8680:
7682:
7907:
6909:
4407:
8675:{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}^{-1}&={\begin{bmatrix}I&0\\C^{-1}V&I\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A-UC^{-1}V&0\\0&C\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}I&UC^{-1}\\0&I\end{bmatrix}}^{-1}\\&={\begin{bmatrix}I&0\\-C^{-1}V&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\left(A-UC^{-1}V\right)^{-1}&0\\0&C^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&-UC^{-1}\\0&I\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\left(A-UC^{-1}V\right)^{-1}&-\left(A-UC^{-1}V\right)^{-1}UC^{-1}\\-C^{-1}V\left(A-UC^{-1}V\right)^{-1}&C^{-1}+C^{-1}V\left(A-UC^{-1}V\right)^{-1}UC^{-1}\end{bmatrix}}\qquad \mathrm {(2)} \end{aligned}}}
7677:{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}^{-1}&={\begin{bmatrix}I&A^{-1}U\\0&I\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A&0\\0&C-VA^{-1}U\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}I&0\\VA^{-1}&I\end{bmatrix}}^{-1}\\&={\begin{bmatrix}I&-A^{-1}U\\0&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A^{-1}&0\\0&\left(C-VA^{-1}U\right)^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&0\\-VA^{-1}&I\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}U\left(C-VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}&-A^{-1}U\left(C-VA^{-1}U\right)^{-1}\\-\left(C-VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}&\left(C-VA^{-1}U\right)^{-1}\end{bmatrix}}\qquad \mathrm {(1)} \end{aligned}}}
3379:
4402:{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(A+UCV\right)\left\\={}&\left\{I-U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\}+\left\{UCVA^{-1}-UCVA^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\}\\={}&\left\{I+UCVA^{-1}\right\}-\left\{U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}+UCVA^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\}\\={}&I+UCVA^{-1}-\left(U+UCVA^{-1}U\right)\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\\={}&I+UCVA^{-1}-UC\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\\={}&I+UCVA^{-1}-UCVA^{-1}\\={}&I.\end{aligned}}}
3178:
2681:
5153:
3173:{\displaystyle {\begin{aligned}\left(XX^{\mathrm {H} }+YY^{\mathrm {H} }\right)^{+}&=\left(ZZ^{\mathrm {H} }\right)^{+}+\left(I-YZ^{+}\right)^{\mathrm {H} }X^{+\mathrm {H} }EX^{+}\left(I-YZ^{+}\right),\\Z&=\left(I-XX^{+}\right)Y,\\E&=I-X^{+}Y\left(I-Z^{+}Z\right)F^{-1}\left(X^{+}Y\right)^{\mathrm {H} },\\F&=I+\left(I-Z^{+}Z\right)Y^{\mathrm {H} }\left(XX^{\mathrm {H} }\right)^{+}Y\left(I-Z^{+}Z\right),\end{aligned}}}
4714:
6687:
7900:
6901:
8955:, requiring inversion of a state vector sized matrix, with a condition equations based solution. In case of the Kalman filter this matrix has the dimensions of the vector of observations, i.e., as small as 1 in case only one new observation is processed at a time. This significantly speeds up the often real time calculations of the filter.
4707:
1605:
6467:
6295:
6474:
7693:
6694:
5148:{\displaystyle {\begin{aligned}A^{-1}&=\left(A+UCV\right)^{-1}\left(A+UCV\right)A^{-1}\\&=\left(A+UCV\right)^{-1}\left(I+UCVA^{-1}\right)\\&=\left(A+UCV\right)^{-1}+\left(A+UCV\right)^{-1}UCVA^{-1}\\&=\left(A+UCV\right)^{-1}+A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}.\end{aligned}}}
313:
The
Woodbury matrix identity allows cheap computation of inverses and solutions to linear equations. However, little is known about the numerical stability of the formula. There are no published results concerning its error bounds. Anecdotal evidence suggests that it may diverge even for seemingly
5296:
4431:
1372:
6306:
6134:
2018:
8843:
223:
2329:
1216:
1866:
1737:
6045:
6682:{\displaystyle {\begin{bmatrix}I&0\\-VA^{-1}&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&-A^{-1}U\\0&I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\0&C-VA^{-1}U\end{bmatrix}}}
5177:
7895:{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I&UC^{-1}\\0&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A-UC^{-1}V&0\\0&C\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&0\\C^{-1}V&I\end{bmatrix}}}
6896:{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I&0\\VA^{-1}&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&0\\0&C-VA^{-1}U\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&A^{-1}U\\0&I\end{bmatrix}}}
2547:
438:
7912:
6914:
5386:
6121:
5879:
1377:
5735:
666:
1333:
5641:
4719:
4436:
3384:
3271:
2686:
4702:{\displaystyle {\begin{aligned}U+UCVA^{-1}U&=UC\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)=\left(A+UCV\right)A^{-1}U\\\left(A+UCV\right)^{-1}UC&=A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}\end{aligned}}}
1897:
915:
830:
748:
8687:
67:
5557:
3221:
2174:
1075:
2644:
3303:
1744:
1615:
1600:{\displaystyle {\begin{aligned}\left(A+B\right)^{-1}&=A^{-1}-A^{-1}\left(B^{-1}+A^{-1}\right)^{-1}A^{-1}\\&=A^{-1}-A^{-1}\left(AB^{-1}+{I}\right)^{-1}.\end{aligned}}}
977:
5487:
6462:{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&-A^{-1}U\\0&I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\V&C-VA^{-1}U\end{bmatrix}}}
6290:{\displaystyle {\begin{bmatrix}I&0\\-VA^{-1}&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&U\\0&C-VA^{-1}U\end{bmatrix}}}
1067:
1022:
9006:
5433:
2097:
5773:
3374:
2055:
495:
2676:
9206:
1250:
538:
3323:
2605:
2585:
1888:
515:
462:
5887:
2403:
344:
9242:
5303:
9013:
6073:
546:
9408:
9218:
1262:
5291:{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&U\\V&-C^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X\\Y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I\\0\end{bmatrix}}.}
9457:
9380:
9355:
5778:
9057:
5646:
838:
753:
671:
2608:
5562:
9029:
3226:
1253:
8937:
6903:
which is the LDU decomposition of the block matrix into an upper triangular, diagonal, and lower triangular matrices.
920:
9316:
Kurt S. Riedel, "A Sherman–Morrison–Woodbury
Identity for Rank Augmenting Matrices with Application to Centering",
543:
This identity itself can be viewed as the combination of two simpler identities. We obtain the first identity from
2564:
9039:
9009:
5174:
Deriving the
Woodbury matrix identity is easily done by solving the following block matrix inversion problem
8948:
5492:
9467:
3185:
2614:
3276:
1609:
Continuing with the merging of the terms of the far right-hand side of the above equation results in
42:
5438:
5312:
9210:
8952:
2013:{\displaystyle \left({A}-{B}\right)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left({A}^{-1}{B}\right)^{k}{A}^{-1}}
9266:
9080:, Memorandum Rept. 42, Statistical Research Group, Princeton University, Princeton, NJ, 1950, 4pp
9299:
9168:
1027:
982:
303:
244:
8969:
5391:
3376:
times its alleged inverse on the right side of the
Woodbury identity gives the identity matrix:
2060:
8838:{\displaystyle \left(A-UC^{-1}V\right)^{-1}=A^{-1}+A^{-1}U\left(C-VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}.}
218:{\displaystyle \left(A+UCV\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1},}
9462:
9430:
9404:
9376:
9351:
9214:
9052:
2385:
terms flanking the parenthetical quantity inverse in the right-hand side can be replaced with
1610:
296:
5740:
3341:
2324:{\displaystyle \left(A+UBV\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}UB\left(B+BVA^{-1}UB\right)^{-1}BVA^{-1}}
2027:
1211:{\displaystyle \left(I+UV\right)^{-1}=I-UV\left(I+UV\right)^{-1}=I-U\left(I+VU\right)^{-1}V.}
467:
49:
correction to the inverse of the original matrix. Alternative names for this formula are the
9321:
9289:
9281:
9198:
9160:
9128:
9034:
315:
9423:
9334:
9228:
9180:
2649:
1218:
where the first and second equality come from the first and second identity, respectively.
9331:
9224:
9194:
9176:
9100:
9081:
2021:
1891:
335:
34:
9199:
9103:
9084:
8684:
Now comparing elements (1, 1) of the RHS of (1) and (2) above gives the
Woodbury formula
1229:
2678:
is itself positive semidefinite), then the following formula provides a generalization:
1861:{\displaystyle \left({A}-{B}\right)^{-1}={A}^{-1}+{A}^{-1}{B}\left({A}-{B}\right)^{-1},}
1732:{\displaystyle \left({A}+{B}\right)^{-1}={A}^{-1}-\left({A}+{A}{B}^{-1}{A}\right)^{-1}.}
520:
3308:
2590:
2570:
1873:
500:
447:
26:
6040:{\displaystyle (A+UCV)^{-1}=X=A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}.}
9451:
9433:
9350:(Revised and expanded ed.). Princeton: Princeton University Press. p. 638.
8944:
2563:
In general
Woodbury's identity is not valid if one or more inverses are replaced by
9396:
9375:(Third ed.). Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. p. 219.
9047:
307:
22:
61:. However, the identity appeared in several papers before the Woodbury report.
9328:
9133:
9116:
8884:
in order to obtain the result using the right-hand side of the identity. If
9438:
8920:
only a few rows), or finding an approximation of the inverse of the matrix
2057:
is less than one. That is, if the above sum converges then it is equal to
326:
To prove this result, we will start by proving a simpler one. Replacing
302:
While the identity is primarily used on matrices, it holds in a general
9303:
9172:
9294:
2542:{\displaystyle (A+UBV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(I+BVA^{-1}U)^{-1}BVA^{-1}.}
9325:
9285:
9164:
8900:
directly. A common case is finding the inverse of a low-rank update
9348:
Scalar, Vector, and Matrix
Mathematics: Theory, Facts, and Formulas
433:{\displaystyle \left(I+UV\right)^{-1}=I-U\left(I+VU\right)^{-1}V.}
314:
benign examples (when both the original and modified matrices are
8857:
This identity is useful in certain numerical computations where
7686:
We could equally well have done it the other way (provided that
9395:
Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007),
5381:{\displaystyle {\begin{cases}AX+UY=I\\VX-C^{-1}Y=0\end{cases}}}
9151:
Hager, William W. (1989). "Updating the inverse of a matrix".
6116:{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}}
5874:{\displaystyle AX+U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}=I}
9058:
Moore–Penrose pseudoinverse § Updating the pseudoinverse
2348:
are nonsingular. Nonsingularity of the latter requires that
5374:
5730:{\displaystyle \left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}=Y}
661:{\displaystyle I=(I+P)^{-1}(I+P)=(I+P)^{-1}+(I+P)^{-1}P,}
8861:
has already been computed and it is desired to compute (
8873:
available, it is only necessary to find the inverse of
2102:
This form can be used in perturbative expansions where
1328:{\displaystyle {\frac {1}{1+uv}}=1-{\frac {uv}{1+uv}}.}
9403:(3rd ed.), New York: Cambridge University Press,
9117:"Enlargement methods for computing the inverse matrix"
8371:
8309:
8221:
8169:
8101:
8033:
7974:
7921:
7848:
7790:
7741:
7702:
7373:
7311:
7223:
7171:
7103:
7035:
6976:
6923:
6849:
6791:
6742:
6703:
6626:
6571:
6535:
6483:
6406:
6351:
6315:
6234:
6195:
6143:
6082:
5264:
5235:
5186:
341:, we obtain another identity which is a bit simpler:
8972:
8690:
7910:
7696:
6912:
6697:
6477:
6309:
6137:
6076:
5890:
5781:
5743:
5649:
5636:{\displaystyle VA^{-1}=\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)Y}
5565:
5495:
5441:
5394:
5306:
5180:
4717:
4434:
3382:
3344:
3311:
3279:
3273:
because any positive semidefinite matrix is equal to
3229:
3188:
2684:
2652:
2617:
2593:
2573:
2406:
2370:
and the rank of the latter cannot exceed the rank of
2177:
2063:
2030:
1900:
1876:
1747:
1618:
1375:
1265:
1232:
1078:
1030:
985:
923:
841:
756:
674:
549:
523:
503:
470:
450:
347:
70:
5489:, which can be substituted into the second to find
3266:{\displaystyle XX^{\mathrm {H} }+YY^{\mathrm {H} }}
9401:Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing
9000:
8837:
8674:
7894:
7676:
6895:
6681:
6461:
6289:
6115:
6039:
5873:
5767:
5729:
5635:
5551:
5481:
5427:
5380:
5290:
5147:
4701:
4401:
3368:
3317:
3297:
3265:
3215:
3172:
2670:
2638:
2599:
2579:
2541:
2323:
2091:
2049:
2012:
1882:
1860:
1731:
1599:
1327:
1259:In the scalar case, the reduced version is simply
1244:
1210:
1061:
1016:
971:
909:
824:
742:
660:
532:
509:
489:
456:
432:
217:
2559:Pseudoinverse with positive semidefinite matrices
2393:which results in the original Woodbury identity.
9318:SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications
5300:Expanding, we can see that the above reduces to
5435:. Eliminating the first equation, we find that
2551:Formulas also exist for certain cases in which
9267:"On deriving the inverse of a sum of matrices"
9201:Accuracy and Stability of Numerical Algorithms
6050:We have derived the Woodbury matrix identity.
8:
1894:, and has a recursive structure that yields
1870:which, unlike those above, is valid even if
1741:Another useful form of the same identity is
3338:The formula can be proven by checking that
440:To recover the original equation from this
6058:
5162:
4416:
2400:is singular and possibly even non-square:
9293:
9132:
8986:
8971:
8932:can be approximated by a low-rank matrix
8823:
8807:
8790:
8759:
8743:
8727:
8710:
8689:
8657:
8639:
8623:
8606:
8575:
8559:
8544:
8527:
8496:
8476:
8460:
8443:
8410:
8393:
8366:
8327:
8304:
8287:
8260:
8243:
8216:
8191:
8164:
8145:
8116:
8096:
8086:
8049:
8028:
8018:
7993:
7969:
7952:
7916:
7911:
7909:
7867:
7843:
7806:
7785:
7756:
7736:
7697:
7695:
7659:
7641:
7624:
7594:
7578:
7561:
7526:
7509:
7478:
7460:
7444:
7427:
7396:
7380:
7368:
7336:
7306:
7289:
7272:
7230:
7218:
7186:
7166:
7147:
7125:
7098:
7088:
7068:
7030:
7020:
6988:
6971:
6954:
6918:
6913:
6911:
6861:
6844:
6824:
6786:
6764:
6737:
6698:
6696:
6659:
6621:
6586:
6566:
6530:
6508:
6478:
6476:
6439:
6401:
6366:
6346:
6310:
6308:
6267:
6229:
6190:
6168:
6138:
6136:
6077:
6075:
6025:
6009:
5992:
5973:
5951:
5935:
5913:
5889:
5856:
5840:
5823:
5804:
5780:
5742:
5712:
5696:
5679:
5660:
5648:
5613:
5594:
5573:
5564:
5537:
5503:
5494:
5452:
5440:
5393:
5353:
5307:
5305:
5259:
5230:
5213:
5181:
5179:
5129:
5113:
5096:
5077:
5055:
5039:
4994:
4972:
4934:
4884:
4851:
4806:
4768:
4726:
4718:
4716:
4686:
4669:
4650:
4628:
4602:
4560:
4511:
4492:
4458:
4435:
4433:
4385:
4369:
4344:
4321:
4305:
4289:
4272:
4253:
4226:
4207:
4180:
4157:
4141:
4125:
4108:
4089:
4062:
4026:
4003:
3982:
3966:
3949:
3930:
3908:
3883:
3867:
3850:
3831:
3796:
3768:
3747:
3731:
3714:
3695:
3673:
3648:
3613:
3597:
3580:
3561:
3533:
3512:
3496:
3479:
3460:
3438:
3422:
3383:
3381:
3343:
3310:
3288:
3287:
3278:
3256:
3255:
3238:
3237:
3228:
3206:
3205:
3187:
3149:
3125:
3113:
3112:
3092:
3091:
3073:
3028:
3027:
3013:
2994:
2976:
2952:
2911:
2865:
2841:
2827:
2823:
2812:
2811:
2800:
2772:
2760:
2759:
2733:
2721:
2720:
2703:
2702:
2685:
2683:
2651:
2629:
2628:
2616:
2592:
2572:
2527:
2508:
2492:
2461:
2445:
2429:
2405:
2312:
2293:
2273:
2236:
2220:
2204:
2176:
2080:
2062:
2035:
2029:
2001:
1996:
1989:
1979:
1970:
1965:
1952:
1941:
1925:
1915:
1907:
1899:
1875:
1846:
1836:
1828:
1817:
1808:
1803:
1790:
1785:
1772:
1762:
1754:
1746:
1717:
1707:
1698:
1693:
1687:
1679:
1661:
1656:
1643:
1633:
1625:
1617:
1581:
1571:
1559:
1537:
1521:
1498:
1485:
1471:
1455:
1436:
1420:
1400:
1376:
1374:
1296:
1266:
1264:
1252:are vectors, the identity reduces to the
1231:
1193:
1149:
1102:
1077:
1050:
1029:
1005:
984:
922:
910:{\displaystyle (I+UV)^{-1}U=U(I+VU)^{-1}}
898:
861:
840:
825:{\displaystyle (I+P)^{-1}=I-P(I+P)^{-1}.}
810:
773:
755:
743:{\displaystyle (I+P)^{-1}=I-(I+P)^{-1}P,}
725:
691:
673:
643:
615:
572:
548:
522:
502:
475:
469:
449:
415:
371:
346:
203:
187:
170:
151:
129:
113:
97:
69:
9265:Henderson, H. V.; Searle, S. R. (1981).
9014:numerical partial differential equations
8892:, this is more efficient than inverting
4428:First consider these useful identities,
9146:
9144:
9069:
6061:
5165:
4419:
6299:Likewise, eliminating the entry above
5559:. Expanding and rearranging, we have
5552:{\displaystyle VA^{-1}(I-UY)=C^{-1}Y}
832:The second identity is the so-called
7:
9260:
9258:
9256:
6471:Now combining the above two, we get
5167:Derivation via blockwise elimination
3216:{\displaystyle A+UCU^{\mathrm {H} }}
9097:The Stability of Out-Input Matrices
6123:By eliminating the entry under the
8888:has a much smaller dimension than
5737:. Finally, we substitute into our
3289:
3257:
3239:
3207:
3114:
3093:
3029:
2828:
2813:
2761:
2722:
2704:
2639:{\displaystyle V=U^{\mathrm {H} }}
2630:
1953:
37:– says that the inverse of a rank-
14:
9397:"Section 2.7.3. Woodbury Formula"
6063:Derivation from LDU decomposition
3298:{\displaystyle MM^{\mathrm {H} }}
55:Sherman–Morrison–Woodbury formula
7904:Now again inverting both sides,
64:The Woodbury matrix identity is
45:can be computed by doing a rank-
8656:
7658:
6906:Now inverting both sides gives
6691:Moving to the right side gives
972:{\displaystyle U(I+VU)=(I+UV)U}
9373:Matrix analysis for statistics
8943:This is applied, e.g., in the
8664:
8658:
7666:
7660:
5910:
5891:
5527:
5512:
5482:{\displaystyle X=A^{-1}(I-UY)}
5476:
5461:
5413:
5395:
3363:
3345:
2565:(Moore–Penrose) pseudoinverses
2505:
2473:
2426:
2407:
2077:
2064:
1047:
1031:
1002:
986:
963:
948:
942:
927:
895:
879:
858:
842:
807:
794:
770:
757:
722:
709:
688:
675:
640:
627:
612:
599:
593:
581:
569:
556:
1:
9346:Bernstein, Dennis S. (2018).
9099:. Chicago, Ill., 1949. 5 pp.
1367:is the identity matrix, then
8938:singular value decomposition
295:. This can be derived using
9078:Inverting modified matrices
8916:only has a few columns and
1062:{\displaystyle (I+UV)^{-1}}
1017:{\displaystyle (I+VU)^{-1}}
9484:
9001:{\displaystyle I+VA^{-1}U}
5428:{\displaystyle (A+UCV)X=I}
2092:{\displaystyle (A-B)^{-1}}
297:blockwise matrix inversion
9371:Schott, James R. (2017).
9243:"MathOverflow discussion"
9458:Lemmas in linear algebra
9115:Guttmann, Louis (1946).
9040:Matrix determinant lemma
9030:Sherman–Morrison formula
9010:numerical linear algebra
8951:methods, to replace the
8936:, for example using the
8869:). With the inverse of
2119:Binomial inverse theorem
1254:Sherman–Morrison formula
31:Woodbury matrix identity
9134:10.1214/aoms/1177730946
8962:is the identity matrix
8949:recursive least squares
6070:We start by the matrix
5768:{\displaystyle AX+UY=I}
5388:which is equivalent to
3369:{\displaystyle (A+UCV)}
2381:is invertible, the two
2050:{\displaystyle A^{-1}B}
490:{\displaystyle A^{-1}U}
18:Theorem of matrix ranks
9424:Some matrix identities
9002:
8839:
8676:
7896:
7678:
6897:
6683:
6463:
6291:
6131:is invertible) we get
6117:
6041:
5875:
5769:
5731:
5637:
5553:
5483:
5429:
5382:
5292:
5149:
4703:
4403:
3370:
3319:
3299:
3267:
3217:
3174:
2672:
2640:
2601:
2581:
2543:
2352:exist since it equals
2325:
2139:are matrices of sizes
2093:
2051:
2014:
1957:
1884:
1862:
1733:
1601:
1329:
1246:
1212:
1072:Putting all together,
1063:
1018:
973:
911:
826:
744:
662:
534:
511:
491:
458:
434:
219:
51:matrix inversion lemma
9042:, formula for a rank-
9003:
8840:
8677:
7897:
7679:
6898:
6684:
6464:
6292:
6118:
6042:
5876:
5770:
5732:
5638:
5554:
5484:
5430:
5383:
5293:
5150:
4704:
4404:
3371:
3320:
3300:
3268:
3218:
3175:
2673:
2671:{\displaystyle A+UCV}
2641:
2609:positive semidefinite
2602:
2582:
2544:
2396:A variation for when
2326:
2171:, respectively, then
2106:is a perturbation of
2094:
2052:
2015:
1937:
1885:
1863:
1734:
1602:
1330:
1247:
1213:
1064:
1019:
979:after multiplying by
974:
912:
834:push-through identity
827:
745:
663:
535:
512:
492:
459:
435:
220:
9320:, 13 (1992)659-662,
8970:
8688:
7908:
7694:
7690:is invertible) i.e.
6910:
6695:
6475:
6307:
6135:
6074:
5888:
5779:
5741:
5647:
5563:
5493:
5439:
5392:
5304:
5178:
4715:
4432:
3380:
3342:
3309:
3277:
3227:
3186:
2682:
2650:
2615:
2591:
2571:
2404:
2175:
2061:
2028:
1898:
1874:
1745:
1616:
1373:
1263:
1230:
1076:
1028:
1024:on the right and by
983:
921:
917:that we obtain from
839:
754:
672:
547:
521:
501:
468:
448:
345:
245:conformable matrices
68:
8953:parametric solution
1245:{\displaystyle V,U}
41:correction of some
9434:"Woodbury formula"
9431:Weisstein, Eric W.
9121:Ann. Math. Statist
9018:capacitance matrix
8998:
8835:
8672:
8670:
8650:
8350:
8298:
8210:
8139:
8080:
8012:
7946:
7892:
7886:
7837:
7779:
7727:
7674:
7672:
7652:
7352:
7300:
7212:
7141:
7082:
7014:
6948:
6893:
6887:
6838:
6780:
6728:
6679:
6673:
6612:
6560:
6524:
6459:
6453:
6392:
6340:
6287:
6281:
6220:
6184:
6113:
6107:
6037:
5871:
5765:
5727:
5633:
5549:
5479:
5425:
5378:
5373:
5288:
5279:
5250:
5224:
5145:
5143:
4699:
4697:
4412:Alternative proofs
4399:
4397:
3366:
3315:
3295:
3263:
3223:can be written as
3213:
3170:
3168:
2668:
2636:
2597:
2577:
2539:
2321:
2089:
2047:
2010:
1880:
1858:
1729:
1597:
1595:
1325:
1242:
1208:
1059:
1014:
969:
907:
822:
740:
658:
533:{\displaystyle CV}
530:
507:
487:
454:
430:
215:
9410:978-0-521-88068-8
9220:978-0-89871-521-7
9095:Max A. Woodbury,
9076:Max A. Woodbury,
9053:Invertible matrix
8958:In the case when
8928:where the matrix
8849:
8848:
6055:
6054:
5159:
5158:
3318:{\displaystyle M}
2600:{\displaystyle C}
2580:{\displaystyle A}
1883:{\displaystyle B}
1320:
1285:
510:{\displaystyle V}
457:{\displaystyle U}
9475:
9444:
9443:
9413:
9387:
9386:
9368:
9362:
9361:
9343:
9337:
9314:
9308:
9307:
9297:
9271:
9262:
9251:
9250:
9239:
9233:
9232:
9205:(2nd ed.).
9204:
9195:Higham, Nicholas
9191:
9185:
9184:
9148:
9139:
9138:
9136:
9112:
9106:
9093:
9087:
9074:
9035:Schur complement
9007:
9005:
9004:
8999:
8994:
8993:
8844:
8842:
8841:
8836:
8831:
8830:
8815:
8814:
8806:
8802:
8798:
8797:
8767:
8766:
8751:
8750:
8735:
8734:
8726:
8722:
8718:
8717:
8681:
8679:
8678:
8673:
8671:
8667:
8655:
8654:
8647:
8646:
8631:
8630:
8622:
8618:
8614:
8613:
8583:
8582:
8567:
8566:
8552:
8551:
8543:
8539:
8535:
8534:
8504:
8503:
8484:
8483:
8468:
8467:
8459:
8455:
8451:
8450:
8418:
8417:
8409:
8405:
8401:
8400:
8359:
8355:
8354:
8335:
8334:
8303:
8302:
8295:
8294:
8268:
8267:
8259:
8255:
8251:
8250:
8215:
8214:
8199:
8198:
8157:
8153:
8152:
8144:
8143:
8124:
8123:
8094:
8093:
8085:
8084:
8057:
8056:
8026:
8025:
8017:
8016:
8001:
8000:
7960:
7959:
7951:
7950:
7901:
7899:
7898:
7893:
7891:
7890:
7875:
7874:
7842:
7841:
7814:
7813:
7784:
7783:
7764:
7763:
7732:
7731:
7683:
7681:
7680:
7675:
7673:
7669:
7657:
7656:
7649:
7648:
7640:
7636:
7632:
7631:
7602:
7601:
7586:
7585:
7577:
7573:
7569:
7568:
7534:
7533:
7525:
7521:
7517:
7516:
7486:
7485:
7468:
7467:
7452:
7451:
7443:
7439:
7435:
7434:
7404:
7403:
7388:
7387:
7361:
7357:
7356:
7344:
7343:
7305:
7304:
7297:
7296:
7288:
7284:
7280:
7279:
7238:
7237:
7217:
7216:
7194:
7193:
7159:
7155:
7154:
7146:
7145:
7133:
7132:
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