989:
2982:
1240:
2786:
3320:
2790:
983:
1049:
3133:
1438:
2622:
2601:
3162:
449:
does not converge. Thus one cannot, in general, define an entire function from a sequence of prescribed zeroes or represent an entire function by its zeroes using the expressions yielded by the fundamental theorem of algebra.
1859:
518:. So it stands to reason that one should seek a function that could be 0 at a prescribed point, yet remain near 1 when not at that point and furthermore introduce no more zeroes than those prescribed. Weierstrass'
3565:
3916:
1599:
358:
The two forms of the
Weierstrass factorization theorem can be thought of as extensions of the above to entire functions. The necessity of additional terms in the product is demonstrated when one considers
2356:
1959:
3010:
636:
2977:{\displaystyle \cos \pi z=\prod _{q\in \mathbb {Z} ,\,q\;{\text{odd}}}\left(1-{\frac {2z}{q}}\right)e^{2z/q}=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-\left({\frac {z}{n+{\tfrac {1}{2}}}}\right)^{2}\right)}
826:
1235:{\displaystyle E_{n}(z)={\begin{cases}(1-z)&{\text{if }}n=0,\\(1-z)\exp \left({\frac {z^{1}}{1}}+{\frac {z^{2}}{2}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{n}}\right)&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}
285:
1284:
175:
4059:
1692:
3355:
1521:
664:
406:
3961:
2477:
516:
3649:
3776:
4284:
4163:
2469:
2404:
2250:
2137:
2049:
1725:
1645:
559:
490:
439:
324:
104:
50:, is closely related to a second result that every sequence tending to infinity has an associated entire function with zeroes at precisely the points of that sequence.
1026:
4189:
3153:
3005:
2283:
2170:
2094:
1751:
1279:
4252:
4232:
4212:
4131:
4079:
4001:
3592:
3400:
2016:
1989:
1477:
3449:
353:
212:
3741:
3715:
808:
782:
756:
690:
4111:
4384:
4364:
4021:
3981:
3836:
3816:
3796:
3689:
3669:
3616:
3420:
730:
710:
2781:{\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n\neq 0}\left(1-{\frac {z}{n}}\right)e^{z/n}=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\left({\frac {z}{n}}\right)^{2}\right)}
3454:
3315:{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (s-z)\Gamma (s+z)}}={\frac {1}{\Gamma (s)^{2}}}\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-\left({\frac {z}{n+s}}\right)^{2}\right)}
1759:
3841:
4538:
4558:
1528:
4500:
4464:
4432:
2288:
1870:
2172:
and have the convergence. Such a sequence is not unique: changing it at finite number of positions, or taking another sequence
3366:
182:
40:
3156:
978:{\displaystyle (1-z)=\exp(\ln(1-z))=\exp \left(-{\tfrac {z^{1}}{1}}-{\tfrac {z^{2}}{2}}-{\tfrac {z^{3}}{3}}+\cdots \right).}
572:
4529:
988:
4026:
57:
and allows one to consider a given meromorphic function as a product of three factors: terms depending on the function's
4524:
4295:
3128:{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=e^{\gamma z}z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-z/n},}
1433:{\textstyle E_{n}(z)=\exp \left(-{\tfrac {z^{n+1}}{n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {z^{k}}{1+k/(n+1)}}\right)}
220:
453:
A necessary condition for convergence of the infinite product in question is that for each z, the factors
116:
4519:
1654:
3325:
1498:
641:
2596:{\displaystyle f(z)=z^{m}e^{g(z)}\prod _{n=1}^{\infty }E_{p_{n}}\!\!\left({\frac {z}{a_{n}}}\right).}
2213:
2205:
362:
62:
54:
1080:
3925:
495:
3621:
3595:
36:
3746:
2219:
Also the case given by the fundamental theorem of algebra is incorporated here. If the sequence
4257:
4136:
2441:
2376:
2222:
2109:
2021:
1697:
1617:
525:
456:
411:
296:
76:
4496:
4470:
4460:
4438:
4428:
995:
43:, which asserts that every polynomial may be factored into linear factors, one for each root.
4168:
3371:
A special case of the
WeierstraĂź factorization theorem occurs for entire functions of finite
3138:
2990:
2255:
2142:
2066:
4306:
3919:
1730:
1258:
446:
47:
24:
16:
Theorem in complex analysis that entire functions can be factorized according to their zeros
4237:
4217:
4197:
4116:
4064:
3986:
3570:
3378:
1994:
1967:
4542:
3425:
3372:
1446:
329:
188:
58:
32:
3720:
3694:
1043:, are functions that combine the properties of zero slope and zero value (see graphic):
787:
761:
735:
669:
4084:
4369:
4349:
4300:
4006:
3966:
3821:
3801:
3781:
3674:
3654:
3601:
3405:
2985:
2209:
1648:
715:
695:
4552:
758:, they sharply fall to some small positive value. In contrast, consider the function
215:
107:
2201:
2139:
in the statement of the theorem always exists. For example, we could always take
1854:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(r/|a_{n}|\right)^{1+p_{n}}<\infty ,}
4539:
Visualization of the
Weierstrass factorization of the sine function due to Euler
20:
442:
181:
are precisely at the points of that set. The converse is a consequence of the
111:
4442:
2197:
4474:
4133:. If the order is a positive integer, then there are two possibilities:
3560:{\displaystyle f(z)=z^{m}e^{P(z)}\prod _{k=1}^{\infty }E_{p}(z/a_{k})}
4303:, which can be derived from this theorem applied to the sine function
2616:
178:
987:
35:
can be represented as a (possibly infinite) product involving its
2612:
522:
have these properties and serve the same purpose as the factors
3911:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|a_{n}|^{p+1}}}}
2216:
in those subsets and have zeroes at the points of the sequence.
1594:{\displaystyle \vert 1-E_{n}(z)\vert \leq \vert z\vert ^{n+1}.}
2351:{\displaystyle \,f(z)=c\,{\displaystyle \prod }_{n}(z-a_{n})}
1954:{\displaystyle f(z)=\prod _{n=1}^{\infty }E_{p_{n}}(z/a_{n})}
1228:
1727:
is any sequence of nonnegative integers such that for all
3838:
is the smallest non-negative integer such that the series
1440:
and one can read off how those properties are enforced.
4427:(3rd ed.), Boston: McGraw Hill, pp. 301–304,
631:{\textstyle \exp \left(-{\tfrac {z^{n+1}}{n+1}}\right)}
3922:'s canonical representation. The non-negative integer
3336:
2945:
2412:
repeated according to multiplicity; suppose also that
1449:
1379:
1325:
1287:
943:
921:
899:
591:
575:
445:. It can never define an entire function, because the
365:
223:
119:
4372:
4352:
4260:
4240:
4220:
4200:
4171:
4139:
4119:
4087:
4067:
4029:
4009:
3989:
3969:
3928:
3844:
3824:
3804:
3784:
3749:
3723:
3697:
3677:
3657:
3624:
3604:
3573:
3457:
3428:
3408:
3381:
3328:
3165:
3159:. The cosine identity can be seen as special case of
3141:
3013:
2993:
2793:
2625:
2480:
2444:
2379:
2314:
2291:
2258:
2225:
2145:
2112:
2069:
2024:
1997:
1970:
1873:
1762:
1733:
1700:
1657:
1620:
1531:
1501:
1261:
1052:
998:
829:
790:
764:
738:
718:
698:
672:
644:
528:
498:
459:
414:
332:
299:
191:
79:
39:. The theorem may be viewed as an extension of the
4402:Knopp, K. (1996), "Weierstrass's Factor-Theorem",
4378:
4358:
4278:
4246:
4226:
4206:
4183:
4157:
4125:
4105:
4073:
4053:
4015:
3995:
3975:
3955:
3910:
3830:
3810:
3790:
3770:
3735:
3709:
3683:
3663:
3643:
3610:
3586:
3559:
3443:
3414:
3394:
3349:
3314:
3147:
3127:
2999:
2976:
2780:
2595:
2463:
2398:
2350:
2277:
2244:
2164:
2131:
2088:
2043:
2010:
1983:
1953:
1853:
1745:
1719:
1686:
1639:
1610:Existence of entire function with specified zeroes
1593:
1515:
1471:
1432:
1273:
1234:
1020:
977:
802:
776:
750:
724:
704:
684:
658:
630:
553:
510:
484:
433:
400:
347:
318:
279:
206:
169:
98:
2564:
2563:
3935:
810:, evaluates to exactly zero. Also note that for
53:A generalization of the theorem extends it to
8:
4493:Functions of One Complex Variable I, 2nd ed.
3950:
3938:
2458:
2445:
2393:
2380:
2239:
2226:
2126:
2113:
2038:
2025:
1714:
1701:
1634:
1621:
1573:
1566:
1560:
1532:
428:
415:
313:
300:
93:
80:
3963:is called the genus of the entire function
2832:
2196:The theorem generalizes to the following:
4371:
4351:
4259:
4239:
4219:
4199:
4170:
4138:
4118:
4086:
4066:
4028:
4008:
3988:
3968:
3927:
3893:
3888:
3881:
3872:
3866:
3860:
3849:
3843:
3823:
3803:
3798:a polynomial (whose degree we shall call
3783:
3748:
3722:
3696:
3676:
3656:
3629:
3623:
3603:
3578:
3572:
3548:
3539:
3527:
3517:
3506:
3487:
3477:
3456:
3427:
3407:
3386:
3380:
3335:
3327:
3301:
3279:
3257:
3246:
3233:
3214:
3166:
3164:
3140:
3112:
3105:
3086:
3069:
3058:
3042:
3014:
3012:
2992:
2963:
2944:
2932:
2910:
2899:
2882:
2875:
2851:
2833:
2828:
2821:
2820:
2813:
2792:
2767:
2753:
2731:
2720:
2697:
2693:
2674:
2651:
2624:
2578:
2569:
2555:
2550:
2540:
2529:
2510:
2500:
2479:
2452:
2443:
2387:
2378:
2339:
2320:
2313:
2311:
2292:
2290:
2263:
2257:
2233:
2224:
2150:
2144:
2120:
2111:
2080:
2068:
2032:
2023:
2002:
1996:
1975:
1969:
1942:
1933:
1919:
1914:
1904:
1893:
1872:
1834:
1823:
1813:
1807:
1798:
1793:
1778:
1767:
1761:
1732:
1708:
1699:
1673:
1667:
1658:
1656:
1628:
1619:
1576:
1545:
1530:
1509:
1508:
1500:
1454:
1448:
1401:
1385:
1378:
1372:
1361:
1331:
1324:
1292:
1286:
1260:
1217:
1199:
1193:
1173:
1167:
1153:
1147:
1100:
1075:
1057:
1051:
1003:
997:
949:
942:
927:
920:
905:
898:
828:
789:
763:
737:
717:
697:
671:
652:
651:
643:
597:
590:
574:
542:
527:
497:
473:
458:
422:
413:
389:
370:
364:
331:
307:
298:
265:
246:
222:
190:
158:
139:
118:
87:
78:
4486:
4484:
4418:
4416:
4414:
4394:
4318:
2432:. Then there exists an entire function
280:{\textstyle p(z)=a\prod _{n}(z-c_{n}),}
1443:The utility of the elementary factors
1028:for n = 0,...,4 and x in the interval
2363:The Weierstrass factorization theorem
712:and have a flat slope at order up to
170:{\textstyle p(z)=\prod _{n}(z-c_{n})}
7:
1964:is entire with zeros only at points
4054:{\displaystyle g\leq \rho \leq g+1}
2212:have associated functions that are
569:Consider the functions of the form
23:, and particularly in the field of
3861:
3518:
3258:
3220:
3190:
3172:
3070:
3020:
2994:
2911:
2732:
2541:
1905:
1845:
1779:
1687:{\displaystyle |a_{n}|\to \infty }
1681:
1373:
505:
14:
4459:, New York: Academic Press Inc.,
3350:{\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}}
2193:, will not break the convergence.
1516:{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
659:{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
29:Weierstrass factorization theorem
4545: (archived 30 November 2018)
784:which has no flat slope but, at
401:{\textstyle \prod _{n}(z-c_{n})}
73:It is clear that any finite set
46:The theorem, which is named for
4406:, New York: Dover, pp. 1–7
2373:be an entire function, and let
4254:are entire functions of genus
4100:
4094:
3889:
3873:
3759:
3753:
3554:
3533:
3497:
3491:
3467:
3461:
3438:
3432:
3367:Hadamard factorization theorem
3361:Hadamard factorization theorem
3230:
3223:
3205:
3193:
3187:
3175:
3029:
3023:
2520:
2514:
2490:
2484:
2345:
2326:
2302:
2296:
1948:
1927:
1883:
1877:
1814:
1799:
1678:
1674:
1659:
1557:
1551:
1466:
1460:
1418:
1406:
1304:
1298:
1133:
1121:
1095:
1083:
1069:
1063:
1015:
1009:
878:
875:
863:
854:
842:
830:
548:
529:
502:
479:
460:
395:
376:
342:
336:
271:
252:
233:
227:
201:
195:
183:fundamental theorem of algebra
164:
145:
129:
123:
41:fundamental theorem of algebra
1:
4061:In other words: If the order
3956:{\displaystyle g=\max\{p,q\}}
1479:lies in the following lemma:
61:, and an associated non-zero
4559:Theorems in complex analysis
4404:Theory of Functions, Part II
3671:is the order of the zero of
3402:can be taken independent of
2611:The trigonometric functions
1605:The two forms of the theorem
511:{\displaystyle n\to \infty }
4525:Encyclopedia of Mathematics
3644:{\displaystyle a_{k}\neq 0}
2438:and a sequence of integers
2252:is finite then we can take
293:is a non-zero constant and
214:in the complex plane has a
4575:
4495:, springer.com: Springer,
3918:converges. This is called
3771:{\displaystyle f(0)\neq 0}
3364:
1647:be a sequence of non-zero
185:: any polynomial function
4425:Real and Complex Analysis
4279:{\displaystyle g=\rho =1}
4158:{\displaystyle g=\rho -1}
3157:Euler–Mascheroni constant
2607:Examples of factorization
2464:{\displaystyle \{p_{n}\}}
2406:be the non-zero zeros of
2399:{\displaystyle \{a_{n}\}}
2245:{\displaystyle \{a_{n}\}}
2132:{\displaystyle \{p_{n}\}}
2044:{\displaystyle \{a_{n}\}}
1720:{\displaystyle \{p_{n}\}}
1640:{\displaystyle \{a_{n}\}}
1281:, one may express it as
554:{\displaystyle (z-c_{n})}
485:{\displaystyle (z-c_{n})}
434:{\displaystyle \{c_{n}\}}
319:{\displaystyle \{c_{n}\}}
99:{\displaystyle \{c_{n}\}}
4366:does not have a zero at
4296:Mittag-Leffler's theorem
4081:is not an integer, then
2619:have the factorizations
1021:{\displaystyle E_{n}(x)}
326:is the set of zeroes of
4184:{\displaystyle g=\rho }
4113:is the integer part of
3451:is a polynomial. Thus
3148:{\displaystyle \gamma }
3000:{\displaystyle \Gamma }
2278:{\displaystyle p_{n}=0}
2165:{\displaystyle p_{n}=n}
2089:{\displaystyle z=z_{0}}
2018:occurs in the sequence
1039:, also referred to as
4491:Conway, J. B. (1995),
4380:
4360:
4280:
4248:
4228:
4208:
4185:
4159:
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4055:
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565:The elementary factors
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4520:"Weierstrass theorem"
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4247:{\displaystyle \exp }
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3996:{\displaystyle \rho }
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1984:{\displaystyle a_{n}}
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330:
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207:{\displaystyle p(z)}
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117:
77:
63:holomorphic function
3736:{\displaystyle m=0}
3710:{\displaystyle z=0}
3618:that are not zero (
3375:. In this case the
3007:has factorization
1483:Lemma (15.8, Rudin)
803:{\displaystyle z=1}
777:{\displaystyle 1-z}
751:{\displaystyle z=1}
692:, they evaluate to
685:{\displaystyle z=0}
492:must approach 1 as
408:where the sequence
31:asserts that every
4423:Rudin, W. (1987),
4376:
4356:
4276:
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1864:then the function
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144:
110:has an associated
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4359:{\displaystyle f}
4339:is taken to mean
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3976:{\displaystyle f}
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3831:{\displaystyle p}
3811:{\displaystyle q}
3791:{\displaystyle P}
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3664:{\displaystyle m}
3611:{\displaystyle f}
3422:and the function
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106:of points in the
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