292:
284:
1525:
472:
1301:
139:
between them. The Z-matrix gives no information about the behaviour of the network when the currents at any port are not balanced in this way (should this be possible), nor does it give any information about the voltage between terminals not belonging to the same port. Typically, it is intended that
1705:
274:
measured between the two terminals. The Z-parameters are also known as the open circuit parameters because they are measured or calculated by applying current to one port and determining the resulting voltages at all the ports while the undriven ports are terminated into open circuits.
1313:
774:
625:
313:
1121:
2238:
1959:
882:
1600:
2723:
2468:
1094:
987:
1520:{\displaystyle {\begin{aligned}S&=({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,-1_{\!N})({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,+1_{\!N})^{-1}\\&=({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,+1_{\!N})^{-1}({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,-1_{\!N})\\\end{aligned}}}
2834:
2342:
2105:
2032:
3341:
2600:
2534:
3203:
3140:
3261:
3077:
1318:
1126:
1757:
633:
484:
1826:
1585:
2972:
2920:
3003:
2951:
2899:
2868:
467:{\displaystyle {\begin{pmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Z_{11}&Z_{12}\\Z_{21}&Z_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}}
1557:
213:
185:
249:
1296:{\displaystyle {\begin{aligned}Z&={\sqrt {z}}(1_{\!N}+S)(1_{\!N}-S)^{-1}{\sqrt {z}}\\&={\sqrt {z}}(1_{\!N}-S)^{-1}(1_{\!N}+S){\sqrt {z}}\\\end{aligned}}}
2113:
1834:
1700:{\displaystyle {\sqrt {z}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {z_{01}}}&\\&{\sqrt {z_{02}}}\\&&\ddots \\&&&{\sqrt {z_{0N}}}\end{pmatrix}}}
789:
2608:
2353:
1005:
898:
3600:
3581:
3553:
3459:
307:
is probably the most common. In this case the relationship between the port currents, port voltages and the Z-parameter matrix is given by:
72:) response of non-linear networks. They are members of a family of similar parameters used in electronic engineering, other examples being:
2734:
2249:
3528:
3501:
296:
218:
For all ports the voltages may be defined in terms of the Z-parameter matrix and the currents by the following matrix equation:
2040:
1967:
140:
each external connection to the network is between the terminals of just one port, so that these limitations are appropriate.
3641:
3272:
2542:
2476:
3148:
3085:
2347:
The two-port S-parameters may be obtained from the equivalent two-port Z-parameters by means of the following expressions
3211:
3027:
3651:
1712:
3646:
291:
1760:
769:{\displaystyle Z_{21}={V_{2} \over I_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad Z_{22}={V_{2} \over I_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}}
620:{\displaystyle Z_{11}={V_{1} \over I_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad Z_{12}={V_{1} \over I_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}}
270:
and functions of frequency. For a one-port network, the Z-matrix reduces to a single element, being the ordinary
283:
1592:
143:
For a generic multi-port network definition, it is assumed that each of the ports is allocated an integer
132:
50:
46:
1778:
3621:
3616:
124:
119:
A Z-parameter matrix describes the behaviour of any linear electrical network that can be regarded as a
54:
271:
263:
1764:
1566:
61:
2956:
2904:
3596:
3577:
3549:
3524:
3497:
3455:
2977:
2925:
2873:
2842:
1534:
190:
162:
3626:
304:
224:
108:
89:
1588:
1560:
159:, the associated Z-parameter definition is in terms of the port current and port voltage,
135:
carrying equal and opposite currents into and out-of the network, and having a particular
3365:
Any square matrix commutes with itself and with the identity matrix, and if two matrices
3447:
3018:
267:
3635:
3521:
Electromagnetics, microwave circuit and antenna design for communications engineering
2233:{\displaystyle Z_{22}={((1-S_{11})(1+S_{22})+S_{12}S_{21}) \over \Delta _{S}}Z_{0}\,}
1954:{\displaystyle Z_{11}={((1+S_{11})(1-S_{22})+S_{12}S_{21}) \over \Delta _{S}}Z_{0}\,}
69:
100:
3014:
1112:
107:=0, where x=1,2 refer to input and output currents flowing through the ports (of a
85:
77:
73:
65:
1775:
In the special case of a two-port network, with the same characteristic impedance
877:{\displaystyle Z_{nm}={V_{n} \over I_{m}}{\bigg |}_{I_{k}=0{\text{ for }}k\neq m}}
3347:
2718:{\displaystyle S_{22}={(Z_{11}+Z_{0})(Z_{22}-Z_{0})-Z_{12}Z_{21} \over \Delta }}
2463:{\displaystyle S_{11}={(Z_{11}-Z_{0})(Z_{22}+Z_{0})-Z_{12}Z_{21} \over \Delta }}
120:
17:
1089:{\displaystyle Z_{\text{out}}=Z_{22}-{\frac {Z_{12}Z_{21}}{Z_{11}+Z_{S}}}}
1763:. In these expressions the matrices represented by the bracketed factors
982:{\displaystyle Z_{\text{in}}=Z_{11}-{\frac {Z_{12}Z_{21}}{Z_{22}+Z_{L}}}}
81:
3017:
to Z-parameters is much simpler, as the Z-parameter matrix is just the
136:
58:
2829:{\displaystyle \Delta =(Z_{11}+Z_{0})(Z_{22}+Z_{0})-Z_{12}Z_{21}\,}
290:
282:
266:
notation. In general the elements of the Z-parameter matrix are
3591:
Simon Ramo; John R. Whinnery; Theodore Van Duzer (1994-02-09).
3544:
Simon Ramo; John R. Whinnery; Theodore Van Duzer (1994-02-09).
2337:{\displaystyle \Delta _{S}=(1-S_{11})(1-S_{22})-S_{12}S_{21}\,}
262:
matrix the elements of which can be indexed using conventional
287:
The equivalent circuit for Z-parameters of a two-port network.
2839:
The above expressions will generally use complex numbers for
2100:{\displaystyle Z_{21}={2S_{21} \over \Delta _{S}}Z_{0}\,}
2027:{\displaystyle Z_{12}={2S_{12} \over \Delta _{S}}Z_{0}\,}
1767:
and so, as shown above, may be written in either order.
1759:
is the corresponding diagonal matrix of square roots of
3336:{\displaystyle \Delta _{Y}=Y_{11}Y_{22}-Y_{12}Y_{21}\,}
892:
The input impedance of a two-port network is given by:
1619:
1103:
is the impedance of the source connected to port one.
429:
365:
322:
3275:
3214:
3151:
3088:
3030:
2980:
2959:
2928:
2907:
2876:
2845:
2737:
2611:
2595:{\displaystyle S_{21}={2Z_{0}Z_{21} \over \Delta }\,}
2545:
2529:{\displaystyle S_{12}={2Z_{0}Z_{12} \over \Delta }\,}
2479:
2356:
2252:
2116:
2043:
1970:
1837:
1781:
1715:
1603:
1569:
1537:
1316:
1124:
1008:
901:
792:
636:
487:
316:
227:
193:
165:
3198:{\displaystyle Z_{21}={-Y_{21} \over \Delta _{Y}}\,}
3135:{\displaystyle Z_{12}={-Y_{12} \over \Delta _{Y}}\,}
996:
is the impedance of the load connected to port two.
3256:{\displaystyle Z_{22}={Y_{11} \over \Delta _{Y}}\,}
3072:{\displaystyle Z_{11}={Y_{22} \over \Delta _{Y}}\,}
57:engineering to describe the electrical behavior of
3335:
3255:
3197:
3134:
3071:
2997:
2966:
2945:
2914:
2893:
2862:
2828:
2717:
2594:
2528:
2462:
2336:
2232:
2099:
2026:
1953:
1820:
1751:
1699:
1579:
1551:
1519:
1295:
1088:
981:
876:
768:
619:
466:
243:
207:
179:
1543:
1504:
1456:
1398:
1360:
1267:
1234:
1177:
1154:
1111:The Z-parameters of a network are related to its
836:
742:
677:
593:
528:
27:Set of properties used in electrical engineering
1828:at each port, the above expressions reduce to
1752:{\displaystyle {\sqrt {y}}=({\sqrt {z}})^{-1}}
3593:Fields and Waves in Communication Electronics
3546:Fields and Waves in Communication Electronics
999:Similarly, the output impedance is given by:
295:The equivalent circuit for Z-parameters of a
8:
3483:David M. Pozar, 2005 (op. cit); pp 183-186.
3474:David M. Pozar, 2005 (op. cit); pp 170-174.
3021:of the Y-parameter matrix. For a two-port:
3496:, Pitman Publishing Ltd., 1985; pp 33-72,
3332:
3326:
3316:
3303:
3293:
3280:
3274:
3252:
3244:
3234:
3228:
3219:
3213:
3194:
3186:
3175:
3165:
3156:
3150:
3131:
3123:
3112:
3102:
3093:
3087:
3068:
3060:
3050:
3044:
3035:
3029:
2994:
2985:
2979:
2963:
2958:
2942:
2933:
2927:
2911:
2906:
2890:
2881:
2875:
2859:
2850:
2844:
2825:
2819:
2809:
2793:
2780:
2764:
2751:
2736:
2703:
2693:
2677:
2664:
2648:
2635:
2625:
2616:
2610:
2591:
2579:
2569:
2559:
2550:
2544:
2525:
2513:
2503:
2493:
2484:
2478:
2448:
2438:
2422:
2409:
2393:
2380:
2370:
2361:
2355:
2333:
2327:
2317:
2301:
2279:
2257:
2251:
2229:
2223:
2211:
2197:
2187:
2171:
2149:
2130:
2121:
2115:
2096:
2090:
2078:
2067:
2057:
2048:
2042:
2023:
2017:
2005:
1994:
1984:
1975:
1969:
1950:
1944:
1932:
1918:
1908:
1892:
1870:
1851:
1842:
1836:
1812:
1799:
1786:
1780:
1740:
1729:
1716:
1714:
1678:
1672:
1648:
1642:
1628:
1622:
1614:
1604:
1602:
1570:
1568:
1542:
1536:
1503:
1495:
1488:
1478:
1466:
1455:
1447:
1440:
1430:
1408:
1397:
1389:
1382:
1372:
1359:
1351:
1344:
1334:
1317:
1315:
1282:
1266:
1250:
1233:
1219:
1202:
1193:
1176:
1153:
1139:
1125:
1123:
1077:
1064:
1052:
1042:
1035:
1026:
1013:
1007:
970:
957:
945:
935:
928:
919:
906:
900:
858:
846:
841:
835:
834:
825:
815:
809:
797:
791:
752:
747:
741:
740:
731:
721:
715:
706:
687:
682:
676:
675:
666:
656:
650:
641:
635:
603:
598:
592:
591:
582:
572:
566:
557:
538:
533:
527:
526:
517:
507:
501:
492:
486:
450:
436:
424:
410:
398:
384:
372:
360:
343:
329:
317:
315:
240:
226:
204:
198:
192:
176:
170:
164:
3514:
3512:
3510:
3439:
3358:
1595:at each port as its non-zero elements,
155:is the total number of ports. For port
64:. They are also used to describe the
7:
2922:can become 0 for specific values of
1821:{\displaystyle z_{01}=z_{02}=Z_{0}}
3277:
3241:
3183:
3120:
3057:
2960:
2908:
2738:
2710:
2586:
2520:
2455:
2254:
2208:
2075:
2002:
1929:
25:
97:open-circuit impedance parameters
3494:Advanced Electrical Engineering
701:
552:
303:The Z-parameter matrix for the
95:Z-parameters are also known as
2799:
2773:
2770:
2744:
2683:
2657:
2654:
2628:
2428:
2402:
2399:
2373:
2307:
2288:
2285:
2266:
2203:
2177:
2158:
2155:
2136:
2133:
1924:
1898:
1879:
1876:
1857:
1854:
1737:
1726:
1591:having the square root of the
1510:
1475:
1463:
1427:
1405:
1369:
1366:
1331:
1279:
1259:
1247:
1226:
1190:
1169:
1166:
1146:
1:
3572:David M. Pozar (2004-02-05).
3523:. Artech House. p. 420.
3005:may lead to a division by 0.
131:in this context is a pair of
99:as they are calculated under
111:in this case) respectively.
3548:. Wiley. pp. 537–541.
3454:. Wiley. pp. 170–174.
3350:of the Y-parameter matrix.
1580:{\displaystyle {\sqrt {z}}}
779:For the general case of an
3668:
1761:characteristic admittances
2967:{\displaystyle \Delta \,}
2915:{\displaystyle \Delta \,}
2901:. Note that the value of
45:) are properties used in
3009:Relation to Y-parameters
2998:{\displaystyle S_{ij}\,}
2946:{\displaystyle Z_{ij}\,}
2894:{\displaystyle Z_{ij}\,}
2863:{\displaystyle S_{ij}\,}
1593:characteristic impedance
1107:Relation to S-parameters
2974:in the calculations of
1552:{\displaystyle 1_{\!N}}
208:{\displaystyle V_{n}\,}
180:{\displaystyle I_{n}\,}
3519:Russer, Peter (2003).
3337:
3257:
3199:
3136:
3073:
2999:
2968:
2947:
2916:
2895:
2864:
2830:
2719:
2596:
2530:
2464:
2338:
2234:
2101:
2028:
1955:
1822:
1753:
1701:
1581:
1553:
1521:
1297:
1090:
983:
878:
770:
621:
468:
300:
288:
245:
244:{\displaystyle V=ZI\,}
209:
181:
115:The Z-parameter matrix
51:electronic engineering
47:electrical engineering
3642:Electrical parameters
3622:Admittance parameters
3617:Scattering parameters
3574:Microwave Engineering
3452:Microwave Engineering
3338:
3258:
3200:
3137:
3074:
3000:
2969:
2948:
2917:
2896:
2865:
2831:
2720:
2597:
2531:
2465:
2339:
2235:
2102:
2029:
1956:
1823:
1754:
1702:
1582:
1554:
1522:
1298:
1091:
984:
879:
771:
622:
469:
294:
286:
246:
210:
182:
55:communication systems
3377:commute, then so do
3273:
3212:
3149:
3086:
3028:
2978:
2957:
2926:
2905:
2874:
2843:
2735:
2609:
2543:
2477:
2354:
2250:
2114:
2041:
1968:
1835:
1779:
1713:
1601:
1567:
1535:
1314:
1122:
1006:
899:
790:
634:
485:
314:
225:
191:
163:
133:electrical terminals
37:(the elements of an
31:Impedance parameters
2953:so the division by
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