4587:
3913:
3607:
4286:
4934:
3625:
3319:
2081:
4592:
4582:{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}&={\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{\dot {\phi }}\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}&=-{\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{\dot {\phi }}\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}&=-{\dot {\phi }}\sin \theta {\boldsymbol {\hat {r}}}-{\dot {\phi }}\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}\end{aligned}}}
912:
1747:
4281:
1343:
3908:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \phi &\cos \theta \cos \phi &-\sin \phi \\\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \sin \phi &\cos \phi \\\cos \theta &-\sin \theta &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}}
3602:{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \\\cos \theta \cos \phi &\cos \theta \sin \phi &-\sin \theta \\-\sin \phi &\cos \phi &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}}
687:
393:
4929:{\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\boldsymbol {\hat {r}}}\left({\dot {A}}_{r}-A_{\theta }{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\sin \theta \right)+{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\left({\dot {A}}_{\theta }+A_{r}{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\cos \theta \right)+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\left({\dot {A}}_{\phi }+A_{r}{\dot {\phi }}\sin \theta +A_{\theta }{\dot {\phi }}\cos \theta \right)}
4059:
1516:
1723:
1119:
2369:
22:
3006:
2076:{\displaystyle \mathbf {\ddot {A}} =\mathbf {\hat {\rho }} \left({\ddot {A}}_{\rho }-A_{\phi }{\ddot {\phi }}-2{\dot {A}}_{\phi }{\dot {\phi }}-A_{\rho }{\dot {\phi }}^{2}\right)+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\left({\ddot {A}}_{\phi }+A_{\rho }{\ddot {\phi }}+2{\dot {A}}_{\rho }{\dot {\phi }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}^{2}\right)+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {A}}_{z}}
3314:
682:
1350:
1523:
2184:
907:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {\rho }} \\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi &0\\-\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}}
2751:
388:
4276:{\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{r}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}+{\dot {A}}_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}+{\dot {A}}_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}}
3147:
1338:{\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\dot {A}}_{\rho }{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+A_{\rho }{\dot {\hat {\boldsymbol {\rho }}}}+{\dot {A}}_{\phi }{\hat {\boldsymbol {\phi }}}+A_{\phi }{\dot {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}+{\dot {A}}_{z}{\hat {\boldsymbol {z}}}+A_{z}{\dot {\hat {\boldsymbol {z}}}}}
3140:
1112:
515:
4054:
504:
230:
1511:{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {\rho } }}}&={\dot {\phi }}{\hat {\boldsymbol {\phi }}}\\{\dot {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}&=-{\dot {\phi }}{\hat {\mathbf {\rho } }}\\{\dot {\hat {\mathbf {z} }}}&=0\end{aligned}}}
1718:{\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\hat {\boldsymbol {\rho }}}\left({\dot {A}}_{\rho }-A_{\phi }{\dot {\phi }}\right)+{\hat {\boldsymbol {\phi }}}\left({\dot {A}}_{\phi }+A_{\rho }{\dot {\phi }}\right)+{\hat {\mathbf {z} }}{\dot {A}}_{z}}
2364:{\displaystyle {\ddot {\mathbf {P} }}=\mathbf {\hat {\rho }} \left({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\phi }}^{2}\right)+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\left(\rho {\ddot {\phi }}+2{\dot {\rho }}{\dot {\phi }}\right)+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {z}}}
3011:
2176:
3001:{\displaystyle {\begin{bmatrix}r\\\theta \\\phi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\arccos(z/{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}})\\\arctan(y/x)\end{bmatrix}},\ \ \ 0\leq \theta \leq \pi ,\ \ \ 0\leq \phi <2\pi ,}
978:
3928:
2589:
3309:{\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}
2527:
2477:
402:
677:{\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{\rho }\mathbf {\hat {\rho }} +A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{z}\mathbf {\hat {z}} }
2417:
4291:
1355:
2636:
973:
383:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\rho \\\phi \\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\operatorname {arctan} (y/x)\\z\end{bmatrix}},\ \ \ 0\leq \phi <2\pi ,}
95:
119:
2115:
4944:
3135:{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}r\sin \theta \cos \phi \\r\sin \theta \sin \phi \\r\cos \theta \end{bmatrix}}.}
1107:{\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\dot {A}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {A}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\dot {A}}_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}
2538:
4049:{\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{x}\mathbf {\hat {x}} +{\dot {A}}_{y}\mathbf {\hat {y}} +{\dot {A}}_{z}\mathbf {\hat {z}} }
3925:
To find out how the vector field A changes in time, the time derivatives should be calculated. In
Cartesian coordinates this is simply:
2488:
2428:
2381:
499:{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho \cos \phi \\\rho \sin \phi \\z\end{bmatrix}}.}
5001:
2600:
4996:
143:
947:
2745:
2674:
222:
129:
axis. Several other definitions are in use, and so care must be taken in comparing different sources.
2654:
941:
1741:
1737:
4956:
3612:
2650:
1744:
systems. The second time derivative of a vector field in cylindrical coordinates is given by:
921:
917:
80:
4979:
2171:{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {P} =\rho \mathbf {\hat {\rho }} +z\mathbf {\hat {z}} }
104:
2658:
4990:
509:
392:
101:
axis and the radius vector connecting the origin to the point in question, while
77:
Note: This page uses common physics notation for spherical coordinates, in which
4952:
3622:
The
Cartesian unit vectors are thus related to the spherical unit vectors by:
940:
changes in time, the time derivatives should be calculated. For this purpose
4960:
3616:
925:
684:
The cylindrical unit vectors are related to the
Cartesian unit vectors by:
21:
4948:
4283:
The time derivatives of the unit vectors are needed. They are given by:
3316:
The spherical unit vectors are related to the
Cartesian unit vectors by:
2702:
is the angle between the positive Z-axis and the vector in question (0 ≤
2584:{\displaystyle 2{\dot {\rho }}{\dot {\phi }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}
1347:
The time derivatives of the unit vectors are needed. They are given by:
1733:
391:
121:
is the angle between the projection of the radius vector onto the
50:
20:
3144:
Any vector field can be written in terms of the unit vectors as:
2522:{\displaystyle \rho {\ddot {\phi }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}
18:
Vector field representation in 3D curvilinear coordinate systems
2472:{\displaystyle -\rho {\dot {\phi }}^{2}\mathbf {\hat {\rho }} }
66:
58:
2716:
is the angle between the projection of the vector onto the
175:
is the angle between the projection of the vector onto the
2373:
In mechanics, the terms of this expression are called:
3850:
3697:
3634:
3544:
3391:
3328:
3056:
3020:
2796:
2760:
2412:{\displaystyle {\ddot {\rho }}\mathbf {\hat {\rho }} }
849:
759:
696:
447:
411:
275:
239:
4595:
4289:
4062:
3931:
3628:
3322:
3150:
3014:
2754:
2603:
2541:
2491:
2431:
2384:
2187:
2118:
1750:
1526:
1353:
1122:
981:
950:
690:
518:
405:
233:
107:
83:
4928:
4581:
4275:
4048:
3907:
3601:
3308:
3134:
3000:
2630:
2583:
2521:
2471:
2411:
2363:
2170:
2075:
1717:
1510:
1337:
1116:However, in cylindrical coordinates this becomes:
1106:
967:
906:
676:
498:
382:
113:
89:
4823:
4720:
4617:
4569:
4533:
4485:
4467:
4431:
4392:
4374:
4338:
4302:
4262:
4235:
4196:
4169:
4130:
4103:
4040:
4006:
3972:
3891:
3875:
3859:
3675:
3659:
3643:
3585:
3569:
3553:
3369:
3353:
3337:
3300:
3275:
3250:
3225:
3200:
3175:
2622:
2575:
2513:
2463:
2403:
2343:
2273:
2211:
2162:
2144:
2048:
1910:
1772:
890:
874:
858:
737:
721:
705:
668:
643:
618:
593:
568:
543:
4056:However, in spherical coordinates this becomes:
512:can be written in terms of the unit vectors as:
165:is the length of the vector projected onto the
2631:{\displaystyle {\ddot {z}}\mathbf {\hat {z}} }
1732:The second time derivative is of interest in
8:
4945:Del in cylindrical and spherical coordinates
975:). In Cartesian coordinates this is simply:
4901:
4900:
4894:
4867:
4866:
4860:
4847:
4836:
4835:
4818:
4817:
4789:
4788:
4782:
4764:
4763:
4757:
4744:
4733:
4732:
4715:
4714:
4686:
4685:
4679:
4661:
4660:
4654:
4641:
4630:
4629:
4612:
4611:
4597:
4596:
4594:
4564:
4563:
4543:
4542:
4528:
4527:
4507:
4506:
4480:
4478:
4477:
4462:
4461:
4441:
4440:
4426:
4425:
4414:
4413:
4387:
4385:
4384:
4369:
4368:
4348:
4347:
4333:
4332:
4321:
4320:
4297:
4295:
4294:
4290:
4288:
4257:
4255:
4254:
4248:
4230:
4229:
4223:
4212:
4211:
4191:
4189:
4188:
4182:
4164:
4163:
4157:
4146:
4145:
4125:
4123:
4122:
4116:
4098:
4097:
4091:
4080:
4079:
4064:
4063:
4061:
4035:
4034:
4028:
4017:
4016:
4001:
4000:
3994:
3983:
3982:
3967:
3966:
3960:
3949:
3948:
3933:
3932:
3930:
3886:
3885:
3870:
3869:
3854:
3853:
3845:
3692:
3670:
3669:
3654:
3653:
3638:
3637:
3629:
3627:
3580:
3579:
3564:
3563:
3548:
3547:
3539:
3386:
3364:
3363:
3348:
3347:
3332:
3331:
3323:
3321:
3295:
3294:
3288:
3270:
3269:
3263:
3245:
3244:
3238:
3220:
3219:
3213:
3195:
3194:
3188:
3170:
3169:
3163:
3151:
3149:
3051:
3015:
3013:
2919:
2892:
2879:
2866:
2860:
2855:
2831:
2818:
2805:
2799:
2791:
2755:
2753:
2617:
2616:
2605:
2604:
2602:
2570:
2569:
2558:
2557:
2546:
2545:
2540:
2508:
2507:
2496:
2495:
2490:
2458:
2457:
2451:
2440:
2439:
2430:
2398:
2397:
2386:
2385:
2383:
2350:
2349:
2338:
2337:
2318:
2317:
2306:
2305:
2288:
2287:
2268:
2267:
2253:
2242:
2241:
2223:
2222:
2206:
2205:
2191:
2189:
2188:
2186:
2181:After substituting, the result is given:
2157:
2156:
2139:
2138:
2127:
2119:
2117:
2067:
2056:
2055:
2043:
2042:
2028:
2017:
2016:
2009:
1991:
1990:
1984:
1973:
1972:
1954:
1953:
1947:
1934:
1923:
1922:
1905:
1904:
1890:
1879:
1878:
1871:
1853:
1852:
1846:
1835:
1834:
1816:
1815:
1809:
1796:
1785:
1784:
1767:
1766:
1752:
1751:
1749:
1709:
1698:
1697:
1685:
1683:
1682:
1663:
1662:
1656:
1643:
1632:
1631:
1614:
1613:
1594:
1593:
1587:
1574:
1563:
1562:
1545:
1544:
1530:
1528:
1527:
1525:
1478:
1476:
1474:
1473:
1458:
1456:
1455:
1444:
1443:
1417:
1415:
1414:
1399:
1398:
1387:
1386:
1363:
1361:
1359:
1358:
1354:
1352:
1319:
1317:
1316:
1310:
1292:
1291:
1285:
1274:
1273:
1253:
1251:
1250:
1244:
1226:
1225:
1219:
1208:
1207:
1187:
1185:
1184:
1178:
1160:
1159:
1153:
1142:
1141:
1126:
1124:
1123:
1121:
1093:
1091:
1090:
1084:
1073:
1072:
1057:
1055:
1054:
1048:
1037:
1036:
1021:
1019:
1018:
1012:
1001:
1000:
985:
983:
982:
980:
954:
952:
951:
949:
885:
884:
869:
868:
853:
852:
844:
754:
732:
731:
716:
715:
700:
699:
691:
689:
663:
662:
656:
638:
637:
631:
613:
612:
606:
588:
587:
581:
563:
562:
556:
538:
537:
531:
519:
517:
442:
406:
404:
321:
297:
284:
278:
270:
234:
232:
106:
82:
4980:Wolfram Mathworld, spherical coordinates
2375:
1728:Second time derivative of a vector field
4972:
4820:
4717:
4614:
4566:
4530:
4482:
4464:
4428:
4389:
4371:
4335:
4299:
4259:
4232:
4193:
4166:
4127:
4100:
3888:
3872:
3856:
3366:
3350:
3334:
3297:
3272:
3247:
2572:
2510:
2270:
1907:
1616:
1547:
1419:
1401:
1321:
1294:
1255:
1228:
1189:
1162:
718:
640:
1520:So the time derivative simplifies to:
944:will be used for the time derivative (
3615:, that is, its inverse is simply its
968:{\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}}
7:
2720:-plane and the positive X-axis (0 ≤
4589:Thus the time derivative becomes:
14:
3921:Time derivative of a vector field
936:To find out how the vector field
932:Time derivative of a vector field
4602:
4599:
4490:
4397:
4307:
4267:
4201:
4135:
4069:
4066:
4037:
4003:
3969:
3938:
3935:
3672:
3656:
3640:
3582:
3566:
3550:
3222:
3197:
3172:
3152:
2619:
2340:
2192:
2159:
2128:
2120:
2045:
1757:
1754:
1686:
1531:
1479:
1127:
1094:
1058:
1022:
986:
955:
887:
871:
855:
734:
665:
590:
565:
540:
520:
2085:To understand this expression,
4963:in various coordinate systems.
2927:
2913:
2900:
2849:
1690:
1619:
1550:
1483:
1463:
1422:
1404:
1368:
1324:
1297:
1258:
1231:
1192:
1165:
1098:
1062:
1026:
329:
315:
1:
2421:central outward acceleration
133:Cylindrical coordinate system
2696:is the length of the vector,
2664:Spherical coordinate system
69:) is often used instead of
5018:
2648:
4947:for the specification of
2481:centripetal acceleration
97:is the angle between the
3611:Note: the matrix is an
2673:Vectors are defined in
916:Note: the matrix is an
144:cylindrical coordinates
142:Vectors are defined in
90:{\displaystyle \theta }
53:), and azimuthal angle
25:Spherical coordinates (
4930:
4583:
4277:
4050:
3909:
3603:
3310:
3136:
3002:
2632:
2585:
2523:
2473:
2413:
2365:
2172:
2077:
1719:
1512:
1339:
1108:
969:
908:
678:
500:
396:
384:
115:
91:
74:
37:) as commonly used in
4931:
4584:
4278:
4051:
3910:
3604:
3311:
3137:
3003:
2746:Cartesian coordinates
2675:spherical coordinates
2633:
2586:
2531:angular acceleration
2524:
2474:
2414:
2366:
2173:
2078:
1720:
1513:
1340:
1109:
970:
909:
679:
501:
395:
385:
223:Cartesian coordinates
116:
114:{\displaystyle \phi }
92:
24:
4593:
4287:
4060:
3929:
3626:
3320:
3148:
3012:
2752:
2655:Angular acceleration
2601:
2539:
2489:
2429:
2382:
2185:
2116:
1748:
1742:classical mechanical
1736:, as it is found in
1524:
1351:
1120:
979:
948:
688:
516:
403:
231:
105:
81:
2089:is substituted for
1738:equations of motion
183:) and the positive
5002:Coordinate systems
4926:
4579:
4577:
4273:
4046:
3905:
3899:
3839:
3683:
3599:
3593:
3533:
3377:
3306:
3132:
3123:
3042:
2998:
2932:
2782:
2628:
2581:
2519:
2469:
2409:
2361:
2168:
2073:
1715:
1508:
1506:
1335:
1104:
965:
904:
898:
838:
745:
674:
496:
487:
433:
397:
380:
341:
261:
111:
87:
75:
41:: radial distance
4909:
4875:
4844:
4826:
4797:
4772:
4741:
4723:
4694:
4669:
4638:
4620:
4605:
4572:
4551:
4536:
4515:
4493:
4488:
4470:
4449:
4434:
4422:
4400:
4395:
4377:
4356:
4341:
4329:
4310:
4305:
4270:
4265:
4238:
4220:
4204:
4199:
4172:
4154:
4138:
4133:
4106:
4088:
4072:
4043:
4025:
4009:
3991:
3975:
3957:
3941:
3894:
3878:
3862:
3678:
3662:
3646:
3613:orthogonal matrix
3588:
3572:
3556:
3372:
3356:
3340:
3303:
3278:
3253:
3228:
3203:
3178:
3008:or inversely by:
2976:
2973:
2970:
2949:
2946:
2943:
2898:
2837:
2651:Centripetal force
2647:
2646:
2625:
2613:
2578:
2566:
2554:
2516:
2504:
2466:
2448:
2406:
2394:
2358:
2346:
2326:
2314:
2296:
2276:
2250:
2231:
2214:
2199:
2165:
2147:
2064:
2051:
2025:
1999:
1981:
1962:
1931:
1913:
1887:
1861:
1843:
1824:
1793:
1775:
1760:
1706:
1693:
1671:
1640:
1622:
1602:
1571:
1553:
1538:
1491:
1486:
1466:
1452:
1430:
1425:
1407:
1395:
1376:
1371:
1332:
1327:
1300:
1282:
1266:
1261:
1234:
1216:
1200:
1195:
1168:
1150:
1134:
1101:
1081:
1065:
1045:
1029:
1009:
993:
962:
942:Newton's notation
918:orthogonal matrix
893:
877:
861:
740:
724:
708:
671:
646:
621:
596:
571:
546:
399:or inversely by:
358:
355:
352:
303:
5009:
4982:
4977:
4935:
4933:
4932:
4927:
4925:
4921:
4911:
4910:
4902:
4899:
4898:
4877:
4876:
4868:
4865:
4864:
4852:
4851:
4846:
4845:
4837:
4828:
4827:
4819:
4813:
4809:
4799:
4798:
4790:
4787:
4786:
4774:
4773:
4765:
4762:
4761:
4749:
4748:
4743:
4742:
4734:
4725:
4724:
4716:
4710:
4706:
4696:
4695:
4687:
4684:
4683:
4671:
4670:
4662:
4659:
4658:
4646:
4645:
4640:
4639:
4631:
4622:
4621:
4613:
4607:
4606:
4598:
4588:
4586:
4585:
4580:
4578:
4574:
4573:
4565:
4553:
4552:
4544:
4538:
4537:
4529:
4517:
4516:
4508:
4495:
4494:
4489:
4481:
4479:
4472:
4471:
4463:
4451:
4450:
4442:
4436:
4435:
4427:
4424:
4423:
4415:
4402:
4401:
4396:
4388:
4386:
4379:
4378:
4370:
4358:
4357:
4349:
4343:
4342:
4334:
4331:
4330:
4322:
4312:
4311:
4306:
4298:
4296:
4282:
4280:
4279:
4274:
4272:
4271:
4266:
4258:
4256:
4253:
4252:
4240:
4239:
4231:
4228:
4227:
4222:
4221:
4213:
4206:
4205:
4200:
4192:
4190:
4187:
4186:
4174:
4173:
4165:
4162:
4161:
4156:
4155:
4147:
4140:
4139:
4134:
4126:
4124:
4121:
4120:
4108:
4107:
4099:
4096:
4095:
4090:
4089:
4081:
4074:
4073:
4065:
4055:
4053:
4052:
4047:
4045:
4044:
4036:
4033:
4032:
4027:
4026:
4018:
4011:
4010:
4002:
3999:
3998:
3993:
3992:
3984:
3977:
3976:
3968:
3965:
3964:
3959:
3958:
3950:
3943:
3942:
3934:
3914:
3912:
3911:
3906:
3904:
3903:
3896:
3895:
3887:
3880:
3879:
3871:
3864:
3863:
3855:
3844:
3843:
3688:
3687:
3680:
3679:
3671:
3664:
3663:
3655:
3648:
3647:
3639:
3608:
3606:
3605:
3600:
3598:
3597:
3590:
3589:
3581:
3574:
3573:
3565:
3558:
3557:
3549:
3538:
3537:
3382:
3381:
3374:
3373:
3365:
3358:
3357:
3349:
3342:
3341:
3333:
3315:
3313:
3312:
3307:
3305:
3304:
3296:
3293:
3292:
3280:
3279:
3271:
3268:
3267:
3255:
3254:
3246:
3243:
3242:
3230:
3229:
3221:
3218:
3217:
3205:
3204:
3196:
3193:
3192:
3180:
3179:
3171:
3168:
3167:
3155:
3141:
3139:
3138:
3133:
3128:
3127:
3047:
3046:
3007:
3005:
3004:
2999:
2974:
2971:
2968:
2947:
2944:
2941:
2937:
2936:
2923:
2899:
2897:
2896:
2884:
2883:
2871:
2870:
2861:
2859:
2838:
2836:
2835:
2823:
2822:
2810:
2809:
2800:
2787:
2786:
2642:
2637:
2635:
2634:
2629:
2627:
2626:
2618:
2615:
2614:
2606:
2593:Coriolis effect
2590:
2588:
2587:
2582:
2580:
2579:
2571:
2568:
2567:
2559:
2556:
2555:
2547:
2528:
2526:
2525:
2520:
2518:
2517:
2509:
2506:
2505:
2497:
2478:
2476:
2475:
2470:
2468:
2467:
2459:
2456:
2455:
2450:
2449:
2441:
2418:
2416:
2415:
2410:
2408:
2407:
2399:
2396:
2395:
2387:
2376:
2370:
2368:
2367:
2362:
2360:
2359:
2351:
2348:
2347:
2339:
2333:
2329:
2328:
2327:
2319:
2316:
2315:
2307:
2298:
2297:
2289:
2278:
2277:
2269:
2263:
2259:
2258:
2257:
2252:
2251:
2243:
2233:
2232:
2224:
2216:
2215:
2207:
2201:
2200:
2195:
2190:
2177:
2175:
2174:
2169:
2167:
2166:
2158:
2149:
2148:
2140:
2131:
2123:
2112:This means that
2082:
2080:
2079:
2074:
2072:
2071:
2066:
2065:
2057:
2053:
2052:
2044:
2038:
2034:
2033:
2032:
2027:
2026:
2018:
2014:
2013:
2001:
2000:
1992:
1989:
1988:
1983:
1982:
1974:
1964:
1963:
1955:
1952:
1951:
1939:
1938:
1933:
1932:
1924:
1915:
1914:
1906:
1900:
1896:
1895:
1894:
1889:
1888:
1880:
1876:
1875:
1863:
1862:
1854:
1851:
1850:
1845:
1844:
1836:
1826:
1825:
1817:
1814:
1813:
1801:
1800:
1795:
1794:
1786:
1777:
1776:
1768:
1762:
1761:
1753:
1724:
1722:
1721:
1716:
1714:
1713:
1708:
1707:
1699:
1695:
1694:
1689:
1684:
1678:
1674:
1673:
1672:
1664:
1661:
1660:
1648:
1647:
1642:
1641:
1633:
1624:
1623:
1615:
1609:
1605:
1604:
1603:
1595:
1592:
1591:
1579:
1578:
1573:
1572:
1564:
1555:
1554:
1546:
1540:
1539:
1534:
1529:
1517:
1515:
1514:
1509:
1507:
1493:
1492:
1487:
1482:
1477:
1475:
1468:
1467:
1462:
1457:
1454:
1453:
1445:
1432:
1431:
1426:
1418:
1416:
1409:
1408:
1400:
1397:
1396:
1388:
1378:
1377:
1372:
1367:
1362:
1360:
1344:
1342:
1341:
1336:
1334:
1333:
1328:
1320:
1318:
1315:
1314:
1302:
1301:
1293:
1290:
1289:
1284:
1283:
1275:
1268:
1267:
1262:
1254:
1252:
1249:
1248:
1236:
1235:
1227:
1224:
1223:
1218:
1217:
1209:
1202:
1201:
1196:
1188:
1186:
1183:
1182:
1170:
1169:
1161:
1158:
1157:
1152:
1151:
1143:
1136:
1135:
1130:
1125:
1113:
1111:
1110:
1105:
1103:
1102:
1097:
1092:
1089:
1088:
1083:
1082:
1074:
1067:
1066:
1061:
1056:
1053:
1052:
1047:
1046:
1038:
1031:
1030:
1025:
1020:
1017:
1016:
1011:
1010:
1002:
995:
994:
989:
984:
974:
972:
971:
966:
964:
963:
958:
953:
913:
911:
910:
905:
903:
902:
895:
894:
886:
879:
878:
870:
863:
862:
854:
843:
842:
750:
749:
742:
741:
733:
726:
725:
717:
710:
709:
701:
683:
681:
680:
675:
673:
672:
664:
661:
660:
648:
647:
639:
636:
635:
623:
622:
614:
611:
610:
598:
597:
589:
586:
585:
573:
572:
564:
561:
560:
548:
547:
539:
536:
535:
523:
505:
503:
502:
497:
492:
491:
438:
437:
389:
387:
386:
381:
356:
353:
350:
346:
345:
325:
304:
302:
301:
289:
288:
279:
266:
265:
120:
118:
117:
112:
96:
94:
93:
88:
5017:
5016:
5012:
5011:
5010:
5008:
5007:
5006:
4997:Vector calculus
4987:
4986:
4985:
4978:
4974:
4970:
4941:
4890:
4856:
4834:
4833:
4829:
4778:
4753:
4731:
4730:
4726:
4675:
4650:
4628:
4627:
4623:
4591:
4590:
4576:
4575:
4496:
4474:
4473:
4403:
4381:
4380:
4313:
4285:
4284:
4244:
4210:
4178:
4144:
4112:
4078:
4058:
4057:
4015:
3981:
3947:
3927:
3926:
3923:
3917:
3898:
3897:
3882:
3881:
3866:
3865:
3846:
3838:
3837:
3832:
3818:
3806:
3805:
3794:
3774:
3753:
3752:
3738:
3718:
3693:
3682:
3681:
3666:
3665:
3650:
3649:
3630:
3624:
3623:
3592:
3591:
3576:
3575:
3560:
3559:
3540:
3532:
3531:
3526:
3515:
3500:
3499:
3485:
3465:
3444:
3443:
3432:
3412:
3387:
3376:
3375:
3360:
3359:
3344:
3343:
3324:
3318:
3317:
3284:
3259:
3234:
3209:
3184:
3159:
3146:
3145:
3122:
3121:
3106:
3105:
3081:
3080:
3052:
3041:
3040:
3034:
3033:
3027:
3026:
3016:
3010:
3009:
2931:
2930:
2904:
2903:
2888:
2875:
2862:
2840:
2839:
2827:
2814:
2801:
2792:
2781:
2780:
2774:
2773:
2767:
2766:
2756:
2750:
2749:
2671:
2666:
2661:
2659:Coriolis effect
2640:
2599:
2598:
2537:
2536:
2487:
2486:
2438:
2427:
2426:
2380:
2379:
2283:
2279:
2240:
2221:
2217:
2183:
2182:
2114:
2113:
2097:is the vector (
2054:
2015:
2005:
1971:
1943:
1921:
1920:
1916:
1877:
1867:
1833:
1805:
1783:
1782:
1778:
1746:
1745:
1730:
1696:
1652:
1630:
1629:
1625:
1583:
1561:
1560:
1556:
1522:
1521:
1505:
1504:
1494:
1470:
1469:
1433:
1411:
1410:
1379:
1349:
1348:
1306:
1272:
1240:
1206:
1174:
1140:
1118:
1117:
1071:
1035:
999:
977:
976:
946:
945:
934:
920:, that is, its
897:
896:
881:
880:
865:
864:
845:
837:
836:
831:
826:
820:
819:
814:
803:
788:
787:
782:
771:
755:
744:
743:
728:
727:
712:
711:
692:
686:
685:
652:
627:
602:
577:
552:
527:
514:
513:
486:
485:
479:
478:
463:
462:
443:
432:
431:
425:
424:
418:
417:
407:
401:
400:
340:
339:
333:
332:
306:
305:
293:
280:
271:
260:
259:
253:
252:
246:
245:
235:
229:
228:
201:is the regular
140:
135:
103:
102:
79:
78:
19:
12:
11:
5:
5015:
5013:
5005:
5004:
4999:
4989:
4988:
4984:
4983:
4971:
4969:
4966:
4965:
4964:
4940:
4937:
4924:
4920:
4917:
4914:
4908:
4905:
4897:
4893:
4889:
4886:
4883:
4880:
4874:
4871:
4863:
4859:
4855:
4850:
4843:
4840:
4832:
4825:
4822:
4816:
4812:
4808:
4805:
4802:
4796:
4793:
4785:
4781:
4777:
4771:
4768:
4760:
4756:
4752:
4747:
4740:
4737:
4729:
4722:
4719:
4713:
4709:
4705:
4702:
4699:
4693:
4690:
4682:
4678:
4674:
4668:
4665:
4657:
4653:
4649:
4644:
4637:
4634:
4626:
4619:
4616:
4610:
4604:
4601:
4571:
4568:
4562:
4559:
4556:
4550:
4547:
4541:
4535:
4532:
4526:
4523:
4520:
4514:
4511:
4505:
4502:
4499:
4497:
4492:
4487:
4484:
4476:
4475:
4469:
4466:
4460:
4457:
4454:
4448:
4445:
4439:
4433:
4430:
4421:
4418:
4412:
4409:
4406:
4404:
4399:
4394:
4391:
4383:
4382:
4376:
4373:
4367:
4364:
4361:
4355:
4352:
4346:
4340:
4337:
4328:
4325:
4319:
4316:
4314:
4309:
4304:
4301:
4293:
4292:
4269:
4264:
4261:
4251:
4247:
4243:
4237:
4234:
4226:
4219:
4216:
4209:
4203:
4198:
4195:
4185:
4181:
4177:
4171:
4168:
4160:
4153:
4150:
4143:
4137:
4132:
4129:
4119:
4115:
4111:
4105:
4102:
4094:
4087:
4084:
4077:
4071:
4068:
4042:
4039:
4031:
4024:
4021:
4014:
4008:
4005:
3997:
3990:
3987:
3980:
3974:
3971:
3963:
3956:
3953:
3946:
3940:
3937:
3922:
3919:
3902:
3893:
3890:
3884:
3883:
3877:
3874:
3868:
3867:
3861:
3858:
3852:
3851:
3849:
3842:
3836:
3833:
3831:
3828:
3825:
3822:
3819:
3817:
3814:
3811:
3808:
3807:
3804:
3801:
3798:
3795:
3793:
3790:
3787:
3784:
3781:
3778:
3775:
3773:
3770:
3767:
3764:
3761:
3758:
3755:
3754:
3751:
3748:
3745:
3742:
3739:
3737:
3734:
3731:
3728:
3725:
3722:
3719:
3717:
3714:
3711:
3708:
3705:
3702:
3699:
3698:
3696:
3691:
3686:
3677:
3674:
3668:
3667:
3661:
3658:
3652:
3651:
3645:
3642:
3636:
3635:
3633:
3596:
3587:
3584:
3578:
3577:
3571:
3568:
3562:
3561:
3555:
3552:
3546:
3545:
3543:
3536:
3530:
3527:
3525:
3522:
3519:
3516:
3514:
3511:
3508:
3505:
3502:
3501:
3498:
3495:
3492:
3489:
3486:
3484:
3481:
3478:
3475:
3472:
3469:
3466:
3464:
3461:
3458:
3455:
3452:
3449:
3446:
3445:
3442:
3439:
3436:
3433:
3431:
3428:
3425:
3422:
3419:
3416:
3413:
3411:
3408:
3405:
3402:
3399:
3396:
3393:
3392:
3390:
3385:
3380:
3371:
3368:
3362:
3361:
3355:
3352:
3346:
3345:
3339:
3336:
3330:
3329:
3327:
3302:
3299:
3291:
3287:
3283:
3277:
3274:
3266:
3262:
3258:
3252:
3249:
3241:
3237:
3233:
3227:
3224:
3216:
3212:
3208:
3202:
3199:
3191:
3187:
3183:
3177:
3174:
3166:
3162:
3158:
3154:
3131:
3126:
3120:
3117:
3114:
3111:
3108:
3107:
3104:
3101:
3098:
3095:
3092:
3089:
3086:
3083:
3082:
3079:
3076:
3073:
3070:
3067:
3064:
3061:
3058:
3057:
3055:
3050:
3045:
3039:
3036:
3035:
3032:
3029:
3028:
3025:
3022:
3021:
3019:
2997:
2994:
2991:
2988:
2985:
2982:
2979:
2967:
2964:
2961:
2958:
2955:
2952:
2940:
2935:
2929:
2926:
2922:
2918:
2915:
2912:
2909:
2906:
2905:
2902:
2895:
2891:
2887:
2882:
2878:
2874:
2869:
2865:
2858:
2854:
2851:
2848:
2845:
2842:
2841:
2834:
2830:
2826:
2821:
2817:
2813:
2808:
2804:
2798:
2797:
2795:
2790:
2785:
2779:
2776:
2775:
2772:
2769:
2768:
2765:
2762:
2761:
2759:
2744:) is given in
2730:
2729:
2711:
2697:
2670:
2667:
2665:
2662:
2645:
2644:
2643:-acceleration
2638:
2624:
2621:
2612:
2609:
2595:
2594:
2591:
2577:
2574:
2565:
2562:
2553:
2550:
2544:
2533:
2532:
2529:
2515:
2512:
2503:
2500:
2494:
2483:
2482:
2479:
2465:
2462:
2454:
2447:
2444:
2437:
2434:
2423:
2422:
2419:
2405:
2402:
2393:
2390:
2357:
2354:
2345:
2342:
2336:
2332:
2325:
2322:
2313:
2310:
2304:
2301:
2295:
2292:
2286:
2282:
2275:
2272:
2266:
2262:
2256:
2249:
2246:
2239:
2236:
2230:
2227:
2220:
2213:
2210:
2204:
2198:
2194:
2164:
2161:
2155:
2152:
2146:
2143:
2137:
2134:
2130:
2126:
2122:
2070:
2063:
2060:
2050:
2047:
2041:
2037:
2031:
2024:
2021:
2012:
2008:
2004:
1998:
1995:
1987:
1980:
1977:
1970:
1967:
1961:
1958:
1950:
1946:
1942:
1937:
1930:
1927:
1919:
1912:
1909:
1903:
1899:
1893:
1886:
1883:
1874:
1870:
1866:
1860:
1857:
1849:
1842:
1839:
1832:
1829:
1823:
1820:
1812:
1808:
1804:
1799:
1792:
1789:
1781:
1774:
1771:
1765:
1759:
1756:
1729:
1726:
1712:
1705:
1702:
1692:
1688:
1681:
1677:
1670:
1667:
1659:
1655:
1651:
1646:
1639:
1636:
1628:
1621:
1618:
1612:
1608:
1601:
1598:
1590:
1586:
1582:
1577:
1570:
1567:
1559:
1552:
1549:
1543:
1537:
1533:
1503:
1500:
1497:
1495:
1490:
1485:
1481:
1472:
1471:
1465:
1461:
1451:
1448:
1442:
1439:
1436:
1434:
1429:
1424:
1421:
1413:
1412:
1406:
1403:
1394:
1391:
1385:
1382:
1380:
1375:
1370:
1366:
1357:
1356:
1331:
1326:
1323:
1313:
1309:
1305:
1299:
1296:
1288:
1281:
1278:
1271:
1265:
1260:
1257:
1247:
1243:
1239:
1233:
1230:
1222:
1215:
1212:
1205:
1199:
1194:
1191:
1181:
1177:
1173:
1167:
1164:
1156:
1149:
1146:
1139:
1133:
1129:
1100:
1096:
1087:
1080:
1077:
1070:
1064:
1060:
1051:
1044:
1041:
1034:
1028:
1024:
1015:
1008:
1005:
998:
992:
988:
961:
957:
933:
930:
924:is simply its
901:
892:
889:
883:
882:
876:
873:
867:
866:
860:
857:
851:
850:
848:
841:
835:
832:
830:
827:
825:
822:
821:
818:
815:
813:
810:
807:
804:
802:
799:
796:
793:
790:
789:
786:
783:
781:
778:
775:
772:
770:
767:
764:
761:
760:
758:
753:
748:
739:
736:
730:
729:
723:
720:
714:
713:
707:
704:
698:
697:
695:
670:
667:
659:
655:
651:
645:
642:
634:
630:
626:
620:
617:
609:
605:
601:
595:
592:
584:
580:
576:
570:
567:
559:
555:
551:
545:
542:
534:
530:
526:
522:
495:
490:
484:
481:
480:
477:
474:
471:
468:
465:
464:
461:
458:
455:
452:
449:
448:
446:
441:
436:
430:
427:
426:
423:
420:
419:
416:
413:
412:
410:
379:
376:
373:
370:
367:
364:
361:
349:
344:
338:
335:
334:
331:
328:
324:
320:
317:
314:
311:
308:
307:
300:
296:
292:
287:
283:
277:
276:
274:
269:
264:
258:
255:
254:
251:
248:
247:
244:
241:
240:
238:
221:) is given in
207:
206:
196:
170:
139:
136:
134:
131:
125:plane and the
110:
86:
61:). The symbol
45:, polar angle
17:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
5014:
5003:
5000:
4998:
4995:
4994:
4992:
4981:
4976:
4973:
4967:
4962:
4958:
4954:
4950:
4946:
4943:
4942:
4938:
4936:
4922:
4918:
4915:
4912:
4906:
4903:
4895:
4891:
4887:
4884:
4881:
4878:
4872:
4869:
4861:
4857:
4853:
4848:
4841:
4838:
4830:
4814:
4810:
4806:
4803:
4800:
4794:
4791:
4783:
4779:
4775:
4769:
4766:
4758:
4754:
4750:
4745:
4738:
4735:
4727:
4711:
4707:
4703:
4700:
4697:
4691:
4688:
4680:
4676:
4672:
4666:
4663:
4655:
4651:
4647:
4642:
4635:
4632:
4624:
4608:
4560:
4557:
4554:
4548:
4545:
4539:
4524:
4521:
4518:
4512:
4509:
4503:
4500:
4498:
4458:
4455:
4452:
4446:
4443:
4437:
4419:
4416:
4410:
4407:
4405:
4365:
4362:
4359:
4353:
4350:
4344:
4326:
4323:
4317:
4315:
4249:
4245:
4241:
4224:
4217:
4214:
4207:
4183:
4179:
4175:
4158:
4151:
4148:
4141:
4117:
4113:
4109:
4092:
4085:
4082:
4075:
4029:
4022:
4019:
4012:
3995:
3988:
3985:
3978:
3961:
3954:
3951:
3944:
3920:
3918:
3915:
3900:
3847:
3840:
3834:
3829:
3826:
3823:
3820:
3815:
3812:
3809:
3802:
3799:
3796:
3791:
3788:
3785:
3782:
3779:
3776:
3771:
3768:
3765:
3762:
3759:
3756:
3749:
3746:
3743:
3740:
3735:
3732:
3729:
3726:
3723:
3720:
3715:
3712:
3709:
3706:
3703:
3700:
3694:
3689:
3684:
3631:
3620:
3618:
3614:
3609:
3594:
3541:
3534:
3528:
3523:
3520:
3517:
3512:
3509:
3506:
3503:
3496:
3493:
3490:
3487:
3482:
3479:
3476:
3473:
3470:
3467:
3462:
3459:
3456:
3453:
3450:
3447:
3440:
3437:
3434:
3429:
3426:
3423:
3420:
3417:
3414:
3409:
3406:
3403:
3400:
3397:
3394:
3388:
3383:
3378:
3325:
3289:
3285:
3281:
3264:
3260:
3256:
3239:
3235:
3231:
3214:
3210:
3206:
3189:
3185:
3181:
3164:
3160:
3156:
3142:
3129:
3124:
3118:
3115:
3112:
3109:
3102:
3099:
3096:
3093:
3090:
3087:
3084:
3077:
3074:
3071:
3068:
3065:
3062:
3059:
3053:
3048:
3043:
3037:
3030:
3023:
3017:
2995:
2992:
2989:
2986:
2983:
2980:
2977:
2965:
2962:
2959:
2956:
2953:
2950:
2938:
2933:
2924:
2920:
2916:
2910:
2907:
2893:
2889:
2885:
2880:
2876:
2872:
2867:
2863:
2856:
2852:
2846:
2843:
2832:
2828:
2824:
2819:
2815:
2811:
2806:
2802:
2793:
2788:
2783:
2777:
2770:
2763:
2757:
2747:
2743:
2739:
2735:
2727:
2723:
2719:
2715:
2712:
2709:
2705:
2701:
2698:
2695:
2692:
2691:
2690:
2688:
2684:
2680:
2676:
2669:Vector fields
2668:
2663:
2660:
2656:
2652:
2639:
2610:
2607:
2597:
2596:
2592:
2563:
2560:
2551:
2548:
2542:
2535:
2534:
2530:
2501:
2498:
2492:
2485:
2484:
2480:
2460:
2452:
2445:
2442:
2435:
2432:
2425:
2424:
2420:
2400:
2391:
2388:
2378:
2377:
2374:
2371:
2355:
2352:
2334:
2330:
2323:
2320:
2311:
2308:
2302:
2299:
2293:
2290:
2284:
2280:
2264:
2260:
2254:
2247:
2244:
2237:
2234:
2228:
2225:
2218:
2208:
2202:
2196:
2179:
2153:
2150:
2141:
2135:
2132:
2124:
2110:
2108:
2104:
2100:
2096:
2092:
2088:
2083:
2068:
2061:
2058:
2039:
2035:
2029:
2022:
2019:
2010:
2006:
2002:
1996:
1993:
1985:
1978:
1975:
1968:
1965:
1959:
1956:
1948:
1944:
1940:
1935:
1928:
1925:
1917:
1901:
1897:
1891:
1884:
1881:
1872:
1868:
1864:
1858:
1855:
1847:
1840:
1837:
1830:
1827:
1821:
1818:
1810:
1806:
1802:
1797:
1790:
1787:
1779:
1769:
1763:
1743:
1739:
1735:
1727:
1725:
1710:
1703:
1700:
1679:
1675:
1668:
1665:
1657:
1653:
1649:
1644:
1637:
1634:
1626:
1610:
1606:
1599:
1596:
1588:
1584:
1580:
1575:
1568:
1565:
1557:
1541:
1535:
1518:
1501:
1498:
1496:
1488:
1459:
1449:
1446:
1440:
1437:
1435:
1427:
1392:
1389:
1383:
1381:
1373:
1364:
1345:
1329:
1311:
1307:
1303:
1286:
1279:
1276:
1269:
1263:
1245:
1241:
1237:
1220:
1213:
1210:
1203:
1197:
1179:
1175:
1171:
1154:
1147:
1144:
1137:
1131:
1114:
1085:
1078:
1075:
1068:
1049:
1042:
1039:
1032:
1013:
1006:
1003:
996:
990:
959:
943:
939:
931:
929:
927:
923:
919:
914:
899:
846:
839:
833:
828:
823:
816:
811:
808:
805:
800:
797:
794:
791:
784:
779:
776:
773:
768:
765:
762:
756:
751:
746:
702:
693:
657:
653:
649:
632:
628:
624:
615:
607:
603:
599:
582:
578:
574:
557:
553:
549:
532:
528:
524:
511:
506:
493:
488:
482:
475:
472:
469:
466:
459:
456:
453:
450:
444:
439:
434:
428:
421:
414:
408:
394:
390:
377:
374:
371:
368:
365:
362:
359:
347:
342:
336:
326:
322:
318:
312:
309:
298:
294:
290:
285:
281:
272:
267:
262:
256:
249:
242:
236:
226:
224:
220:
216:
212:
204:
200:
197:
194:
190:
186:
182:
179:-plane (i.e.
178:
174:
171:
168:
164:
161:
160:
159:
157:
153:
149:
145:
138:Vector fields
137:
132:
130:
128:
124:
108:
100:
84:
72:
68:
64:
60:
56:
52:
48:
44:
40:
36:
32:
28:
23:
16:
4975:
3924:
3916:
3621:
3610:
3143:
2741:
2737:
2733:
2731:
2725:
2721:
2717:
2713:
2707:
2703:
2699:
2693:
2686:
2682:
2678:
2672:
2372:
2180:
2111:
2106:
2102:
2098:
2094:
2090:
2086:
2084:
1731:
1519:
1346:
1115:
937:
935:
915:
510:vector field
507:
398:
227:
218:
214:
210:
208:
205:-coordinate.
202:
198:
192:
188:
184:
180:
176:
172:
166:
162:
155:
151:
147:
141:
126:
122:
98:
76:
70:
62:
54:
46:
42:
38:
34:
30:
26:
15:
187:-axis (0 ≤
4991:Categories
4968:References
4953:divergence
2649:See also:
4961:Laplacian
4919:θ
4916:
4907:˙
4904:ϕ
4896:θ
4885:θ
4882:
4873:˙
4870:ϕ
4849:ϕ
4842:˙
4824:^
4821:ϕ
4807:θ
4804:
4795:˙
4792:ϕ
4784:ϕ
4776:−
4770:˙
4767:θ
4746:θ
4739:˙
4721:^
4718:θ
4704:θ
4701:
4692:˙
4689:ϕ
4681:ϕ
4673:−
4667:˙
4664:θ
4656:θ
4648:−
4636:˙
4618:^
4603:˙
4570:^
4567:θ
4561:θ
4558:
4549:˙
4546:ϕ
4540:−
4534:^
4525:θ
4522:
4513:˙
4510:ϕ
4504:−
4491:˙
4486:^
4483:ϕ
4468:^
4465:ϕ
4459:θ
4456:
4447:˙
4444:ϕ
4432:^
4420:˙
4417:θ
4411:−
4398:˙
4393:^
4390:θ
4375:^
4372:ϕ
4366:θ
4363:
4354:˙
4351:ϕ
4339:^
4336:θ
4327:˙
4324:θ
4308:˙
4303:^
4268:˙
4263:^
4260:ϕ
4250:ϕ
4236:^
4233:ϕ
4225:ϕ
4218:˙
4202:˙
4197:^
4194:θ
4184:θ
4170:^
4167:θ
4159:θ
4152:˙
4136:˙
4131:^
4104:^
4086:˙
4070:˙
4041:^
4023:˙
4007:^
3989:˙
3973:^
3955:˙
3939:˙
3892:^
3889:ϕ
3876:^
3873:θ
3860:^
3830:θ
3827:
3821:−
3816:θ
3813:
3803:ϕ
3800:
3792:ϕ
3789:
3783:θ
3780:
3772:ϕ
3769:
3763:θ
3760:
3750:ϕ
3747:
3741:−
3736:ϕ
3733:
3727:θ
3724:
3716:ϕ
3713:
3707:θ
3704:
3676:^
3660:^
3644:^
3617:transpose
3586:^
3570:^
3554:^
3524:ϕ
3521:
3513:ϕ
3510:
3504:−
3497:θ
3494:
3488:−
3483:ϕ
3480:
3474:θ
3471:
3463:ϕ
3460:
3454:θ
3451:
3441:θ
3438:
3430:ϕ
3427:
3421:θ
3418:
3410:ϕ
3407:
3401:θ
3398:
3370:^
3367:ϕ
3354:^
3351:θ
3338:^
3301:^
3298:ϕ
3290:ϕ
3276:^
3273:θ
3265:θ
3251:^
3226:^
3201:^
3176:^
3119:θ
3116:
3103:ϕ
3100:
3094:θ
3091:
3078:ϕ
3075:
3069:θ
3066:
2993:π
2984:ϕ
2981:≤
2963:π
2960:≤
2957:θ
2954:≤
2911:
2847:
2778:ϕ
2771:θ
2689:), where
2623:^
2611:¨
2576:^
2573:ϕ
2564:˙
2561:ϕ
2552:˙
2549:ρ
2514:^
2511:ϕ
2502:¨
2499:ϕ
2493:ρ
2464:^
2461:ρ
2446:˙
2443:ϕ
2436:ρ
2433:−
2404:^
2401:ρ
2392:¨
2389:ρ
2356:¨
2344:^
2324:˙
2321:ϕ
2312:˙
2309:ρ
2294:¨
2291:ϕ
2285:ρ
2274:^
2271:ϕ
2248:˙
2245:ϕ
2238:ρ
2235:−
2229:¨
2226:ρ
2212:^
2209:ρ
2197:¨
2163:^
2145:^
2142:ρ
2136:ρ
2062:¨
2049:^
2023:˙
2020:ϕ
2011:ϕ
2003:−
1997:˙
1994:ϕ
1986:ρ
1979:˙
1960:¨
1957:ϕ
1949:ρ
1936:ϕ
1929:¨
1911:^
1908:ϕ
1885:˙
1882:ϕ
1873:ρ
1865:−
1859:˙
1856:ϕ
1848:ϕ
1841:˙
1828:−
1822:¨
1819:ϕ
1811:ϕ
1803:−
1798:ρ
1791:¨
1773:^
1770:ρ
1758:¨
1704:˙
1691:^
1669:˙
1666:ϕ
1658:ρ
1645:ϕ
1638:˙
1620:^
1617:ϕ
1600:˙
1597:ϕ
1589:ϕ
1581:−
1576:ρ
1569:˙
1551:^
1548:ρ
1536:˙
1489:˙
1484:^
1464:^
1460:ρ
1450:˙
1447:ϕ
1441:−
1428:˙
1423:^
1420:ϕ
1405:^
1402:ϕ
1393:˙
1390:ϕ
1374:˙
1369:^
1365:ρ
1330:˙
1325:^
1298:^
1280:˙
1264:˙
1259:^
1256:ϕ
1246:ϕ
1232:^
1229:ϕ
1221:ϕ
1214:˙
1198:˙
1193:^
1190:ρ
1180:ρ
1166:^
1163:ρ
1155:ρ
1148:˙
1132:˙
1099:^
1079:˙
1063:^
1043:˙
1027:^
1007:˙
991:˙
960:˙
926:transpose
891:^
875:^
859:^
812:ϕ
809:
801:ϕ
798:
792:−
780:ϕ
777:
769:ϕ
766:
738:^
722:^
719:ϕ
706:^
703:ρ
669:^
644:^
641:ϕ
633:ϕ
619:^
616:ρ
608:ρ
594:^
569:^
544:^
476:ϕ
473:
467:ρ
460:ϕ
457:
451:ρ
375:π
366:ϕ
363:≤
313:
250:ϕ
243:ρ
158:), where
109:ϕ
85:θ
4949:gradient
4939:See also
2093:, where
1734:physics
922:inverse
169:-plane,
39:physics
4959:, and
2975:
2972:
2969:
2948:
2945:
2942:
2908:arctan
2844:arccos
2724:< 2
2710:), and
2657:, and
357:
354:
351:
310:arctan
191:< 2
51:theta
4957:curl
2987:<
2748:by:
2677:by (
1740:for
508:Any
369:<
225:by:
146:by (
4913:cos
4879:sin
4801:cos
4698:sin
4555:cos
4519:sin
4453:cos
4360:sin
3824:sin
3810:cos
3797:cos
3786:sin
3777:cos
3766:sin
3757:sin
3744:sin
3730:cos
3721:cos
3710:cos
3701:sin
3518:cos
3507:sin
3491:sin
3477:sin
3468:cos
3457:cos
3448:cos
3435:cos
3424:sin
3415:sin
3404:cos
3395:sin
3113:cos
3097:sin
3088:sin
3072:cos
3063:sin
2109:).
806:cos
795:sin
774:sin
763:cos
470:sin
454:cos
123:x-y
67:rho
59:phi
4993::
4955:,
4951:,
3619:.
2740:,
2736:,
2728:).
2718:xy
2706:≤
2685:,
2681:,
2653:,
2178:.
2105:,
2101:,
928:.
217:,
213:,
195:),
177:xy
167:xy
154:,
150:,
33:,
29:,
4923:)
4892:A
4888:+
4862:r
4858:A
4854:+
4839:A
4831:(
4815:+
4811:)
4780:A
4759:r
4755:A
4751:+
4736:A
4728:(
4712:+
4708:)
4677:A
4652:A
4643:r
4633:A
4625:(
4615:r
4609:=
4600:A
4531:r
4501:=
4438:+
4429:r
4408:=
4345:+
4318:=
4300:r
4246:A
4242:+
4215:A
4208:+
4180:A
4176:+
4149:A
4142:+
4128:r
4118:r
4114:A
4110:+
4101:r
4093:r
4083:A
4076:=
4067:A
4038:z
4030:z
4020:A
4013:+
4004:y
3996:y
3986:A
3979:+
3970:x
3962:x
3952:A
3945:=
3936:A
3901:]
3857:r
3848:[
3841:]
3835:0
3695:[
3690:=
3685:]
3673:z
3657:y
3641:x
3632:[
3595:]
3583:z
3567:y
3551:x
3542:[
3535:]
3529:0
3389:[
3384:=
3379:]
3335:r
3326:[
3286:A
3282:+
3261:A
3257:+
3248:r
3240:r
3236:A
3232:=
3223:z
3215:z
3211:A
3207:+
3198:y
3190:y
3186:A
3182:+
3173:x
3165:x
3161:A
3157:=
3153:A
3130:.
3125:]
3110:r
3085:r
3060:r
3054:[
3049:=
3044:]
3038:z
3031:y
3024:x
3018:[
2996:,
2990:2
2978:0
2966:,
2951:0
2939:,
2934:]
2928:)
2925:x
2921:/
2917:y
2914:(
2901:)
2894:2
2890:z
2886:+
2881:2
2877:y
2873:+
2868:2
2864:x
2857:/
2853:z
2850:(
2833:2
2829:z
2825:+
2820:2
2816:y
2812:+
2807:2
2803:x
2794:[
2789:=
2784:]
2764:r
2758:[
2742:φ
2738:θ
2734:r
2732:(
2726:π
2722:φ
2714:φ
2708:π
2704:θ
2700:θ
2694:r
2687:φ
2683:θ
2679:r
2641:z
2620:z
2608:z
2543:2
2453:2
2353:z
2341:z
2335:+
2331:)
2303:2
2300:+
2281:(
2265:+
2261:)
2255:2
2219:(
2203:=
2193:P
2160:z
2154:z
2151:+
2133:=
2129:P
2125:=
2121:A
2107:z
2103:φ
2099:ρ
2095:P
2091:P
2087:A
2069:z
2059:A
2046:z
2040:+
2036:)
2030:2
2007:A
1976:A
1969:2
1966:+
1945:A
1941:+
1926:A
1918:(
1902:+
1898:)
1892:2
1869:A
1838:A
1831:2
1807:A
1788:A
1780:(
1764:=
1755:A
1711:z
1701:A
1687:z
1680:+
1676:)
1654:A
1650:+
1635:A
1627:(
1611:+
1607:)
1585:A
1566:A
1558:(
1542:=
1532:A
1502:0
1499:=
1480:z
1438:=
1384:=
1322:z
1312:z
1308:A
1304:+
1295:z
1287:z
1277:A
1270:+
1242:A
1238:+
1211:A
1204:+
1176:A
1172:+
1145:A
1138:=
1128:A
1095:z
1086:z
1076:A
1069:+
1059:y
1050:y
1040:A
1033:+
1023:x
1014:x
1004:A
997:=
987:A
956:A
938:A
900:]
888:z
872:y
856:x
847:[
840:]
834:1
829:0
824:0
817:0
785:0
757:[
752:=
747:]
735:z
694:[
666:z
658:z
654:A
650:+
629:A
625:+
604:A
600:=
591:z
583:z
579:A
575:+
566:y
558:y
554:A
550:+
541:x
533:x
529:A
525:=
521:A
494:.
489:]
483:z
445:[
440:=
435:]
429:z
422:y
415:x
409:[
378:,
372:2
360:0
348:,
343:]
337:z
330:)
327:x
323:/
319:y
316:(
299:2
295:y
291:+
286:2
282:x
273:[
268:=
263:]
257:z
237:[
219:z
215:φ
211:ρ
209:(
203:z
199:z
193:π
189:φ
185:x
181:ρ
173:φ
163:ρ
156:z
152:φ
148:ρ
127:x
99:z
73:.
71:r
65:(
63:ρ
57:(
55:φ
49:(
47:θ
43:r
35:φ
31:θ
27:r
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
