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Wilks's lambda distribution

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5075: 5061: 2765: 5099: 5087: 2775: 333: 1209: 1050: 510: 161: 197: 903: 706: 785: 608: 1061: 1386: 387:
Computations or tables of the Wilks' distribution for higher dimensions are not readily available and one usually resorts to approximations. One approximation is attributed to
1423: 1350: 190: 918: 4196: 817: 377: 4701: 404: 82: 1552: 328:{\displaystyle \lambda ={\frac {\det(\mathbf {A} )}{\det(\mathbf {A+B} )}}={\frac {1}{\det(\mathbf {I} +\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} )}}\sim \Lambda (p,m,n)} 4851: 4475: 2035: 3116: 1943: 825: 4249: 2730: 1354: 4688: 2596: 1808: 1567: 1416: 2491: 2255: 631: 1929: 1244: 3111: 2811: 2250: 2194: 1854: 1492: 2000: 912:, Wilks' lambda can be related to the F-distribution when one of the parameters of the Wilks lambda distribution is either 1 or 2, e.g., 3715: 2863: 2536: 2270: 2123: 1798: 1542: 5103: 2778: 1995: 2768: 2440: 2416: 1409: 2637: 2265: 5125: 4498: 4390: 2514: 2475: 2447: 2421: 2339: 1688: 1436: 1306: 47: 4676: 4550: 2625: 2591: 2457: 2452: 2297: 2105: 1803: 1557: 712: 4734: 4395: 4140: 3511: 3101: 2375: 2288: 2260: 2169: 2118: 2092: 1990: 1773: 1738: 3725: 4785: 3997: 3804: 3693: 3651: 2389: 2306: 2143: 1890: 1768: 1743: 1607: 1602: 1597: 533: 2890: 1577: 1572: 5028: 3987: 2705: 2571: 2279: 2128: 2060: 2045: 1938: 1912: 1844: 1683: 1514: 1499: 819:(i.e., chi-squared-distributed), then the Wilks' distribution equals the beta-distribution with a certain parameter set, 4037: 2222: 4579: 4528: 4513: 4503: 4372: 4244: 4211: 3992: 3822: 2601: 2541: 2531: 2148: 1849: 1708: 4648: 3949: 1950: 1693: 1622: 4923: 4724: 3703: 3372: 2836: 2586: 2581: 2526: 2462: 2227: 2005: 1902: 1487: 4808: 4775: 2406: 2214: 1253: 1204:{\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {\Lambda (p,m,2)}}}{\sqrt {\Lambda (p,m,2)}}}\sim {\frac {p}{m-p+1}}F_{2p,2(m-p+1)}.} 4780: 4523: 4282: 4188: 4168: 4076: 3787: 3605: 3088: 2960: 2720: 2496: 2315: 2097: 2050: 1919: 1895: 1875: 1718: 1592: 1472: 3954: 3720: 3578: 2725: 1668: 4540: 4308: 4029: 3883: 3812: 3732: 3590: 3571: 3279: 3000: 2509: 2470: 2344: 2181: 2025: 1970: 1868: 1832: 1703: 4653: 5023: 4790: 4338: 4303: 4267: 4052: 3494: 3403: 3362: 3274: 2965: 2804: 2411: 2199: 1965: 1924: 1839: 1793: 1733: 1698: 1587: 1482: 1432: 1221: 619: 396: 59: 32: 4060: 4044: 1524: 793:
It follows directly that for a one-dimension problem, when the Wishart distributions are one-dimensional with
4932: 4545: 4485: 4422: 3782: 3644: 3634: 3484: 3398: 2710: 2652: 2323: 2110: 2020: 1975: 1960: 1880: 1778: 1728: 1723: 1504: 36: 4693: 4630: 4970: 4900: 4385: 4272: 3269: 3166: 3073: 2952: 2851: 2576: 2564: 2553: 2435: 2331: 2138: 1582: 1562: 1467: 1226: 5091: 3969: 4995: 4937: 4880: 4706: 4599: 4508: 4234: 4118: 3977: 3859: 3851: 3666: 3562: 3540: 3499: 3464: 3431: 3377: 3352: 3307: 3246: 3206: 3008: 2831: 2700: 2657: 2501: 2176: 2030: 2010: 1907: 1477: 343: 43: 5074: 3964: 4918: 4493: 4442: 4418: 4380: 4298: 4277: 4229: 4108: 4086: 4055: 3841: 3792: 3710: 3683: 3639: 3595: 3357: 3133: 3013: 2750: 2745: 2740: 2735: 2672: 2642: 2521: 2164: 2055: 1955: 1658: 1617: 1612: 1509: 1262: 62: 5065: 4990: 4913: 4594: 4358: 4351: 4313: 4221: 4201: 4173: 3906: 3772: 3767: 3757: 3749: 3567: 3528: 3418: 3408: 3317: 3096: 3052: 2970: 2895: 2797: 2684: 2209: 2189: 2159: 2133: 2087: 2015: 1827: 1763: 4640: 5079: 4890: 4744: 4589: 4465: 4362: 4346: 4323: 4100: 3834: 3817: 3777: 3688: 3583: 3545: 3516: 3476: 3436: 3382: 3299: 2985: 2980: 2715: 2204: 1985: 1980: 1885: 1822: 1817: 1673: 1663: 1547: 1363: 1239: 66: 39: 1328: 1045:{\displaystyle {\frac {1-\Lambda (p,m,1)}{\Lambda (p,m,1)}}\sim {\frac {p}{m-p+1}}F_{p,m-p+1},} 4985: 4955: 4947: 4767: 4758: 4683: 4614: 4470: 4455: 4430: 4318: 4259: 4125: 4113: 3739: 3656: 3600: 3523: 3367: 3289: 3068: 2942: 2613: 2040: 1783: 1713: 1678: 1627: 1302: 622: 169: 5010: 4965: 4729: 4716: 4609: 4584: 4518: 4450: 4328: 3936: 3829: 3762: 3675: 3622: 3441: 3312: 3106: 2905: 2872: 1788: 1462: 4927: 4671: 4533: 4460: 4135: 4009: 3982: 3959: 3928: 3555: 3550: 3504: 3234: 2885: 28: 796: 505:{\displaystyle \left({\frac {p-n+1}{2}}-m\right)\log \Lambda (p,m,n)\sim \chi _{np}^{2}.} 356: 156:{\displaystyle \mathbf {A} \sim W_{p}(\Sigma ,m)\qquad \mathbf {B} \sim W_{p}(\Sigma ,n)} 4876: 4871: 3334: 3264: 2910: 1861: 1322: 1231: 909: 388: 790:
As such it can be regarded as a multivariate generalization of the beta distribution.
5119: 5033: 5000: 4863: 4824: 4635: 4604: 4068: 4022: 3627: 3329: 3156: 2920: 2915: 2484: 2232: 1519: 3186: 4975: 4908: 4885: 4800: 4130: 3426: 3324: 3259: 3201: 3123: 3078: 1401: 1294: 5018: 4980: 4663: 4564: 4426: 4239: 4206: 3698: 3615: 3610: 3254: 3211: 3191: 3171: 3161: 2930: 898:{\displaystyle \Lambda (1,m,n)\sim B\left({\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}}\right).} 70: 3864: 3344: 3044: 2975: 2925: 2900: 2820: 20: 4017: 3869: 3489: 3284: 3196: 3181: 3176: 3141: 1381: 516: 1384:(1951). "An Asymptotic Expansion of the Distribution of Wilks' Criterion". 3533: 3151: 3028: 3023: 3018: 2990: 701:{\displaystyle u_{i}\sim B\left({\frac {m+i-p}{2}},{\frac {p}{2}}\right)} 5038: 4739: 1367: 4960: 3941: 3915: 3895: 3146: 2937: 527:
There is a symmetry among the parameters of the Wilks distribution,
2880: 16:
Probability distribution used in multivariate hypothesis testing
4849: 4416: 4163: 3462: 3232: 2849: 2793: 1405: 2789: 780:{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}u_{i}\sim \Lambda (p,m,n).} 1325:(1954). "A Note on the Multiplying Factors for Various 603:{\displaystyle \Lambda (p,m,n)\sim \Lambda (n,m+n-p,p)} 1331: 1064: 921: 828: 799: 715: 634: 536: 407: 359: 200: 172: 85: 4702:
Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH)
5009: 4946: 4899: 4862: 4817: 4799: 4766: 4757: 4715: 4662: 4623: 4572: 4563: 4484: 4441: 4371: 4337: 4291: 4258: 4220: 4187: 4099: 4008: 3927: 3882: 3850: 3803: 3748: 3674: 3665: 3475: 3417: 3391: 3343: 3298: 3245: 3132: 3087: 3061: 3043: 2999: 2951: 2871: 2862: 2693: 2651: 2552: 2388: 2366: 2357: 2241: 2076: 1752: 1649: 1640: 1533: 1453: 1444: 1387:
Bulletin de l'Institut International de Statistique
1344: 1203: 1044: 897: 811: 779: 700: 602: 504: 371: 327: 184: 155: 618:The distribution can be related to a product of 342:is the number of dimensions. In the context of 258: 226: 210: 4250:Multivariate adaptive regression splines (MARS) 395:allows Wilks' lambda to be approximated with a 349:is typically the error degrees of freedom, and 58:Wilks' lambda distribution is defined from two 353:is the hypothesis degrees of freedom, so that 2805: 1417: 8: 4859: 4846: 4763: 4569: 4438: 4413: 4184: 4160: 3888: 3671: 3472: 3459: 3242: 3229: 2868: 2859: 2846: 2812: 2798: 2790: 2363: 1646: 1450: 1424: 1410: 1402: 1336: 1330: 1162: 1134: 1074: 1065: 1063: 1015: 987: 922: 920: 908:From the relations between a beta and an 877: 864: 827: 798: 741: 731: 720: 714: 683: 656: 639: 633: 535: 493: 485: 413: 406: 358: 287: 278: 273: 264: 252: 232: 216: 207: 199: 171: 132: 120: 98: 86: 84: 1275: 515:Another approximation is attributed to 4776:Kaplan–Meier estimator (product limit) 1297:, John T. Kent and John Bibby (1979). 1289: 1287: 1285: 1283: 1281: 1279: 7: 5086: 4786:Accelerated failure time (AFT) model 2774: 5098: 4381:Analysis of variance (ANOVA, anova) 4476:Cochran–Mantel–Haenszel statistics 3102:Pearson product-moment correlation 1104: 1076: 957: 931: 829: 750: 564: 537: 454: 301: 141: 107: 14: 379:is the total degrees of freedom. 48:multivariate analysis of variance 5097: 5085: 5073: 5060: 5059: 2773: 2764: 2763: 288: 274: 265: 239: 236: 233: 217: 121: 87: 42:, especially with regard to the 4735:Least-squares spectral analysis 119: 3716:Mean-unbiased minimum-variance 1193: 1175: 1125: 1107: 1097: 1079: 978: 960: 952: 934: 850: 832: 771: 753: 597: 567: 558: 540: 475: 457: 322: 304: 292: 261: 243: 229: 221: 213: 150: 138: 116: 104: 1: 5029:Geographic information system 4245:Simultaneous equations models 4212:Coefficient of determination 3823:Uniformly most powerful test 4781:Proportional hazards models 4725:Spectral density estimation 4707:Vector autoregression (VAR) 4141:Maximum posterior estimator 3373:Randomized controlled trial 5142: 4541:Multivariate distributions 2961:Average absolute deviation 2597:Wrapped asymmetric Laplace 1568:Extended negative binomial 25:Wilks' lambda distribution 5055: 4858: 4845: 4529:Structural equation model 4437: 4412: 4183: 4159: 3891: 3865:Score/Lagrange multiplier 3471: 3458: 3280:Sample size determination 3241: 3228: 2858: 2845: 2827: 2759: 2256:Generalized extreme value 2036:Relativistic Breit–Wigner 1433:Probability distributions 1345:{\displaystyle \chi ^{2}} 5126:Continuous distributions 5024:Environmental statistics 4546:Elliptical distributions 4339:Generalized linear model 4268:Simple linear regression 4038:Hodges–Lehmann estimator 3495:Probability distribution 3404:Stochastic approximation 2966:Coefficient of variation 1222:Chi-squared distribution 397:chi-squared distribution 33:probability distribution 4684:Cross-correlation (XCF) 4292:Non-standard predictors 3726:Lehmann–ScheffĂ© theorem 3399:Adaptive clinical trial 2251:Generalized chi-squared 2195:Normal-inverse Gaussian 185:{\displaystyle m\geq p} 5080:Mathematics portal 4901:Engineering statistics 4809:Nelson–Aalen estimator 4386:Analysis of covariance 4273:Ordinary least squares 4197:Pearson product-moment 3601:Statistical functional 3512:Empirical distribution 3345:Controlled experiments 3074:Frequency distribution 2852:Descriptive statistics 2563:Univariate (circular) 2124:Generalized hyperbolic 1553:Conway–Maxwell–Poisson 1543:Beta negative binomial 1346: 1227:Dirichlet distribution 1205: 1046: 899: 813: 781: 736: 702: 604: 506: 373: 344:likelihood-ratio tests 329: 186: 157: 4996:Population statistics 4938:System identification 4672:Autocorrelation (ACF) 4600:Exponential smoothing 4514:Discriminant analysis 4509:Canonical correlation 4373:Partition of variance 4235:Regression validation 4079:(Jonckheere–Terpstra) 3978:Likelihood-ratio test 3667:Frequentist inference 3579:Location–scale family 3500:Sampling distribution 3465:Statistical inference 3432:Cross-sectional study 3419:Observational studies 3378:Randomized experiment 3207:Stem-and-leaf display 3009:Central limit theorem 2608:Bivariate (spherical) 2106:Kaniadakis Îș-Gaussian 1347: 1299:Multivariate Analysis 1249:-squared distribution 1206: 1047: 900: 814: 782: 716: 703: 614:Related distributions 605: 507: 374: 330: 187: 166:independent and with 158: 44:likelihood-ratio test 4919:Probabilistic design 4504:Principal components 4347:Exponential families 4299:Nonlinear regression 4278:General linear model 4240:Mixed effects models 4230:Errors and residuals 4207:Confounding variable 4109:Bayesian probability 4087:Van der Waerden test 4077:Ordered alternative 3842:Multiple comparisons 3721:Rao–Blackwellization 3684:Estimating equations 3640:Statistical distance 3358:Factorial experiment 2891:Arithmetic-Geometric 2673:Dirac delta function 2620:Bivariate (toroidal) 2577:Univariate von Mises 2448:Multivariate Laplace 2340:Shifted log-logistic 1689:Continuous Bernoulli 1329: 1263:Wishart distribution 1062: 919: 826: 797: 713: 632: 534: 405: 391:and works for large 357: 198: 170: 83: 4991:Official statistics 4914:Methods engineering 4595:Seasonal adjustment 4363:Poisson regressions 4283:Bayesian regression 4222:Regression analysis 4202:Partial correlation 4174:Regression analysis 3773:Prediction interval 3768:Likelihood interval 3758:Confidence interval 3750:Interval estimation 3711:Unbiased estimators 3529:Model specification 3409:Up-and-down designs 3097:Partial correlation 3053:Index of dispersion 2971:Interquartile range 2721:Natural exponential 2626:Bivariate von Mises 2592:Wrapped exponential 2458:Multivariate stable 2453:Multivariate normal 1774:Benktander 2nd kind 1769:Benktander 1st kind 1558:Discrete phase-type 812:{\displaystyle p=1} 498: 372:{\displaystyle n+m} 63:Wishart distributed 5011:Spatial statistics 4891:Medical statistics 4791:First hitting time 4745:Whittle likelihood 4396:Degrees of freedom 4391:Multivariate ANOVA 4324:Heteroscedasticity 4136:Bayesian estimator 4101:Bayesian inference 3950:Kolmogorov–Smirnov 3835:Randomization test 3805:Testing hypotheses 3778:Tolerance interval 3689:Maximum likelihood 3584:Exponential family 3517:Density estimation 3477:Statistical theory 3437:Natural experiment 3383:Scientific control 3300:Survey methodology 2986:Standard deviation 2376:Rectified Gaussian 2261:Generalized Pareto 2119:Generalized normal 1991:Matrix-exponential 1355:J R Stat Soc Ser B 1342: 1301:. 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Index

statistics
Samuel S. Wilks
probability distribution
multivariate
hypothesis testing
likelihood-ratio test
multivariate analysis of variance
independent
Wishart distributed
ratio distribution
determinants
likelihood-ratio tests
M. S. Bartlett
chi-squared distribution
C. R. Rao
independent
beta-distributed
F-distribution
Chi-squared distribution
Dirichlet distribution
F-distribution
Gamma distribution
Hotelling's T-squared distribution
Student's t-distribution
Wishart distribution




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