2585:
1579:
5921:
5174:
Nil-theta functions are functions on the
Heisenberg manifold that are analogous to the theta functions on the complex plane. The image of Gaussian functions under the Weil–Brezin Map are nil-theta functions. There is a model of the finite Fourier transform defined with nil-theta functions, and the
644:
3645:
5164:
2940:
2348:
6522:
7481:
855:
4011:
1391:
1372:
4475:
6355:
5765:
217:
7574:
5454:
4285:
1060:
466:
4731:
4826:
6224:
477:
1858:
6889:
2097:
3767:
3467:
7319:
3291:
5715:
3854:
2775:
7599:
Auslander, L., and R. Tolimieri. "Algebraic structures for⨁Σ _ {𝑛≥ 1} 𝐿 (𝑍/𝑛) compatible with the finite
Fourier transform." Transactions of the American Mathematical Society 244 (1978): 263-272.
2678:
1769:
5517:
5370:
4597:
3459:
2580:{\displaystyle \sum _{l}\psi (l)=W(\psi )(\Gamma \langle 0,0,0)\rangle )=(J^{*}W(\psi ))(\Gamma \langle 0,0,0)\rangle )=W({\hat {\psi }})(\Gamma \langle 0,0,0)\rangle )=\sum _{l}{\hat {\psi }}(l)}
952:
2764:
713:
6367:
7103:
5031:
2216:
4939:
4884:
3168:
2999:
7331:
6662:
386:
721:
6774:
5754:
3106:
6028:
7028:
2157:
5982:
5546:
2257:
1920:
1674:
1239:
332:
6063:
1574:{\displaystyle U_{\lambda }(\langle a,0,0\rangle )U_{\lambda }(\langle 0,b,0\rangle )=e^{2\pi i\lambda ab}U_{\lambda }(\langle 0,b,0\rangle )U_{\lambda }(\langle a,0,0\rangle )}
3862:
7167:
5253:
5205:
1144:
68:; however, the Weil–Brezin Map is defined via Heisenberg group geometrically, whereas there is no direct geometric or group theoretic interpretation from the Zak transform.
3383:
6576:
1174:
5594:
4320:
2011:
4163:
4130:
4067:
3323:
2623:
1616:
1247:
283:
243:
5916:{\displaystyle \ker(V_{-i}:C^{\infty }(\Gamma \backslash N)\cap H_{n}\to H_{n})=\left\{{\begin{array}{lr}K_{n},&n>0\\\mathbb {C} ,&n=0\end{array}}\right.}
5650:
5620:
4505:
6933:
6622:
6249:
5285:
5020:
4993:
4966:
4651:
4624:
4097:
3668:
3195:
3026:
2340:
2312:
1971:
1110:
878:
6913:
6599:
6554:
5948:
5305:
5229:
4034:
2285:
1944:
1882:
1714:
1694:
1636:
1201:
1083:
303:
263:
109:
97:
6968:
6700:
4328:
5376:
4171:
5023:
960:
398:
4656:
5175:
nice property of the model is that the finite
Fourier transform is compatible with the algebra structure of the space of nil-theta functions.
639:{\displaystyle H_{n}=\{f\in L^{2}(\Gamma \backslash N)\mid f(\Gamma \langle x,y,t+s\rangle )=\exp(2\pi ins)f(\Gamma \langle x,y,t\rangle )\}}
4739:
7555:
Auslander, Louis, and
Richard Tolimieri. Abelian harmonic analysis, theta functions and function algebras on a nilmanifold. Springer, 1975.
6078:
3640:{\displaystyle W_{n,m}(\psi )(\Gamma \langle x,y,t\rangle )=\sum _{l\in \mathbb {Z} }\psi (x+l+{m \over n})e^{2\pi i(nl+m)y}e^{2\pi int}}
1777:
6781:
2019:
3676:
2314:, which is easily seen, yields the norm-preserving property of the Fourier transform, which is referred to as the Plancherel theorem.
7175:
3203:
2935:{\displaystyle H_{n,m}=\{f\in H_{n}\mid f(\Gamma \langle x,y+{1 \over n},t\rangle )=e^{2\pi im/n}f(\Gamma \langle x,y,t\rangle )\}}
5659:
3775:
36:
on the real line to a smooth function on the
Heisenberg manifold. The Weil–Brezin map gives a geometric interpretation of the
7546:
Brezin, Jonathan. "Harmonic analysis on nilmanifolds." Transactions of the
American Mathematical Society 150.2 (1970): 611-618.
388:
on the
Heisenberg group induces a right-translation-invariant measure on the Heisenberg manifold. The space of complex-valued
7628:
2628:
1719:
1383:
5460:
5313:
4510:
3388:
1379:
890:
2686:
6517:{\displaystyle \vartheta (n(x+iy);ni)=(2n)^{-1/4}e^{\pi ny^{2}}{\boldsymbol {e}}_{n,0}(\Gamma \langle y,x,0\rangle )}
5159:{\displaystyle J^{*}{\boldsymbol {e}}_{n,m}={1 \over {\sqrt {n}}}\sum _{m'}e^{2\pi im'm/n}{\boldsymbol {e}}_{n,m'}.}
661:
7623:
1177:
389:
7476:{\displaystyle \theta _{n,m}(x+iy)=(2n)^{-1/4}e^{\pi ny^{2}}{\boldsymbol {e}}_{n,m}(\Gamma \langle y,x,0\rangle )}
7518:
7036:
2168:
850:{\displaystyle W(\psi )(\Gamma \langle x,y,t\rangle )=\sum _{l\in \mathbb {Z} }\psi (x+l)e^{2\pi ily}e^{2\pi it}}
45:
4889:
4834:
3118:
2949:
6627:
344:
7564:
Auslander, Louis. "Lecture notes on nil-theta functions." Conference Board of the
Mathematical Sciences, 1977.
6708:
5724:
3031:
5990:
5718:
6973:
4006:{\displaystyle (W_{n,m}^{-1}f)(x)=\int _{0}^{1}e^{-2\pi imy}f(\Gamma \langle x-{m \over n},y,0\rangle )dy}
2109:
1923:
1180:
29:
5961:
5525:
2224:
1887:
1641:
1206:
311:
7503:
6358:
6033:
5653:
881:
7112:
7513:
5234:
5186:
1123:
7537:
Weil, André. "Sur certains groupes d'opérateurs unitaires." Acta mathematica 111.1 (1964): 143-211.
7508:
3328:
6559:
1152:
5554:
41:
1367:{\displaystyle (U_{\lambda }(\langle a,b,c\rangle )\psi )(x)=e^{2\pi i\lambda (c+bx)}\psi (x+a)}
6350:{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{l=-\infty }^{\infty }\exp(\pi il^{2}\tau +2\pi ilz)}
2160:
1984:
306:
65:
49:
37:
33:
4135:
4102:
4039:
3302:
2602:
1588:
268:
228:
5625:
5599:
4484:
2104:
223:
77:
7575:"Integer Linear Canonical Transforms, Their Discretization, and Poisson Summation Formulae"
6918:
6607:
5258:
4998:
4971:
4944:
4629:
4602:
4075:
3653:
3173:
3004:
2325:
2290:
1949:
1088:
863:
7498:
6534:
4294:
212:{\displaystyle \langle x,y,t\rangle \langle a,b,c\rangle =\langle x+a,y+b,t+c+xb\rangle .}
4968:
and give rise to the irreducible representation of the finite
Heisenberg group. The map
1382:, this is the unique irreducible representation up to unitary equivalence satisfying the
6898:
6584:
6539:
5933:
5290:
5214:
4019:
2270:
1929:
1867:
1699:
1679:
1621:
1186:
1068:
392:
on the
Heisenberg manifold has a right-translation-invariant orthogonal decomposition:
288:
248:
82:
53:
6938:
6670:
7617:
4470:{\displaystyle (W_{n,m'}^{-1}J^{*}W_{n,m}\psi )(x)=e^{2\pi im'm/n}{\hat {\psi }}(nx)}
57:
25:
5449:{\displaystyle Y(x,y,t)={\partial \over \partial y}+x{\partial \over \partial t},}
6235:
4280:{\displaystyle W_{n,m}U_{n}(\langle a,b,c\rangle )=R(\langle a,b,c\rangle )W_{n,m}}
339:
7586:
7493:
5985:
5208:
2680:
can further be decomposed into right-translation-invariant orthogonal subspaces
17:
5856:
6069:
3109:
7325:
These higher order theta functions are related to the nil-theta functions by
4099:
of the Heisenberg group is unitarily equivalent to the right translation on
103:
that can be represented by triples of real numbers with multiplication rule
100:
1055:{\displaystyle (W^{-1}f)(x)=\int _{0}^{1}f(\Gamma \langle x,y,0\rangle )dy}
461:{\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash N)=\oplus _{n\in \mathbb {Z} }H_{n}}
338:. The Heisenberg group acts on the Heisenberg manifold on the right. The
4726:{\displaystyle \{{\boldsymbol {e}}_{n,0},...,{\boldsymbol {e}}_{n,n-1}\}}
52:
under the Weil–Brezin map are nil-theta functions, which are related to
265:
whose elements are represented by the triples of integers. Considering
61:
4821:{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{n,m}=W_{n,m}(\phi _{n})\in H_{n,m}.}
6219:{\displaystyle \mathbb {C} /(x_{3}^{6}+x_{1}^{4}x_{2}^{2}+x_{2}^{6})}
1853:{\displaystyle WU(\langle a,b,c\rangle )=R(\langle a,b,c\rangle )W}
6884:{\displaystyle f(z+\tau )=\exp(\pi ib)\exp(-\pi in(2z+\tau ))f(z)}
2092:{\displaystyle J(\langle x,y,t\rangle )=\langle y,-x,t-xy\rangle }
6230:
and that the finite Fourier transform (see the preceding section
5522:
These vector fields are well-defined on the Heisenberg manifold
3762:{\displaystyle W_{n,m}=L(\langle m/n,0,0\rangle )\circ W_{n,0}.}
7314:{\displaystyle \theta _{n,m}(z)=\sum _{l\in \mathbb {Z} }\exp}
6231:
3286:{\displaystyle L(\langle m/n,0,0\rangle ):H_{n,0}\to H_{n,m}}
5968:
5810:
5710:{\displaystyle C^{\infty }(\Gamma \backslash N)\cap H_{n,m}}
5679:
5532:
2661:
2174:
1752:
519:
418:
318:
6068:
Auslander and Tolimieri showed that this graded algebra is
5910:
3849:{\displaystyle W_{n,m}^{-1}:H_{n,m}\to L^{2}(\mathbb {R} )}
1116:
Fundamental unitary representation of the Heisenberg group
5958:
The nil-theta functions with pointwise multiplication on
2673:{\displaystyle H_{n}\subset L^{2}(\Gamma \backslash N)}
1764:{\displaystyle H_{1}\subset L^{2}(\Gamma \backslash N)}
5512:{\displaystyle T(x,y,t)={\partial \over \partial t}.}
5365:{\displaystyle X(x,y,t)={\partial \over \partial x},}
4592:{\displaystyle \phi _{n}(x)=(2n)^{1/4}e^{-\pi nx^{2}}}
3454:{\displaystyle W_{n,m}:L^{2}(\mathbb {R} )\to H_{n,m}}
56:. The Weil–Brezin map is sometimes referred to as the
7334:
7178:
7115:
7039:
6976:
6941:
6921:
6901:
6784:
6711:
6673:
6630:
6610:
6587:
6562:
6542:
6370:
6252:
6081:
6036:
5993:
5964:
5936:
5768:
5727:
5662:
5628:
5602:
5557:
5528:
5463:
5379:
5316:
5293:
5261:
5237:
5217:
5189:
5034:
5001:
4974:
4947:
4892:
4837:
4742:
4659:
4632:
4605:
4513:
4487:
4331:
4297:
4174:
4138:
4105:
4078:
4042:
4022:
3865:
3778:
3679:
3656:
3470:
3391:
3331:
3305:
3206:
3176:
3121:
3034:
3007:
2952:
2778:
2689:
2631:
2605:
2351:
2328:
2293:
2273:
2227:
2171:
2112:
2022:
2013:
be the automorphism on the Heisenberg group given by
1987:
1952:
1932:
1890:
1870:
1780:
1722:
1702:
1682:
1644:
1624:
1591:
1394:
1250:
1209:
1189:
1155:
1126:
1091:
1071:
963:
893:
866:
724:
664:
480:
401:
347:
314:
291:
271:
251:
231:
112:
85:
947:{\displaystyle W^{-1}:H_{1}\to L^{2}(\mathbb {R} )}
7475:
7313:
7161:
7097:
7022:
6962:
6927:
6907:
6883:
6768:
6694:
6656:
6616:
6593:
6570:
6548:
6516:
6349:
6218:
6057:
6022:
5976:
5942:
5915:
5748:
5709:
5652:on the Heisenberg manifold can be thought of as a
5644:
5614:
5588:
5540:
5511:
5448:
5364:
5299:
5279:
5247:
5223:
5199:
5158:
5014:
4987:
4960:
4933:
4878:
4820:
4725:
4645:
4618:
4591:
4499:
4469:
4314:
4279:
4157:
4124:
4091:
4072:Similarly, the fundamental unitary representation
4061:
4028:
4005:
3848:
3761:
3662:
3639:
3453:
3377:
3317:
3285:
3189:
3162:
3100:
3020:
2993:
2934:
2759:{\displaystyle H_{n}=\oplus _{m=0}^{|n|-1}H_{n,m}}
2758:
2672:
2617:
2579:
2334:
2306:
2279:
2251:
2210:
2151:
2091:
2005:
1965:
1938:
1914:
1876:
1852:
1763:
1708:
1688:
1668:
1630:
1610:
1573:
1366:
1233:
1195:
1168:
1138:
1104:
1077:
1054:
946:
872:
849:
707:
638:
460:
380:
326:
297:
277:
257:
237:
211:
91:
6529:Higher order theta functions with characteristics
1864:In other words, the fundamental representation
708:{\displaystyle W:L^{2}(\mathbb {R} )\to H_{1}}
5255:is given by the left-invariant vector fields
8:
7467:
7449:
6508:
6490:
4925:
4899:
4870:
4844:
4720:
4660:
4599:. Consider the finite dimensional subspace
4255:
4237:
4222:
4204:
3991:
3960:
3731:
3705:
3520:
3502:
3239:
3213:
3154:
3128:
2985:
2959:
2929:
2923:
2905:
2860:
2829:
2798:
2591:This is just the Poisson summation formula.
2537:
2516:
2480:
2459:
2416:
2395:
2086:
2056:
2047:
2029:
1841:
1823:
1808:
1790:
1565:
1547:
1528:
1510:
1463:
1445:
1426:
1408:
1285:
1267:
1040:
1022:
761:
743:
633:
627:
609:
564:
540:
494:
203:
158:
152:
134:
131:
113:
7098:{\displaystyle \dim \Theta _{n}(\tau ,A)=n}
2211:{\displaystyle {\mathcal {F}}=W^{-1}J^{*}W}
4934:{\displaystyle L(\langle 0,1/n,0\rangle )}
4879:{\displaystyle L(\langle 1/n,0,0\rangle )}
3163:{\displaystyle L(\langle m/n,0,0\rangle )}
2994:{\displaystyle L(\langle 0,1/n,0\rangle )}
60:, which is widely applied in the field of
7431:
7426:
7417:
7406:
7392:
7385:
7339:
7333:
7266:
7252:
7219:
7218:
7211:
7183:
7177:
7135:
7130:
7120:
7114:
7065:
7060:
7050:
7038:
6996:
6991:
6981:
6975:
6951:
6946:
6940:
6920:
6900:
6783:
6710:
6702:if it satisfies the following equations:
6683:
6678:
6672:
6657:{\displaystyle \mathrm {Im} (\tau )>0}
6631:
6629:
6609:
6586:
6564:
6563:
6561:
6541:
6472:
6467:
6458:
6447:
6433:
6426:
6369:
6317:
6292:
6278:
6251:
6232:#Relation to the finite Fourier transform
6207:
6202:
6189:
6184:
6174:
6169:
6156:
6151:
6139:
6130:
6125:
6112:
6107:
6094:
6083:
6082:
6080:
6051:
6050:
6041:
6035:
6014:
5998:
5992:
5963:
5935:
5888:
5887:
5863:
5855:
5839:
5826:
5798:
5782:
5767:
5734:
5729:
5726:
5695:
5667:
5661:
5633:
5627:
5601:
5562:
5556:
5527:
5491:
5462:
5428:
5407:
5378:
5344:
5315:
5292:
5260:
5239:
5238:
5236:
5216:
5191:
5190:
5188:
5136:
5131:
5120:
5099:
5084:
5071:
5066:
5051:
5046:
5039:
5033:
5006:
5000:
4979:
4973:
4952:
4946:
4911:
4891:
4850:
4836:
4803:
4787:
4768:
4749:
4744:
4741:
4702:
4697:
4669:
4664:
4658:
4637:
4631:
4610:
4604:
4581:
4567:
4553:
4549:
4518:
4512:
4486:
4444:
4443:
4433:
4412:
4378:
4368:
4355:
4339:
4330:
4296:
4265:
4195:
4179:
4173:
4143:
4137:
4110:
4104:
4083:
4077:
4047:
4041:
4021:
3969:
3930:
3920:
3915:
3884:
3873:
3864:
3839:
3838:
3829:
3810:
3794:
3783:
3777:
3744:
3711:
3684:
3678:
3655:
3619:
3582:
3565:
3541:
3540:
3533:
3475:
3469:
3439:
3425:
3424:
3415:
3396:
3390:
3364:
3356:
3330:
3304:
3271:
3252:
3219:
3205:
3181:
3175:
3134:
3120:
3085:
3077:
3070:
3039:
3033:
3012:
3006:
2971:
2951:
2886:
2873:
2844:
2811:
2783:
2777:
2744:
2727:
2719:
2718:
2707:
2694:
2688:
2649:
2636:
2630:
2604:
2557:
2556:
2550:
2496:
2495:
2432:
2356:
2350:
2327:
2298:
2292:
2272:
2242:
2241:
2232:
2226:
2199:
2186:
2173:
2172:
2170:
2143:
2130:
2117:
2111:
2021:
1986:
1957:
1951:
1931:
1905:
1904:
1895:
1889:
1869:
1779:
1740:
1727:
1721:
1701:
1681:
1659:
1658:
1649:
1643:
1623:
1602:
1590:
1538:
1501:
1476:
1436:
1399:
1393:
1313:
1258:
1249:
1224:
1223:
1214:
1208:
1188:
1160:
1154:
1125:
1096:
1090:
1070:
1007:
1002:
971:
962:
937:
936:
927:
914:
898:
892:
865:
832:
810:
782:
781:
774:
723:
699:
685:
684:
675:
663:
507:
485:
479:
452:
442:
441:
434:
406:
400:
381:{\displaystyle \mu =dx\wedge dy\wedge dt}
346:
313:
290:
270:
250:
230:
111:
84:
5954:Algebra structure of nil-theta functions
2595:Relation to the finite Fourier transform
715:is the unitary transformation given by
7530:
7427:
6769:{\displaystyle f(z+1)=\exp(\pi ia)f(z)}
6468:
5749:{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{n,m}}
5730:
5132:
5047:
4745:
4698:
4665:
3101:{\displaystyle H_{n,0},...,H_{n,|n|-1}}
1771:are intertwined by the Weil–Brezin map
6895:The space of theta functions of order
6023:{\displaystyle \oplus _{n\geq 0}K_{n}}
4036:on the Heisenberg manifold that is in
1085:on the Heisenberg manifold that is in
7:
7023:{\displaystyle \Theta _{n}(\tau ,A)}
2152:{\displaystyle J^{*}:H_{1}\to H_{1}}
5977:{\displaystyle \Gamma \backslash N}
5541:{\displaystyle \Gamma \backslash N}
5240:
5192:
2252:{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
1915:{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
1669:{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
1234:{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
887:The inverse of the Weil–Brezin map
327:{\displaystyle \Gamma \backslash N}
7446:
7117:
7047:
6978:
6635:
6632:
6487:
6293:
6288:
6242:Relation to Jacobi theta functions
6058:{\displaystyle K_{0}=\mathbb {C} }
5965:
5807:
5799:
5676:
5668:
5529:
5497:
5493:
5434:
5430:
5413:
5409:
5350:
5346:
3957:
3670:, where convergence is pointwise.
3499:
2902:
2826:
2658:
2513:
2456:
2392:
1749:
1148:fundamental unitary representation
1019:
740:
606:
537:
516:
415:
315:
272:
232:
14:
5179:Definition of nil-theta functions
7162:{\displaystyle \Theta _{n}(i,A)}
2267:The norm-preserving property of
5248:{\displaystyle {\mathfrak {n}}}
5200:{\displaystyle {\mathfrak {n}}}
1585:The fundamental representation
7470:
7443:
7382:
7372:
7366:
7351:
7308:
7305:
7299:
7284:
7263:
7243:
7231:
7201:
7195:
7156:
7144:
7141:
7127:
7086:
7074:
7071:
7057:
7017:
7005:
7002:
6988:
6957:
6943:
6878:
6872:
6866:
6863:
6848:
6833:
6824:
6812:
6800:
6788:
6763:
6757:
6751:
6739:
6727:
6715:
6689:
6675:
6645:
6639:
6511:
6484:
6423:
6413:
6407:
6395:
6380:
6374:
6344:
6304:
6268:
6256:
6213:
6144:
6136:
6087:
5845:
5832:
5816:
5804:
5775:
5685:
5673:
5485:
5467:
5401:
5383:
5338:
5320:
4928:
4896:
4873:
4841:
4793:
4780:
4546:
4536:
4530:
4524:
4464:
4455:
4449:
4402:
4396:
4393:
4332:
4258:
4234:
4225:
4201:
3994:
3954:
3905:
3899:
3896:
3866:
3843:
3835:
3822:
3734:
3702:
3607:
3592:
3575:
3550:
3523:
3496:
3493:
3487:
3432:
3429:
3421:
3365:
3357:
3264:
3242:
3210:
3157:
3125:
3086:
3078:
2988:
2956:
2926:
2899:
2863:
2823:
2728:
2720:
2667:
2655:
2574:
2568:
2562:
2540:
2534:
2510:
2507:
2501:
2492:
2483:
2477:
2453:
2450:
2447:
2441:
2425:
2419:
2413:
2389:
2386:
2380:
2371:
2365:
2246:
2238:
2136:
2050:
2026:
1997:
1909:
1901:
1844:
1820:
1811:
1787:
1758:
1746:
1663:
1655:
1568:
1544:
1531:
1507:
1466:
1442:
1429:
1405:
1384:canonical commutation relation
1361:
1349:
1341:
1326:
1303:
1297:
1294:
1288:
1264:
1251:
1228:
1220:
1176:of the Heisenberg group is an
1139:{\displaystyle \lambda \neq 0}
1043:
1016:
992:
986:
983:
964:
941:
933:
920:
803:
791:
764:
737:
734:
728:
692:
689:
681:
630:
603:
597:
579:
567:
534:
525:
513:
424:
412:
1:
3378:{\displaystyle m=0,...,|n|-1}
3296:is a unitary transformation.
1977:Relation to Fourier transform
78:(continuous) Heisenberg group
6571:{\displaystyle \mathbb {C} }
4831:Then the left translations
3650:for every Schwartz function
1973:through the Wei-Brezin map.
1169:{\displaystyle U_{\lambda }}
860:for every Schwartz function
245:is the discrete subgroup of
5589:{\displaystyle V_{-i}=X-iY}
390:square-integrable functions
7645:
4016:for every smooth function
2322:For any Schwartz function
1676:and the right translation
1065:for every smooth function
28:and Jonathan Brezin, is a
7519:Oscillator representation
2318:Poisson summation formula
2221:as a unitary operator on
1926:to the right translation
1380:Stone–von Neumann theorem
224:discrete Heisenberg group
46:Poisson summation formula
5211:of the Heisenberg group
5024:finite Fourier transform
2006:{\displaystyle J:N\to N}
6580:theta function of order
6238:of the graded algebra.
5551:Introduce the notation
4158:{\displaystyle W_{n,m}}
4125:{\displaystyle H_{n,m}}
4062:{\displaystyle H_{n,m}}
3318:{\displaystyle n\neq 0}
2618:{\displaystyle n\neq 0}
2103:It naturally induces a
1611:{\displaystyle U=U_{1}}
880:, where convergence is
278:{\displaystyle \Gamma }
238:{\displaystyle \Gamma }
7477:
7315:
7163:
7099:
7024:
6964:
6929:
6909:
6885:
6770:
6696:
6658:
6618:
6595:
6572:
6550:
6518:
6351:
6297:
6220:
6059:
6024:
5978:
5944:
5917:
5750:
5711:
5646:
5645:{\displaystyle V_{-i}}
5616:
5615:{\displaystyle n>0}
5590:
5542:
5513:
5450:
5366:
5301:
5281:
5249:
5225:
5201:
5160:
5022:and gives rise to the
5016:
4989:
4962:
4935:
4880:
4822:
4727:
4647:
4620:
4593:
4501:
4500:{\displaystyle n>0}
4471:
4316:
4281:
4159:
4126:
4093:
4063:
4030:
4007:
3850:
3763:
3664:
3641:
3455:
3379:
3319:
3287:
3191:
3164:
3102:
3022:
2995:
2936:
2760:
2674:
2619:
2581:
2336:
2308:
2281:
2253:
2212:
2153:
2093:
2007:
1967:
1940:
1916:
1878:
1854:
1765:
1710:
1690:
1670:
1632:
1612:
1575:
1368:
1235:
1197:
1181:unitary representation
1170:
1140:
1106:
1079:
1056:
948:
874:
851:
709:
640:
462:
382:
328:
299:
279:
259:
239:
213:
93:
30:unitary transformation
7629:Representation theory
7504:Nilpotent Lie algebra
7478:
7316:
7164:
7100:
7025:
6965:
6930:
6928:{\displaystyle \tau }
6910:
6886:
6771:
6697:
6659:
6619:
6617:{\displaystyle \tau }
6596:
6573:
6551:
6519:
6359:Jacobi theta function
6352:
6274:
6221:
6060:
6025:
5979:
5945:
5918:
5751:
5712:
5654:differential operator
5647:
5617:
5591:
5543:
5514:
5451:
5367:
5302:
5282:
5280:{\displaystyle X,Y,T}
5250:
5226:
5202:
5161:
5017:
5015:{\displaystyle K_{n}}
4990:
4988:{\displaystyle J^{*}}
4963:
4961:{\displaystyle K_{n}}
4936:
4881:
4823:
4728:
4648:
4646:{\displaystyle H_{n}}
4621:
4619:{\displaystyle K_{n}}
4594:
4502:
4472:
4317:
4282:
4160:
4127:
4094:
4092:{\displaystyle U_{n}}
4064:
4031:
4008:
3851:
3764:
3665:
3663:{\displaystyle \psi }
3642:
3456:
3380:
3320:
3288:
3192:
3190:{\displaystyle H_{n}}
3165:
3115:The left translation
3103:
3023:
3021:{\displaystyle H_{n}}
2996:
2946:The left translation
2937:
2761:
2675:
2620:
2582:
2337:
2335:{\displaystyle \psi }
2309:
2307:{\displaystyle J^{*}}
2282:
2254:
2213:
2154:
2094:
2008:
1968:
1966:{\displaystyle H_{1}}
1941:
1917:
1879:
1855:
1766:
1711:
1691:
1671:
1633:
1613:
1576:
1369:
1236:
1198:
1171:
1141:
1120:For each real number
1107:
1105:{\displaystyle H_{1}}
1080:
1057:
949:
875:
873:{\displaystyle \psi }
852:
710:
641:
463:
383:
329:
300:
280:
260:
240:
214:
99:is the 3-dimensional
94:
7514:Theta representation
7332:
7176:
7113:
7037:
6974:
6939:
6919:
6899:
6782:
6709:
6671:
6628:
6608:
6585:
6560:
6540:
6368:
6250:
6079:
6034:
5991:
5962:
5934:
5766:
5725:
5660:
5626:
5600:
5555:
5526:
5461:
5377:
5314:
5291:
5259:
5235:
5215:
5207:be the complexified
5187:
5032:
4999:
4972:
4945:
4890:
4835:
4740:
4657:
4630:
4603:
4511:
4485:
4329:
4315:{\displaystyle m,m'}
4295:
4172:
4136:
4103:
4076:
4040:
4020:
3863:
3776:
3677:
3654:
3468:
3389:
3329:
3303:
3204:
3174:
3119:
3032:
3005:
2950:
2776:
2687:
2629:
2603:
2349:
2326:
2291:
2271:
2225:
2169:
2110:
2020:
1985:
1950:
1930:
1924:unitarily equivalent
1888:
1868:
1778:
1720:
1700:
1680:
1642:
1622:
1589:
1392:
1248:
1207:
1187:
1153:
1124:
1089:
1069:
961:
891:
864:
722:
662:
478:
399:
345:
312:
289:
269:
249:
229:
110:
83:
7509:Weil representation
7140:
7070:
7001:
6956:
6935:and characteristic
6688:
6212:
6194:
6179:
6161:
6135:
6117:
5928:nil-theta functions
5622:, the vector field
5170:Nil-theta functions
4363:
3925:
3892:
3802:
3170:is well-defined on
3001:is well-defined on
2739:
1012:
336:Heisenberg manifold
72:Heisenberg manifold
7473:
7311:
7224:
7159:
7126:
7095:
7056:
7020:
6987:
6960:
6942:
6925:
6905:
6881:
6766:
6692:
6674:
6654:
6614:
6591:
6568:
6546:
6514:
6347:
6216:
6198:
6180:
6165:
6147:
6121:
6103:
6055:
6020:
5974:
5940:
5913:
5908:
5746:
5707:
5642:
5612:
5586:
5538:
5509:
5446:
5362:
5297:
5277:
5245:
5221:
5197:
5156:
5094:
5012:
4985:
4958:
4931:
4876:
4818:
4723:
4643:
4616:
4589:
4497:
4467:
4335:
4312:
4277:
4155:
4122:
4089:
4059:
4026:
4003:
3911:
3869:
3846:
3779:
3759:
3660:
3637:
3546:
3451:
3375:
3315:
3283:
3187:
3160:
3098:
3018:
2991:
2932:
2756:
2703:
2670:
2615:
2577:
2555:
2361:
2332:
2304:
2277:
2263:Plancherel theorem
2249:
2208:
2149:
2089:
2003:
1963:
1936:
1912:
1874:
1850:
1761:
1706:
1686:
1666:
1628:
1608:
1571:
1364:
1231:
1193:
1166:
1136:
1102:
1075:
1052:
998:
944:
870:
847:
787:
705:
636:
458:
378:
324:
295:
275:
255:
235:
209:
89:
50:Gaussian functions
42:Plancherel theorem
7624:Harmonic analysis
7260:
7207:
6908:{\displaystyle n}
6594:{\displaystyle n}
6549:{\displaystyle f}
5943:{\displaystyle n}
5504:
5441:
5420:
5357:
5300:{\displaystyle N}
5224:{\displaystyle N}
5080:
5078:
5076:
4452:
4029:{\displaystyle f}
3977:
3573:
3529:
3385:, define the map
2852:
2565:
2546:
2504:
2352:
2280:{\displaystyle W}
2161:Fourier transform
1939:{\displaystyle R}
1877:{\displaystyle U}
1709:{\displaystyle N}
1689:{\displaystyle R}
1631:{\displaystyle N}
1196:{\displaystyle N}
1078:{\displaystyle f}
770:
307:quotient manifold
305:on the left, the
298:{\displaystyle N}
258:{\displaystyle N}
92:{\displaystyle N}
66:signal processing
38:Fourier transform
34:Schwartz function
7636:
7600:
7597:
7591:
7590:
7583:
7577:
7571:
7565:
7562:
7556:
7553:
7547:
7544:
7538:
7535:
7482:
7480:
7479:
7474:
7442:
7441:
7430:
7424:
7423:
7422:
7421:
7401:
7400:
7396:
7350:
7349:
7320:
7318:
7317:
7312:
7271:
7270:
7261:
7253:
7223:
7222:
7194:
7193:
7168:
7166:
7165:
7160:
7139:
7134:
7125:
7124:
7104:
7102:
7101:
7096:
7069:
7064:
7055:
7054:
7029:
7027:
7026:
7021:
7000:
6995:
6986:
6985:
6969:
6967:
6966:
6963:{\displaystyle }
6961:
6955:
6950:
6934:
6932:
6931:
6926:
6914:
6912:
6911:
6906:
6890:
6888:
6887:
6882:
6775:
6773:
6772:
6767:
6701:
6699:
6698:
6695:{\displaystyle }
6693:
6687:
6682:
6663:
6661:
6660:
6655:
6638:
6623:
6621:
6620:
6615:
6600:
6598:
6597:
6592:
6577:
6575:
6574:
6569:
6567:
6555:
6553:
6552:
6547:
6523:
6521:
6520:
6515:
6483:
6482:
6471:
6465:
6464:
6463:
6462:
6442:
6441:
6437:
6356:
6354:
6353:
6348:
6322:
6321:
6296:
6291:
6225:
6223:
6222:
6217:
6211:
6206:
6193:
6188:
6178:
6173:
6160:
6155:
6143:
6134:
6129:
6116:
6111:
6099:
6098:
6086:
6064:
6062:
6061:
6056:
6054:
6046:
6045:
6029:
6027:
6026:
6021:
6019:
6018:
6009:
6008:
5983:
5981:
5980:
5975:
5949:
5947:
5946:
5941:
5922:
5920:
5919:
5914:
5912:
5909:
5891:
5868:
5867:
5844:
5843:
5831:
5830:
5803:
5802:
5790:
5789:
5755:
5753:
5752:
5747:
5745:
5744:
5733:
5716:
5714:
5713:
5708:
5706:
5705:
5672:
5671:
5651:
5649:
5648:
5643:
5641:
5640:
5621:
5619:
5618:
5613:
5595:
5593:
5592:
5587:
5570:
5569:
5547:
5545:
5544:
5539:
5518:
5516:
5515:
5510:
5505:
5503:
5492:
5455:
5453:
5452:
5447:
5442:
5440:
5429:
5421:
5419:
5408:
5371:
5369:
5368:
5363:
5358:
5356:
5345:
5306:
5304:
5303:
5298:
5286:
5284:
5283:
5278:
5254:
5252:
5251:
5246:
5244:
5243:
5230:
5228:
5227:
5222:
5206:
5204:
5203:
5198:
5196:
5195:
5165:
5163:
5162:
5157:
5152:
5151:
5150:
5135:
5129:
5128:
5124:
5116:
5093:
5092:
5079:
5077:
5072:
5067:
5062:
5061:
5050:
5044:
5043:
5021:
5019:
5018:
5013:
5011:
5010:
4994:
4992:
4991:
4986:
4984:
4983:
4967:
4965:
4964:
4959:
4957:
4956:
4940:
4938:
4937:
4932:
4915:
4885:
4883:
4882:
4877:
4854:
4827:
4825:
4824:
4819:
4814:
4813:
4792:
4791:
4779:
4778:
4760:
4759:
4748:
4732:
4730:
4729:
4724:
4719:
4718:
4701:
4680:
4679:
4668:
4652:
4650:
4649:
4644:
4642:
4641:
4625:
4623:
4622:
4617:
4615:
4614:
4598:
4596:
4595:
4590:
4588:
4587:
4586:
4585:
4562:
4561:
4557:
4523:
4522:
4506:
4504:
4503:
4498:
4476:
4474:
4473:
4468:
4454:
4453:
4445:
4442:
4441:
4437:
4429:
4389:
4388:
4373:
4372:
4362:
4354:
4353:
4321:
4319:
4318:
4313:
4311:
4286:
4284:
4283:
4278:
4276:
4275:
4200:
4199:
4190:
4189:
4164:
4162:
4161:
4156:
4154:
4153:
4131:
4129:
4128:
4123:
4121:
4120:
4098:
4096:
4095:
4090:
4088:
4087:
4068:
4066:
4065:
4060:
4058:
4057:
4035:
4033:
4032:
4027:
4012:
4010:
4009:
4004:
3978:
3970:
3950:
3949:
3924:
3919:
3891:
3883:
3855:
3853:
3852:
3847:
3842:
3834:
3833:
3821:
3820:
3801:
3793:
3772:The inverse map
3768:
3766:
3765:
3760:
3755:
3754:
3715:
3695:
3694:
3669:
3667:
3666:
3661:
3646:
3644:
3643:
3638:
3636:
3635:
3614:
3613:
3574:
3566:
3545:
3544:
3486:
3485:
3460:
3458:
3457:
3452:
3450:
3449:
3428:
3420:
3419:
3407:
3406:
3384:
3382:
3381:
3376:
3368:
3360:
3324:
3322:
3321:
3316:
3292:
3290:
3289:
3284:
3282:
3281:
3263:
3262:
3223:
3196:
3194:
3193:
3188:
3186:
3185:
3169:
3167:
3166:
3161:
3138:
3107:
3105:
3104:
3099:
3097:
3096:
3089:
3081:
3050:
3049:
3027:
3025:
3024:
3019:
3017:
3016:
3000:
2998:
2997:
2992:
2975:
2941:
2939:
2938:
2933:
2895:
2894:
2890:
2853:
2845:
2816:
2815:
2794:
2793:
2765:
2763:
2762:
2757:
2755:
2754:
2738:
2731:
2723:
2717:
2699:
2698:
2679:
2677:
2676:
2671:
2654:
2653:
2641:
2640:
2624:
2622:
2621:
2616:
2586:
2584:
2583:
2578:
2567:
2566:
2558:
2554:
2506:
2505:
2497:
2437:
2436:
2360:
2341:
2339:
2338:
2333:
2313:
2311:
2310:
2305:
2303:
2302:
2286:
2284:
2283:
2278:
2258:
2256:
2255:
2250:
2245:
2237:
2236:
2217:
2215:
2214:
2209:
2204:
2203:
2194:
2193:
2178:
2177:
2158:
2156:
2155:
2150:
2148:
2147:
2135:
2134:
2122:
2121:
2105:unitary operator
2098:
2096:
2095:
2090:
2012:
2010:
2009:
2004:
1972:
1970:
1969:
1964:
1962:
1961:
1945:
1943:
1942:
1937:
1921:
1919:
1918:
1913:
1908:
1900:
1899:
1883:
1881:
1880:
1875:
1859:
1857:
1856:
1851:
1770:
1768:
1767:
1762:
1745:
1744:
1732:
1731:
1715:
1713:
1712:
1707:
1695:
1693:
1692:
1687:
1675:
1673:
1672:
1667:
1662:
1654:
1653:
1637:
1635:
1634:
1629:
1617:
1615:
1614:
1609:
1607:
1606:
1580:
1578:
1577:
1572:
1543:
1542:
1506:
1505:
1496:
1495:
1441:
1440:
1404:
1403:
1373:
1371:
1370:
1365:
1345:
1344:
1263:
1262:
1240:
1238:
1237:
1232:
1227:
1219:
1218:
1202:
1200:
1199:
1194:
1175:
1173:
1172:
1167:
1165:
1164:
1145:
1143:
1142:
1137:
1111:
1109:
1108:
1103:
1101:
1100:
1084:
1082:
1081:
1076:
1061:
1059:
1058:
1053:
1011:
1006:
979:
978:
953:
951:
950:
945:
940:
932:
931:
919:
918:
906:
905:
879:
877:
876:
871:
856:
854:
853:
848:
846:
845:
827:
826:
786:
785:
714:
712:
711:
706:
704:
703:
688:
680:
679:
645:
643:
642:
637:
512:
511:
490:
489:
467:
465:
464:
459:
457:
456:
447:
446:
445:
411:
410:
387:
385:
384:
379:
333:
331:
330:
325:
304:
302:
301:
296:
284:
282:
281:
276:
264:
262:
261:
256:
244:
242:
241:
236:
218:
216:
215:
210:
98:
96:
95:
90:
7644:
7643:
7639:
7638:
7637:
7635:
7634:
7633:
7614:
7613:
7604:
7603:
7598:
7594:
7587:"Zak Transform"
7585:
7584:
7580:
7572:
7568:
7563:
7559:
7554:
7550:
7545:
7541:
7536:
7532:
7527:
7499:Nilpotent group
7490:
7425:
7413:
7402:
7381:
7335:
7330:
7329:
7262:
7179:
7174:
7173:
7116:
7111:
7110:
7046:
7035:
7034:
6977:
6972:
6971:
6937:
6936:
6917:
6916:
6897:
6896:
6780:
6779:
6707:
6706:
6669:
6668:
6626:
6625:
6606:
6605:
6583:
6582:
6558:
6557:
6538:
6537:
6535:entire function
6531:
6466:
6454:
6443:
6422:
6366:
6365:
6313:
6248:
6247:
6244:
6090:
6077:
6076:
6037:
6032:
6031:
6010:
5994:
5989:
5988:
5960:
5959:
5956:
5932:
5931:
5907:
5906:
5895:
5884:
5883:
5872:
5859:
5851:
5835:
5822:
5794:
5778:
5764:
5763:
5728:
5723:
5722:
5691:
5663:
5658:
5657:
5629:
5624:
5623:
5598:
5597:
5558:
5553:
5552:
5524:
5523:
5496:
5459:
5458:
5433:
5412:
5375:
5374:
5349:
5312:
5311:
5289:
5288:
5257:
5256:
5233:
5232:
5213:
5212:
5185:
5184:
5181:
5172:
5143:
5130:
5109:
5095:
5085:
5045:
5035:
5030:
5029:
5002:
4997:
4996:
4975:
4970:
4969:
4948:
4943:
4942:
4888:
4887:
4833:
4832:
4799:
4783:
4764:
4743:
4738:
4737:
4696:
4663:
4655:
4654:
4633:
4628:
4627:
4606:
4601:
4600:
4577:
4563:
4545:
4514:
4509:
4508:
4483:
4482:
4422:
4408:
4374:
4364:
4346:
4327:
4326:
4304:
4293:
4292:
4261:
4191:
4175:
4170:
4169:
4139:
4134:
4133:
4106:
4101:
4100:
4079:
4074:
4073:
4043:
4038:
4037:
4018:
4017:
3926:
3861:
3860:
3825:
3806:
3774:
3773:
3740:
3680:
3675:
3674:
3652:
3651:
3615:
3578:
3471:
3466:
3465:
3435:
3411:
3392:
3387:
3386:
3327:
3326:
3301:
3300:
3267:
3248:
3202:
3201:
3177:
3172:
3171:
3117:
3116:
3066:
3035:
3030:
3029:
3008:
3003:
3002:
2948:
2947:
2869:
2807:
2779:
2774:
2773:
2740:
2690:
2685:
2684:
2645:
2632:
2627:
2626:
2625:, the subspace
2601:
2600:
2597:
2428:
2347:
2346:
2324:
2323:
2320:
2294:
2289:
2288:
2269:
2268:
2265:
2228:
2223:
2222:
2195:
2182:
2167:
2166:
2139:
2126:
2113:
2108:
2107:
2018:
2017:
1983:
1982:
1979:
1953:
1948:
1947:
1928:
1927:
1891:
1886:
1885:
1866:
1865:
1776:
1775:
1736:
1723:
1718:
1717:
1698:
1697:
1678:
1677:
1645:
1640:
1639:
1620:
1619:
1598:
1587:
1586:
1534:
1497:
1472:
1432:
1395:
1390:
1389:
1309:
1254:
1246:
1245:
1210:
1205:
1204:
1185:
1184:
1156:
1151:
1150:
1122:
1121:
1118:
1092:
1087:
1086:
1067:
1066:
967:
959:
958:
923:
910:
894:
889:
888:
862:
861:
828:
806:
720:
719:
695:
671:
660:
659:
657:Weil–Brezin map
653:
503:
481:
476:
475:
448:
430:
402:
397:
396:
343:
342:
310:
309:
287:
286:
267:
266:
247:
246:
227:
226:
108:
107:
81:
80:
74:
54:theta functions
48:. The image of
22:Weil–Brezin map
12:
11:
5:
7642:
7640:
7632:
7631:
7626:
7616:
7615:
7612:
7611:
7609:
7607:
7602:
7601:
7592:
7578:
7566:
7557:
7548:
7539:
7529:
7528:
7526:
7523:
7522:
7521:
7516:
7511:
7506:
7501:
7496:
7489:
7486:
7485:
7484:
7472:
7469:
7466:
7463:
7460:
7457:
7454:
7451:
7448:
7445:
7440:
7437:
7434:
7429:
7420:
7416:
7412:
7409:
7405:
7399:
7395:
7391:
7388:
7384:
7380:
7377:
7374:
7371:
7368:
7365:
7362:
7359:
7356:
7353:
7348:
7345:
7342:
7338:
7323:
7322:
7310:
7307:
7304:
7301:
7298:
7295:
7292:
7289:
7286:
7283:
7280:
7277:
7274:
7269:
7265:
7259:
7256:
7251:
7248:
7245:
7242:
7239:
7236:
7233:
7230:
7227:
7221:
7217:
7214:
7210:
7206:
7203:
7200:
7197:
7192:
7189:
7186:
7182:
7158:
7155:
7152:
7149:
7146:
7143:
7138:
7133:
7129:
7123:
7119:
7107:
7106:
7094:
7091:
7088:
7085:
7082:
7079:
7076:
7073:
7068:
7063:
7059:
7053:
7049:
7045:
7042:
7019:
7016:
7013:
7010:
7007:
7004:
6999:
6994:
6990:
6984:
6980:
6970:is denoted by
6959:
6954:
6949:
6945:
6924:
6904:
6893:
6892:
6880:
6877:
6874:
6871:
6868:
6865:
6862:
6859:
6856:
6853:
6850:
6847:
6844:
6841:
6838:
6835:
6832:
6829:
6826:
6823:
6820:
6817:
6814:
6811:
6808:
6805:
6802:
6799:
6796:
6793:
6790:
6787:
6777:
6765:
6762:
6759:
6756:
6753:
6750:
6747:
6744:
6741:
6738:
6735:
6732:
6729:
6726:
6723:
6720:
6717:
6714:
6691:
6686:
6681:
6677:
6666:characteristic
6653:
6650:
6647:
6644:
6641:
6637:
6634:
6613:
6590:
6566:
6545:
6530:
6527:
6526:
6525:
6513:
6510:
6507:
6504:
6501:
6498:
6495:
6492:
6489:
6486:
6481:
6478:
6475:
6470:
6461:
6457:
6453:
6450:
6446:
6440:
6436:
6432:
6429:
6425:
6421:
6418:
6415:
6412:
6409:
6406:
6403:
6400:
6397:
6394:
6391:
6388:
6385:
6382:
6379:
6376:
6373:
6346:
6343:
6340:
6337:
6334:
6331:
6328:
6325:
6320:
6316:
6312:
6309:
6306:
6303:
6300:
6295:
6290:
6287:
6284:
6281:
6277:
6273:
6270:
6267:
6264:
6261:
6258:
6255:
6243:
6240:
6228:
6227:
6215:
6210:
6205:
6201:
6197:
6192:
6187:
6183:
6177:
6172:
6168:
6164:
6159:
6154:
6150:
6146:
6142:
6138:
6133:
6128:
6124:
6120:
6115:
6110:
6106:
6102:
6097:
6093:
6089:
6085:
6053:
6049:
6044:
6040:
6017:
6013:
6007:
6004:
6001:
5997:
5986:graded algebra
5973:
5970:
5967:
5955:
5952:
5939:
5924:
5923:
5911:
5905:
5902:
5899:
5896:
5894:
5890:
5886:
5885:
5882:
5879:
5876:
5873:
5871:
5866:
5862:
5858:
5857:
5854:
5850:
5847:
5842:
5838:
5834:
5829:
5825:
5821:
5818:
5815:
5812:
5809:
5806:
5801:
5797:
5793:
5788:
5785:
5781:
5777:
5774:
5771:
5743:
5740:
5737:
5732:
5704:
5701:
5698:
5694:
5690:
5687:
5684:
5681:
5678:
5675:
5670:
5666:
5639:
5636:
5632:
5611:
5608:
5605:
5585:
5582:
5579:
5576:
5573:
5568:
5565:
5561:
5537:
5534:
5531:
5520:
5519:
5508:
5502:
5499:
5495:
5490:
5487:
5484:
5481:
5478:
5475:
5472:
5469:
5466:
5456:
5445:
5439:
5436:
5432:
5427:
5424:
5418:
5415:
5411:
5406:
5403:
5400:
5397:
5394:
5391:
5388:
5385:
5382:
5372:
5361:
5355:
5352:
5348:
5343:
5340:
5337:
5334:
5331:
5328:
5325:
5322:
5319:
5296:
5276:
5273:
5270:
5267:
5264:
5242:
5220:
5194:
5180:
5177:
5171:
5168:
5167:
5166:
5155:
5149:
5146:
5142:
5139:
5134:
5127:
5123:
5119:
5115:
5112:
5108:
5105:
5102:
5098:
5091:
5088:
5083:
5075:
5070:
5065:
5060:
5057:
5054:
5049:
5042:
5038:
5009:
5005:
4982:
4978:
4955:
4951:
4930:
4927:
4924:
4921:
4918:
4914:
4910:
4907:
4904:
4901:
4898:
4895:
4875:
4872:
4869:
4866:
4863:
4860:
4857:
4853:
4849:
4846:
4843:
4840:
4829:
4828:
4817:
4812:
4809:
4806:
4802:
4798:
4795:
4790:
4786:
4782:
4777:
4774:
4771:
4767:
4763:
4758:
4755:
4752:
4747:
4722:
4717:
4714:
4711:
4708:
4705:
4700:
4695:
4692:
4689:
4686:
4683:
4678:
4675:
4672:
4667:
4662:
4640:
4636:
4613:
4609:
4584:
4580:
4576:
4573:
4570:
4566:
4560:
4556:
4552:
4548:
4544:
4541:
4538:
4535:
4532:
4529:
4526:
4521:
4517:
4496:
4493:
4490:
4479:
4478:
4466:
4463:
4460:
4457:
4451:
4448:
4440:
4436:
4432:
4428:
4425:
4421:
4418:
4415:
4411:
4407:
4404:
4401:
4398:
4395:
4392:
4387:
4384:
4381:
4377:
4371:
4367:
4361:
4358:
4352:
4349:
4345:
4342:
4338:
4334:
4310:
4307:
4303:
4300:
4289:
4288:
4274:
4271:
4268:
4264:
4260:
4257:
4254:
4251:
4248:
4245:
4242:
4239:
4236:
4233:
4230:
4227:
4224:
4221:
4218:
4215:
4212:
4209:
4206:
4203:
4198:
4194:
4188:
4185:
4182:
4178:
4152:
4149:
4146:
4142:
4119:
4116:
4113:
4109:
4086:
4082:
4056:
4053:
4050:
4046:
4025:
4014:
4013:
4002:
3999:
3996:
3993:
3990:
3987:
3984:
3981:
3976:
3973:
3968:
3965:
3962:
3959:
3956:
3953:
3948:
3945:
3942:
3939:
3936:
3933:
3929:
3923:
3918:
3914:
3910:
3907:
3904:
3901:
3898:
3895:
3890:
3887:
3882:
3879:
3876:
3872:
3868:
3845:
3841:
3837:
3832:
3828:
3824:
3819:
3816:
3813:
3809:
3805:
3800:
3797:
3792:
3789:
3786:
3782:
3770:
3769:
3758:
3753:
3750:
3747:
3743:
3739:
3736:
3733:
3730:
3727:
3724:
3721:
3718:
3714:
3710:
3707:
3704:
3701:
3698:
3693:
3690:
3687:
3683:
3659:
3648:
3647:
3634:
3631:
3628:
3625:
3622:
3618:
3612:
3609:
3606:
3603:
3600:
3597:
3594:
3591:
3588:
3585:
3581:
3577:
3572:
3569:
3564:
3561:
3558:
3555:
3552:
3549:
3543:
3539:
3536:
3532:
3528:
3525:
3522:
3519:
3516:
3513:
3510:
3507:
3504:
3501:
3498:
3495:
3492:
3489:
3484:
3481:
3478:
3474:
3448:
3445:
3442:
3438:
3434:
3431:
3427:
3423:
3418:
3414:
3410:
3405:
3402:
3399:
3395:
3374:
3371:
3367:
3363:
3359:
3355:
3352:
3349:
3346:
3343:
3340:
3337:
3334:
3314:
3311:
3308:
3294:
3293:
3280:
3277:
3274:
3270:
3266:
3261:
3258:
3255:
3251:
3247:
3244:
3241:
3238:
3235:
3232:
3229:
3226:
3222:
3218:
3215:
3212:
3209:
3197:, and the map
3184:
3180:
3159:
3156:
3153:
3150:
3147:
3144:
3141:
3137:
3133:
3130:
3127:
3124:
3095:
3092:
3088:
3084:
3080:
3076:
3073:
3069:
3065:
3062:
3059:
3056:
3053:
3048:
3045:
3042:
3038:
3015:
3011:
2990:
2987:
2984:
2981:
2978:
2974:
2970:
2967:
2964:
2961:
2958:
2955:
2944:
2943:
2931:
2928:
2925:
2922:
2919:
2916:
2913:
2910:
2907:
2904:
2901:
2898:
2893:
2889:
2885:
2882:
2879:
2876:
2872:
2868:
2865:
2862:
2859:
2856:
2851:
2848:
2843:
2840:
2837:
2834:
2831:
2828:
2825:
2822:
2819:
2814:
2810:
2806:
2803:
2800:
2797:
2792:
2789:
2786:
2782:
2767:
2766:
2753:
2750:
2747:
2743:
2737:
2734:
2730:
2726:
2722:
2716:
2713:
2710:
2706:
2702:
2697:
2693:
2669:
2666:
2663:
2660:
2657:
2652:
2648:
2644:
2639:
2635:
2614:
2611:
2608:
2596:
2593:
2589:
2588:
2576:
2573:
2570:
2564:
2561:
2553:
2549:
2545:
2542:
2539:
2536:
2533:
2530:
2527:
2524:
2521:
2518:
2515:
2512:
2509:
2503:
2500:
2494:
2491:
2488:
2485:
2482:
2479:
2476:
2473:
2470:
2467:
2464:
2461:
2458:
2455:
2452:
2449:
2446:
2443:
2440:
2435:
2431:
2427:
2424:
2421:
2418:
2415:
2412:
2409:
2406:
2403:
2400:
2397:
2394:
2391:
2388:
2385:
2382:
2379:
2376:
2373:
2370:
2367:
2364:
2359:
2355:
2331:
2319:
2316:
2301:
2297:
2276:
2264:
2261:
2248:
2244:
2240:
2235:
2231:
2219:
2218:
2207:
2202:
2198:
2192:
2189:
2185:
2181:
2176:
2146:
2142:
2138:
2133:
2129:
2125:
2120:
2116:
2101:
2100:
2088:
2085:
2082:
2079:
2076:
2073:
2070:
2067:
2064:
2061:
2058:
2055:
2052:
2049:
2046:
2043:
2040:
2037:
2034:
2031:
2028:
2025:
2002:
1999:
1996:
1993:
1990:
1978:
1975:
1960:
1956:
1935:
1911:
1907:
1903:
1898:
1894:
1873:
1862:
1861:
1849:
1846:
1843:
1840:
1837:
1834:
1831:
1828:
1825:
1822:
1819:
1816:
1813:
1810:
1807:
1804:
1801:
1798:
1795:
1792:
1789:
1786:
1783:
1760:
1757:
1754:
1751:
1748:
1743:
1739:
1735:
1730:
1726:
1705:
1685:
1665:
1661:
1657:
1652:
1648:
1627:
1605:
1601:
1597:
1594:
1583:
1582:
1570:
1567:
1564:
1561:
1558:
1555:
1552:
1549:
1546:
1541:
1537:
1533:
1530:
1527:
1524:
1521:
1518:
1515:
1512:
1509:
1504:
1500:
1494:
1491:
1488:
1485:
1482:
1479:
1475:
1471:
1468:
1465:
1462:
1459:
1456:
1453:
1450:
1447:
1444:
1439:
1435:
1431:
1428:
1425:
1422:
1419:
1416:
1413:
1410:
1407:
1402:
1398:
1376:
1375:
1363:
1360:
1357:
1354:
1351:
1348:
1343:
1340:
1337:
1334:
1331:
1328:
1325:
1322:
1319:
1316:
1312:
1308:
1305:
1302:
1299:
1296:
1293:
1290:
1287:
1284:
1281:
1278:
1275:
1272:
1269:
1266:
1261:
1257:
1253:
1230:
1226:
1222:
1217:
1213:
1192:
1163:
1159:
1135:
1132:
1129:
1117:
1114:
1099:
1095:
1074:
1063:
1062:
1051:
1048:
1045:
1042:
1039:
1036:
1033:
1030:
1027:
1024:
1021:
1018:
1015:
1010:
1005:
1001:
997:
994:
991:
988:
985:
982:
977:
974:
970:
966:
943:
939:
935:
930:
926:
922:
917:
913:
909:
904:
901:
897:
869:
858:
857:
844:
841:
838:
835:
831:
825:
822:
819:
816:
813:
809:
805:
802:
799:
796:
793:
790:
784:
780:
777:
773:
769:
766:
763:
760:
757:
754:
751:
748:
745:
742:
739:
736:
733:
730:
727:
702:
698:
694:
691:
687:
683:
678:
674:
670:
667:
652:
649:
648:
647:
635:
632:
629:
626:
623:
620:
617:
614:
611:
608:
605:
602:
599:
596:
593:
590:
587:
584:
581:
578:
575:
572:
569:
566:
563:
560:
557:
554:
551:
548:
545:
542:
539:
536:
533:
530:
527:
524:
521:
518:
515:
510:
506:
502:
499:
496:
493:
488:
484:
469:
468:
455:
451:
444:
440:
437:
433:
429:
426:
423:
420:
417:
414:
409:
405:
377:
374:
371:
368:
365:
362:
359:
356:
353:
350:
334:is called the
323:
320:
317:
294:
274:
254:
234:
220:
219:
208:
205:
202:
199:
196:
193:
190:
187:
184:
181:
178:
175:
172:
169:
166:
163:
160:
157:
154:
151:
148:
145:
142:
139:
136:
133:
130:
127:
124:
121:
118:
115:
88:
73:
70:
24:, named after
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
7641:
7630:
7627:
7625:
7622:
7621:
7619:
7610:
7608:
7606:
7605:
7596:
7593:
7588:
7582:
7579:
7576:
7570:
7567:
7561:
7558:
7552:
7549:
7543:
7540:
7534:
7531:
7524:
7520:
7517:
7515:
7512:
7510:
7507:
7505:
7502:
7500:
7497:
7495:
7492:
7491:
7487:
7464:
7461:
7458:
7455:
7452:
7438:
7435:
7432:
7418:
7414:
7410:
7407:
7403:
7397:
7393:
7389:
7386:
7378:
7375:
7369:
7363:
7360:
7357:
7354:
7346:
7343:
7340:
7336:
7328:
7327:
7326:
7302:
7296:
7293:
7290:
7287:
7281:
7278:
7275:
7272:
7267:
7257:
7254:
7249:
7246:
7240:
7237:
7234:
7228:
7225:
7215:
7212:
7208:
7204:
7198:
7190:
7187:
7184:
7180:
7172:
7171:
7170:
7153:
7150:
7147:
7136:
7131:
7121:
7092:
7089:
7083:
7080:
7077:
7066:
7061:
7051:
7043:
7040:
7033:
7032:
7031:
7014:
7011:
7008:
6997:
6992:
6982:
6952:
6947:
6922:
6902:
6875:
6869:
6860:
6857:
6854:
6851:
6845:
6842:
6839:
6836:
6830:
6827:
6821:
6818:
6815:
6809:
6806:
6803:
6797:
6794:
6791:
6785:
6778:
6760:
6754:
6748:
6745:
6742:
6736:
6733:
6730:
6724:
6721:
6718:
6712:
6705:
6704:
6703:
6684:
6679:
6667:
6651:
6648:
6642:
6611:
6604:
6588:
6581:
6543:
6536:
6528:
6505:
6502:
6499:
6496:
6493:
6479:
6476:
6473:
6459:
6455:
6451:
6448:
6444:
6438:
6434:
6430:
6427:
6419:
6416:
6410:
6404:
6401:
6398:
6392:
6389:
6386:
6383:
6377:
6371:
6364:
6363:
6362:
6360:
6341:
6338:
6335:
6332:
6329:
6326:
6323:
6318:
6314:
6310:
6307:
6301:
6298:
6285:
6282:
6279:
6275:
6271:
6265:
6262:
6259:
6253:
6241:
6239:
6237:
6233:
6208:
6203:
6199:
6195:
6190:
6185:
6181:
6175:
6170:
6166:
6162:
6157:
6152:
6148:
6140:
6131:
6126:
6122:
6118:
6113:
6108:
6104:
6100:
6095:
6091:
6075:
6074:
6073:
6071:
6066:
6047:
6042:
6038:
6015:
6011:
6005:
6002:
5999:
5995:
5987:
5971:
5953:
5951:
5937:
5929:
5926:the space of
5903:
5900:
5897:
5892:
5880:
5877:
5874:
5869:
5864:
5860:
5852:
5848:
5840:
5836:
5827:
5823:
5819:
5813:
5795:
5791:
5786:
5783:
5779:
5772:
5769:
5762:
5761:
5760:
5757:
5741:
5738:
5735:
5721:generated by
5720:
5702:
5699:
5696:
5692:
5688:
5682:
5664:
5655:
5637:
5634:
5630:
5609:
5606:
5603:
5583:
5580:
5577:
5574:
5571:
5566:
5563:
5559:
5549:
5535:
5506:
5500:
5488:
5482:
5479:
5476:
5473:
5470:
5464:
5457:
5443:
5437:
5425:
5422:
5416:
5404:
5398:
5395:
5392:
5389:
5386:
5380:
5373:
5359:
5353:
5341:
5335:
5332:
5329:
5326:
5323:
5317:
5310:
5309:
5308:
5294:
5274:
5271:
5268:
5265:
5262:
5231:. A basis of
5218:
5210:
5178:
5176:
5169:
5153:
5147:
5144:
5140:
5137:
5125:
5121:
5117:
5113:
5110:
5106:
5103:
5100:
5096:
5089:
5086:
5081:
5073:
5068:
5063:
5058:
5055:
5052:
5040:
5036:
5028:
5027:
5026:
5025:
5007:
5003:
4980:
4976:
4953:
4949:
4922:
4919:
4916:
4912:
4908:
4905:
4902:
4893:
4867:
4864:
4861:
4858:
4855:
4851:
4847:
4838:
4815:
4810:
4807:
4804:
4800:
4796:
4788:
4784:
4775:
4772:
4769:
4765:
4761:
4756:
4753:
4750:
4736:
4735:
4734:
4715:
4712:
4709:
4706:
4703:
4693:
4690:
4687:
4684:
4681:
4676:
4673:
4670:
4653:generated by
4638:
4634:
4611:
4607:
4582:
4578:
4574:
4571:
4568:
4564:
4558:
4554:
4550:
4542:
4539:
4533:
4527:
4519:
4515:
4494:
4491:
4488:
4461:
4458:
4446:
4438:
4434:
4430:
4426:
4423:
4419:
4416:
4413:
4409:
4405:
4399:
4390:
4385:
4382:
4379:
4375:
4369:
4365:
4359:
4356:
4350:
4347:
4343:
4340:
4336:
4325:
4324:
4323:
4308:
4305:
4301:
4298:
4272:
4269:
4266:
4262:
4252:
4249:
4246:
4243:
4240:
4231:
4228:
4219:
4216:
4213:
4210:
4207:
4196:
4192:
4186:
4183:
4180:
4176:
4168:
4167:
4166:
4150:
4147:
4144:
4140:
4117:
4114:
4111:
4107:
4084:
4080:
4070:
4054:
4051:
4048:
4044:
4023:
4000:
3997:
3988:
3985:
3982:
3979:
3974:
3971:
3966:
3963:
3951:
3946:
3943:
3940:
3937:
3934:
3931:
3927:
3921:
3916:
3912:
3908:
3902:
3893:
3888:
3885:
3880:
3877:
3874:
3870:
3859:
3858:
3857:
3856:is given by
3830:
3826:
3817:
3814:
3811:
3807:
3803:
3798:
3795:
3790:
3787:
3784:
3780:
3756:
3751:
3748:
3745:
3741:
3737:
3728:
3725:
3722:
3719:
3716:
3712:
3708:
3699:
3696:
3691:
3688:
3685:
3681:
3673:
3672:
3671:
3657:
3632:
3629:
3626:
3623:
3620:
3616:
3610:
3604:
3601:
3598:
3595:
3589:
3586:
3583:
3579:
3570:
3567:
3562:
3559:
3556:
3553:
3547:
3537:
3534:
3530:
3526:
3517:
3514:
3511:
3508:
3505:
3490:
3482:
3479:
3476:
3472:
3464:
3463:
3462:
3446:
3443:
3440:
3436:
3416:
3412:
3408:
3403:
3400:
3397:
3393:
3372:
3369:
3361:
3353:
3350:
3347:
3344:
3341:
3338:
3335:
3332:
3312:
3309:
3306:
3297:
3278:
3275:
3272:
3268:
3259:
3256:
3253:
3249:
3245:
3236:
3233:
3230:
3227:
3224:
3220:
3216:
3207:
3200:
3199:
3198:
3182:
3178:
3151:
3148:
3145:
3142:
3139:
3135:
3131:
3122:
3113:
3111:
3093:
3090:
3082:
3074:
3071:
3067:
3063:
3060:
3057:
3054:
3051:
3046:
3043:
3040:
3036:
3013:
3009:
2982:
2979:
2976:
2972:
2968:
2965:
2962:
2953:
2920:
2917:
2914:
2911:
2908:
2896:
2891:
2887:
2883:
2880:
2877:
2874:
2870:
2866:
2857:
2854:
2849:
2846:
2841:
2838:
2835:
2832:
2820:
2817:
2812:
2808:
2804:
2801:
2795:
2790:
2787:
2784:
2780:
2772:
2771:
2770:
2751:
2748:
2745:
2741:
2735:
2732:
2724:
2714:
2711:
2708:
2704:
2700:
2695:
2691:
2683:
2682:
2681:
2664:
2650:
2646:
2642:
2637:
2633:
2612:
2609:
2606:
2594:
2592:
2571:
2559:
2551:
2547:
2543:
2531:
2528:
2525:
2522:
2519:
2498:
2489:
2486:
2474:
2471:
2468:
2465:
2462:
2444:
2438:
2433:
2429:
2422:
2410:
2407:
2404:
2401:
2398:
2383:
2377:
2374:
2368:
2362:
2357:
2353:
2345:
2344:
2343:
2329:
2317:
2315:
2299:
2295:
2274:
2262:
2260:
2233:
2229:
2205:
2200:
2196:
2190:
2187:
2183:
2179:
2165:
2164:
2163:
2162:
2144:
2140:
2131:
2127:
2123:
2118:
2114:
2106:
2083:
2080:
2077:
2074:
2071:
2068:
2065:
2062:
2059:
2053:
2044:
2041:
2038:
2035:
2032:
2023:
2016:
2015:
2014:
2000:
1994:
1991:
1988:
1976:
1974:
1958:
1954:
1933:
1925:
1896:
1892:
1871:
1847:
1838:
1835:
1832:
1829:
1826:
1817:
1814:
1805:
1802:
1799:
1796:
1793:
1784:
1781:
1774:
1773:
1772:
1755:
1741:
1737:
1733:
1728:
1724:
1703:
1683:
1650:
1646:
1625:
1603:
1599:
1595:
1592:
1562:
1559:
1556:
1553:
1550:
1539:
1535:
1525:
1522:
1519:
1516:
1513:
1502:
1498:
1492:
1489:
1486:
1483:
1480:
1477:
1473:
1469:
1460:
1457:
1454:
1451:
1448:
1437:
1433:
1423:
1420:
1417:
1414:
1411:
1400:
1396:
1388:
1387:
1386:
1385:
1381:
1358:
1355:
1352:
1346:
1338:
1335:
1332:
1329:
1323:
1320:
1317:
1314:
1310:
1306:
1300:
1291:
1282:
1279:
1276:
1273:
1270:
1259:
1255:
1244:
1243:
1242:
1215:
1211:
1190:
1182:
1179:
1161:
1157:
1149:
1133:
1130:
1127:
1115:
1113:
1097:
1093:
1072:
1049:
1046:
1037:
1034:
1031:
1028:
1025:
1013:
1008:
1003:
999:
995:
989:
980:
975:
972:
968:
957:
956:
955:
928:
924:
915:
911:
907:
902:
899:
895:
885:
883:
867:
842:
839:
836:
833:
829:
823:
820:
817:
814:
811:
807:
800:
797:
794:
788:
778:
775:
771:
767:
758:
755:
752:
749:
746:
731:
725:
718:
717:
716:
700:
696:
676:
672:
668:
665:
658:
650:
624:
621:
618:
615:
612:
600:
594:
591:
588:
585:
582:
576:
573:
570:
561:
558:
555:
552:
549:
546:
543:
531:
528:
522:
508:
504:
500:
497:
491:
486:
482:
474:
473:
472:
453:
449:
438:
435:
431:
427:
421:
407:
403:
395:
394:
393:
391:
375:
372:
369:
366:
363:
360:
357:
354:
351:
348:
341:
337:
321:
308:
292:
252:
225:
206:
200:
197:
194:
191:
188:
185:
182:
179:
176:
173:
170:
167:
164:
161:
155:
149:
146:
143:
140:
137:
128:
125:
122:
119:
116:
106:
105:
104:
102:
86:
79:
71:
69:
67:
63:
59:
58:Zak transform
55:
51:
47:
43:
39:
35:
31:
27:
23:
19:
7595:
7581:
7569:
7560:
7551:
7542:
7533:
7324:
7108:
6894:
6665:
6602:
6579:
6578:is called a
6532:
6245:
6236:automorphism
6229:
6067:
5957:
5927:
5925:
5758:
5550:
5521:
5182:
5173:
4830:
4480:
4290:
4071:
4015:
3771:
3649:
3298:
3295:
3114:
2945:
2768:
2598:
2590:
2321:
2266:
2220:
2102:
1980:
1863:
1584:
1377:
1147:
1119:
1064:
954:is given by
886:
859:
656:
654:
470:
340:Haar measure
335:
221:
75:
32:that maps a
21:
15:
7494:Nilmanifold
7109:A basis of
5596:. For each
5209:Lie algebra
3110:eigenspaces
2159:, then the
1241:defined by
1178:irreducible
18:mathematics
7618:Categories
7573:Zhang, D.
7525:References
6070:isomorphic
5930:of degree
651:Definition
26:André Weil
7468:⟩
7450:⟨
7447:Γ
7408:π
7387:−
7337:θ
7279:π
7238:π
7235:−
7229:
7216:∈
7209:∑
7181:θ
7118:Θ
7078:τ
7048:Θ
7044:
7009:τ
6979:Θ
6923:τ
6915:, period
6861:τ
6840:π
6837:−
6831:
6816:π
6810:
6798:τ
6743:π
6737:
6643:τ
6612:τ
6509:⟩
6491:⟨
6488:Γ
6449:π
6428:−
6372:ϑ
6333:π
6324:τ
6308:π
6302:
6294:∞
6289:∞
6286:−
6276:∑
6266:τ
6254:ϑ
6003:≥
5996:⊕
5969:∖
5966:Γ
5833:→
5820:∩
5811:∖
5808:Γ
5800:∞
5784:−
5773:
5717:with the
5689:∩
5680:∖
5677:Γ
5669:∞
5635:−
5578:−
5564:−
5533:∖
5530:Γ
5498:∂
5494:∂
5435:∂
5431:∂
5414:∂
5410:∂
5351:∂
5347:∂
5104:π
5082:∑
5041:∗
4981:∗
4926:⟩
4900:⟨
4871:⟩
4845:⟨
4797:∈
4785:ϕ
4713:−
4572:π
4569:−
4516:ϕ
4481:For each
4450:^
4447:ψ
4417:π
4391:ψ
4370:∗
4357:−
4256:⟩
4238:⟨
4223:⟩
4205:⟨
3992:⟩
3967:−
3961:⟨
3958:Γ
3938:π
3932:−
3913:∫
3886:−
3823:→
3796:−
3738:∘
3732:⟩
3706:⟨
3658:ψ
3624:π
3587:π
3548:ψ
3538:∈
3531:∑
3521:⟩
3503:⟨
3500:Γ
3491:ψ
3433:→
3370:−
3310:≠
3299:For each
3265:→
3240:⟩
3214:⟨
3155:⟩
3129:⟨
3091:−
2986:⟩
2960:⟨
2924:⟩
2906:⟨
2903:Γ
2878:π
2861:⟩
2830:⟨
2827:Γ
2818:∣
2805:∈
2733:−
2705:⊕
2662:∖
2659:Γ
2643:⊂
2610:≠
2599:For each
2563:^
2560:ψ
2548:∑
2538:⟩
2517:⟨
2514:Γ
2502:^
2499:ψ
2481:⟩
2460:⟨
2457:Γ
2445:ψ
2434:∗
2417:⟩
2396:⟨
2393:Γ
2384:ψ
2363:ψ
2354:∑
2330:ψ
2300:∗
2201:∗
2188:−
2137:→
2119:∗
2087:⟩
2078:−
2066:−
2057:⟨
2048:⟩
2030:⟨
1998:→
1842:⟩
1824:⟨
1809:⟩
1791:⟨
1753:∖
1750:Γ
1734:⊂
1566:⟩
1548:⟨
1540:λ
1529:⟩
1511:⟨
1503:λ
1487:λ
1481:π
1464:⟩
1446:⟨
1438:λ
1427:⟩
1409:⟨
1401:λ
1347:ψ
1324:λ
1318:π
1292:ψ
1286:⟩
1268:⟨
1260:λ
1162:λ
1131:≠
1128:λ
1041:⟩
1023:⟨
1020:Γ
1000:∫
973:−
921:→
900:−
882:pointwise
868:ψ
837:π
815:π
789:ψ
779:∈
772:∑
762:⟩
744:⟨
741:Γ
732:ψ
693:→
628:⟩
610:⟨
607:Γ
586:π
577:
565:⟩
541:⟨
538:Γ
529:∣
520:∖
517:Γ
501:∈
439:∈
432:⊕
419:∖
416:Γ
370:∧
361:∧
349:μ
319:∖
316:Γ
273:Γ
233:Γ
204:⟩
159:⟨
153:⟩
135:⟨
132:⟩
114:⟨
101:Lie group
7488:See also
6234:) is an
5759:We call
5148:′
5114:′
5090:′
4995:acts on
4427:′
4351:′
4309:′
4291:For any
4132:through
3108:are its
285:acts on
44:and the
6361:. Then
6357:be the
5984:form a
4941:act on
2769:where
471:where
62:physics
6664:) and
6603:period
6030:(here
5719:kernel
4733:where
4507:, let
3325:, and
3028:, and
1146:, the
40:, the
20:, the
6649:>
6246:Let
6072:to
5878:>
5607:>
5183:Let
4886:and
4492:>
3461:by
2287:and
1981:Let
655:The
222:The
76:The
64:and
7226:exp
7169:is
7041:dim
7030:.
6828:exp
6807:exp
6734:exp
6556:on
6533:An
6299:exp
6065:).
5770:ker
5656:on
5287:on
4626:of
4322:,
1946:on
1922:is
1884:on
1716:on
1696:of
1638:on
1618:of
1378:By
1203:on
1183:of
574:exp
16:In
7620::
6601:,
5950:.
5756:.
5548:.
5307::
4165::
4069:.
3112:.
2342:,
2259:.
1112:.
884:.
7589:.
7483:.
7471:)
7465:0
7462:,
7459:x
7456:,
7453:y
7444:(
7439:m
7436:,
7433:n
7428:e
7419:2
7415:y
7411:n
7404:e
7398:4
7394:/
7390:1
7383:)
7379:n
7376:2
7373:(
7370:=
7367:)
7364:y
7361:i
7358:+
7355:x
7352:(
7347:m
7344:,
7341:n
7321:.
7309:]
7306:)
7303:z
7300:)
7297:m
7294:+
7291:n
7288:l
7285:(
7282:i
7276:2
7273:+
7268:2
7264:)
7258:n
7255:m
7250:+
7247:l
7244:(
7241:n
7232:[
7220:Z
7213:l
7205:=
7202:)
7199:z
7196:(
7191:m
7188:,
7185:n
7157:)
7154:A
7151:,
7148:i
7145:(
7142:]
7137:0
7132:0
7128:[
7122:n
7105:.
7093:n
7090:=
7087:)
7084:A
7081:,
7075:(
7072:]
7067:a
7062:b
7058:[
7052:n
7018:)
7015:A
7012:,
7006:(
7003:]
6998:a
6993:b
6989:[
6983:n
6958:]
6953:a
6948:b
6944:[
6903:n
6891:.
6879:)
6876:z
6873:(
6870:f
6867:)
6864:)
6858:+
6855:z
6852:2
6849:(
6846:n
6843:i
6834:(
6825:)
6822:b
6819:i
6813:(
6804:=
6801:)
6795:+
6792:z
6789:(
6786:f
6776:,
6764:)
6761:z
6758:(
6755:f
6752:)
6749:a
6746:i
6740:(
6731:=
6728:)
6725:1
6722:+
6719:z
6716:(
6713:f
6690:]
6685:a
6680:b
6676:[
6652:0
6646:)
6640:(
6636:m
6633:I
6624:(
6589:n
6565:C
6544:f
6524:.
6512:)
6506:0
6503:,
6500:x
6497:,
6494:y
6485:(
6480:0
6477:,
6474:n
6469:e
6460:2
6456:y
6452:n
6445:e
6439:4
6435:/
6431:1
6424:)
6420:n
6417:2
6414:(
6411:=
6408:)
6405:i
6402:n
6399:;
6396:)
6393:y
6390:i
6387:+
6384:x
6381:(
6378:n
6375:(
6345:)
6342:z
6339:l
6336:i
6330:2
6327:+
6319:2
6315:l
6311:i
6305:(
6283:=
6280:l
6272:=
6269:)
6263:;
6260:z
6257:(
6226:,
6214:)
6209:6
6204:2
6200:x
6196:+
6191:2
6186:2
6182:x
6176:4
6171:1
6167:x
6163:+
6158:6
6153:3
6149:x
6145:(
6141:/
6137:]
6132:3
6127:3
6123:x
6119:,
6114:2
6109:2
6105:x
6101:,
6096:1
6092:x
6088:[
6084:C
6052:C
6048:=
6043:0
6039:K
6016:n
6012:K
6006:0
6000:n
5972:N
5938:n
5904:0
5901:=
5898:n
5893:,
5889:C
5881:0
5875:n
5870:,
5865:n
5861:K
5853:{
5849:=
5846:)
5841:n
5837:H
5828:n
5824:H
5817:)
5814:N
5805:(
5796:C
5792::
5787:i
5780:V
5776:(
5742:m
5739:,
5736:n
5731:e
5703:m
5700:,
5697:n
5693:H
5686:)
5683:N
5674:(
5665:C
5638:i
5631:V
5610:0
5604:n
5584:Y
5581:i
5575:X
5572:=
5567:i
5560:V
5536:N
5507:.
5501:t
5489:=
5486:)
5483:t
5480:,
5477:y
5474:,
5471:x
5468:(
5465:T
5444:,
5438:t
5426:x
5423:+
5417:y
5405:=
5402:)
5399:t
5396:,
5393:y
5390:,
5387:x
5384:(
5381:Y
5360:,
5354:x
5342:=
5339:)
5336:t
5333:,
5330:y
5327:,
5324:x
5321:(
5318:X
5295:N
5275:T
5272:,
5269:Y
5266:,
5263:X
5241:n
5219:N
5193:n
5154:.
5145:m
5141:,
5138:n
5133:e
5126:n
5122:/
5118:m
5111:m
5107:i
5101:2
5097:e
5087:m
5074:n
5069:1
5064:=
5059:m
5056:,
5053:n
5048:e
5037:J
5008:n
5004:K
4977:J
4954:n
4950:K
4929:)
4923:0
4920:,
4917:n
4913:/
4909:1
4906:,
4903:0
4897:(
4894:L
4874:)
4868:0
4865:,
4862:0
4859:,
4856:n
4852:/
4848:1
4842:(
4839:L
4816:.
4811:m
4808:,
4805:n
4801:H
4794:)
4789:n
4781:(
4776:m
4773:,
4770:n
4766:W
4762:=
4757:m
4754:,
4751:n
4746:e
4721:}
4716:1
4710:n
4707:,
4704:n
4699:e
4694:,
4691:.
4688:.
4685:.
4682:,
4677:0
4674:,
4671:n
4666:e
4661:{
4639:n
4635:H
4612:n
4608:K
4583:2
4579:x
4575:n
4565:e
4559:4
4555:/
4551:1
4547:)
4543:n
4540:2
4537:(
4534:=
4531:)
4528:x
4525:(
4520:n
4495:0
4489:n
4477:.
4465:)
4462:x
4459:n
4456:(
4439:n
4435:/
4431:m
4424:m
4420:i
4414:2
4410:e
4406:=
4403:)
4400:x
4397:(
4394:)
4386:m
4383:,
4380:n
4376:W
4366:J
4360:1
4348:m
4344:,
4341:n
4337:W
4333:(
4306:m
4302:,
4299:m
4287:.
4273:m
4270:,
4267:n
4263:W
4259:)
4253:c
4250:,
4247:b
4244:,
4241:a
4235:(
4232:R
4229:=
4226:)
4220:c
4217:,
4214:b
4211:,
4208:a
4202:(
4197:n
4193:U
4187:m
4184:,
4181:n
4177:W
4151:m
4148:,
4145:n
4141:W
4118:m
4115:,
4112:n
4108:H
4085:n
4081:U
4055:m
4052:,
4049:n
4045:H
4024:f
4001:y
3998:d
3995:)
3989:0
3986:,
3983:y
3980:,
3975:n
3972:m
3964:x
3955:(
3952:f
3947:y
3944:m
3941:i
3935:2
3928:e
3922:1
3917:0
3909:=
3906:)
3903:x
3900:(
3897:)
3894:f
3889:1
3881:m
3878:,
3875:n
3871:W
3867:(
3844:)
3840:R
3836:(
3831:2
3827:L
3818:m
3815:,
3812:n
3808:H
3804::
3799:1
3791:m
3788:,
3785:n
3781:W
3757:.
3752:0
3749:,
3746:n
3742:W
3735:)
3729:0
3726:,
3723:0
3720:,
3717:n
3713:/
3709:m
3703:(
3700:L
3697:=
3692:m
3689:,
3686:n
3682:W
3633:t
3630:n
3627:i
3621:2
3617:e
3611:y
3608:)
3605:m
3602:+
3599:l
3596:n
3593:(
3590:i
3584:2
3580:e
3576:)
3571:n
3568:m
3563:+
3560:l
3557:+
3554:x
3551:(
3542:Z
3535:l
3527:=
3524:)
3518:t
3515:,
3512:y
3509:,
3506:x
3497:(
3494:)
3488:(
3483:m
3480:,
3477:n
3473:W
3447:m
3444:,
3441:n
3437:H
3430:)
3426:R
3422:(
3417:2
3413:L
3409::
3404:m
3401:,
3398:n
3394:W
3373:1
3366:|
3362:n
3358:|
3354:,
3351:.
3348:.
3345:.
3342:,
3339:0
3336:=
3333:m
3313:0
3307:n
3279:m
3276:,
3273:n
3269:H
3260:0
3257:,
3254:n
3250:H
3246::
3243:)
3237:0
3234:,
3231:0
3228:,
3225:n
3221:/
3217:m
3211:(
3208:L
3183:n
3179:H
3158:)
3152:0
3149:,
3146:0
3143:,
3140:n
3136:/
3132:m
3126:(
3123:L
3094:1
3087:|
3083:n
3079:|
3075:,
3072:n
3068:H
3064:,
3061:.
3058:.
3055:.
3052:,
3047:0
3044:,
3041:n
3037:H
3014:n
3010:H
2989:)
2983:0
2980:,
2977:n
2973:/
2969:1
2966:,
2963:0
2957:(
2954:L
2942:.
2930:}
2927:)
2921:t
2918:,
2915:y
2912:,
2909:x
2900:(
2897:f
2892:n
2888:/
2884:m
2881:i
2875:2
2871:e
2867:=
2864:)
2858:t
2855:,
2850:n
2847:1
2842:+
2839:y
2836:,
2833:x
2824:(
2821:f
2813:n
2809:H
2802:f
2799:{
2796:=
2791:m
2788:,
2785:n
2781:H
2752:m
2749:,
2746:n
2742:H
2736:1
2729:|
2725:n
2721:|
2715:0
2712:=
2709:m
2701:=
2696:n
2692:H
2668:)
2665:N
2656:(
2651:2
2647:L
2638:n
2634:H
2613:0
2607:n
2587:.
2575:)
2572:l
2569:(
2552:l
2544:=
2541:)
2535:)
2532:0
2529:,
2526:0
2523:,
2520:0
2511:(
2508:)
2493:(
2490:W
2487:=
2484:)
2478:)
2475:0
2472:,
2469:0
2466:,
2463:0
2454:(
2451:)
2448:)
2442:(
2439:W
2430:J
2426:(
2423:=
2420:)
2414:)
2411:0
2408:,
2405:0
2402:,
2399:0
2390:(
2387:)
2381:(
2378:W
2375:=
2372:)
2369:l
2366:(
2358:l
2296:J
2275:W
2247:)
2243:R
2239:(
2234:2
2230:L
2206:W
2197:J
2191:1
2184:W
2180:=
2175:F
2145:1
2141:H
2132:1
2128:H
2124::
2115:J
2099:.
2084:y
2081:x
2075:t
2072:,
2069:x
2063:,
2060:y
2054:=
2051:)
2045:t
2042:,
2039:y
2036:,
2033:x
2027:(
2024:J
2001:N
1995:N
1992::
1989:J
1959:1
1955:H
1934:R
1910:)
1906:R
1902:(
1897:2
1893:L
1872:U
1860:.
1848:W
1845:)
1839:c
1836:,
1833:b
1830:,
1827:a
1821:(
1818:R
1815:=
1812:)
1806:c
1803:,
1800:b
1797:,
1794:a
1788:(
1785:U
1782:W
1759:)
1756:N
1747:(
1742:2
1738:L
1729:1
1725:H
1704:N
1684:R
1664:)
1660:R
1656:(
1651:2
1647:L
1626:N
1604:1
1600:U
1596:=
1593:U
1581:.
1569:)
1563:0
1560:,
1557:0
1554:,
1551:a
1545:(
1536:U
1532:)
1526:0
1523:,
1520:b
1517:,
1514:0
1508:(
1499:U
1493:b
1490:a
1484:i
1478:2
1474:e
1470:=
1467:)
1461:0
1458:,
1455:b
1452:,
1449:0
1443:(
1434:U
1430:)
1424:0
1421:,
1418:0
1415:,
1412:a
1406:(
1397:U
1374:.
1362:)
1359:a
1356:+
1353:x
1350:(
1342:)
1339:x
1336:b
1333:+
1330:c
1327:(
1321:i
1315:2
1311:e
1307:=
1304:)
1301:x
1298:(
1295:)
1289:)
1283:c
1280:,
1277:b
1274:,
1271:a
1265:(
1256:U
1252:(
1229:)
1225:R
1221:(
1216:2
1212:L
1191:N
1158:U
1134:0
1098:1
1094:H
1073:f
1050:y
1047:d
1044:)
1038:0
1035:,
1032:y
1029:,
1026:x
1017:(
1014:f
1009:1
1004:0
996:=
993:)
990:x
987:(
984:)
981:f
976:1
969:W
965:(
942:)
938:R
934:(
929:2
925:L
916:1
912:H
908::
903:1
896:W
843:t
840:i
834:2
830:e
824:y
821:l
818:i
812:2
808:e
804:)
801:l
798:+
795:x
792:(
783:Z
776:l
768:=
765:)
759:t
756:,
753:y
750:,
747:x
738:(
735:)
729:(
726:W
701:1
697:H
690:)
686:R
682:(
677:2
673:L
669::
666:W
646:.
634:}
631:)
625:t
622:,
619:y
616:,
613:x
604:(
601:f
598:)
595:s
592:n
589:i
583:2
580:(
571:=
568:)
562:s
559:+
556:t
553:,
550:y
547:,
544:x
535:(
532:f
526:)
523:N
514:(
509:2
505:L
498:f
495:{
492:=
487:n
483:H
454:n
450:H
443:Z
436:n
428:=
425:)
422:N
413:(
408:2
404:L
376:t
373:d
367:y
364:d
358:x
355:d
352:=
322:N
293:N
253:N
207:.
201:b
198:x
195:+
192:c
189:+
186:t
183:,
180:b
177:+
174:y
171:,
168:a
165:+
162:x
156:=
150:c
147:,
144:b
141:,
138:a
129:t
126:,
123:y
120:,
117:x
87:N
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.