8554:
3881:
8801:
8821:
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3356:
6198:
6028:
7274:
2974:
3137:
3629:
3094:
5315:
6036:
5866:
5755:
4793:
2583:
3693:
for the contravariant hom-functor is not completely standard. Many texts and articles either use the opposite convention or completely unrelated symbols for these two functors. However, most modern algebraic geometry texts starting with
1357:
2878:
6228:; examples are categories of abelian groups or modules. In a preadditive category, there is both a "multiplication" and an "addition" of morphisms, which is why preadditive categories are viewed as generalizations of
5153:
4289:
7134:
3489:
2476:
1598:
3351:{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(f,-),\Phi )=\operatorname {Nat} (\hom(B,-),\Phi )\circ \operatorname {Nat} (\hom(f,-),F)=\operatorname {Nat} (\hom(f,-),G)\circ \operatorname {Nat} (\hom(A,-),\Phi )}
2889:
5813:
6247:
over the original category. The Yoneda lemma then yields the natural procedure to enlarge a preadditive category so that the enlarged version remains preadditive — in fact, the enlarged version is an
1061:
5858:
7602:
6241:
contravariant functors from the original category into the category of abelian groups; these are functors which are compatible with the addition of morphisms and should be thought of as forming a
7126:
6519:
6833:
7048:
2377:
1504:
5528:
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2646:
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634:
3497:
6633:
6777:
1981:
1119:
4545:
4367:
4294:
That is, natural transformations between hom-functors are in one-to-one correspondence with morphisms (in the reverse direction) between the associated objects. Given a morphism
4052:
2234:
985:
916:
807:
745:
699:
7482:
7362:
6673:
2772:
5058:
4938:
6433:
6193:{\displaystyle H\cong \int ^{c\in \mathbf {C} }Hc\times \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(c,-),\qquad H\cong \int _{c\in \mathbf {C} }(Hc)^{\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(-,c)}.}
6023:{\displaystyle K\cong \int ^{c\in \mathbf {C} }Kc\times \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(-,c),\qquad K\cong \int _{c\in \mathbf {C} }(Kc)^{\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(c,-)},}
5394:
5366:
5342:
5235:
5207:
4891:
4689:
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4596:
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344:
320:
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272:
244:
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152:
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5601:
5579:
5421:
5243:
5183:
4823:
4716:
4572:
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2681:
5655:
942:
833:
6933:
4728:
2512:
7742:
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3691:
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1769:
1742:
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1433:
7642:
7622:
7442:
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7382:
7318:
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6993:
6973:
6953:
6913:
6893:
6873:
6853:
6745:
6717:
6697:
6584:
6453:
6392:
6372:
6293:
6269:
4390:
4118:
3843:
3821:
3801:
3750:
2425:
2405:
2254:
2191:
1892:
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1551:
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1404:
1228:
1156:
873:
853:
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1260:
8198:
641:
7993:
2780:
8110:
8091:
7830:
7785:
7269:{\displaystyle \mathrm {Nat} (\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-),\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-))\cong \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,*)}
5069:
4205:
5545:
in general. The Yoneda lemma provides a point of leverage by which the topological structure of a category can be studied and understood.
3414:
2969:{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)\colon {\mathcal {C}}\times \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} ,}
2434:
1556:
8850:
82:, relates to the other objects in the larger functor category. It is an important tool that underlies several modern developments in
8054:
8010:
7364:, and (2) the function which gives the bijection is a group homomorphism. (Going in the reverse direction, it associates to every
5763:
8845:
993:
7514:
5818:
7536:
8191:
7998:
7073:
6466:
6782:
322:
is contained in this functor category, but new objects appear in the functor category, which were absent and "hidden" in
8395:
8350:
7070:
on itself by left-multiplication (the contravariant version corresponds to right-multiplication). The Yoneda lemma with
7001:
2314:
1441:
5537:. Many common categories are, in fact, categories of pre-sheaves, and on closer inspection, prove to be categories of
5468:
8824:
8764:
6531:
5606:
2883:
This is enough to determine the other functor since we know what the natural isomorphism is. Under the second functor
6301:
4980:
4832:
3911:
1823:
8814:
8600:
8464:
8372:
5459:
4943:
4826:
4601:
1635:
3880:
2589:
8773:
8417:
8355:
8278:
5454:
The Yoneda embedding essentially states that for every (locally small) category, objects in that category can be
3624:{\displaystyle (\Phi \circ \Psi \circ \hom(f,-))_{C}(g)=(\Phi \circ \Psi )_{C}(g\circ f)\qquad (g\colon B\to C).}
3364:
2114:
8804:
8760:
8365:
8184:
4419:
583:
6592:
8360:
8342:
4092:
defines a natural transformation in this way. The proof in the contravariant case is completely analogous.
8567:
8333:
8313:
8236:
8154:
7509:
6750:
3695:
2740:
1926:
1255:
1067:
494:
187:
79:
63:
4507:
4329:
4000:
2196:
947:
878:
782:
707:
674:
8449:
8288:
7447:
7327:
6638:
5646:
5554:
5455:
5449:
2745:
2053:
87:
75:
6235:
The Yoneda lemma remains true for preadditive categories if we choose as our extension the category of
3089:{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)\colon (A,F)\mapsto \operatorname {Nat} (\hom(A,-),F),}
5016:
4896:
8261:
8256:
6272:
6216:
6209:
5310:{\displaystyle h^{\bullet }\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}.}
354:
67:
7870:
7682:
A notable exception to modern algebraic geometry texts following the conventions of this article is
6414:
5371:
5347:
5323:
5212:
5188:
4868:
4666:
4642:
4577:
4475:
4395:
4297:
4147:
4123:
3965:
2718:
2686:
2481:
2283:
2259:
2083:
2059:
1986:
1696:
1672:
1603:
1233:
1185:
1161:
750:
548:
524:
472:
444:
416:
384:
360:
325:
301:
277:
249:
225:
197:
157:
133:
109:
58:(viewing a group as a miniature category with just one object and only isomorphisms). It allows the
8605:
8553:
8483:
8479:
8283:
8159:
6522:
6404:
5538:
3874:
2428:
1510:
51:
5584:
5562:
5399:
5161:
4801:
4694:
4550:
8459:
8454:
8436:
8318:
8293:
8069:
8032:
6587:
6229:
5750:{\displaystyle \mathrm {Nat} (F,G)=\int _{c\in \mathbf {C} }\mathrm {Hom} _{\mathbf {D} }(Fc,Gc)}
350:
83:
4788:{\displaystyle h_{\bullet }\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\to \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}.}
4060:
3102:
2654:
2578:{\displaystyle -(-)\colon {\mathcal {C}}\times \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }
74:
set-valued functors) defined on that category. It also clarifies how the embedded category, of
8768:
8705:
8693:
8595:
8520:
8515:
8473:
8469:
8251:
8246:
8106:
8100:
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8050:
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7988:
7941:
7836:
7826:
7781:
7493:
6225:
4719:
921:
812:
6525:
under the operation of composition, and any group can be realized as a category in this way.
346:. Treating these new objects just like the old ones often unifies and simplifies the theory.
8729:
8615:
8590:
8525:
8510:
8505:
8444:
8273:
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3708:
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6243:
2018:
1897:
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1409:
39:
8678:
8673:
8657:
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8610:
8530:
7966:
7627:
7607:
7427:
7407:
7387:
7367:
7320:. But it is easy to see that (1) these maps form a group under composition, which is a
7303:
7283:
7053:
6978:
6958:
6938:
6898:
6878:
6858:
6838:
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6682:
6569:
6438:
6377:
6357:
6278:
6254:
4375:
4103:
3828:
3806:
3786:
3735:
2410:
2390:
2239:
2176:
1877:
1774:
1536:
1516:
1389:
1213:
1141:
858:
838:
504:
8839:
8668:
8500:
8377:
8303:
6221:
103:
8422:
8140:
7817:. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 5 (2 ed.). New York, NY: Springer.
7497:
6408:
1352:{\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},F)\equiv \mathrm {Hom} (\mathrm {Hom} (A,-),F)}
349:
This approach is akin to (and in fact generalizes) the common method of studying a
91:
55:
8683:
7920:
5541:, and as such examples are commonly topological in nature, they can be seen to be
7975:, Harper's Series in Modern Mathematics (2003 reprint ed.), Harper and Row,
381:, and the category of modules over the ring is a category of functors defined on
8663:
8535:
8405:
7768:
6676:
6456:
6403:
As stated above, the Yoneda lemma may be considered as a vast generalization of
574:
59:
31:
17:
8715:
8653:
8266:
7822:
7772:
6295:, and the statement of the Yoneda lemma reduces to the well-known isomorphism
8121:
8083:
7840:
8709:
8400:
7492:
Yoshiki
Kinoshita stated in 1996 that the term "Yoneda lemma" was coined by
5437:
2873:{\displaystyle \Phi _{B}\circ F(f)=G(f)\circ \Phi _{A}\colon F(A)\to G(B).}
8046:
8778:
8410:
8308:
7321:
6723:. A natural transformation between such functors is the same thing as an
6460:
5431:
3705:
The mnemonic "falling into something" can be helpful in remembering that
702:
191:
8748:
8738:
8387:
8298:
5645:, natural transformations between them can be written as the following
498:
71:
43:
8743:
5148:{\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},h^{B})\cong \mathrm {Hom} (A,B).}
4284:{\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},h_{B})\cong \mathrm {Hom} (B,A).}
4199:. In this case, the covariant version of Yoneda's lemma states that
3484:{\displaystyle \Phi \circ \Psi \circ \hom(f,-)\colon \hom(B,-)\to G}
8169:
8074:
8037:
2052:
There is a contravariant version of Yoneda's lemma, which concerns
8625:
8176:
6720:
5542:
4798:
The meaning of Yoneda's lemma in this setting is that the functor
2471:{\displaystyle {\mathcal {C}}\times \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}
2387:
The bijections provided in the (covariant) Yoneda lemma (for each
1593:{\displaystyle {\mathcal {C}}\times \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}
7604:
so the last expression is well-defined and sends a morphism from
5860:
the following formulas are all formulations of the Yoneda lemma.
8125:
5434:
4100:
An important special case of Yoneda's lemma is when the functor
8565:
8218:
8180:
5344:
can be embedded in the category of contravariant functors from
7245:
7204:
7166:
7097:
7019:
6537:
6490:
6420:
5808:{\displaystyle K\colon \mathbf {C} ^{op}\to \mathbf {Sets} }
5353:
5329:
5286:
5262:
5194:
4987:
4961:
4839:
4776:
4748:
4648:
4619:
4583:
4401:
4129:
3879:
2951:
2937:
2724:
2555:
2533:
2462:
2440:
2265:
2065:
1678:
1653:
1584:
1562:
1239:
1167:
794:
686:
530:
478:
422:
390:
366:
331:
307:
283:
231:
222:
is a category we think we understand well, and a functor of
139:
115:
7717:/ David Eisenbud, Joe Harris (1998) reverses this and uses
7713:
to mean the covariant hom-functor. However, the later book
5320:
Yoneda's lemma then states that any locally small category
501:
are actual sets and not proper classes), then each object
7684:
Commutative algebra with a view toward algebraic geometry
1056:{\displaystyle h_{A}(f)=\mathrm {Hom} (A,f),{\text{ or}}}
357:
over that ring. The ring takes the place of the category
6251:, a much more powerful condition. In the case of a ring
5063:
The contravariant version of Yoneda's lemma states that
4977:. Therefore, Yoneda embedding implies that the category
5853:{\displaystyle H\colon \mathbf {C} \to \mathbf {Sets} }
1923:, the corresponding natural transformation is given by
413:
Yoneda's lemma concerns functors from a fixed category
102:
The Yoneda lemma suggests that instead of studying the
2108:. This version involves the contravariant hom-functor
1406:
are in one-to-one correspondence with the elements of
7723:
7692:
7650:
7630:
7610:
7597:{\displaystyle \Phi _{A}:\mathrm {Hom} (A,A)\to F(A)}
7539:
7450:
7430:
7410:
7390:
7370:
7330:
7306:
7286:
7137:
7076:
7056:
7004:
6981:
6961:
6941:
6921:
6901:
6881:
6861:
6841:
6785:
6753:
6733:
6705:
6685:
6641:
6595:
6572:
6534:
6469:
6441:
6417:
6380:
6360:
6304:
6281:
6271:, the extended category is the category of all right
6257:
6039:
5869:
5821:
5766:
5658:
5609:
5587:
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4126:
4106:
4063:
4003:
3968:
3914:
3894:
3859:
3831:
3809:
3789:
3762:
3738:
3711:
3672:
3645:
3500:
3417:
3367:
3140:
3105:
2983:
2892:
2783:
2748:
2721:
2689:
2657:
2592:
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2437:
2413:
2393:
2317:
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2242:
2199:
2179:
2117:
2086:
2062:
2021:
1989:
1929:
1900:
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1236:
1216:
1188:
1164:
1144:
1070:
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950:
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861:
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328:
304:
280:
252:
228:
200:
160:
136:
112:
7121:{\displaystyle F=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-)}
6514:{\displaystyle G=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,*)}
6232:. Rings are preadditive categories with one object.
5430:
The Yoneda embedding is sometimes denoted by よ, the
2506:. One of the two functors is the evaluation functor
298:
in terms of known structures. The original category
8728:
8692:
8640:
8633:
8584:
8493:
8435:
8386:
8341:
8332:
8229:
6828:{\displaystyle \alpha (g\cdot x)=g\cdot \alpha (x)}
3888:This diagram shows that the natural transformation
3873:is a natural transformation, we have the following
130:, one should study the category of all functors of
7736:
7705:
7665:
7636:
7616:
7596:
7476:
7436:
7416:
7396:
7376:
7356:
7312:
7292:
7268:
7120:
7062:
7043:{\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-)}
7042:
6987:
6967:
6947:
6927:
6907:
6887:
6867:
6847:
6827:
6771:
6739:
6711:
6691:
6667:
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6578:
6558:
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6447:
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6366:
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6263:
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2470:
2419:
2399:
2372:{\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},G)\cong G(A).}
2371:
2300:
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2100:
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2036:
2007:
1975:
1915:
1886:
1866:
1812:
1783:
1763:
1736:
1713:
1685:
1661:
1620:
1592:
1545:
1525:
1499:{\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},F)\cong F(A).}
1498:
1427:
1398:
1378:
1351:
1246:
1222:
1202:
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1150:
1113:
1055:
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373:
338:
314:
290:
266:
238:
214:
174:
146:
122:
7496:following an interview he had with Yoneda in the
5523:{\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},P)\cong P(A)}
4326:the associated natural transformation is denoted
6559:{\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }
5638:{\displaystyle F,G:\mathbf {C} \to \mathbf {D} }
8168:Beurier, Erwan; Pastor, Dominique (July 2019).
7404:the equivariant map of right-multiplication by
27:Embedding of categories into functor categories
8145:Wojciechowski, M. (1997). "Yoneda Embedding".
7484:, which is the statement of Cayley's theorem.
6347:{\displaystyle M\cong \mathrm {Hom} _{R}(R,M)}
5006:{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}
4858:{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}
3955:{\displaystyle \Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})=u}
3732:is the covariant hom-functor. When the letter
1867:{\displaystyle u=\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})}
1553:when both sides are regarded as functors from
8192:
7800:
5209:to the category of contravariant functors to
4970:{\displaystyle \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}
4628:{\displaystyle \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}
1662:{\displaystyle \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}
8:
8001:, vol. 5 (2nd ed.), New York, NY:
5047:
5020:
4927:
4900:
4504:to the corresponding natural transformation
2641:{\displaystyle -(-)\colon (A,F)\mapsto F(A)}
6220:is a category where the morphism sets form
5462:, in a full and faithful manner. That is,
2236:. Given an arbitrary contravariant functor
1158:be a functor from a locally small category
1128:
8820:
8810:
8637:
8581:
8562:
8338:
8226:
8215:
8199:
8185:
8177:
7803:, Lemma 2.10 (Contravariant Yoneda lemma).
6915:. (On the left side of this equation, the
3404:{\displaystyle \Psi \colon \hom(A,-)\to F}
2163:{\displaystyle h^{A}=\mathrm {Hom} (-,A),}
8158:
8105:, Oxford University Press, 17 June 2010,
8073:
8036:
7909:, Proposition 2.2.1 (Ninja Yoneda Lemma).
7728:
7722:
7697:
7691:
7649:
7629:
7609:
7553:
7544:
7538:
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7449:
7429:
7409:
7389:
7369:
7331:
7329:
7305:
7285:
7244:
7243:
7232:
7203:
7202:
7191:
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7164:
7153:
7138:
7136:
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7095:
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7075:
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7003:
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6940:
6920:
6900:
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6860:
6840:
6784:
6752:
6732:
6704:
6684:
6642:
6640:
6602:
6594:
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6545:
6536:
6535:
6533:
6489:
6488:
6477:
6468:
6440:
6419:
6418:
6416:
6379:
6359:
6323:
6312:
6303:
6280:
6256:
6204:Preadditive categories, rings and modules
6163:
6162:
6151:
6149:
6129:
6122:
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4603:
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4581:
4579:
4558:
4552:
4511:
4509:
4477:
4465:{\displaystyle h_{A}=\mathrm {Hom} (A,-)}
4436:
4427:
4421:
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4397:
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4331:
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3737:
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3710:
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2412:
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1988:
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1700:
1698:
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709:
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684:
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655:
649:
629:{\displaystyle h_{A}=\mathrm {Hom} (A,-)}
600:
591:
585:
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230:
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227:
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199:
161:
159:
138:
137:
135:
114:
113:
111:
7994:Categories for the Working Mathematician
7906:
7894:
7815:Categories for the working mathematician
7280:that is, the equivariant maps from this
6354: for all right modules
7763:
7761:
7757:
7526:
6628:{\displaystyle G\to \mathrm {Perm} (X)}
5185:gives rise to a covariant functor from
7744:to mean the contravariant hom-functor.
6975:, and on the right side the action on
4829:, and therefore gives an embedding of
1669:denotes the category of functors from
7300:-set to itself are in bijection with
6528:In this context, a covariant functor
274:can be seen as a "representation" of
7:
7919:Kinoshita, Yoshiki (23 April 1996).
7686:/ David Eisenbud (1995), which uses
6772:{\displaystyle \alpha \colon X\to Y}
6224:and the composition of morphisms is
3702:use the convention in this article.
3361:that sends a natural transformation
1976:{\displaystyle \Phi _{X}(f)=F(f)(u)}
1114:{\displaystyle h_{A}(f)(g)=f\circ g}
8170:"A crash course on Category Theory"
6435:be a category with a single object
4547:determines a contravariant functor
4540:{\displaystyle \mathrm {Hom} (f,-)}
4362:{\displaystyle \mathrm {Hom} (f,-)}
4047:{\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Ff)u.}
2229:{\displaystyle \mathrm {Hom} (X,A)}
980:{\displaystyle \mathrm {Hom} (A,Y)}
911:{\displaystyle \mathrm {Hom} (A,X)}
855:on the left) that sends a morphism
802:{\displaystyle Y\in {\mathcal {C}}}
740:{\displaystyle \mathrm {Hom} (A,X)}
694:{\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}
545:gives rise to a natural functor to
7560:
7557:
7554:
7541:
7477:{\displaystyle \mathrm {Perm} (G)}
7461:
7458:
7455:
7452:
7357:{\displaystyle \mathrm {Perm} (G)}
7341:
7338:
7335:
7332:
7239:
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7198:
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7091:
7088:
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6668:{\displaystyle \mathrm {Perm} (X)}
6652:
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5660:
5479:
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712:
607:
604:
601:
25:
4893:. The collection of all functors
4639:of all (covariant) functors from
50:. It is a vast generalisation of
8819:
8809:
8800:
8799:
8552:
7921:"Prof. Nobuo Yoneda passed away"
6552:
6549:
6546:
6399:Relationship to Cayley's theorem
6164:
6130:
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202:
168:
165:
162:
7444:is isomorphic to a subgroup of
6455:such that every morphism is an
6111:
5941:
4865:in the category of functors to
3596:
1791:, the corresponding element of
1724:Given a natural transformation
8147:Formalized Mathematics journal
7660:
7654:
7591:
7585:
7579:
7576:
7564:
7515:Completions in category theory
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7025:
6998:Now the covariant hom-functor
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6656:
6622:
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5966:
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5127:
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5034:
5013:is isomorphic to the category
4914:
4886:{\displaystyle \mathbf {Set} }
4759:
4684:{\displaystyle \mathbf {Set} }
4656:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
4591:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
4534:
4522:
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4488:
4459:
4447:
4416:to its associated hom-functor
4409:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
4356:
4344:
4319:{\displaystyle f\colon B\to A}
4310:
4275:
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4165:{\displaystyle \mathbf {Set} }
4137:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
4079:
4073:
4035:
4026:
4020:
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3987:{\displaystyle f\colon A\to X}
3978:
3943:
3925:
3615:
3609:
3597:
3593:
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3572:
3559:
3553:
3547:
3538:
3534:
3522:
3501:
3475:
3472:
3460:
3448:
3436:
3411:to the natural transformation
3395:
3392:
3380:
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3324:
3315:
3303:
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2990:
2957:
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2920:
2908:
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2815:
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2800:
2758:
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2708:{\displaystyle f\colon A\to B}
2699:
2670:
2658:
2635:
2629:
2623:
2620:
2608:
2602:
2596:
2561:
2525:
2519:
2499:{\displaystyle \mathbf {Set} }
2363:
2357:
2348:
2329:
2308:, Yoneda's lemma asserts that
2301:{\displaystyle \mathbf {Set} }
2273:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
2223:
2211:
2154:
2142:
2101:{\displaystyle \mathbf {Set} }
2073:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
2031:
2025:
2008:{\displaystyle f\colon A\to X}
1999:
1970:
1964:
1961:
1955:
1946:
1940:
1910:
1904:
1861:
1843:
1807:
1801:
1714:{\displaystyle \mathbf {Set} }
1686:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
1621:{\displaystyle \mathbf {Set} }
1509:Moreover, this isomorphism is
1490:
1484:
1475:
1456:
1422:
1416:
1346:
1337:
1325:
1311:
1294:
1275:
1247:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
1203:{\displaystyle \mathbf {Set} }
1175:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
1096:
1090:
1087:
1081:
1042:
1030:
1013:
1007:
974:
962:
905:
893:
772:{\displaystyle f\colon X\to Y}
763:
734:
722:
623:
611:
566:{\displaystyle \mathbf {Set} }
538:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
486:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
462:{\displaystyle \mathbf {Set} }
430:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
398:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
374:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
339:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
315:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
291:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
267:{\displaystyle \mathbf {Set} }
239:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
215:{\displaystyle \mathbf {Set} }
175:{\displaystyle \mathbf {Set} }
147:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
123:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
42:. It is an abstract result on
1:
7999:Graduate Texts in Mathematics
7942:"le lemme de la Gare du Nord"
7050:corresponds to the action of
48:morphisms into a fixed object
5596:{\displaystyle \mathbf {D} }
5574:{\displaystyle \mathbf {C} }
5549:In terms of (co)end calculus
5416:{\displaystyle h^{\bullet }}
5178:{\displaystyle h^{\bullet }}
4818:{\displaystyle h_{\bullet }}
4711:{\displaystyle h_{\bullet }}
4567:{\displaystyle h_{\bullet }}
3908:is completely determined by
1983:which assigns to a morphism
8494:Constructions on categories
7813:Mac Lane, Saunders (1998).
7801:Beurier & Pastor (2019)
577:. This functor is denoted:
38:is a fundamental result in
8867:
8601:Higher-dimensional algebra
7774:Category Theory in Context
6207:
5552:
5447:
2427:) are the components of a
1124:Yoneda's lemma says that:
8851:Lemmas in category theory
8795:
8574:
8561:
8550:
8225:
8214:
7823:10.1007/978-1-4757-4721-8
4085:{\displaystyle u\in F(A)}
3124:{\displaystyle (f,\Phi )}
2676:{\displaystyle (f,\Phi )}
8084:10.1017/CBO9781107360068
8027:Loregian, Fosco (2021).
3962:since for each morphism
937:{\displaystyle f\circ g}
828:{\displaystyle f\circ -}
8411:Cokernels and quotients
8334:Universal constructions
7715:The geometry of schemes
6779:with the property that
6463:with one object). Then
6398:
4172:is another hom-functor
3884:Proof of Yoneda's lemma
3491:, whose components are
1874:; and given an element
1256:natural transformations
1210:. Then for each object
80:natural transformations
8846:Representable functors
8568:Higher category theory
8314:Natural transformation
8064:Leinster, Tom (2014),
7738:
7707:
7667:
7638:
7618:
7598:
7510:Representation theorem
7478:
7438:
7418:
7398:
7378:
7358:
7314:
7294:
7270:
7122:
7064:
7044:
6989:
6969:
6949:
6935:denotes the action of
6929:
6928:{\displaystyle \cdot }
6909:
6889:
6869:
6849:
6829:
6773:
6747:-sets: a set function
6741:
6713:
6693:
6669:
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6580:
6560:
6515:
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6429:
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6368:
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6289:
6265:
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5854:
5809:
5751:
5639:
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5575:
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5362:
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5311:
5231:
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4138:
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4086:
4057:Moreover, any element
4048:
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3956:
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3867:
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3817:
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3777:
3746:
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3696:Alexander Grothendieck
3687:
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3485:
3405:
3352:
3125:
3090:
2970:
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2768:
2741:natural transformation
2733:
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2677:
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2472:
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2401:
2373:
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2274:
2250:
2230:
2187:
2164:
2102:
2074:
2054:contravariant functors
2038:
2009:
1977:
1917:
1888:
1868:
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1765:
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567:
539:
515:
495:locally small category
487:
463:
431:
399:
375:
340:
316:
292:
268:
240:
216:
176:
148:
124:
76:representable functors
64:locally small category
8066:Basic Category Theory
8047:10.1017/9781108778657
7739:
7737:{\displaystyle h_{A}}
7708:
7706:{\displaystyle h_{A}}
7668:
7639:
7619:
7599:
7479:
7439:
7419:
7399:
7379:
7359:
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7271:
7123:
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7045:
6990:
6970:
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6930:
6910:
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6870:
6850:
6830:
6774:
6742:
6714:
6694:
6670:
6630:
6581:
6561:
6516:
6450:
6430:
6389:
6369:
6349:
6290:
6266:
6195:
6025:
5855:
5810:
5752:
5640:
5598:
5576:
5559:Given two categories
5555:End (category theory)
5525:
5450:Representable functor
5444:Representable functor
5423:. This is called the
5418:
5391:
5363:
5339:
5312:
5232:
5204:
5180:
5150:
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5008:
4972:
4935:
4888:
4860:
4820:
4790:
4713:
4686:
4658:
4630:
4593:
4569:
4542:
4499:
4467:
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4387:
4364:
4321:
4286:
4194:
4192:{\displaystyle h_{B}}
4167:
4139:
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4087:
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3901:{\displaystyle \Phi }
3883:
3868:
3866:{\displaystyle \Phi }
3840:
3818:
3798:
3783:assigns to an object
3778:
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3747:
3727:
3725:{\displaystyle h_{A}}
3688:
3686:{\displaystyle h^{A}}
3661:
3659:{\displaystyle h_{A}}
3626:
3486:
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3353:
3126:
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2678:
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2048:Contravariant version
2039:
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