1486:
1142:
1533:
1503:
1563:
1481:{\displaystyle {\begin{array}{lll}\omega (0)&=W_{0}(1)&\approx 0.56714\\\omega (1)&=1&\\\omega (-1\pm i\pi )&=-1&\\\omega (-{\frac {1}{3}}+\ln \left({\frac {1}{3}}\right)+i\pi )&=-{\frac {1}{3}}&\\\omega (-{\frac {1}{3}}+\ln \left({\frac {1}{3}}\right)-i\pi )&=W_{-1}\left(-{\frac {1}{3}}e^{-{\frac {1}{3}}}\right)&\approx -2.237147028\\\end{array}}}
654:
22:
1049:
468:
886:
1122:
159:
897:
405:
649:{\displaystyle \int \omega ^{n}\,dz={\begin{cases}{\frac {\omega ^{n+1}-1}{n+1}}+{\frac {\omega ^{n}}{n}}&{\mbox{if }}n\neq -1,\\\ln(\omega )-{\frac {1}{\omega }}&{\mbox{if }}n=-1.\end{cases}}}
727:
338:
1060:
719:
456:
228:
55:
1044:{\displaystyle q_{n}(w)=\sum _{k=0}^{n-1}{\bigg \langle }\!\!{\bigg \langle }{\begin{matrix}n+1\\k\end{matrix}}{\bigg \rangle }\!\!{\bigg \rangle }(-1)^{k}w^{k+1}}
352:
881:{\displaystyle \omega (z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {q_{n}(\omega _{a})}{(1+\omega _{a})^{2n-1}}}{\frac {(z-a)^{n}}{n!}}}
1117:{\displaystyle {\bigg \langle }\!\!{\bigg \langle }{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}{\bigg \rangle }\!\!{\bigg \rangle }}
265:
666:
1632:
1601:
417:
411:
154:{\displaystyle \omega (z)=W_{{\big \lceil }{\frac {\mathrm {Im} (z)-\pi }{2\pi }}{\big \rceil }}(e^{z}).}
344:
1532:
1502:
198:
500:
1617:
247:
46:
1562:
251:
1128:
1626:
660:
1147:
169:
One of the main applications of this function is in the resolution of the equation
30:
459:
21:
400:{\displaystyle {\frac {d\omega }{dz}}={\frac {\omega }{1+\omega }}}
20:
1618:"On the Wright ω function", Robert Corless and David Jeffrey
246:. Except for those two values, the Wright omega function is
642:
1497:
Plots of the Wright omega function on the complex plane
1081:
967:
621:
565:
1145:
1063:
900:
730:
669:
471:
420:
410:
wherever ω is analytic (as can be seen by performing
355:
268:
201:
58:
25:
The Wright omega function along part of the real axis
1480:
1116:
1043:
880:
713:
648:
450:
399:
332:
222:
153:
1109:
1106:
1105:
1100:
1075:
1072:
1071:
1066:
1001:
998:
997:
992:
961:
958:
957:
952:
262:The Wright omega function satisfies the relation
333:{\displaystyle W_{k}(z)=\omega (\ln(z)+2\pi ik)}
714:{\displaystyle a=\omega _{a}+\ln(\omega _{a})}
234: ≤ −1, of the equation
125:
81:
8:
1446:
1442:
1428:
1411:
1376:
1353:
1329:
1295:
1272:
1171:
1146:
1144:
1108:
1107:
1099:
1098:
1080:
1074:
1073:
1065:
1064:
1062:
1029:
1019:
1000:
999:
991:
990:
966:
960:
959:
951:
950:
938:
927:
905:
899:
861:
842:
824:
814:
790:
777:
770:
761:
750:
729:
702:
680:
668:
620:
608:
564:
551:
545:
510:
503:
495:
485:
479:
470:
419:
379:
356:
354:
273:
267:
200:
139:
124:
123:
89:
86:
80:
79:
78:
57:
1593:
1495:
451:{\displaystyle \ln(\omega )+\omega =z}
7:
177:), as the only solution is given by
765:
93:
90:
14:
1604:, also known as Wright function.
1561:
1531:
1501:
223:{\displaystyle z\neq x\pm i\pi }
195:) is the unique solution, when
1399:
1347:
1318:
1266:
1244:
1226:
1207:
1201:
1183:
1177:
1159:
1153:
1016:
1006:
917:
911:
858:
845:
821:
801:
796:
783:
740:
734:
708:
695:
602:
596:
433:
427:
327:
309:
303:
294:
285:
279:
145:
132:
103:
97:
68:
62:
1:
45:, is defined in terms of the
1600:Not to be confused with the
1129:second-order Eulerian number
458:), and as a consequence its
414:and recovering the equation
1649:
412:separation of variables
1482:
1118:
1045:
949:
882:
769:
721:takes the form :
715:
650:
452:
401:
343:It also satisfies the
334:
224:
155:
26:
1483:
1119:
1046:
923:
883:
746:
716:
651:
462:can be expressed as:
453:
402:
345:differential equation
335:
225:
156:
35:Wright omega function
24:
16:Mathematical function
1143:
1061:
898:
728:
667:
469:
418:
353:
266:
199:
56:
1602:Fox–Wright function
1478:
1476:
1114:
1096:
1041:
988:
878:
711:
646:
641:
625:
569:
448:
397:
330:
220:
151:
47:Lambert W function
27:
1633:Special functions
1454:
1436:
1384:
1361:
1337:
1303:
1280:
876:
840:
663:around the point
624:
616:
568:
560:
540:
395:
374:
121:
1640:
1605:
1598:
1565:
1535:
1505:
1487:
1485:
1484:
1479:
1477:
1462:
1458:
1457:
1456:
1455:
1447:
1437:
1429:
1419:
1418:
1389:
1385:
1377:
1362:
1354:
1340:
1338:
1330:
1308:
1304:
1296:
1281:
1273:
1259:
1219:
1176:
1175:
1123:
1121:
1120:
1115:
1113:
1112:
1104:
1103:
1097:
1079:
1078:
1070:
1069:
1050:
1048:
1047:
1042:
1040:
1039:
1024:
1023:
1005:
1004:
996:
995:
989:
965:
964:
956:
955:
948:
937:
910:
909:
887:
885:
884:
879:
877:
875:
867:
866:
865:
843:
841:
839:
838:
837:
819:
818:
799:
795:
794:
782:
781:
771:
768:
760:
720:
718:
717:
712:
707:
706:
685:
684:
655:
653:
652:
647:
645:
644:
626:
622:
617:
609:
570:
566:
561:
556:
555:
546:
541:
539:
528:
521:
520:
504:
484:
483:
457:
455:
454:
449:
406:
404:
403:
398:
396:
394:
380:
375:
373:
365:
357:
339:
337:
336:
331:
278:
277:
238: + ln(
229:
227:
226:
221:
173: = ln(
160:
158:
157:
152:
144:
143:
131:
130:
129:
128:
122:
120:
112:
96:
87:
85:
84:
1648:
1647:
1643:
1642:
1641:
1639:
1638:
1637:
1623:
1622:
1614:
1609:
1608:
1599:
1595:
1590:
1583:
1566:
1557:
1536:
1527:
1506:
1494:
1475:
1474:
1463:
1438:
1424:
1420:
1407:
1402:
1372:
1341:
1339:
1321:
1291:
1260:
1258:
1247:
1220:
1218:
1210:
1195:
1194:
1186:
1167:
1162:
1141:
1140:
1137:
1095:
1094:
1088:
1087:
1059:
1058:
1025:
1015:
987:
986:
980:
979:
901:
896:
895:
868:
857:
844:
820:
810:
800:
786:
773:
772:
726:
725:
698:
676:
665:
664:
640:
639:
618:
587:
586:
562:
547:
529:
506:
505:
496:
475:
467:
466:
416:
415:
384:
366:
358:
351:
350:
269:
264:
263:
260:
197:
196:
167:
135:
113:
88:
74:
54:
53:
39:Wright function
17:
12:
11:
5:
1646:
1644:
1636:
1635:
1625:
1624:
1621:
1620:
1613:
1610:
1607:
1606:
1592:
1591:
1589:
1586:
1585:
1584:
1567:
1560:
1558:
1537:
1530:
1528:
1507:
1500:
1498:
1493:
1490:
1489:
1488:
1473:
1470:
1467:
1464:
1461:
1453:
1450:
1445:
1441:
1435:
1432:
1427:
1423:
1417:
1414:
1410:
1406:
1403:
1401:
1398:
1395:
1392:
1388:
1383:
1380:
1375:
1371:
1368:
1365:
1360:
1357:
1352:
1349:
1346:
1343:
1342:
1336:
1333:
1328:
1325:
1322:
1320:
1317:
1314:
1311:
1307:
1302:
1299:
1294:
1290:
1287:
1284:
1279:
1276:
1271:
1268:
1265:
1262:
1261:
1257:
1254:
1251:
1248:
1246:
1243:
1240:
1237:
1234:
1231:
1228:
1225:
1222:
1221:
1217:
1214:
1211:
1209:
1206:
1203:
1200:
1197:
1196:
1193:
1190:
1187:
1185:
1182:
1179:
1174:
1170:
1166:
1163:
1161:
1158:
1155:
1152:
1149:
1148:
1136:
1133:
1125:
1124:
1111:
1102:
1093:
1090:
1089:
1086:
1083:
1082:
1077:
1068:
1052:
1051:
1038:
1035:
1032:
1028:
1022:
1018:
1014:
1011:
1008:
1003:
994:
985:
982:
981:
978:
975:
972:
969:
968:
963:
954:
947:
944:
941:
936:
933:
930:
926:
922:
919:
916:
913:
908:
904:
889:
888:
874:
871:
864:
860:
856:
853:
850:
847:
836:
833:
830:
827:
823:
817:
813:
809:
806:
803:
798:
793:
789:
785:
780:
776:
767:
764:
759:
756:
753:
749:
745:
742:
739:
736:
733:
710:
705:
701:
697:
694:
691:
688:
683:
679:
675:
672:
657:
656:
643:
638:
635:
632:
629:
619:
615:
612:
607:
604:
601:
598:
595:
592:
589:
588:
585:
582:
579:
576:
573:
563:
559:
554:
550:
544:
538:
535:
532:
527:
524:
519:
516:
513:
509:
502:
501:
499:
494:
491:
488:
482:
478:
474:
447:
444:
441:
438:
435:
432:
429:
426:
423:
408:
407:
393:
390:
387:
383:
378:
372:
369:
364:
361:
329:
326:
323:
320:
317:
314:
311:
308:
305:
302:
299:
296:
293:
290:
287:
284:
281:
276:
272:
259:
256:
242:) =
219:
216:
213:
210:
207:
204:
166:
163:
162:
161:
150:
147:
142:
138:
134:
127:
119:
116:
111:
108:
105:
102:
99:
95:
92:
83:
77:
73:
70:
67:
64:
61:
15:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
1645:
1634:
1631:
1630:
1628:
1619:
1616:
1615:
1611:
1603:
1597:
1594:
1587:
1581:
1578:
1574:
1570:
1564:
1559:
1555:
1552:
1548:
1544:
1540:
1534:
1529:
1525:
1522:
1518:
1514:
1510:
1504:
1499:
1496:
1491:
1471:
1468:
1465:
1459:
1451:
1448:
1443:
1439:
1433:
1430:
1425:
1421:
1415:
1412:
1408:
1404:
1396:
1393:
1390:
1386:
1381:
1378:
1373:
1369:
1366:
1363:
1358:
1355:
1350:
1344:
1334:
1331:
1326:
1323:
1315:
1312:
1309:
1305:
1300:
1297:
1292:
1288:
1285:
1282:
1277:
1274:
1269:
1263:
1255:
1252:
1249:
1241:
1238:
1235:
1232:
1229:
1223:
1215:
1212:
1204:
1198:
1191:
1188:
1180:
1172:
1168:
1164:
1156:
1150:
1139:
1138:
1134:
1132:
1130:
1091:
1084:
1057:
1056:
1055:
1036:
1033:
1030:
1026:
1020:
1012:
1009:
983:
976:
973:
970:
945:
942:
939:
934:
931:
928:
924:
920:
914:
906:
902:
894:
893:
892:
872:
869:
862:
854:
851:
848:
834:
831:
828:
825:
815:
811:
807:
804:
791:
787:
778:
774:
762:
757:
754:
751:
747:
743:
737:
731:
724:
723:
722:
703:
699:
692:
689:
686:
681:
677:
673:
670:
662:
661:Taylor series
636:
633:
630:
627:
613:
610:
605:
599:
593:
590:
583:
580:
577:
574:
571:
557:
552:
548:
542:
536:
533:
530:
525:
522:
517:
514:
511:
507:
497:
492:
489:
486:
480:
476:
472:
465:
464:
463:
461:
445:
442:
439:
436:
430:
424:
421:
413:
391:
388:
385:
381:
376:
370:
367:
362:
359:
349:
348:
347:
346:
341:
324:
321:
318:
315:
312:
306:
300:
297:
291:
288:
282:
274:
270:
257:
255:
253:
249:
245:
241:
237:
233:
217:
214:
211:
208:
205:
202:
194:
190:
186:
184:
181: =
180:
176:
172:
164:
148:
140:
136:
117:
114:
109:
106:
100:
75:
71:
65:
59:
52:
51:
50:
48:
44:
40:
36:
32:
23:
19:
1596:
1579:
1576:
1572:
1568:
1553:
1550:
1546:
1542:
1538:
1523:
1520:
1516:
1512:
1508:
1126:
1053:
890:
658:
409:
342:
261:
243:
239:
235:
231:
192:
188:
187:
182:
178:
174:
170:
168:
42:
38:
34:
28:
18:
1472:2.237147028
31:mathematics
1612:References
258:Properties
248:continuous
41:, denoted
1469:−
1466:≈
1444:−
1426:−
1413:−
1397:π
1391:−
1370:
1351:−
1345:ω
1327:−
1316:π
1289:
1270:−
1264:ω
1253:−
1242:π
1236:±
1230:−
1224:ω
1199:ω
1189:≈
1151:ω
1054:in which
1010:−
943:−
925:∑
852:−
832:−
812:ω
788:ω
766:∞
748:∑
732:ω
700:ω
693:
678:ω
634:−
614:ω
606:−
600:ω
594:
578:−
575:≠
549:ω
523:−
508:ω
477:ω
473:∫
440:ω
431:ω
425:
392:ω
382:ω
363:ω
319:π
301:
292:ω
218:π
212:±
206:≠
118:π
110:π
107:−
60:ω
1627:Category
1110:⟩
1101:⟩
1076:⟨
1067:⟨
1002:⟩
993:⟩
962:⟨
953:⟨
623:if
567:if
460:integral
252:analytic
126:⌉
82:⌈
1192:0.56714
250:, even
1135:Values
891:where
33:, the
1588:Notes
1541:= Im(
1511:= Re(
1492:Plots
1127:is a
659:Its
230:for
191:= ω(
165:Uses
49:as:
37:or
29:In
1629::
1575:+
1556:))
1549:+
1526:))
1519:+
1367:ln
1286:ln
1131:.
690:ln
637:1.
591:ln
422:ln
340:.
298:ln
254:.
185:.
1582:)
1580:y
1577:i
1573:x
1571:(
1569:ω
1554:y
1551:i
1547:x
1545:(
1543:ω
1539:z
1524:y
1521:i
1517:x
1515:(
1513:ω
1509:z
1460:)
1452:3
1449:1
1440:e
1434:3
1431:1
1422:(
1416:1
1409:W
1405:=
1400:)
1394:i
1387:)
1382:3
1379:1
1374:(
1364:+
1359:3
1356:1
1348:(
1335:3
1332:1
1324:=
1319:)
1313:i
1310:+
1306:)
1301:3
1298:1
1293:(
1283:+
1278:3
1275:1
1267:(
1256:1
1250:=
1245:)
1239:i
1233:1
1227:(
1216:1
1213:=
1208:)
1205:1
1202:(
1184:)
1181:1
1178:(
1173:0
1169:W
1165:=
1160:)
1157:0
1154:(
1092:k
1085:n
1037:1
1034:+
1031:k
1027:w
1021:k
1017:)
1013:1
1007:(
984:k
977:1
974:+
971:n
946:1
940:n
935:0
932:=
929:k
921:=
918:)
915:w
912:(
907:n
903:q
873:!
870:n
863:n
859:)
855:a
849:z
846:(
835:1
829:n
826:2
822:)
816:a
808:+
805:1
802:(
797:)
792:a
784:(
779:n
775:q
763:+
758:0
755:=
752:n
744:=
741:)
738:z
735:(
709:)
704:a
696:(
687:+
682:a
674:=
671:a
631:=
628:n
611:1
603:)
597:(
584:,
581:1
572:n
558:n
553:n
543:+
537:1
534:+
531:n
526:1
518:1
515:+
512:n
498:{
493:=
490:z
487:d
481:n
446:z
443:=
437:+
434:)
428:(
389:+
386:1
377:=
371:z
368:d
360:d
328:)
325:k
322:i
316:2
313:+
310:)
307:z
304:(
295:(
289:=
286:)
283:z
280:(
275:k
271:W
244:z
240:y
236:y
232:x
215:i
209:x
203:z
193:z
189:y
183:e
179:z
175:z
171:z
149:.
146:)
141:z
137:e
133:(
115:2
104:)
101:z
98:(
94:m
91:I
76:W
72:=
69:)
66:z
63:(
43:ω
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
