926:
1065:
1273:
1169:
800:
2405:
1590:
202:
Although
Eisenstein's reciprocity law is only a very special case of more general reciprocity laws, it turned out to be an indispensable step for proving these general laws until Furtwängler succeeded in finally giving a proof of the reciprocity law in
949:
1772:
1468:
1177:
1073:
921:{\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{m}={\begin{cases}\zeta {\mbox{ where }}\zeta ^{m}=1&{\mbox{ if }}\alpha {\mbox{ and }}\beta {\mbox{ are relatively prime}}\\0&{\mbox{ otherwise}}\\\end{cases}}}
115:
In order to prove higher reciprocity laws, the methods known to Gauss were soon found to be inadequate. The most obvious obstacle, namely the fact that the unique factorization theorem fails to hold for the rings
2234:
2163:
753:
2668:
522:
2756:
1841:
2289:
3273:
2496:
3038:
2294:
1636:
691:
575:
1482:
466:
348:
3409:
239:
3208:
2887:
2847:
2564:
2061:
2021:
2976:
788:
413:
3314:
1337:
1309:
3148:
2924:
2601:
2098:
155:
3079:
629:
1060:{\displaystyle {\mbox{If }}\eta \in {\mathcal {O}}_{m}{\mbox{ and }}\alpha \equiv \eta ^{m}{\pmod {\beta }}{\mbox{ then }}\left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{m}=1.}
3465:
3340:
2431:
1676:
47:
are a collection of theorems in number theory. The name "reciprocity" (coined by
Legendre) refers to the fact that they state conditions under whcich the congruence
3111:
382:
2692:
1704:
1908:
1377:
1364:
1268:{\displaystyle {\mbox{If }}\left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{m}=1{\mbox{ then }}\alpha {\mbox{ may or may not be an }}m{\mbox{-th power}}{\pmod {\beta }}.}
3429:
3360:
2787:
1961:
1885:
1865:
1696:
1656:
607:
303:
279:
259:
191:
1164:{\displaystyle {\mbox{If }}\left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{m}\neq 1{\mbox{ then }}\alpha {\mbox{ is not an }}m{\mbox{-th power}}{\pmod {\beta }}.}
1918:
3719:
3695:
2168:
3711:
3687:
241:
without the help of
Eisenstein's reciprocity law. It should be also noted that Eisenstein's reciprocity law holds for all primes
2103:
21:
712:
2606:
471:
2697:
2400:{\displaystyle ({\tfrac {\alpha }{r}})_{p}=({\tfrac {r}{\alpha }})_{p}=({\tfrac {r}{{\mathfrak {A}}_{j}}})_{p}^{p}\;\;}
1802:
2239:
3213:
2436:
1585:{\displaystyle \left({\frac {1-\zeta _{m}}{a}}\right)_{m}=\left({\frac {\zeta _{m}}{a}}\right)_{m}^{\frac {m-1}{2}}.}
2981:
1929:
1604:
634:
543:
430:
312:
3365:
1925:
206:
3153:
34:
2852:
2792:
2509:
2026:
1966:
2929:
1933:
1844:
1784:
96:
17:
3475:
762:
387:
76:
3291:
1314:
1286:
3116:
2892:
2569:
2066:
704:
837:
3485:
170:
162:
158:
119:
88:
38:
3043:
612:
582:
3728:
3715:
3691:
3490:
3480:
3434:
3319:
166:
80:
2410:
1661:
3090:
1767:{\displaystyle \left({\frac {\alpha }{a}}\right)_{m}=\left({\frac {a}{\alpha }}\right)_{m}.}
1340:
586:
424:
416:
361:
1463:{\displaystyle \left({\frac {\zeta _{m}}{a}}\right)_{m}=\zeta _{m}^{\frac {a^{m-1}-1}{m}}.}
3741:
2759:
197:
that could be proved within the cyclotomic framework is
Eisenstein's reciprocity law. ...
194:
84:
44:
2676:
1890:
1346:
3414:
3345:
2772:
1946:
1870:
1850:
1681:
1641:
592:
288:
264:
244:
176:
940:
525:
282:
92:
1796:
306:
104:
100:
83:
reciprocity. It lies midway between these special cases and the more general
173:
reciprocity, however, did not yield the general reciprocity theorem for
75:
The
Eisenstein reciprocity law generalizes some of our previous work on
2100:
Use the unique factorization theorrem for prime ideals to deduce that
2291:
is semi-primary. Now use
Eisenstein's reciprocity law to deduce that
3684:
A Classical
Introduction to Modern Number Theory (Second edition)
2229:{\displaystyle {\mathfrak {A}}_{i},\;\;i=0,1,\dots ,p-1.\;\;}
1617:
969:
769:
731:
556:
394:
914:
2762:. The only Wieferich primes below 4×10 are 1093 and 3511.
2158:{\displaystyle (x+y\zeta ^{i})={\mathfrak {A}}_{i}^{p}\;}
111:
Lemmermeyer begins the chapter on
Eisenstein reciprocity
1936:'s theorems. These four exercises are from Lemmermeyer:
2358:
2330:
2302:
1240:
1230:
1220:
1182:
1136:
1126:
1116:
1078:
1020:
981:
954:
905:
889:
879:
869:
844:
3437:
3417:
3368:
3348:
3322:
3294:
3216:
3156:
3119:
3093:
3046:
2984:
2932:
2895:
2855:
2795:
2775:
2700:
2679:
2609:
2572:
2512:
2439:
2413:
2297:
2242:
2171:
2106:
2069:
2029:
1969:
1949:
1893:
1873:
1853:
1805:
1707:
1684:
1664:
1644:
1638:
be primary (and therefore relatively prime to
1607:
1485:
1380:
1349:
1317:
1289:
1180:
1076:
952:
803:
765:
748:{\displaystyle \alpha ,\beta \in {\mathcal {O}}_{m},}
715:
637:
615:
595:
546:
474:
433:
390:
364:
315:
291:
267:
247:
209:
179:
165:
numbers. The direct generalization of the proofs for
122:
2663:{\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}.\;\;}
517:{\displaystyle \zeta _{m}=e^{2\pi i{\frac {1}{m}}}}
3459:
3423:
3403:
3354:
3334:
3308:
3267:
3202:
3142:
3105:
3073:
3032:
2970:
2918:
2881:
2841:
2781:
2751:{\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}\;\;}
2750:
2686:
2662:
2595:
2558:
2490:
2425:
2399:
2283:
2228:
2157:
2092:
2055:
2015:
1955:
1902:
1879:
1859:
1835:
1766:
1690:
1670:
1650:
1630:
1584:
1462:
1358:
1331:
1303:
1267:
1163:
1059:
920:
782:
747:
685:
623:
601:
569:
516:
460:
407:
376:
342:
297:
273:
253:
233:
185:
149:
1924:Eisenstein reciprocity is used in some proofs of
1836:{\displaystyle K\supset \mathbb {Q} (\zeta _{l})}
59:) has a solution in terms of the solvability of
2284:{\displaystyle \alpha =\zeta ^{y}x+\zeta ^{-x}y}
3268:{\displaystyle 3^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}.}
2491:{\displaystyle r^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}.}
935:-th power version of the classical (quadratic,
3033:{\displaystyle r^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}}
3411:is solvable for all but finitely many primes
1631:{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{m}}
686:{\displaystyle {\pmod {(1-\zeta _{m})^{2}}}.}
570:{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{m}}
8:
3708:Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein
3199:
3139:
3138:
2915:
2914:
2838:
2747:
2746:
2683:
2659:
2658:
2592:
2591:
2555:
2396:
2395:
2225:
2224:
2190:
2189:
2154:
2089:
2088:
2012:
609:, and is congruent to a rational (i.e. in
3682:Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990),
3448:
3436:
3416:
3385:
3373:
3367:
3347:
3321:
3302:
3301:
3293:
3252:
3239:
3221:
3215:
3187:
3174:
3161:
3155:
3118:
3092:
3045:
3020:
3007:
2989:
2983:
2959:
2946:
2931:
2894:
2875:
2874:
2854:
2826:
2813:
2800:
2794:
2774:
2736:
2723:
2705:
2699:
2678:
2645:
2632:
2614:
2608:
2571:
2543:
2530:
2517:
2511:
2475:
2462:
2444:
2438:
2412:
2389:
2384:
2371:
2365:
2364:
2357:
2345:
2329:
2317:
2301:
2296:
2269:
2253:
2241:
2180:
2174:
2173:
2170:
2148:
2143:
2137:
2136:
2123:
2105:
2068:
2049:
2048:
2028:
2000:
1987:
1974:
1968:
1948:
1892:
1872:
1852:
1824:
1813:
1812:
1804:
1755:
1741:
1727:
1713:
1706:
1683:
1678: is also relatively prime to
1663:
1643:
1622:
1616:
1615:
1606:
1560:
1555:
1540:
1534:
1520:
1504:
1491:
1484:
1432:
1425:
1420:
1407:
1392:
1386:
1379:
1348:
1325:
1324:
1316:
1297:
1296:
1288:
1246:
1239:
1229:
1219:
1207:
1193:
1181:
1179:
1142:
1135:
1125:
1115:
1103:
1089:
1077:
1075:
1045:
1031:
1019:
1003:
997:
980:
974:
968:
967:
953:
951:
904:
888:
878:
868:
854:
843:
832:
823:
809:
802:
774:
768:
767:
764:
736:
730:
729:
714:
670:
660:
638:
636:
617:
616:
614:
594:
561:
555:
554:
545:
502:
492:
479:
473:
461:{\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{m}),}
446:
435:
434:
432:
399:
393:
392:
389:
363:
343:{\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{l}).}
328:
317:
316:
314:
290:
266:
246:
222:
211:
210:
208:
178:
135:
124:
123:
121:
3404:{\displaystyle x^{l}\equiv a{\pmod {p}}}
2849:for pairwise relatively prime integers
2023:for pairwise relatively prime integers
234:{\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{l})}
3502:
3737:
3726:
3282:Eisenstein's law can be used to prove
3203:{\displaystyle x^{p}+y^{p}+z^{p}=0.\;}
3665:Ireland & Rosen, ch. 14.6, thm. 4
2882:{\displaystyle x,y,z\in \mathbb {Z} }
2842:{\displaystyle x^{p}+y^{p}+z^{p}=0\;}
2559:{\displaystyle x^{p}+y^{p}+z^{p}=0\;}
2056:{\displaystyle x,y,z\in \mathbb {Z} }
2016:{\displaystyle x^{p}+y^{p}+z^{p}=0\;}
193:-th powers; indeed, the most general
7:
2971:{\displaystyle p\nmid (x^{2}-y^{2})}
1783:The theorem is a consequence of the
261:, whereas Kummer had to assume that
3393:
3247:
3015:
2731:
2670:(Hint: Use the preceding exercise)
2640:
2470:
2366:
2175:
2138:
1919:First case of Fermat's last theorem
1254:
1150:
1011:
646:
3575:Ireland & Rosen, ch. 14 thm. 1
2789:be an odd prime, and assume that
1963:be an odd prime, and assume that
1311: be an odd prime and
783:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{m}}
408:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{m}}
28:
3309:{\displaystyle a\in \mathbb {Z} }
1887:, then Eisenstein's law holds in
1332:{\displaystyle a\in \mathbb {Z} }
1304:{\displaystyle m\in \mathbb {Z} }
3286:Theorem (Trost, Ankeny, Rogers).
1232: may or may not be an
3712:Springer Science+Business Media
3688:Springer Science+Business Media
3518:Ireland and Rosen, ch.14, intro
3386:
3240:
3143:{\displaystyle p\nmid xyz,\;\;}
3008:
2919:{\displaystyle p\nmid xyz.\;\;}
2724:
2633:
2596:{\displaystyle p\nmid xyz;\;\;}
2463:
2093:{\displaystyle p\nmid xyz.\;\;}
1867:-th roots of unity for a prime
1247:
1143:
1004:
639:
99:and then in full generality by
3397:
3387:
3258:
3241:
3065:
3053:
3026:
3009:
2965:
2939:
2742:
2725:
2651:
2634:
2481:
2464:
2381:
2354:
2342:
2326:
2314:
2298:
2129:
2107:
1830:
1817:
1258:
1248:
1154:
1144:
1015:
1005:
676:
667:
647:
640:
452:
439:
384:be an integer, and let
334:
321:
228:
215:
141:
128:
1:
3620:Ireland & Rosen, ch. 14.6
3593:Ireland & Rosen, ch. 14.5
3536:Ireland & Rosen, ch. 14.2
759:-th power residue symbol for
161:through the invention of his
150:{\displaystyle \mathbb {Z} ,}
3074:{\displaystyle r\mid (x-y).}
1917:
624:{\displaystyle \mathbb {Z} }
31:Eisenstein's reciprocity law
3706:Lemmermeyer, Franz (2000),
3763:
3545:Lemmermeyer uses the term
3527:Lemmermeyer, ch. 11, intro
3509:Lemmermeyer, ch. 11, notes
891: are relatively prime
702:
3611:Lemmermeyer, ch. 11 notes
1658:), and assume that
71:). Ireland and Rosen say
3460:{\displaystyle a=b^{l}.}
3335:{\displaystyle l\nmid a}
1279:Statement of the theorem
699:-th power residue symbol
2767:III. (Furtwängler 1912)
2426:{\displaystyle r\mid x}
1843: is an arbitrary
1671:{\displaystyle \alpha }
354:Background and notation
35:algebraic number theory
3656:Lemmermeyer, ex. 11.37
3647:Lemmermeyer, ex. 11.36
3638:Lemmermeyer, ex. 11.33
3629:Lemmermeyer, ex. 11.32
3584:Lemmermeyer, thm. 11.9
3566:Lemmermeyer, thm. 11.9
3557:Lemmermeyer, thm. 11.9
3461:
3425:
3405:
3356:
3336:
3310:
3278:Powers mod most primes
3269:
3204:
3144:
3107:
3106:{\displaystyle p>3}
3075:
3034:
2972:
2920:
2883:
2843:
2783:
2752:
2688:
2664:
2597:
2560:
2492:
2427:
2401:
2285:
2230:
2159:
2094:
2057:
2017:
1957:
1904:
1881:
1861:
1845:algebraic number field
1837:
1785:Stickelberger relation
1768:
1692:
1672:
1652:
1632:
1597:Eisenstein reciprocity
1586:
1464:
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