964:
1240:
653:
719:
1035:
713:
473:
1391:
1321:
329:
524:
265:
1537:
550:
1476:
959:{\displaystyle \left|S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|=\left|\sum _{k=n+1}^{m}f_{k}(x)\right|{\overset {(1)}{\leq }}\sum _{k=n+1}^{m}|f_{k}(x)|\leq \sum _{k=n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon .}
163:
1567:
189:
215:
1235:{\displaystyle \left|S(x)-S_{n}(x)\right|=\left|\lim _{m\to \infty }S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|=\lim _{m\to \infty }\left|S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|\leq \varepsilon .}
1617:
1609:
1644:
1003:
375:
1692:
668:
396:
1329:
1697:
1269:
277:
59:
for determining the convergence of series of real or complex numbers. It is named after the German mathematician
481:
222:
648:{\displaystyle \forall \varepsilon >0:\exists N:\forall m>n>N:\sum _{k=n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon .}
1487:
1422:
109:
56:
32:
356:
1574:
1608:. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY:
335:
40:
1586:
970:
351:
339:
36:
1570:
1546:
1573:
on the Banach space. For an example of the use of this test on a Banach space, see the article
1640:
1623:
1613:
364:
88:
168:
541:
194:
60:
44:
1667:
991:
28:
52:
1686:
1656:
1603:
1671:
1599:
1413:
48:
20:
1627:
359:. Together they say that if, in addition to the above conditions, the set
1402:
84:
1401:
A more general version of the
Weierstrass M-test holds if the common
1678:(Fourth ed.). Cambridge University Press. p. 49.
94:, and that there is a sequence of non-negative numbers (
382:, then the series converges to a continuous function.
1549:
1490:
1425:
1332:
1272:
1038:
722:
671:
553:
484:
399:
280:
225:
197:
171:
112:
1262:
of partial sums converges uniformly to the function
355:. The result is often used in combination with the
1655:
1561:
1531:
1470:
1385:
1315:
1234:
958:
708:{\displaystyle \forall x\in A:\forall m>n>N}
707:
647:
518:
467:
323:
259:
209:
183:
157:
87:of real- or complex-valued functions defined on a
468:{\displaystyle S_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x).}
1157:
1092:
1386:{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|f_{k}(x)|}
1316:{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(x)}
349:A series satisfying the hypothesis is called
324:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}
8:
1556:
1550:
1513:
1491:
519:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}
260:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}
1548:
1523:
1498:
1489:
1462:
1450:
1435:
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1424:
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1354:
1348:
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1331:
1298:
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1133:
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500:
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224:
196:
170:
149:
137:
122:
113:
111:
1639:. McGraw-Hill Science/Engineering/Math.
1662:. McGraw-Hill Science/Engineering/Math.
43:. It applies to series whose terms are
1532:{\displaystyle \|f_{n}(x)\|\leq M_{n}}
27:is a test for determining whether an
16:Criterion about convergence of series
7:
1610:McGraw-Hill Science/Engineering/Math
1471:{\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}
1266:. Hence, by definition, the series
158:{\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}
1658:Principles of Mathematical Analysis
390:Consider the sequence of functions
1349:
1289:
1167:
1102:
687:
672:
578:
569:
554:
501:
297:
242:
14:
969:(Inequality (1) follows from the
1326:Analogously, one can prove that
55:values, and is analogous to the
1253:, this means that the sequence
1510:
1504:
1451:
1447:
1441:
1427:
1379:
1375:
1369:
1355:
1310:
1304:
1215:
1209:
1193:
1187:
1164:
1145:
1139:
1123:
1117:
1099:
1075:
1069:
1053:
1047:
1006:, it converges to some number
903:
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893:
879:
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839:
825:
819:
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760:
744:
738:
459:
453:
416:
410:
318:
312:
138:
134:
128:
114:
1:
1587:Example of Weierstrass M-test
1416:, in which case the premise
103:) satisfying the conditions
1676:A Course in Modern Analysis
1714:
1635:Rudin, Walter (May 1986).
1562:{\displaystyle \|\cdot \|}
1637:Real and Complex Analysis
184:{\displaystyle n\geq 1}
1654:Rudin, Walter (1976).
1563:
1533:
1472:
1387:
1353:
1317:
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936:
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301:
261:
246:
211:
210:{\displaystyle x\in A}
185:
159:
1564:
1534:
1481:is to be replaced by
1473:
1393:converges uniformly.
1388:
1333:
1323:converges uniformly.
1318:
1273:
1237:
961:
910:
851:
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710:
650:
599:
521:
485:
470:
422:
357:uniform limit theorem
326:
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226:
212:
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720:
669:
551:
482:
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278:
223:
195:
169:
110:
1693:Functional analysis
1605:Functional Analysis
1249:does not depend on
971:triangle inequality
352:normally convergent
72:Weierstrass M-test.
1575:Fréchet derivative
1559:
1529:
1468:
1405:of the functions (
1383:
1313:
1232:
1171:
1106:
1025: >
956:
705:
645:
516:
465:
367:and the functions
321:
257:
207:
181:
155:
25:Weierstrass M-test
1698:Convergence tests
1619:978-0-07-054236-5
1156:
1091:
849:
478:Since the series
365:topological space
271:Then the series
45:bounded functions
1705:
1679:
1663:
1661:
1650:
1631:
1568:
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1565:
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1067:
1017:that depends on
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1668:Whittaker, E.T.
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667:
666:
659:
658:For the chosen
626:
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57:comparison test
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1397:Generalization
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74:Suppose that (
68:
65:
15:
13:
10:
9:
6:
4:
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