3667:
1624:
3111:
1012:
3662:{\displaystyle {\begin{aligned}\left_{3}=1&{\mbox{ if and only if }}&L\equiv M&\equiv 0{\pmod {2}}\\\left_{3}=1&{\mbox{ if and only if }}&M&\equiv 0{\pmod {3}}\\\left_{3}=1&{\mbox{ if and only if }}&LM&\equiv 0{\pmod {5}}\\\left_{3}=1&{\mbox{ if and only if }}&LM&\equiv 0{\pmod {7}}\\\left_{3}=1&{\mbox{ if and only if }}&LM(L-3M)(L+3M)&\equiv 0{\pmod {11}}\\\left_{3}=1&{\mbox{ if and only if }}&LM(L-2M)(L+2M)&\equiv 0{\pmod {13}}\end{aligned}}}
1619:{\displaystyle {\begin{aligned}\left_{3}=1&{\mbox{ if and only if }}3|a\\\left_{3}=1&{\mbox{ if and only if }}9|a;{\mbox{ or }}9|(a\pm b)\\\left_{3}=1&{\mbox{ if and only if }}15|a;{\mbox{ or }}3|a{\mbox{ and }}5|b;{\mbox{ or }}15|(a\pm b);{\mbox{ or }}15|(a\pm 2b)\\\left_{3}=1&{\mbox{ if and only if }}9|a;{\mbox{ or }}9|(2a\pm b)\\\left_{3}=1&{\mbox{ if and only if }}21|a;{\mbox{ or }}3|a{\mbox{ and }}7|b;{\mbox{ or }}21|(a\pm b);{\mbox{ or }}7|(4a\pm b);{\mbox{ or }}7|(a\pm 2b)\end{aligned}}}
4914:
to all cyclotomic number fields. Under this definition, if gcd(Nλ, 3) = 1 one of λ, ω&lambda, or ωλ is primary. A primary under
Eisenstein's definition is primary under the modern one, and if λ is primary under the modern one, either λ or −λ is primary under Eisenstein's. Since &minus1 is a cube, this does not affect the statement of cubic reciprocity, but it does affect the unique factorization theorem. This article uses the modern definition, so
3079:
6634:
134:, respectively), can be applied to cubic and biquadratic reciprocity; proofs of these were found in his posthumous papers, but it is not clear if they are his or Eisenstein's. He published two monographs on biquadratic reciprocity. In a footnote in the second one (1832) he stated that cubic reciprocity is most easily described in the ring of Eisenstein integers, but he said nothing else about it.
4706:
2772:
6382:
4445:
6080:
953:
5652:
4913:
Most modern authors say that a number is primary if it is coprime to 3 and congruent to an ordinary integer (mod (1 − ω)), which is the same as saying it is ≡ ±2 (mod 3). There are two reasons to do this: first, the product of two primaries is a primary, and second, it generalizes
3074:{\displaystyle \left_{3}=1{\mbox{ if and only if }}{\begin{cases}q|LM{\mbox{ or }}\\L\equiv \pm {\frac {9r}{2u+1}}M{\pmod {q}},\;\;\;{\mbox{ where }}\\\;\;\;\;\;u\not \equiv 0,1,-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{3}}{\pmod {q}}\;\;\;{\mbox{ and }}\\\;\;\;\;\;3u+1\equiv r^{2}(3u-3){\pmod {q}}\end{cases}}}
137:
From hs diary and other unpublished sources, it appears that Gauss knew the rules for the cubic and quartic residuacity of integers by 1805, and discovered the full-blown theorems and proofs of cubic and quartic reciprocity around 1814. Cox and
Lemmermeyer reconstruct the chronology of Gauss's
5756:
5068:
6629:{\displaystyle {\Bigg (}{\frac {\omega }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}=\omega ^{\frac {1-a-b}{3}}=\omega ^{-m-n},\;\;\;{\Bigg (}{\frac {1-\omega }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}=\omega ^{\frac {a-1}{3}}=\omega ^{m},\;\;\;{\Bigg (}{\frac {3}{\alpha }}{\Bigg )}_{3}=\omega ^{\frac {b}{3}}=\omega ^{n}.}
687:
5419:
4248:
4701:{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &=a+b\omega \\\omega \lambda &=-b+(a-b)\omega \\\omega ^{2}\lambda &=(b-a)-a\omega \\-\lambda &=-a-b\omega \\-\omega \lambda &=b+(b-a)\omega \\-\omega ^{2}\lambda &=(a-b)+a\omega \end{aligned}}}
6340:
5949:
5843:
5929:
814:
2213:
4909:
if it is ≡ 2 (mod 3). It is straightforward to show that if gcd(Nλ, 3) = 1 then exactly one associate of λ is primary. A disadvantage of this definition is that the product of two primary numbers is the negative of a primary.
6172:
3903:
5306:
5539:
4800:
141:
Jacobi published several theorems about cubic residuacity in 1827, but these papers contain no proofs. In his Königsberg lectures of 1836–37 Jacobi presented proofs. The first proofs were published by
Eisenstein (1844).
7197:
The two monographs Gauss published on biquadratic reciprocity have consecutively-numbered sections: the first contains §§ 1–23 and the second §§ 24–76. Footnotes referencing these are of the form "Gauss, BQ, §
4121:
2767:
5660:
2305:
4930:
5181:
2372:
2524:
1774:
4387:
are the numbers that divide 1. They are ±1, ±ω, and ±ω. They are similar to 1 and −1 in the ordinary integers, in that they divide evey number. The units are the powers of −ω, a
3757:
5531:
2005:
781:
5232:
499:
4450:
3116:
1017:
504:
6244:
5479:
4288:
2677:
5321:
1838:
4157:
4806:. The norm of zero is zero, the norm of any other number is a positive integer. ε is a unit if and only if Nε = 1. Note that the norm is always ≡ 0 or ≡ 1 (mod 3).
7138:
The references to the original papers of Euler, Jacobi, and
Eisenstein were copied from the bibliographies in Lemmermeyer and Cox, and were not used in the preparation of this article.
6075:{\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\lambda }}\right)_{3}=\left({\frac {\alpha }{\pi _{1}}}\right)_{3}^{\alpha _{1}}\left({\frac {\alpha }{\pi _{2}}}\right)_{3}^{\alpha _{2}}\dots }
118:
made the first conjectures about the cubic residuacity of small integers, but they were not published until 1849, after his death. There is one result pertaining to cubic residues in
6260:
5766:
1914:
948:{\displaystyle \left_{3}={\begin{cases}&+1{\mbox{ if }}m{\mbox{ is a cubic residue }}{\pmod {n}}\\&-1{\mbox{ if }}m{\mbox{ is a cubic nonresidue }}{\pmod {n}}\end{cases}}}
5852:
4154:
Since ω − 1 = (ω − 1)(ω + ω + 1) = 0 and ω ≠ 1, we have ω = − ω − 1 and ω = − ω − 1. Since
7332:
Nachtrag zum cubischen
Reciprocitätssatzes für die aus den dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzen Zahlen, Criterien des cubischen Characters der Zahl 3 and ihrer Teiler
4905:
In order to state the unique factorization theorem, it is necessary to have a way of distinguishing one of the associates of a number. Eisenstein defines a number to be
2025:
6085:
346:); then the first (respectively second, third) set is the numbers whose indices with respect to this root are ≡ 0 (resp. 1, 2) (mod 3). In the vocabulary of
4019:
In his first monograph on cubic reciprocity
Eisenstein developed the theory of the numbers built up from a cube root of unity; they are now called the ring of
126:(1801). In the introduction to the fifth and sixth proofs of quadratic reciprocity (1818) he said that he was publishing these proofs because their techniques (
3768:
5647:{\displaystyle {\Bigg (}{\frac {\alpha \beta }{\pi }}{\Bigg )}_{3}={\Bigg (}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg )}_{3}{\Bigg (}{\frac {\beta }{\pi }}{\Bigg )}_{3}}
5237:
5104:. Because the units divide all numbers, a congruence (mod λ) is also true modulo any associate of λ, and any associate of a GCD is also a GCD.
4726:
5751:{\displaystyle {\overline {{\Bigg (}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg )}_{3}}}={\Bigg (}{\frac {\overline {\alpha }}{\overline {\pi }}}{\Bigg )}_{3}}
4049:
5063:{\displaystyle \lambda =(-1)^{\kappa }\omega ^{\mu }(1-\omega )^{\nu }\pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\dots }
2693:
3956:
The theorems on biquadratic residues gleam with the greatest simplilcity and genuine beauty only when the field of arithmetic is extended to
5126:
4802:
From the definition, if λ and μ are two
Eisenstein integers, Nλμ = Nλ Nμ; in other words, the norm is a
4803:
2380:
1692:
7321:
Beweis des
Reciprocitätssatzes für die cubischen Reste in der Theorie der aus den dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzen Zahlen
7447:
7423:
7399:
7283:
2228:
5935:
The cubic character can be extended multiplicatively to composite numbers (coprime to 3) in the "denominator" in the same way the
3687:
6376:≡ 2 (mod 3) replace α with its associate −α; this will not change the value of the cubic characters.) Then
5488:
1938:
714:
2310:
5192:
682:{\displaystyle {\begin{aligned}4p&=(2m-n)^{2}+3n^{2}\\&=(2n-m)^{2}+3m^{2}\\&=(m+n)^{2}+3(m-n)^{2},\end{aligned}}}
21:
7276:
Untersuchungen uber hohere
Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & other papers on number theory) (Second edition)
6201:
5435:
4253:
4034:
The "other imaginary quantities" needed for the "theory of residues of higher powers" are the rings of integers of the
2535:
7266:
5414:{\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{k}\equiv \alpha ^{\frac {N\pi -1}{3}}{\pmod {\pi }}.}
4813:
4028:
4015:= 1 ... and similarly the theory of residues of higher powers leads to the introduction of other imaginary quantities.
123:
7157:
This was actually written 1748–1750, but was only published posthumously; It is in Vol V, pp. 182–283 of
5943:. As in that case, if the "denominator" is composite, the symbol can equal one without the conguence being solvable:
4243:{\displaystyle \omega ^{3}=\omega \omega ^{2}=\omega {\overline {\omega }}=1,\;\;\ {\overline {\omega }}=\omega ^{2}}
4023:. Eisenstein said (paraphrasing) "to investigate the properties of this ring one need only consult Gauss's work on
1779:
229:
189:
As is often the case in number theory, it is easiest to work modulo prime numbers, so in this section all moduli
6335:{\displaystyle {\Bigg (}{\frac {\alpha }{\beta }}{\Bigg )}_{3}={\Bigg (}{\frac {\beta }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}.}
5838:{\displaystyle {\Bigg (}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg )}_{3}={\Bigg (}{\frac {\alpha }{\theta }}{\Bigg )}_{3}}
5093:
38:
1843:
5924:{\displaystyle {\Bigg (}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg )}_{3}={\Bigg (}{\frac {\beta }{\pi }}{\Bigg )}_{3}}
17:
6645:
5073:
where 0 ≤ κ ≤ 1, 0 ≤ μ ≤ 2, ν ≥ 0, the π
3999:
The theory of cubic residues must be based in a similar way on a consideration of numbers of the form
119:
7252:
Theoramatis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et amplicationes novae
4917:
The product of two prmary numbers is primary and the conjugate of a primary number is also primary.
2819:
2208:{\displaystyle \left_{3}=1{\mbox{ if and only if }}\left_{3}=1{\mbox{ if and only if }}\left_{3}=1.}
851:
6650:
5113:
4020:
6167:{\displaystyle \lambda =\pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\dots }
4377:
4124:
3977:
72:
7485:
7456:
7443:
7419:
7395:
7292:
7279:
7171:
6655:
3981:
7488:
4035:
127:
7469:
7304:
7184:
5936:
5425:
3898:{\displaystyle \left_{3}\left_{3}=1\;\;{\mbox{ if and only if }}\;\;\left_{3}\left_{3}=1}
5301:{\displaystyle \alpha ^{\frac {\mathrm {N} \pi -1}{3}}\equiv \omega ^{k}{\pmod {\pi }}}
339:
115:
5940:
4870:
Thus, inert primes are 2, 5, 11, 17, ... and a factorization of the split primes is
131:
41:
34:
7265:
German translations of all three of the above are the following, which also has the
334:
times the numbers in the first set. Another way to describe this division is to let
4795:{\displaystyle \mathrm {N} \lambda =\lambda {\overline {\lambda }}=a^{2}-ab+b^{2}.}
347:
4820:
3 is a special case: 3 = −ω(1 − ω). It is the only prime in
5085:
s ≥ 1, and this representation is unique, up to the order of the factors.
6345:
There are supplementary theorems for the units and the prime 1 − ω:
5089:
326:
be a cubic nonresidue. The first set is the cubic residues; the second one is
45:
7493:
4038:; the Gaussian and Eisenstein integers are the simplest examples of these.
4116:{\displaystyle \omega ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{\frac {2\pi i}{3}}}
7439:
7415:
2762:{\displaystyle q{\mbox{ and }}p={\frac {1}{4}}\left(L^{2}+27M^{2}\right)}
4845:. In algebraic number theory, these primes are said to remain inert in
4148:
3105:
The first few examples of this are equivalent to Euler's conjectures:
350:, the first set is a subgroup of index 3 (of the multiplicative group
1663:≡ 1 (mod 3) be a positive prime. Then 3 is a cubic residue of
1638:≡ 1 (mod 3) be a positive prime. Then 2 is a cubic residue of
4027:
and modify the proofs". This is not surprising since both rings are
370:≡ 1 (mod 3) is the sum of a square and three times a square,
7274:
Gauss, Carl
Friedrich; Maser, H. (translator into German) (1965),
5758: where the bar denotes complex conjugation.
5176:{\displaystyle \alpha ^{\mathrm {N} \pi -1}\equiv 1{\pmod {\pi }}}
7412:
A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition)
692:
and it is a straightforward exercise to show that exactly one of
59:) is solvable; the word "reciprocity" comes from the form of the
7323:, J. Reine Angew. Math. 27, pp. 289–310 (Crelle's Journal)
5186:
Now assume that Nπ ≠ 3, so that Nπ ≡ 1 (mod 3).
4862:. In algebraic number theory, these primes are said to split in
3952:
In his second monograph on biquadratic reciprocity, Gauss says:
2519:{\displaystyle \left_{3}=1{\mbox{ if and only if }}\left_{3}=1.}
1769:{\displaystyle p=3n+1={\frac {1}{4}}\left(L^{2}+27M^{2}\right),}
158:) is any number congruent to the third power of an integer (mod
7345:, J. Reine Angew. Math. 29 pp. 177–184 (Crelle's Journal)
7245:
Gauss's fifth and sixth proofs of quadratic reciprocity are in
7334:, J. Reine Angew. Math. 28, pp. 28–35 (Crelle's Journal)
7150:
Tractatus de numeroroum doctrina capita sedecim quae supersunt
3960:
numbers, so that without restriction, the numbers of the form
4858:≡ 1 (mod 3) are the product of two conjugate primes in
2300:{\displaystyle q={\frac {1}{4}}\left(L'^{2}+27M'^{2}\right),}
7369:, J. Reine Angew. Math. 2 pp. 66–69 (Crelle's Journal)
3752:{\displaystyle pq={\frac {1}{4}}\left(L^{2}+27M^{2}\right).}
783: and this representation is unique up to the signs of
5526:{\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=1.}
3067:
2218:(The "numerator" in the last expression is an integer (mod
2000:{\displaystyle p={\frac {1}{4}}\left(L^{2}+27M^{2}\right),}
941:
776:{\displaystyle p={\frac {1}{4}}\left(L^{2}+27M^{2}\right),}
208:
is ≡ 2 (mod 3) every number is a cubic residue (mod
4887:
The associates and conjugate of a prime are also primes.
4376:
is closed under addition and multiplication, making it a
303:
Therefore, the only interesting case is when the modulus
3968:
constitute the object of study ... we call such numbers
2367:{\displaystyle x\equiv \pm {\frac {L'}{3M'}}{\pmod {q}}}
7343:
Application de l'algèbre à l'arithmétique transcendante
7231:
Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda
5227:{\displaystyle \alpha ^{\frac {\mathrm {N} \pi -1}{3}}}
200:
The first thing to notice when working within the ring
3831:
3579:
3465:
3387:
3309:
3234:
3153:
2990:
2908:
2837:
2808:
2701:
2416:
2125:
2061:
1580:
1544:
1511:
1490:
1472:
1451:
1381:
1360:
1290:
1257:
1236:
1218:
1197:
1130:
1109:
1054:
916:
906:
872:
862:
220:+ 2; since 0 = 0 is obviously a cubic residue, assume
7220:
Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima
6385:
6263:
6204:
6088:
5952:
5855:
5769:
5663:
5542:
5491:
5438:
5324:
5240:
5195:
5129:
4933:
4828:. In algebraic number theory, 3 is said to ramify in
4729:
4448:
4256:
4160:
4052:
3771:
3690:
3114:
2775:
2696:
2538:
2383:
2313:
2231:
2028:
1941:
1846:
1782:
1695:
1015:
817:
717:
502:
330:
times the numbers in the first set, and the third is
4883:
31 = (1 + 6ω) × (−5 − 6ω), ...
966:
Euler's conjectures are based on the representation
314:≡ 1 (mod 3), the nonzero residue classes (mod
5849:
if α ≡ β (mod π),
1935:≡ 1 (mod 6) be positive primes,
318:) can be divided into three sets, each containing (
7233:, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 7
7222:, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 6
6628:
6334:
6239:{\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)_{3}=1.}
6238:
6166:
6074:
5923:
5837:
5750:
5646:
5525:
5473:
5413:
5300:
5226:
5175:
5062:
4794:
4723:ω is the product of λ and its conjugate
4700:
4282:
4242:
4115:
3897:
3751:
3661:
3073:
2761:
2671:
2518:
2366:
2299:
2207:
1999:
1908:
1832:
1768:
1618:
947:
775:
681:
6581:
6563:
6505:
6479:
6406:
6388:
6318:
6300:
6284:
6266:
5910:
5892:
5876:
5858:
5824:
5806:
5790:
5772:
5763:if π and θ are associates,
5737:
5709:
5687:
5669:
5633:
5615:
5602:
5584:
5568:
5545:
5474:{\displaystyle x^{3}\equiv \alpha {\pmod {\pi }}}
5424:It has formal properties similar to those of the
5120:: if α is not divisible by a prime π,
4283:{\displaystyle {\overline {\omega ^{2}}}=\omega }
2672:{\displaystyle \left_{3}\left_{3}=\left_{3}^{2}.}
6934:Lemmermeyer, pp. 209–212, Props 7.1-7.3
6828:Ireland & Rosen, Props 8.3.1 & 8.3.2
6734:Lemmermeyer, pp. 199–201, 222–224
1833:{\displaystyle L(n!)^{3}\equiv 1{\pmod {p}},}
197:, etc., are assumed to positive, odd primes.
138:unpublished work on higher reciprocity laws.
60:
8:
4874: 7 = (3 + ω) × (2 − ω),
4290:where the bar denotes complex conjugation.
366:A theorem of Fermat states that every prime
7269:and Gauss's other papers on number theory.
7242:, Vol II, pp. 65–92 and 93–148
7436:Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein
6970:Gauss, BQ, § 30, translation in Cox, p. 84
6961:Gauss, BQ, § 30, translation in Cox, p. 83
6560:
6559:
6558:
6476:
6475:
6474:
5315:of α (mod π) and is denoted by
4213:
4212:
3838:
3837:
3829:
3828:
3004:
3003:
3002:
3001:
3000:
2988:
2987:
2986:
2922:
2921:
2920:
2919:
2918:
2906:
2905:
2904:
7410:Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990),
7164:Opera Omnia, Series prima, Vols I–V
6868:Ireland & Rosen, Prop. 9.6.2, Ex 9.23
6617:
6599:
6586:
6580:
6579:
6568:
6562:
6561:
6549:
6523:
6510:
6504:
6503:
6484:
6478:
6477:
6456:
6424:
6411:
6405:
6404:
6393:
6387:
6386:
6384:
6323:
6317:
6316:
6305:
6299:
6298:
6289:
6283:
6282:
6271:
6265:
6264:
6262:
6224:
6210:
6203:
6153:
6148:
6143:
6131:
6126:
6121:
6109:
6104:
6099:
6087:
6061:
6056:
6051:
6039:
6030:
6017:
6012:
6007:
5995:
5986:
5972:
5958:
5951:
5915:
5909:
5908:
5897:
5891:
5890:
5881:
5875:
5874:
5863:
5857:
5856:
5854:
5829:
5823:
5822:
5811:
5805:
5804:
5795:
5789:
5788:
5777:
5771:
5770:
5768:
5742:
5736:
5735:
5714:
5708:
5707:
5692:
5686:
5685:
5674:
5668:
5667:
5664:
5662:
5638:
5632:
5631:
5620:
5614:
5613:
5607:
5601:
5600:
5589:
5583:
5582:
5573:
5567:
5566:
5550:
5544:
5543:
5541:
5511:
5497:
5490:
5455:
5443:
5437:
5392:
5370:
5357:
5344:
5330:
5323:
5282:
5276:
5248:
5245:
5239:
5203:
5200:
5194:
5157:
5135:
5134:
5128:
5049:
5044:
5039:
5027:
5022:
5017:
5005:
5000:
4995:
4985:
4963:
4953:
4932:
4880:19 = (3 − 2ω) × (5 + 2ω),
4783:
4761:
4744:
4730:
4728:
4654:
4527:
4449:
4447:
4263:
4257:
4255:
4234:
4217:
4193:
4181:
4165:
4159:
4094:
4074:
4059:
4051:
3883:
3869:
3858:
3844:
3830:
3816:
3802:
3791:
3777:
3770:
3735:
3719:
3700:
3689:
3639:
3578:
3564:
3550:
3525:
3464:
3450:
3436:
3411:
3386:
3372:
3358:
3333:
3308:
3294:
3280:
3255:
3233:
3219:
3205:
3180:
3152:
3138:
3124:
3115:
3113:
3048:
3024:
2989:
2970:
2960:
2944:
2907:
2885:
2856:
2836:
2825:
2814:
2807:
2795:
2781:
2774:
2748:
2732:
2713:
2700:
2695:
2660:
2655:
2603:
2597:
2583:
2569:
2558:
2544:
2537:
2504:
2433:
2427:
2415:
2403:
2389:
2382:
2348:
2323:
2312:
2282:
2261:
2238:
2230:
2193:
2142:
2136:
2124:
2112:
2075:
2072:
2060:
2048:
2034:
2027:
1983:
1967:
1948:
1940:
1894:
1880:
1866:
1852:
1845:
1811:
1799:
1781:
1752:
1736:
1717:
1694:
1589:
1579:
1553:
1543:
1520:
1510:
1499:
1489:
1481:
1471:
1460:
1450:
1436:
1422:
1390:
1380:
1369:
1359:
1345:
1331:
1299:
1289:
1266:
1256:
1245:
1235:
1227:
1217:
1206:
1196:
1182:
1168:
1139:
1129:
1118:
1108:
1094:
1080:
1063:
1053:
1039:
1025:
1016:
1014:
922:
915:
905:
878:
871:
861:
846:
837:
823:
816:
759:
743:
724:
716:
666:
638:
606:
590:
555:
539:
503:
501:
7367:De residuis cubicis commentatio numerosa
7127:Ireland & Rosen, Ex. 9.32–9.37
5308: for a unique unit ω.
2529:Along the same lines, von Lienen proved
204:of integers is that if the prime number
7341:Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1845),
7330:Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1844),
7319:Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1844),
7024:Lemmermeyer, p. 361 calls such numbers
6666:
6254:Let α and β be primary. Then
4877:13 = (4 + ω) × (3 − ω),
3083:Note that the first condition implies:
2279:
2258:
7465:
7454:
7300:
7290:
7180:
7169:
5100:as they are for the ordinary integers
4824:divisible by the square of a prime in
4816:. The primes fall into three classes:
44:that state conditions under which the
7351:These papers are all in Vol I of his
4920:The unique factorization theorem for
4890:Note that the norm of an inert prime
4841:≡ 2 (mod 3) are also primes in
4011:is an imaginary root of the equation
1909:{\displaystyle \left_{3}=\left_{3}=1}
358:), and the other two are its cosets.
174:) does not have an integer solution,
7:
3684:≡ 1 (mod 3) be primes,
493:are not determined uniquely). Thus,
384:, and that, except for the signs of
7365:Jacobi, Carl Gustave Jacob (1827),
7162:Euler, Leonhard (1911–1944),
5463:
5400:
5290:
5165:
5079:s are primary primes and the α
3647:
3533:
3419:
3341:
3263:
3188:
3056:
3049:
2978:
2971:
2893:
2886:
2356:
1819:
930:
923:
886:
879:
71:are primary numbers in the ring of
6767:Beweis des Reciprocitätssatzes ...
5249:
5204:
5136:
4804:completely multiplicative function
4731:
4392:(not just a third) root of unity.
392:, this representation is unique.
28:
7206:are of the form "Gauss, DA, Art.
3976:These numbers are now called the
1689:Gauss proves that if
1642:if and only if
1629:The first two can be restated as
918: is a cubic nonresidue
7100:Ireland & Rosen, Prop. 9.3.4
7091:Ireland & Rosen, Prop. 9.3.3
6877:Lemmermeyer, Prop. 7.1 & 7.2
6686:Gauss, DA, footnote to art. 358
7166:, Leipzig & Berlin: Teubner
7082:Ireland & Rosen, Prop 9.3.3
7064:Ireland & Rosen. Prop 9.3.1
6988:Ireland & Rosen Prop. 9.3.5
6082: where
5456:
5393:
5283:
5234: makes sense, and
5158:
3640:
3526:
3412:
3334:
3256:
3181:
2349:
1812:
33:is a collection of theorems in
7250:Gauss, Carl Friedrich (1818),
7229:Gauss, Carl Friedrich (1832),
7218:Gauss, Carl Friedrich (1828),
6997:Ireland & Rosen Prop 9.1.4
6886:Gauss, DA footnote to art. 358
6859:Cox, p. 2, Thm. 4.15, Ex. 4.15
5467:
5457:
5404:
5394:
5294:
5284:
5169:
5159:
4982:
4969:
4950:
4940:
4682:
4670:
4637:
4625:
4555:
4543:
4513:
4501:
3651:
3641:
3626:
3611:
3608:
3593:
3537:
3527:
3512:
3497:
3494:
3479:
3423:
3413:
3345:
3335:
3267:
3257:
3192:
3182:
3060:
3050:
3045:
3030:
2982:
2972:
2897:
2887:
2826:
2642:
2600:
2491:
2430:
2360:
2350:
2180:
2139:
1924:Jacobi stated (without proof)
1840: from which
1823:
1813:
1796:
1786:
1609:
1594:
1590:
1573:
1558:
1554:
1537:
1525:
1521:
1500:
1482:
1461:
1410:
1395:
1391:
1370:
1319:
1304:
1300:
1283:
1271:
1267:
1246:
1228:
1207:
1156:
1144:
1140:
1119:
1064:
934:
924:
890:
880:
874: is a cubic residue
796:For relatively-prime integers
663:
650:
635:
622:
587:
571:
536:
520:
92:) is solvable if and only if
1:
7202:". Footnotes referencing the
7055:cf. Gauss, BQ, §§ 46–47
7046:cf. Gauss, BQ, §§ 38–45
6916:Lemmermeyer, p. 226–227
6850:Lemmermeyer, p. 222–223
6697:Theorematis fundamentalis ...
4407:means its complex conjugate
806:rational cubic residue symbol
6198:, 3) = 1, then
6186:are ordinary integers, gcd(
5728:
5720:
5699:
5481: is solvable in
5432:The congruence
5096:are defined the same way in
4749:
4439:are its six unit multiples:
4269:
4222:
4198:
4131:are all numbers of the form
4029:unique factorization domains
7489:"Cubic Reciprocity Theorem"
7434:Lemmermeyer, Franz (2000),
7267:Disquisitiones Arithmeticae
7204:Disquisitiones Arithmeticae
7073:Ireland & Rosen, p. 112
7037:Ireland & Rosen, p. 206
7015:Ireland & Rosen, p. 206
7006:Ireland & Rosen, p. 113
6791:Application de l'algèbre...
5485:if and only if
4814:unique factorization domain
4127:. The Eisenstein integers
2222:), not a Legendre symbol).
124:Disquisitiones Arithmeticae
7517:
7392:Primes of the form x + n y
7262:, Vol II, pp. 47–64
3833: if and only if
3581: if and only if
3467: if and only if
3389: if and only if
3311: if and only if
3236: if and only if
3155: if and only if
2810: if and only if
2418: if and only if
2127: if and only if
2063: if and only if
1453: if and only if
1362: if and only if
1199: if and only if
1111: if and only if
1056: if and only if
296:) is a cubic residue (mod
7374:This is in Vol VI of his
6979:Ireland & Rosen p. 14
6779:Nachtrag zum cubischen...
322:−1)/3 numbers. Let
7148:Euler, Leonhard (1849),
6250:Statement of the theorem
5939:is generalized into the
5311:This unit is called the
4924:is: if λ ≠ 0, then
4395:Given a number λ =
4036:cyclotomic number fields
3970:integral complex numbers
3933:is a cubic residue (mod
3096:is a cubic residue (mod
3088:Any number that divides
1776: then
994:" and means there is an
708:is a multiple of 3, so
362:Primes ≡ 1 (mod 3)
6745:De residuis cubicis ...
5313:cubic residue character
5108:Cubic residue character
5094:greatest common divisor
3992:is a fourth root of 1.
230:Fermat's little theorem
63:, which states that if
7390:Cox, David A. (1989),
7179:Check date values in:
7152:, Comment. Arithmet. 2
6906:De residuis cubicis...
6630:
6336:
6240:
6168:
6076:
5925:
5839:
5752:
5648:
5527:
5475:
5415:
5302:
5228:
5177:
5064:
4796:
4702:
4284:
4244:
4117:
4017:
3995:In a footnote he adds
3974:
3899:
3753:
3663:
3075:
2763:
2673:
2520:
2368:
2301:
2209:
2015:≡ −3 (mod
2001:
1916:is an easy deduction.
1910:
1834:
1770:
1667:if and only if 4
1620:
949:
777:
683:
419:this is equivalent to
18:User:Virginia-American
7278:, New York: Chelsea,
7238:These are in Gauss's
7109:Lemmermeyer, Prop 7.7
6952:Lemmermeyer, Ex. 7.12
6943:Lemmermeyer, Ex. 7.11
6925:Lemmermeyer, Prop.7.4
6646:Quadratic reciprocity
6631:
6337:
6241:
6169:
6077:
5926:
5840:
5753:
5649:
5528:
5476:
5416:
5303:
5229:
5178:
5065:
4797:
4703:
4285:
4245:
4118:
4042:Facts and terminology
3997:
3954:
3900:
3754:
3664:
3076:
2764:
2674:
2521:
2369:
2302:
2210:
2007: and let
2002:
1911:
1835:
1771:
1621:
950:
778:
684:
114:Sometime before 1748
75:, both coprime to 3,
7118:Lemmermeyer, Th. 6.9
6895:Lemmermeyer, Ex. 7.9
6725:Cox, pp. 83–90
6383:
6261:
6202:
6086:
5950:
5853:
5767:
5661:
5540:
5489:
5436:
5322:
5238:
5193:
5127:
4931:
4727:
4446:
4301:ω and μ =
4254:
4158:
4050:
3769:
3688:
3112:
2773:
2694:
2536:
2381:
2311:
2229:
2026:
1939:
1844:
1780:
1693:
1013:
815:
715:
500:
224:is not divisible by
7394:, New York: Wiley,
7258:This is in Gauss's
6819:Gauss, DA, Art. 182
6756:Lemmermeyer, p. 200
6707:Lemmermeyer, p. 200
6651:Quartic reciprocity
6356:ω be primary,
6160:
6138:
6116:
6068:
6024:
5056:
5034:
5012:
4902:≡ 1 (mod 3).
4854:Positive primes in
4837:Positive primes in
4427:ω (not
4313:λ + μ = (
4021:Eisenstein integers
3943:Eisenstein integers
2769: be primes.
2687:Emma Lehmer proved
2665:
307:≡ 1 (mod 3).
73:Eisenstein integers
51: ≡
7486:Weisstein, Eric W.
7303:has generic name (
6841:, §§ 407–401
6677:, §§ 407–410
6626:
6332:
6236:
6164:
6139:
6117:
6095:
6072:
6025:
5981:
5921:
5835:
5748:
5644:
5523:
5471:
5411:
5298:
5224:
5173:
5060:
5035:
5013:
4991:
4792:
4698:
4696:
4280:
4240:
4125:cube root of unity
4113:
3895:
3835:
3749:
3659:
3657:
3583:
3469:
3391:
3313:
3238:
3157:
3071:
3066:
2994:
2912:
2841:
2812:
2759:
2705:
2669:
2592:
2516:
2420:
2364:
2307: then
2297:
2205:
2129:
2065:
1997:
1906:
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