap—that "D" interval begins before the "P" interval ends.
1749:
1175:
And now it can happen that whatever conclusion one reached about the effectiveness of the drug before the groups were stratified, the conclusion when the strata are considered separately could be the opposite: if that happens, one has
Simpson's paradox. For example, it could be that if each stratum
202:. A specific example might be a test of whether a new drug for a medical condition is more effective than a placebo. One starts with a set of individuals with the medical condition, and divides it into two groups. To all individuals in the first group one gives the drug (say there are
5194:
5083:
6758:
4212:
If there is such an overlap, then we will have
Simpson's paradox whenever most of the weight on the "P" side is given to the higher end of the interval, and most of the weight on the "D" side, to the lower end. Below we derive the precise condition for this to happen.
97:
6884:
2960:
8693:
1605:
1470:
7710:
5623:
475:
which is something that can in principle influence the probability of improvement as much as what treatment one gets. For example, it may matter whether the medical condition is, say, early-stage or late-stage. So now one decides to
1972:
90:
6463:
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1318:
8171:
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3406:
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8388:
8559:
6595:
3258:
1163:
1090:
8808:
6127:
131:
394:, then the experiment suggests that the drug is effective; otherwise we conclude that the drug is no more effective than the placebo. (In a real study, the case of the favorable outcome,
966:
3906:
3844:
1013:
462:
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2378:
2308:
76:
5673:
3675:
3563:
464:, is not in and of itself enough to conclude that the drug is effective; one would at least also need to make sure that the probability that this happened by accident (i.e. the
3625:
3513:
585:
8742:
7942:
7567:
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6177:
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5400:
2041:
6763:
2220:
2820:
2687:
2621:
1744:{\displaystyle =\underbrace {\frac {E}{E+L}} _{\mu }\underbrace {\frac {e}{E}} _{f}+\underbrace {\frac {L}{E+L}} _{\nu }\underbrace {\frac {\ell }{L}} _{k}=\mu \,f+\nu k;}
8564:
2187:
1798:
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350:
2715:
1344:
800:
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5797:
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7767:
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7747:
7405:
7191:
6590:
4975:
7902:
7602:
7432:
7245:
7218:
7016:
6989:
6560:
6533:
6061:
6034:
6007:
5974:
5947:
5914:
5887:
5774:
5747:
5515:
5221:
4815:
4788:
4761:
4728:
4150:
4123:
4096:
4069:
2509:
773:
746:
719:
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505:
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3446:
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7305:
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4915:
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4186:
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2482:
2462:
2260:
2240:
121:
1864:
480:
the sample, i.e. to consider separately the individuals with the early-stage and the late-stage condition. Suppose that in the drug group, there were
6361:
1508:
83:
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Finished writing a draft article? Are you ready to request an experienced editor review it for possible inclusion in
Knowledge?
3913:
4588:
4517:
4449:
1488:
We are now going to derive a necessary and sufficient condition for
Simpson's paradox to occur. The trick is to rewrite each side of Eq. (
6190:
3117:
1184:
6283:
802:. (Note that the data now consist of a total of 8 numbers, which can be thought of as organized into a 2 × 2 × 2 table.)
3680:
3323:
5287:
5226:
6753:{\displaystyle \alpha _{P}\,p_{P}+\beta _{P}\,q_{P}\leq q_{P}<min\{p_{D},\,q_{D}\}\leq \alpha _{D}\,p_{D}+\beta _{D}\,q_{D}.}
8822:
8416:
8292:
8490:
3202:
1097:
1024:
4044:
So, for
Simpson's paradox to be possible, there must be some overlap between the "P" interval (i.e. the interval between
8747:
6066:
256:
individuals in that group). Then in each group one counts in how many individuals the medical condition improved (say
164:
927:
3849:
3787:
977:
397:
7947:
7824:
7772:
2746:
8233:
5189:{\displaystyle \left(k'{\mbox{s}},\,\nu '{\mbox{s}}\right)\to \left(q'{\mbox{s}},\,\beta '{\mbox{s}}\right).}
5078:{\displaystyle \left(f'{\mbox{s}},\,\mu '{\mbox{s}}\right)\to \left(p'{\mbox{s}},\,\alpha '{\mbox{s}}\right)}
2121:
4663:
To proceed, it will be convenient to change notation slightly so as to make manifest the ordering among the
4155:
2406:
875:
828:
3052:
2313:
644:
2987:
7993:
5223:
is the smallest, then we do it the other way around, i.e. in the replacements scheme we switch places of
2351:
2281:
1494:) as a weighted average of (equivalently, linear interpolation betwen) the quantities appearing in Eq. (
5645:
3630:
3518:
135:
6036:. However, in order for Simpson's paradox to be possible, the "P" and "D" intervals must overlap, i.e.
3583:
3471:
537:
6879:{\displaystyle \alpha _{P}\,p_{P}+\beta _{P}\,q_{P}<q_{P}<\alpha _{D}\,p_{D}+\beta _{D}\,q_{D},}
8707:
7907:
7529:
6468:
6139:
2955:{\displaystyle p\leq p+(1-\alpha )\,(q-p)=p-(1-\alpha )\,p+(1-\alpha )\,q=\alpha \,p+(1-\alpha )\,q.}
2046:
8688:{\displaystyle \alpha _{P}\,p_{P}+(1-\alpha _{P})\,q_{P}<(1-\beta _{D})\,p_{D}+\beta _{D}\,q_{D}}
8193:
7489:
7449:
5802:
5445:
5405:
5365:
2006:
2192:
477:
105:
2666:
2600:
1465:{\displaystyle {\frac {e_{P}+\ell _{P}}{E_{P}+L_{P}}}\geq {\frac {e_{D}+\ell _{D}}{E_{D}+L_{D}}}.}
5982:) is concerned, lie anywhere to the right of the start of the "P" interval (i.e. to the right of
2160:
1771:
355:
313:
6187:
This really follows directly from Proof 2 above, but here is complete proof anyway. Recall that
2694:
778:
617:
7705:{\displaystyle \alpha _{P}\,p_{P}+\beta _{P}\,q_{P}\geq \alpha _{D}\,p_{D}+\beta _{D}\,q_{D}.}
5778:
5618:{\displaystyle \alpha _{P}\,p_{P}+\beta _{P}\,q_{P}\geq \alpha _{D}\,p_{D}+\beta _{D}\,q_{D}.}
7752:
7350:
7156:
4880:
3303:
2967:
2534:
229:
individuals in this group), and to each individual in the other, the placebo (say there are
7732:
7390:
7176:
6565:
5922:) does not settle which of these is to the right and which to the left. All it says is that
4960:
4162:
An example of how the "P" and "D" intervals could overlap and still be consistent with Eq. (
7880:
7815:), but the other way around on the right, will become apparent in a moment. Note that Eq. (
7410:
7223:
7196:
6994:
6967:
6538:
6511:
6039:
6012:
5985:
5952:
5925:
5892:
5865:
5752:
5725:
5199:
4793:
4766:
4739:
4706:
4128:
4101:
4074:
4047:
2487:
1336:
even though the non-stratified data suggested that the drug is no better than the placebo:
751:
724:
697:
590:
510:
483:
286:
259:
232:
205:
7370:
7330:
7136:
7116:
4940:
4860:
4423:
4397:
4331:
4305:
3451:
3431:
1823:
1803:
160:
2720:
5698:
3029:
2383:
8045:
8025:
7310:
7290:
7270:
7250:
7096:
7076:
7056:
7036:
6941:
6921:
5678:
4920:
4900:
4840:
4820:
4686:
4666:
4377:
4357:
4285:
4265:
4245:
4225:
4191:
4171:
3283:
3263:
3097:
2800:
2646:
2626:
2580:
2560:
2514:
2467:
2447:
2245:
2225:
1176:
is considered separately, it appears that the drug is more effective than the placebo,
4703:'s. To start with, we will make it so that the smallest quantity is always denoted by
8816:
1841:
1967:{\displaystyle \mu _{P}\,f_{P}+\nu _{P}\,k_{p}\geq \mu _{D}\,f_{D}+\nu _{D}\,k_{D},}
198:
We are considering the simplest case in which
Simpson's paradox can occur, namely a
804:
5719:
6458:{\displaystyle \alpha _{D}\,p_{D}+\beta _{D}\,q_{D}\geq min\{p_{D},\,q_{D}\},}
5722:
where the values increase to the right. First, have the "P" interval, between
155:
17:
3418:
From this it should be obvious, to begin with, under what circumstances Eq. (
1586:{\displaystyle {\frac {e+\ell }{E+L}}={\frac {e}{E+L}}+{\frac {\ell }{E+L}};}
1593:
now in the first term we multiply and divide by E, and in the second, by L:
2118:
To see how this can be possible, one must first realize the following: if
1313:{\displaystyle {\frac {\ell _{P}}{L_{P}}}<{\frac {\ell _{D}}{L_{D}}},}
8166:{\displaystyle min(p,\,q)\leq \alpha \,p+(1-\alpha )\,q\leq max(p,\,q).}
465:
4007:{\displaystyle \leq max\{f_{P},\,k_{P}\}<min\{f_{D},\,k_{D}\}\leq }
4649:{\displaystyle \underbrace {k_{P}} _{3}>\underbrace {f_{D}} _{2}.}
4578:{\displaystyle \underbrace {k_{P}} _{3}<\underbrace {k_{D}} _{4},}
4507:{\displaystyle \underbrace {f_{P}} _{1}<\underbrace {f_{D}} _{2}}
6273:{\displaystyle min(p,\,q)\leq \alpha \,p+\beta \,q\leq max(p,\,q).}
4154:
3190:{\displaystyle q\geq q-\alpha \,(q-p)=\alpha \,p+(1-\alpha )\,q.}
1242:{\displaystyle {\frac {e_{P}}{E_{P}}}<{\frac {e_{D}}{E_{D}}}}
352:, is greater than the rate of improvement in the placebo group,
310:, respectively). If the rate of improvement for the drug group,
7434:
is the smallest, then we do it the other way around. Equation (
6918:
To proceed, we first need to figure out the ordering among the
6351:{\displaystyle \alpha _{P}\,p_{P}+\beta _{P}\,q_{P}\leq q_{P},}
7904:. We first show that one cannot have Simpson's paradox unless
6063:
should lie inside the "P" interval (i.e. the ordering must be
25:
4222:) does allow this to happen: it just says what happens when "
3771:{\displaystyle min\{f_{D},\,k_{D}\}>max\{f_{P},\,k_{P}\}.}
3401:{\displaystyle min\{f,\,k\}\leq \mu f+\nu k\leq max\{f,\,k\}}
5341:{\displaystyle \left(k'{\mbox{s}},\,\nu '{\mbox{s}}\right).}
29:
5277:{\displaystyle \left(f'{\mbox{s}},\,\mu '{\mbox{s}}\right)}
3778:
By what was proved in Proof 1 above, the "P" side of Eq. (
8480:{\displaystyle \alpha _{P}\,p_{P}+(1-\alpha _{P})\,q_{P}}
8383:{\displaystyle max(p_{P},\,q_{P})<min(p_{D},\,q_{D});}
4020:"P" side of the equation < "D" side of the equation,
7193:'s), but not necessarily respectively; we do it so that
8554:{\displaystyle (1-\beta _{D})\,p_{D}+\beta _{D}\,q_{D}}
694:). The corresponding numbers for the placebo group are
187:
172:
151:
5324:
5305:
5263:
5244:
5172:
5153:
5125:
5106:
5064:
5045:
5017:
4998:
3253:{\displaystyle p\leq \alpha \,p+(1-\alpha )\,q\leq q.}
1158:{\displaystyle {\frac {e_{D}+\ell _{D}}{E_{D}+L_{D}}}}
1085:{\displaystyle {\frac {e_{P}+\ell _{P}}{E_{P}+L_{P}}}}
104:
8750:
8710:
8567:
8493:
8419:
8295:
8236:
8196:
8074:
8048:
8028:
7996:
7950:
7910:
7883:
7827:
7775:
7755:
7735:
7605:
7532:
7492:
7452:
7413:
7393:
7373:
7353:
7333:
7313:
7293:
7273:
7253:
7226:
7199:
7179:
7159:
7139:
7119:
7099:
7079:
7059:
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6997:
6970:
6944:
6924:
6766:
6598:
6568:
6541:
6514:
6471:
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6286:
6193:
6142:
6069:
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5988:
5955:
5928:
5895:
5868:
5805:
5781:
5755:
5728:
5701:
5681:
5648:
5518:
5448:
5408:
5368:
5290:
5229:
5202:
5091:
4983:
4963:
4943:
4923:
4903:
4883:
4863:
4843:
4823:
4796:
4769:
4742:
4709:
4689:
4669:
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4248:
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4174:
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3454:
3434:
3326:
3306:
3286:
3266:
3205:
3120:
3100:
3055:
3032:
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2970:
2823:
2803:
2749:
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2697:
2669:
2649:
2629:
2603:
2583:
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2537:
2517:
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2470:
2450:
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2386:
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2316:
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2248:
2228:
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2163:
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1826:
1806:
1774:
1608:
1511:
1347:
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1187:
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1027:
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831:
781:
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513:
486:
400:
358:
316:
289:
262:
235:
208:
5949:
lies entirely to the right of the "P" interval. But
1500:). In both D and L cases, this is done as follows:
8802:
8736:
8687:
8553:
8479:
8382:
8275:
8222:
8165:
8054:
8034:
8014:
7982:
7936:
7896:
7869:
7807:
7761:
7741:
7704:
7561:
7518:
7478:
7426:
7399:
7379:
7359:
7339:
7319:
7299:
7279:
7259:
7239:
7212:
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7165:
7145:
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7105:
7085:
7065:
7045:
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6983:
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6878:
6752:
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6055:
6028:
6001:
5968:
5941:
5908:
5881:
5852:
5791:
5768:
5741:
5710:
5687:
5667:
5617:
5474:
5434:
5394:
5340:
5276:
5215:
5188:
5077:
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4949:
4929:
4909:
4889:
4869:
4849:
4829:
4809:
4782:
4755:
4722:
4695:
4675:
4648:
4577:
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4438:
4412:
4386:
4366:
4346:
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4274:
4254:
4234:
4200:
4180:
4144:
4117:
4098:) and the "D" interval (i.e. the interval between
4090:
4063:
4006:
3900:
3838:
3770:
3669:
3619:
3557:
3507:
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3440:
3400:
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3252:
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3041:
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2372:
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905:
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767:
740:
713:
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633:
606:
579:
526:
499:
456:
386:
344:
302:
275:
248:
221:
8803:{\displaystyle p_{P}<p_{D}\leq q_{P}<q_{D}}
5842:
5784:
4354:s). But it says nothing about what happens when "
3468:'s—one chooses): it cannot hold if both of
7877:one key question is where in this ordering fits
6122:{\displaystyle p_{P}<p_{D}<q_{P}<q_{D}}
2743:are positive or zero, then so is their product:
6906:similarly, we have the "D" interval. Equation (
4188:'s be the lower ends of the intervals, and the
507:individuals with the early-stage condition and
45:page, and may be incomplete and/or unreliable.
6136:Proof that Simpson's paradox cannot occur if
120:
8:
8704:So let us therefore consider the case where
6696:
6669:
6449:
6422:
3998:
3971:
3956:
3929:
3892:
3865:
3830:
3803:
3762:
3735:
3720:
3693:
3661:
3634:
3614:
3587:
3549:
3522:
3502:
3475:
3395:
3382:
3349:
3336:
961:{\displaystyle {\frac {\ell _{P}}{L_{P}}},}
534:individuals with the late-stage condition (
49:For guidance on developing this draft, see
6131:
4394:'s": it can happen that one of the ␣
3901:{\displaystyle \geq min\{f_{D},\,k_{D}\}.}
3839:{\displaystyle \leq max\{f_{P},\,k_{P}\},}
3566:
2264:
1008:{\displaystyle {\frac {\ell _{D}}{L_{D}}}}
457:{\displaystyle n_{D}/N_{D}>n_{P}/N_{P}}
8794:
8781:
8768:
8755:
8749:
8728:
8715:
8709:
8679:
8674:
8668:
8655:
8650:
8641:
8619:
8614:
8605:
8583:
8578:
8572:
8566:
8545:
8540:
8534:
8521:
8516:
8507:
8492:
8471:
8466:
8457:
8435:
8430:
8424:
8418:
8368:
8363:
8354:
8326:
8321:
8312:
8294:
8267:
8254:
8241:
8235:
8214:
8201:
8195:
8153:
8128:
8106:
8093:
8073:
8047:
8027:
7995:
7983:{\displaystyle \alpha \,p+(1-\alpha )\,q}
7976:
7954:
7949:
7944:. First note that a linear interpolation
7928:
7915:
7909:
7888:
7882:
7858:
7845:
7832:
7826:
7799:
7780:
7774:
7754:
7734:
7693:
7688:
7682:
7669:
7664:
7658:
7645:
7640:
7634:
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7616:
7610:
7604:
7550:
7537:
7531:
7510:
7497:
7491:
7470:
7457:
7451:
7418:
7412:
7392:
7372:
7352:
7332:
7312:
7292:
7272:
7252:
7247:is the smallest, then we replace all the
7231:
7225:
7204:
7198:
7178:
7158:
7138:
7118:
7098:
7078:
7058:
7038:
7002:
6996:
6975:
6969:
6943:
6923:
6867:
6862:
6856:
6843:
6838:
6832:
6819:
6806:
6801:
6795:
6782:
6777:
6771:
6765:
6741:
6736:
6730:
6717:
6712:
6706:
6690:
6685:
6676:
6651:
6638:
6633:
6627:
6614:
6609:
6603:
6597:
6573:
6567:
6546:
6540:
6519:
6513:
6489:
6476:
6470:
6443:
6438:
6429:
6404:
6399:
6393:
6380:
6375:
6369:
6363:
6339:
6326:
6321:
6315:
6302:
6297:
6291:
6285:
6260:
6235:
6225:
6212:
6192:
6160:
6147:
6141:
6113:
6100:
6087:
6074:
6068:
6047:
6041:
6020:
6014:
5993:
5987:
5960:
5954:
5933:
5927:
5900:
5894:
5873:
5867:
5841:
5840:
5829:
5824:
5815:
5804:
5783:
5782:
5780:
5760:
5754:
5733:
5727:
5700:
5680:
5652:
5647:
5606:
5601:
5595:
5582:
5577:
5571:
5558:
5553:
5547:
5534:
5529:
5523:
5517:
5466:
5453:
5447:
5426:
5413:
5407:
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5373:
5367:
5323:
5314:
5304:
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5253:
5243:
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5207:
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5171:
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5152:
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4982:
4962:
4942:
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4862:
4842:
4822:
4801:
4795:
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4768:
4747:
4741:
4714:
4708:
4688:
4668:
4637:
4626:
4620:
4610:
4599:
4593:
4590:
4566:
4555:
4549:
4539:
4528:
4522:
4519:
4498:
4487:
4481:
4471:
4460:
4454:
4451:
4430:
4425:
4404:
4399:
4379:
4359:
4338:
4333:
4312:
4307:
4287:
4267:
4247:
4227:
4193:
4173:
4136:
4130:
4109:
4103:
4082:
4076:
4055:
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3992:
3987:
3978:
3950:
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3936:
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3881:
3872:
3851:
3824:
3819:
3810:
3789:
3756:
3751:
3742:
3714:
3709:
3700:
3682:
3655:
3650:
3641:
3632:
3608:
3603:
3594:
3585:
3543:
3538:
3529:
3520:
3496:
3491:
3482:
3473:
3453:
3433:
3391:
3345:
3325:
3305:
3285:
3265:
3237:
3215:
3204:
3180:
3158:
3136:
3119:
3099:
3068:
3054:
3031:
3000:
2989:
2969:
2945:
2923:
2913:
2891:
2851:
2822:
2802:
2771:
2748:
2722:
2696:
2668:
2648:
2628:
2602:
2582:
2562:
2536:
2516:
2497:
2489:
2469:
2449:
2408:
2385:
2353:
2315:
2283:
2247:
2227:
2199:
2194:
2162:
2137:
2123:
2067:
2054:
2048:
2027:
2014:
2008:
1955:
1950:
1944:
1931:
1926:
1920:
1907:
1902:
1896:
1883:
1878:
1872:
1866:
1825:
1805:
1773:
1725:
1713:
1698:
1691:
1668:
1658:
1643:
1636:
1613:
1607:
1562:
1541:
1512:
1510:
1450:
1437:
1425:
1412:
1405:
1393:
1380:
1368:
1355:
1348:
1346:
1299:
1289:
1283:
1272:
1262:
1256:
1254:
1231:
1221:
1215:
1204:
1194:
1188:
1186:
1146:
1133:
1121:
1108:
1101:
1099:
1073:
1060:
1048:
1035:
1028:
1026:
997:
987:
981:
979:
947:
937:
931:
929:
895:
885:
879:
877:
848:
838:
832:
830:
786:
780:
759:
753:
732:
726:
705:
699:
678:
665:
652:
646:
625:
619:
598:
592:
571:
558:
545:
539:
518:
512:
491:
485:
448:
439:
433:
420:
411:
405:
399:
378:
369:
363:
357:
336:
327:
321:
315:
294:
288:
267:
261:
240:
234:
213:
207:
7870:{\displaystyle p_{P}<q_{P}<q_{D};}
7808:{\displaystyle \beta _{D}=1-\alpha _{D}}
5862:There is also the "D" interval, between
2790:{\displaystyle 0\leq (1-\alpha )\,(q-p)}
8276:{\displaystyle p_{P}<q_{P}<q_{D}}
2150:{\displaystyle 0\leq \mu ,\,\nu \leq 1}
51:Knowledge:So you made a userspace draft
4730:. This is done as follows: given Eq. (
4446:'s. (See Fig. 1. A numerical example:
3908:Combining these inequalities, we have
2437:{\displaystyle 0\geq -\alpha \geq -1,}
906:{\displaystyle {\frac {e_{D}}{E_{D}}}}
859:{\displaystyle {\frac {e_{P}}{E_{P}}}}
4420:'s be greater than one of the ␣
4168:). Note that one could also have the
3087:{\displaystyle 0\geq -\alpha \,(q-p)}
2341:{\displaystyle 0\leq 1-\alpha \leq 1}
687:{\displaystyle e_{D}+\ell _{D}=n_{D}}
7:
8285:
8064:
7595:
7442:
7220:is the smallest. In other words, if
5508:
5358:
3019:{\displaystyle 0\leq \alpha \,(q-p)}
1999:
1857:
1598:
1338:
1178:
8015:{\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1}
3428:hold (no matter what weights—
3320:by the original symbols, obtaining
2373:{\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1}
2303:{\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1}
5668:{\displaystyle \alpha \,p+\beta q}
3670:{\displaystyle \{f_{P},\,k_{P}\}.}
3558:{\displaystyle \{f_{P},\,k_{P}\}.}
24:
3620:{\displaystyle \{f_{D},\,k_{D}\}}
3508:{\displaystyle \{f_{D},\,k_{D}\}}
580:{\displaystyle E_{D}+L_{D}=N_{D}}
3571:Proof of the preceding statement
2269:Proof of the preceding statement
471:But it could be that there is a
8737:{\displaystyle p_{D}\leq q_{P}}
7937:{\displaystyle p_{D}\leq q_{P}}
7562:{\displaystyle p_{P}<q_{P}.}
6501:{\displaystyle p_{D}>q_{P},}
6172:{\displaystyle p_{D}>q_{P}.}
4328:s will be less than the ␣
2079:{\displaystyle k_{P}<k_{D}.}
200:2 × 2 × 2 count table
39:This is not a Knowledge article
8647:
8628:
8611:
8592:
8513:
8494:
8463:
8444:
8374:
8347:
8332:
8305:
8223:{\displaystyle p_{D}>q_{P}}
8157:
8144:
8125:
8113:
8097:
8084:
7973:
7961:
7519:{\displaystyle q_{P}<q_{D}}
7479:{\displaystyle p_{P}<p_{D}}
6264:
6251:
6216:
6203:
5853:{\displaystyle \left{\Big )}.}
5475:{\displaystyle p_{P}<q_{P}}
5435:{\displaystyle q_{P}<q_{D}}
5395:{\displaystyle p_{P}<p_{D}}
5136:
5028:
3234:
3222:
3177:
3165:
3149:
3137:
3081:
3069:
3013:
3001:
2984:is positive or zero, we have
2942:
2930:
2910:
2898:
2888:
2876:
2864:
2852:
2848:
2836:
2784:
2772:
2768:
2756:
2036:{\displaystyle f_{P}<f_{D}}
1:
6009:), including to the right of
4302:'s" (namely, that the ␣
2215:{\displaystyle \mu \,f+\nu k}
587:); the condition improved in
189:Submit your draft for review!
41:: It is an individual user's
8695:, i.e. the opposite of Eq. (
5642:To visualize this, think of
2682:{\displaystyle \alpha =\nu }
2616:{\displaystyle \alpha =\mu }
2189:, then the weighted average
1017:
915:
816:
8697:
8409:
7817:
7589:
7436:
7029:
7023:
6960:
6908:
6888:
5978:
5918:
5502:
5352:
4732:
4218:
4164:
4025:
4014:"D" side of the equation,
3780:
3420:
3199:Combining 1. and 2. we get
2182:{\displaystyle \mu +\nu =1}
2111:
2105:
1993:
1846:
1793:{\displaystyle \mu +\nu =1}
1496:
1490:
641:individuals, respectively (
387:{\displaystyle n_{P}/N_{P}}
345:{\displaystyle n_{D}/N_{D}}
8839:
7729:Why we chose to use write
7021:Let us relabel, in Eqs. (
6964:), the smallest is either
5675:as a line segment between
4817:, then we replace all the
4736:), the smallest is either
2222:may be any number between
8022:, must lie at or between
3910:"P" side of the equation
3627:are greater than both of
3515:are greater than both of
2710:{\displaystyle 1-\alpha }
1844:). Thus, we rewrite Eq. (
795:{\displaystyle \ell _{P}}
634:{\displaystyle \ell _{D}}
5792:{\displaystyle {\Big (}}
2464:to everything). Now let
8744:. In that case we have
7762:{\displaystyle \alpha }
7360:{\displaystyle \alpha }
7166:{\displaystyle \alpha }
4890:{\displaystyle \alpha }
3313:{\displaystyle \alpha }
2977:{\displaystyle \alpha }
2550:{\displaystyle p\leq q}
2109:) hold given that Eq. (
8823:Stale userspace drafts
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2531:the larger, so that
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8407:but, applying Eq. (
6886:contradicting Eq. (
4023:contradicting Eq. (
3846:while the "D" side
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2278:First note that if
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3408:; we are done.
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3026:. Mulitiply by
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