776:
981:
563:
780:
1882:
1736:
2122:
771:{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},}
976:{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.}
1741:
1595:
378:
1999:
2666:
1967:
1515:
2532:
2787:
1397:
1590:
3455:
284:
2290:
1549:
2379:
1028:
1120:
528:
312:
1914:
403:
3043:
466:
1268:
1152:
1055:
3072:
2168:
1423:
2999:
2976:
2833:
2810:
1877:{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&ya+zb\\0&zc\end{pmatrix}}}
1731:{\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&xb+yc\\0&zc\end{pmatrix}}}
2953:
2933:
2913:
2893:
2873:
2853:
2405:
2334:
2314:
2211:
2188:
2142:
1990:
1452:
1300:
1239:
1219:
1195:
1175:
427:
2117:{\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&x\\0&0\end{pmatrix}}}
317:
3342:.) The same is true of the set of non-left-zero-divisors and the set of non-right-zero-divisors in an arbitrary ring, commutative or not.
2540:
3705:
1919:
1467:
3636:
2413:
440:
3515:
2675:
3685:
1305:
3680:
1554:
3320:
rings by convention, but they then suffer from having to introduce exceptions in statements such as the following:
144:
3742:
3419:
254:
2224:
83:
1520:
3510:
3200:
194:
An element of a ring that is not a left zero divisor (respectively, not a right zero divisor) is called
42:
2347:
993:
210:). An element of a ring that is left and right cancellable, and is hence not a zero divisor, is called
1060:
3747:
3390:
2341:
1993:
1242:
554:
471:
290:
235:
3752:
3339:
1887:
1198:
546:
3675:
386:
3693:
3653:
3521:
3473:
3355:
3331:
3156:
3093:
3085:
251:
248:
2193:
Here is another example of a ring with an element that is a zero divisor on one side only. Let
3004:
3715:
3701:
2383:
2214:
445:
3359:
1247:
987:
188:
38:
31:
1125:
1033:
3346:
3145:
3133:
3111:
3048:
3132:
matrices over a field, the left and right zero divisors coincide; they are precisely the
2147:
1402:
3501:
recovers the definitions of "regular" and "zero divisor" given earlier in this article.
2981:
2958:
2815:
2792:
2938:
2918:
2898:
2878:
2858:
2838:
2390:
2319:
2299:
2196:
2173:
2127:
1975:
1970:
1428:
1276:
1224:
1204:
1180:
1160:
412:
51:
3736:
3104:
373:{\displaystyle {\overline {2}}\times {\overline {2}}={\overline {4}}={\overline {0}}}
3097:
3089:
2293:
3696:; Nadiya Gubareni; Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni; Vladimir V. Kirichenko. (2004),
3718:
3598:
3149:
990:
of two or more nonzero rings always has nonzero zero divisors. For example, in
534:
1271:
3723:
3256:
2337:
433:
231:
111:
17:
2218:
147:. An element that is a left or a right zero divisor is simply called a
406:
3110:
A non-zero commutative ring whose only zero divisor is 0 is called an
2789:. All three of these additive maps are not zero, and the composites
27:
Ring element that can be multiplied by a non-zero element to equal 0
3092:
has no nonzero zero divisors. Since every nonzero element is a
2661:{\displaystyle L(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{2},a_{3},a_{4},...)}
553:≥ 2. Examples of zero divisors in the ring of 2 × 2
1962:{\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}}
1510:{\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}}
436:
element of a nonzero ring is always a two-sided zero divisor.
3660:, The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., p. 12
2527:{\displaystyle R(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(0,a_{1},a_{2},...)}
3263:
is a (two-sided) zero divisor, because any nonzero element
3338:. (This, in turn, is important for the definition of the
2875:
is a right zero divisor in the ring of additive maps from
157:
that is both a left and a right zero divisor is called a
3238:
There is no need for a separate convention for the case
2782:{\displaystyle P(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{1},0,0,...)}
2083:
2044:
2008:
1928:
1825:
1786:
1750:
1679:
1640:
1604:
1476:
939:
900:
864:
825:
789:
734:
695:
653:
608:
572:
191:, then the left and right zero divisors are the same.
3422:
3245:, because the definition applies also in this case:
3051:
3007:
2984:
2961:
2941:
2921:
2901:
2881:
2861:
2841:
2818:
2795:
2678:
2543:
2416:
2393:
2350:
2322:
2302:
2227:
2199:
2176:
2150:
2130:
2002:
1978:
1922:
1890:
1744:
1598:
1557:
1523:
1470:
1431:
1405:
1308:
1279:
1250:
1227:
1207:
1183:
1163:
1128:
1063:
1036:
996:
783:
566:
474:
448:
415:
389:
320:
293:
257:
3148:, the zero divisors are precisely the matrices with
1392:{\displaystyle (1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n}=0}
468:
of a ring is always a two-sided zero divisor, since
2407:.) Three examples of elements of this ring are the
3449:
3066:
3037:
2993:
2970:
2947:
2927:
2907:
2887:
2867:
2847:
2827:
2804:
2781:
2660:
2526:
2399:
2373:
2328:
2308:
2284:
2205:
2182:
2162:
2136:
2116:
1984:
1961:
1908:
1876:
1730:
1584:
1543:
1509:
1446:
1417:
1391:
1294:
1262:
1233:
1213:
1189:
1169:
1146:
1114:
1049:
1022:
975:
770:
522:
460:
421:
397:
372:
306:
278:
234:ring with no nontrivial zero divisors is called a
3203:on the side on which it is regular. That is, if
2124:, and it is a right zero divisor if and only if
3648:
3646:
1585:{\displaystyle y\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }
2344:as the ring operations. (That is, our ring is
222:. A zero divisor that is nonzero is called a
8:
3450:{\displaystyle M\,{\stackrel {a}{\to }}\,M}
3296:is not a zero divisor, because there is no
2955:is not a left zero divisor: the composite
2144:is even for similar reasons. If either of
279:{\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }
3620:, American Mathematical Soc., p. 342
3443:
3435:
3430:
3428:
3427:
3426:
3421:
3155:Left or right zero divisors can never be
3050:
3006:
2983:
2960:
2940:
2920:
2900:
2880:
2860:
2840:
2817:
2794:
2746:
2715:
2702:
2689:
2677:
2637:
2624:
2611:
2580:
2567:
2554:
2542:
2503:
2490:
2453:
2440:
2427:
2415:
2392:
2351:
2349:
2321:
2301:
2261:
2248:
2235:
2226:
2198:
2175:
2149:
2129:
2078:
2039:
2003:
2001:
1977:
1923:
1921:
1889:
1820:
1781:
1745:
1743:
1674:
1635:
1599:
1597:
1578:
1577:
1569:
1565:
1564:
1556:
1537:
1536:
1522:
1471:
1469:
1430:
1404:
1377:
1349:
1307:
1278:
1249:
1226:
1206:
1182:
1162:
1127:
1062:
1041:
1035:
1014:
1001:
995:
934:
895:
859:
820:
784:
782:
729:
690:
648:
603:
567:
565:
473:
447:
414:
391:
390:
388:
360:
347:
334:
321:
319:
294:
292:
272:
271:
263:
259:
258:
256:
3540:Since the map is not injective, we have
3590:
3533:
2285:{\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},...)}
1464:Consider the ring of (formal) matrices
557:(over any nonzero ring) are shown here:
2190:, then it is a two-sided zero-divisor.
1399:, with neither factor being zero, so
7:
3330:, the set of non-zero-divisors is a
3312:Some references include or exclude
1544:{\displaystyle x,z\in \mathbb {Z} }
3354:, the set of zero divisors is the
3229:, and similarly for right regular.
3001:is a two-sided zero-divisor since
2358:
2355:
2352:
383:The only zero divisor of the ring
174:may be different from the nonzero
25:
3483:Specializing the definitions of "
2374:{\displaystyle \mathrm {End} (S)}
1023:{\displaystyle R_{1}\times R_{2}}
3658:Commutative algebra, 2nd edition
3300:element that when multiplied by
2935:is not a right zero divisor and
1115:{\displaystyle (1,0)(0,1)=(0,0)}
3637:Springer Science+Business Media
3516:Glossary of commutative algebra
3487:-regular" and "zero divisor on
523:{\displaystyle e(1-e)=0=(1-e)e}
307:{\displaystyle {\overline {2}}}
3431:
2776:
2739:
2733:
2682:
2655:
2604:
2598:
2547:
2521:
2477:
2471:
2420:
2368:
2362:
2279:
2228:
1441:
1435:
1361:
1324:
1321:
1309:
1289:
1283:
1141:
1129:
1109:
1097:
1091:
1079:
1076:
1064:
514:
502:
490:
478:
1:
3605:, Springer-Verlag, p. 98
3107:has no nonzero zero divisors.
1909:{\displaystyle x\neq 0\neq z}
1425:is a nonzero zero divisor in
549:has nonzero zero divisors if
143:. This is a partial case of
3618:Concepts in Abstract Algebra
398:{\displaystyle \mathbb {Z} }
365:
352:
339:
326:
299:
3698:Algebras, rings and modules
3681:Encyclopedia of Mathematics
3381:be a commutative ring, let
3288:is the zero ring, in which
2855:is a left zero divisor and
3769:
3412:if the "multiplication by
124:if there exists a nonzero
63:if there exists a nonzero
29:
3700:, vol. 1, Springer,
3631:Nicolas Bourbaki (1998).
3255:is a ring other than the
3038:{\displaystyle RLP=0=PRL}
2292:. Take for the ring all
114:. Similarly, an element
82:, or equivalently if the
3373:Zero divisor on a module
3074:is not in any direction.
314:is a zero divisor since
30:Not to be confused with
3616:Charles Lanski (2005),
3603:Algebra I, Chapters 1–3
3472:-regular elements is a
3468:otherwise. The set of
3457:is injective, and that
3360:associated prime ideals
1969:is a left zero divisor
461:{\displaystyle e\neq 1}
228:nontrivial zero divisor
3451:
3324:In a commutative ring
3234:Zero as a zero divisor
3068:
3039:
2995:
2972:
2949:
2929:
2909:
2889:
2869:
2849:
2829:
2806:
2783:
2672:onto the first factor
2662:
2528:
2401:
2387:of the additive group
2375:
2330:
2310:
2286:
2207:
2184:
2164:
2138:
2118:
1986:
1963:
1910:
1878:
1732:
1586:
1545:
1511:
1459:One-sided zero-divisor
1448:
1419:
1393:
1296:
1264:
1263:{\displaystyle n>1}
1235:
1215:
1191:
1171:
1148:
1116:
1051:
1024:
977:
772:
524:
462:
423:
399:
374:
308:
280:
159:two-sided zero divisor
120:of a ring is called a
3511:Zero-product property
3452:
3316:as a zero divisor in
3084:The ring of integers
3069:
3040:
2996:
2973:
2950:
2930:
2910:
2890:
2870:
2850:
2830:
2807:
2784:
2663:
2529:
2402:
2376:
2331:
2311:
2287:
2208:
2185:
2165:
2139:
2119:
1987:
1964:
1911:
1879:
1733:
1587:
1546:
1512:
1449:
1420:
1394:
1297:
1265:
1236:
1216:
1192:
1172:
1149:
1147:{\displaystyle (1,0)}
1117:
1052:
1050:{\displaystyle R_{i}}
1025:
978:
773:
525:
463:
424:
400:
375:
309:
281:
145:divisibility in rings
3518:(Exact zero divisor)
3420:
3067:{\displaystyle LR=1}
3049:
3005:
2982:
2959:
2939:
2919:
2899:
2879:
2859:
2839:
2816:
2793:
2676:
2541:
2414:
2391:
2348:
2320:
2300:
2225:
2197:
2174:
2148:
2128:
2000:
1976:
1920:
1888:
1742:
1596:
1555:
1521:
1468:
1429:
1403:
1306:
1277:
1248:
1225:
1205:
1181:
1161:
1126:
1061:
1034:
994:
781:
564:
472:
446:
413:
387:
318:
291:
287:, the residue class
255:
224:nonzero zero divisor
3340:total quotient ring
3209:is a left regular,
2163:{\displaystyle x,z}
1418:{\displaystyle 1-g}
3716:Weisstein, Eric W.
3694:Michiel Hazewinkel
3654:Hideyuki Matsumura
3522:Zero-divisor graph
3474:multiplicative set
3447:
3332:multiplicative set
3196:, a contradiction.
3165:is invertible and
3103:More generally, a
3064:
3035:
2994:{\displaystyle RL}
2991:
2971:{\displaystyle LR}
2968:
2945:
2925:
2905:
2885:
2865:
2845:
2835:are both zero, so
2828:{\displaystyle PR}
2825:
2805:{\displaystyle LP}
2802:
2779:
2658:
2524:
2397:
2371:
2326:
2306:
2282:
2203:
2180:
2160:
2134:
2114:
2108:
2069:
2033:
1982:
1959:
1953:
1906:
1874:
1868:
1811:
1775:
1728:
1722:
1665:
1629:
1582:
1541:
1507:
1501:
1444:
1415:
1389:
1292:
1260:
1231:
1211:
1187:
1167:
1154:is a zero divisor.
1144:
1112:
1047:
1020:
973:
964:
925:
889:
850:
814:
768:
759:
720:
684:
639:
597:
520:
458:
441:idempotent element
419:
395:
370:
304:
276:
187:). If the ring is
151:. An element
122:right zero divisor
3440:
3401:. One says that
3397:be an element of
3345:In a commutative
3172:for some nonzero
3144:matrices over an
3136:. In the ring of
3134:singular matrices
3096:, this ring is a
2978:is the identity.
2948:{\displaystyle R}
2928:{\displaystyle L}
2908:{\displaystyle S}
2888:{\displaystyle S}
2868:{\displaystyle R}
2848:{\displaystyle L}
2400:{\displaystyle S}
2384:endomorphism ring
2329:{\displaystyle S}
2309:{\displaystyle S}
2206:{\displaystyle S}
2183:{\displaystyle 0}
2137:{\displaystyle z}
1985:{\displaystyle x}
1447:{\displaystyle K}
1295:{\displaystyle K}
1234:{\displaystyle g}
1214:{\displaystyle G}
1190:{\displaystyle G}
1170:{\displaystyle K}
422:{\displaystyle 0}
368:
355:
342:
329:
302:
208:right cancellable
61:left zero divisor
16:(Redirected from
3760:
3743:Abstract algebra
3729:
3728:
3710:
3689:
3662:
3661:
3650:
3641:
3640:
3628:
3622:
3621:
3613:
3607:
3606:
3595:
3578:
3576:
3561:
3555:
3549:
3538:
3500:
3490:
3486:
3479:
3471:
3466:
3463:zero divisor on
3460:
3456:
3454:
3453:
3448:
3442:
3441:
3439:
3434:
3429:
3415:
3409:
3404:
3400:
3396:
3388:
3384:
3380:
3367:
3353:
3337:
3329:
3315:
3307:
3303:
3295:
3291:
3287:
3278:
3266:
3262:
3254:
3244:
3228:
3218:
3208:
3195:
3177:
3171:
3164:
3143:
3139:
3131:
3127:
3073:
3071:
3070:
3065:
3044:
3042:
3041:
3036:
3000:
2998:
2997:
2992:
2977:
2975:
2974:
2969:
2954:
2952:
2951:
2946:
2934:
2932:
2931:
2926:
2914:
2912:
2911:
2906:
2894:
2892:
2891:
2886:
2874:
2872:
2871:
2866:
2854:
2852:
2851:
2846:
2834:
2832:
2831:
2826:
2811:
2809:
2808:
2803:
2788:
2786:
2785:
2780:
2751:
2750:
2720:
2719:
2707:
2706:
2694:
2693:
2667:
2665:
2664:
2659:
2642:
2641:
2629:
2628:
2616:
2615:
2585:
2584:
2572:
2571:
2559:
2558:
2533:
2531:
2530:
2525:
2508:
2507:
2495:
2494:
2458:
2457:
2445:
2444:
2432:
2431:
2406:
2404:
2403:
2398:
2380:
2378:
2377:
2372:
2361:
2335:
2333:
2332:
2327:
2315:
2313:
2312:
2307:
2291:
2289:
2288:
2283:
2266:
2265:
2253:
2252:
2240:
2239:
2212:
2210:
2209:
2204:
2189:
2187:
2186:
2181:
2169:
2167:
2166:
2161:
2143:
2141:
2140:
2135:
2123:
2121:
2120:
2115:
2113:
2112:
2074:
2073:
2038:
2037:
1991:
1989:
1988:
1983:
1968:
1966:
1965:
1960:
1958:
1957:
1915:
1913:
1912:
1907:
1883:
1881:
1880:
1875:
1873:
1872:
1816:
1815:
1780:
1779:
1737:
1735:
1734:
1729:
1727:
1726:
1670:
1669:
1634:
1633:
1591:
1589:
1588:
1583:
1581:
1573:
1568:
1550:
1548:
1547:
1542:
1540:
1516:
1514:
1513:
1508:
1506:
1505:
1453:
1451:
1450:
1445:
1424:
1422:
1421:
1416:
1398:
1396:
1395:
1390:
1382:
1381:
1360:
1359:
1301:
1299:
1298:
1293:
1269:
1267:
1266:
1261:
1240:
1238:
1237:
1232:
1220:
1218:
1217:
1212:
1201:. Suppose that
1196:
1194:
1193:
1188:
1176:
1174:
1173:
1168:
1153:
1151:
1150:
1145:
1121:
1119:
1118:
1113:
1056:
1054:
1053:
1048:
1046:
1045:
1029:
1027:
1026:
1021:
1019:
1018:
1006:
1005:
982:
980:
979:
974:
969:
968:
930:
929:
894:
893:
855:
854:
819:
818:
777:
775:
774:
769:
764:
763:
725:
724:
689:
688:
644:
643:
602:
601:
529:
527:
526:
521:
467:
465:
464:
459:
428:
426:
425:
420:
404:
402:
401:
396:
394:
379:
377:
376:
371:
369:
361:
356:
348:
343:
335:
330:
322:
313:
311:
310:
305:
303:
295:
285:
283:
282:
277:
275:
267:
262:
220:non-zero-divisor
200:left cancellable
186:
179:
173:
166:
156:
142:
135:
129:
119:
109:
103:
97:
91:
81:
74:
68:
58:
49:
39:abstract algebra
32:Division by zero
21:
3768:
3767:
3763:
3762:
3761:
3759:
3758:
3757:
3733:
3732:
3714:
3713:
3708:
3692:
3674:
3671:
3669:Further reading
3666:
3665:
3652:
3651:
3644:
3630:
3629:
3625:
3615:
3614:
3610:
3597:
3596:
3592:
3587:
3582:
3581:
3563:
3557:
3551:
3541:
3539:
3535:
3530:
3507:
3492:
3488:
3484:
3477:
3469:
3464:
3458:
3418:
3417:
3413:
3407:
3402:
3398:
3394:
3386:
3382:
3378:
3375:
3363:
3349:
3347:noetherian ring
3335:
3325:
3313:
3305:
3301:
3293:
3289:
3283:
3268:
3264:
3260:
3250:
3239:
3236:
3220:
3210:
3204:
3179:
3173:
3166:
3160:
3146:integral domain
3141:
3140: ×
3137:
3129:
3128: ×
3125:
3124:In the ring of
3121:
3112:integral domain
3081:
3047:
3046:
3003:
3002:
2980:
2979:
2957:
2956:
2937:
2936:
2917:
2916:
2897:
2896:
2877:
2876:
2857:
2856:
2837:
2836:
2814:
2813:
2791:
2790:
2742:
2711:
2698:
2685:
2674:
2673:
2633:
2620:
2607:
2576:
2563:
2550:
2539:
2538:
2499:
2486:
2449:
2436:
2423:
2412:
2411:
2389:
2388:
2346:
2345:
2318:
2317:
2298:
2297:
2257:
2244:
2231:
2223:
2222:
2195:
2194:
2172:
2171:
2146:
2145:
2126:
2125:
2107:
2106:
2101:
2095:
2094:
2089:
2079:
2068:
2067:
2062:
2056:
2055:
2050:
2040:
2032:
2031:
2026:
2020:
2019:
2014:
2004:
1998:
1997:
1974:
1973:
1952:
1951:
1946:
1940:
1939:
1934:
1924:
1918:
1917:
1886:
1885:
1867:
1866:
1858:
1852:
1851:
1834:
1821:
1810:
1809:
1804:
1798:
1797:
1792:
1782:
1774:
1773:
1768:
1762:
1761:
1756:
1746:
1740:
1739:
1721:
1720:
1712:
1706:
1705:
1688:
1675:
1664:
1663:
1658:
1652:
1651:
1646:
1636:
1628:
1627:
1622:
1616:
1615:
1610:
1600:
1594:
1593:
1553:
1552:
1519:
1518:
1500:
1499:
1494:
1488:
1487:
1482:
1472:
1466:
1465:
1461:
1427:
1426:
1401:
1400:
1373:
1345:
1304:
1303:
1275:
1274:
1246:
1245:
1223:
1222:
1221:has an element
1203:
1202:
1179:
1178:
1177:be a field and
1159:
1158:
1124:
1123:
1059:
1058:
1037:
1032:
1031:
1010:
997:
992:
991:
963:
962:
957:
951:
950:
945:
935:
924:
923:
918:
912:
911:
906:
896:
888:
887:
882:
876:
875:
870:
860:
849:
848:
843:
837:
836:
831:
821:
813:
812:
807:
801:
800:
795:
785:
779:
778:
758:
757:
752:
746:
745:
740:
730:
719:
718:
713:
707:
706:
701:
691:
683:
682:
677:
668:
667:
662:
649:
638:
637:
629:
620:
619:
614:
604:
596:
595:
590:
584:
583:
578:
568:
562:
561:
539: ×
470:
469:
444:
443:
411:
410:
385:
384:
316:
315:
289:
288:
253:
252:
244:
202:(respectively,
181:
175:
168:
162:
152:
137:
131:
125:
115:
105:
99:
93:
87:
76:
70:
64:
54:
45:
35:
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
3766:
3764:
3756:
3755:
3750:
3745:
3735:
3734:
3731:
3730:
3719:"Zero Divisor"
3711:
3706:
3690:
3676:"Zero divisor"
3670:
3667:
3664:
3663:
3642:
3623:
3608:
3589:
3588:
3586:
3583:
3580:
3579:
3532:
3531:
3529:
3526:
3525:
3524:
3519:
3513:
3506:
3503:
3491:" to the case
3446:
3438:
3433:
3425:
3374:
3371:
3370:
3369:
3343:
3310:
3309:
3280:
3235:
3232:
3231:
3230:
3199:An element is
3197:
3153:
3120:
3117:
3116:
3115:
3108:
3101:
3080:
3077:
3076:
3075:
3063:
3060:
3057:
3054:
3034:
3031:
3028:
3025:
3022:
3019:
3016:
3013:
3010:
2990:
2987:
2967:
2964:
2944:
2924:
2904:
2884:
2864:
2844:
2824:
2821:
2801:
2798:
2778:
2775:
2772:
2769:
2766:
2763:
2760:
2757:
2754:
2749:
2745:
2741:
2738:
2735:
2732:
2729:
2726:
2723:
2718:
2714:
2710:
2705:
2701:
2697:
2692:
2688:
2684:
2681:
2670:projection map
2657:
2654:
2651:
2648:
2645:
2640:
2636:
2632:
2627:
2623:
2619:
2614:
2610:
2606:
2603:
2600:
2597:
2594:
2591:
2588:
2583:
2579:
2575:
2570:
2566:
2562:
2557:
2553:
2549:
2546:
2523:
2520:
2517:
2514:
2511:
2506:
2502:
2498:
2493:
2489:
2485:
2482:
2479:
2476:
2473:
2470:
2467:
2464:
2461:
2456:
2452:
2448:
2443:
2439:
2435:
2430:
2426:
2422:
2419:
2396:
2370:
2367:
2364:
2360:
2357:
2354:
2325:
2305:
2281:
2278:
2275:
2272:
2269:
2264:
2260:
2256:
2251:
2247:
2243:
2238:
2234:
2230:
2202:
2191:
2179:
2159:
2156:
2153:
2133:
2111:
2105:
2102:
2100:
2097:
2096:
2093:
2090:
2088:
2085:
2084:
2082:
2077:
2072:
2066:
2063:
2061:
2058:
2057:
2054:
2051:
2049:
2046:
2045:
2043:
2036:
2030:
2027:
2025:
2022:
2021:
2018:
2015:
2013:
2010:
2009:
2007:
1981:
1971:if and only if
1956:
1950:
1947:
1945:
1942:
1941:
1938:
1935:
1933:
1930:
1929:
1927:
1905:
1902:
1899:
1896:
1893:
1871:
1865:
1862:
1859:
1857:
1854:
1853:
1850:
1847:
1844:
1841:
1838:
1835:
1833:
1830:
1827:
1826:
1824:
1819:
1814:
1808:
1805:
1803:
1800:
1799:
1796:
1793:
1791:
1788:
1787:
1785:
1778:
1772:
1769:
1767:
1764:
1763:
1760:
1757:
1755:
1752:
1751:
1749:
1725:
1719:
1716:
1713:
1711:
1708:
1707:
1704:
1701:
1698:
1695:
1692:
1689:
1687:
1684:
1681:
1680:
1678:
1673:
1668:
1662:
1659:
1657:
1654:
1653:
1650:
1647:
1645:
1642:
1641:
1639:
1632:
1626:
1623:
1621:
1618:
1617:
1614:
1611:
1609:
1606:
1605:
1603:
1580:
1576:
1572:
1567:
1563:
1560:
1539:
1535:
1532:
1529:
1526:
1504:
1498:
1495:
1493:
1490:
1489:
1486:
1483:
1481:
1478:
1477:
1475:
1460:
1457:
1456:
1455:
1443:
1440:
1437:
1434:
1414:
1411:
1408:
1388:
1385:
1380:
1376:
1372:
1369:
1366:
1363:
1358:
1355:
1352:
1348:
1344:
1341:
1338:
1335:
1332:
1329:
1326:
1323:
1320:
1317:
1314:
1311:
1291:
1288:
1285:
1282:
1270:. Then in the
1259:
1256:
1253:
1230:
1210:
1186:
1166:
1155:
1143:
1140:
1137:
1134:
1131:
1111:
1108:
1105:
1102:
1099:
1096:
1093:
1090:
1087:
1084:
1081:
1078:
1075:
1072:
1069:
1066:
1044:
1040:
1017:
1013:
1009:
1004:
1000:
988:direct product
972:
967:
961:
958:
956:
953:
952:
949:
946:
944:
941:
940:
938:
933:
928:
922:
919:
917:
914:
913:
910:
907:
905:
902:
901:
899:
892:
886:
883:
881:
878:
877:
874:
871:
869:
866:
865:
863:
858:
853:
847:
844:
842:
839:
838:
835:
832:
830:
827:
826:
824:
817:
811:
808:
806:
803:
802:
799:
796:
794:
791:
790:
788:
767:
762:
756:
753:
751:
748:
747:
744:
741:
739:
736:
735:
733:
728:
723:
717:
714:
712:
709:
708:
705:
702:
700:
697:
696:
694:
687:
681:
678:
676:
673:
670:
669:
666:
663:
661:
658:
655:
654:
652:
647:
642:
636:
633:
630:
628:
625:
622:
621:
618:
615:
613:
610:
609:
607:
600:
594:
591:
589:
586:
585:
582:
579:
577:
574:
573:
571:
559:
558:
531:
519:
516:
513:
510:
507:
504:
501:
498:
495:
492:
489:
486:
483:
480:
477:
457:
454:
451:
437:
430:
418:
393:
381:
367:
364:
359:
354:
351:
346:
341:
338:
333:
328:
325:
301:
298:
274:
270:
266:
261:
243:
240:
26:
24:
14:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
3765:
3754:
3751:
3749:
3746:
3744:
3741:
3740:
3738:
3726:
3725:
3720:
3717:
3712:
3709:
3707:1-4020-2690-0
3703:
3699:
3695:
3691:
3687:
3683:
3682:
3677:
3673:
3672:
3668:
3659:
3655:
3649:
3647:
3643:
3639:. p. 15.
3638:
3634:
3627:
3624:
3619:
3612:
3609:
3604:
3600:
3594:
3591:
3584:
3574:
3570:
3566:
3560:
3556:differs from
3554:
3548:
3544:
3537:
3534:
3527:
3523:
3520:
3517:
3514:
3512:
3509:
3508:
3504:
3502:
3499:
3495:
3481:
3475:
3467:
3444:
3436:
3423:
3411:
3392:
3372:
3366:
3361:
3357:
3352:
3348:
3344:
3341:
3333:
3328:
3323:
3322:
3321:
3319:
3299:
3286:
3281:
3276:
3272:
3258:
3253:
3248:
3247:
3246:
3242:
3233:
3227:
3223:
3219:implies that
3217:
3213:
3207:
3202:
3198:
3194:
3190:
3187:
3183:
3176:
3169:
3163:
3159:, because if
3158:
3154:
3151:
3147:
3135:
3123:
3122:
3118:
3113:
3109:
3106:
3105:division ring
3102:
3099:
3095:
3091:
3087:
3083:
3082:
3078:
3061:
3058:
3055:
3052:
3032:
3029:
3026:
3023:
3020:
3017:
3014:
3011:
3008:
2988:
2985:
2965:
2962:
2942:
2922:
2902:
2882:
2862:
2842:
2822:
2819:
2799:
2796:
2773:
2770:
2767:
2764:
2761:
2758:
2755:
2752:
2747:
2743:
2736:
2730:
2727:
2724:
2721:
2716:
2712:
2708:
2703:
2699:
2695:
2690:
2686:
2679:
2671:
2652:
2649:
2646:
2643:
2638:
2634:
2630:
2625:
2621:
2617:
2612:
2608:
2601:
2595:
2592:
2589:
2586:
2581:
2577:
2573:
2568:
2564:
2560:
2555:
2551:
2544:
2537:
2518:
2515:
2512:
2509:
2504:
2500:
2496:
2491:
2487:
2483:
2480:
2474:
2468:
2465:
2462:
2459:
2454:
2450:
2446:
2441:
2437:
2433:
2428:
2424:
2417:
2410:
2394:
2386:
2385:
2365:
2343:
2340:addition and
2339:
2323:
2303:
2295:
2294:additive maps
2276:
2273:
2270:
2267:
2262:
2258:
2254:
2249:
2245:
2241:
2236:
2232:
2220:
2216:
2200:
2192:
2177:
2157:
2154:
2151:
2131:
2109:
2103:
2098:
2091:
2086:
2080:
2075:
2070:
2064:
2059:
2052:
2047:
2041:
2034:
2028:
2023:
2016:
2011:
2005:
1995:
1979:
1972:
1954:
1948:
1943:
1936:
1931:
1925:
1903:
1900:
1897:
1894:
1891:
1869:
1863:
1860:
1855:
1848:
1845:
1842:
1839:
1836:
1831:
1828:
1822:
1817:
1812:
1806:
1801:
1794:
1789:
1783:
1776:
1770:
1765:
1758:
1753:
1747:
1723:
1717:
1714:
1709:
1702:
1699:
1696:
1693:
1690:
1685:
1682:
1676:
1671:
1666:
1660:
1655:
1648:
1643:
1637:
1630:
1624:
1619:
1612:
1607:
1601:
1574:
1570:
1561:
1558:
1533:
1530:
1527:
1524:
1502:
1496:
1491:
1484:
1479:
1473:
1463:
1462:
1458:
1438:
1432:
1412:
1409:
1406:
1386:
1383:
1378:
1374:
1370:
1367:
1364:
1356:
1353:
1350:
1346:
1342:
1339:
1336:
1333:
1330:
1327:
1318:
1315:
1312:
1286:
1280:
1273:
1257:
1254:
1251:
1244:
1228:
1208:
1200:
1184:
1164:
1156:
1138:
1135:
1132:
1106:
1103:
1100:
1094:
1088:
1085:
1082:
1073:
1070:
1067:
1042:
1038:
1015:
1011:
1007:
1002:
998:
989:
985:
984:
983:
970:
965:
959:
954:
947:
942:
936:
931:
926:
920:
915:
908:
903:
897:
890:
884:
879:
872:
867:
861:
856:
851:
845:
840:
833:
828:
822:
815:
809:
804:
797:
792:
786:
765:
760:
754:
749:
742:
737:
731:
726:
721:
715:
710:
703:
698:
692:
685:
679:
674:
671:
664:
659:
656:
650:
645:
640:
634:
631:
626:
623:
616:
611:
605:
598:
592:
587:
580:
575:
569:
556:
552:
548:
544:
542:
538:
532:
517:
511:
508:
505:
499:
496:
493:
487:
484:
481:
475:
455:
452:
449:
442:
438:
435:
431:
416:
408:
382:
362:
357:
349:
344:
336:
331:
323:
296:
286:
268:
264:
250:
246:
245:
241:
239:
237:
233:
229:
225:
221:
217:
213:
209:
205:
204:right regular
201:
197:
192:
190:
184:
178:
171:
165:
161:(the nonzero
160:
155:
150:
146:
140:
134:
128:
123:
118:
113:
108:
102:
96:
90:
85:
79:
73:
67:
62:
57:
53:
48:
44:
40:
33:
19:
3722:
3697:
3679:
3657:
3632:
3626:
3617:
3611:
3602:
3593:
3572:
3568:
3564:
3558:
3552:
3546:
3542:
3536:
3497:
3493:
3482:
3462:
3406:
3376:
3364:
3350:
3326:
3317:
3311:
3297:
3284:
3274:
3270:
3251:
3240:
3237:
3225:
3221:
3215:
3211:
3205:
3192:
3188:
3185:
3181:
3174:
3167:
3161:
3098:finite field
3090:prime number
3079:Non-examples
2915:. However,
2669:
2535:
2408:
2382:
2221:of integers
560:
550:
540:
536:
227:
223:
219:
215:
211:
207:
203:
199:
196:left regular
195:
193:
182:
176:
169:
163:
158:
153:
149:zero divisor
148:
138:
132:
126:
121:
116:
106:
100:
94:
88:
77:
71:
65:
60:
59:is called a
55:
46:
36:
18:Zero-divisor
3748:Ring theory
3599:N. Bourbaki
3562:, and thus
3550:, in which
3201:cancellable
3150:determinant
2409:right shift
2342:composition
216:cancellable
189:commutative
98:that sends
3753:0 (number)
3737:Categories
3585:References
3393:, and let
3267:satisfies
3119:Properties
2668:, and the
2536:left shift
1272:group ring
1241:of finite
1030:with each
180:such that
167:such that
136:such that
75:such that
3724:MathWorld
3686:EMS Press
3633:Algebra I
3432:→
3257:zero ring
2338:pointwise
2219:sequences
1901:≠
1895:≠
1562:∈
1534:∈
1410:−
1371:−
1354:−
1340:⋯
1316:−
1057:nonzero,
1008:×
672:−
657:−
632:−
624:−
509:−
485:−
453:≠
434:nilpotent
366:¯
353:¯
340:¯
332:×
327:¯
300:¯
230:. A non-
112:injective
3656:(1980),
3601:(1989),
3505:See also
3410:-regular
3277: 0
3045:, while
1996:, since
1302:one has
555:matrices
543:matrices
535:ring of
407:integers
242:Examples
3688:, 2001
3358:of the
3304:yields
3298:nonzero
3292:, then
3259:, then
3178:, then
2336:, with
2217:of all
2213:be the
1916:, then
1592:. Then
545:over a
247:In the
218:, or a
212:regular
110:is not
43:element
3704:
3416:" map
3391:module
3385:be an
3273:= 0 =
3086:modulo
2534:, the
2381:, the
236:domain
3575:) = 0
3528:Notes
3461:is a
3356:union
3290:0 = 1
3157:units
3152:zero.
2296:from
1884:. If
1517:with
1243:order
1199:group
1197:be a
1122:, so
547:field
226:or a
86:from
50:of a
41:, an
3702:ISBN
3377:Let
3184:0 =
3180:0 =
3094:unit
2812:and
1994:even
1738:and
1551:and
1255:>
1157:Let
533:The
249:ring
232:zero
52:ring
3476:in
3405:is
3362:of
3334:in
3318:all
3282:If
3249:If
3243:= 0
3170:= 0
2895:to
2316:to
2215:set
2170:is
1992:is
439:An
409:is
405:of
214:or
206:or
198:or
185:= 0
172:= 0
141:= 0
130:in
104:to
92:to
84:map
80:= 0
69:in
37:In
3739::
3721:.
3684:,
3678:,
3645:^
3635:.
3571:−
3547:ay
3545:=
3543:ax
3496:=
3480:.
3224:=
3216:ay
3214:=
3212:ax
3191:=
3189:ax
3168:ax
3088:a
986:A
432:A
238:.
183:ya
170:ax
139:ya
107:ax
78:ax
3727:.
3577:.
3573:y
3569:x
3567:(
3565:a
3559:y
3553:x
3498:R
3494:M
3489:M
3485:M
3478:R
3470:M
3465:M
3459:a
3445:M
3437:a
3424:M
3414:a
3408:M
3403:a
3399:R
3395:a
3389:-
3387:R
3383:M
3379:R
3368:.
3365:R
3351:R
3336:R
3327:R
3314:0
3308:.
3306:0
3302:0
3294:0
3285:R
3279:.
3275:x
3271:x
3269:0
3265:x
3261:0
3252:R
3241:a
3226:y
3222:x
3206:a
3193:x
3186:a
3182:a
3175:x
3162:a
3142:n
3138:n
3130:n
3126:n
3114:.
3100:.
3062:1
3059:=
3056:R
3053:L
3033:L
3030:R
3027:P
3024:=
3021:0
3018:=
3015:P
3012:L
3009:R
2989:L
2986:R
2966:R
2963:L
2943:R
2923:L
2903:S
2883:S
2863:R
2843:L
2823:R
2820:P
2800:P
2797:L
2777:)
2774:.
2771:.
2768:.
2765:,
2762:0
2759:,
2756:0
2753:,
2748:1
2744:a
2740:(
2737:=
2734:)
2731:.
2728:.
2725:.
2722:,
2717:3
2713:a
2709:,
2704:2
2700:a
2696:,
2691:1
2687:a
2683:(
2680:P
2656:)
2653:.
2650:.
2647:.
2644:,
2639:4
2635:a
2631:,
2626:3
2622:a
2618:,
2613:2
2609:a
2605:(
2602:=
2599:)
2596:.
2593:.
2590:.
2587:,
2582:3
2578:a
2574:,
2569:2
2565:a
2561:,
2556:1
2552:a
2548:(
2545:L
2522:)
2519:.
2516:.
2513:.
2510:,
2505:2
2501:a
2497:,
2492:1
2488:a
2484:,
2481:0
2478:(
2475:=
2472:)
2469:.
2466:.
2463:.
2460:,
2455:3
2451:a
2447:,
2442:2
2438:a
2434:,
2429:1
2425:a
2421:(
2418:R
2395:S
2369:)
2366:S
2363:(
2359:d
2356:n
2353:E
2324:S
2304:S
2280:)
2277:.
2274:.
2271:.
2268:,
2263:3
2259:a
2255:,
2250:2
2246:a
2242:,
2237:1
2233:a
2229:(
2201:S
2178:0
2158:z
2155:,
2152:x
2132:z
2110:)
2104:0
2099:0
2092:x
2087:0
2081:(
2076:=
2071:)
2065:0
2060:0
2053:1
2048:0
2042:(
2035:)
2029:z
2024:0
2017:y
2012:x
2006:(
1980:x
1955:)
1949:z
1944:0
1937:y
1932:x
1926:(
1904:z
1898:0
1892:x
1870:)
1864:c
1861:z
1856:0
1849:b
1846:z
1843:+
1840:a
1837:y
1832:a
1829:x
1823:(
1818:=
1813:)
1807:z
1802:0
1795:y
1790:x
1784:(
1777:)
1771:c
1766:0
1759:b
1754:a
1748:(
1724:)
1718:c
1715:z
1710:0
1703:c
1700:y
1697:+
1694:b
1691:x
1686:a
1683:x
1677:(
1672:=
1667:)
1661:c
1656:0
1649:b
1644:a
1638:(
1631:)
1625:z
1620:0
1613:y
1608:x
1602:(
1579:Z
1575:2
1571:/
1566:Z
1559:y
1538:Z
1531:z
1528:,
1525:x
1503:)
1497:z
1492:0
1485:y
1480:x
1474:(
1454:.
1442:]
1439:G
1436:[
1433:K
1413:g
1407:1
1387:0
1384:=
1379:n
1375:g
1368:1
1365:=
1362:)
1357:1
1351:n
1347:g
1343:+
1337:+
1334:g
1331:+
1328:1
1325:(
1322:)
1319:g
1313:1
1310:(
1290:]
1287:G
1284:[
1281:K
1258:1
1252:n
1229:g
1209:G
1185:G
1165:K
1142:)
1139:0
1136:,
1133:1
1130:(
1110:)
1107:0
1104:,
1101:0
1098:(
1095:=
1092:)
1089:1
1086:,
1083:0
1080:(
1077:)
1074:0
1071:,
1068:1
1065:(
1043:i
1039:R
1016:2
1012:R
1003:1
999:R
971:.
966:)
960:0
955:0
948:0
943:0
937:(
932:=
927:)
921:0
916:0
909:0
904:1
898:(
891:)
885:1
880:0
873:0
868:0
862:(
857:=
852:)
846:1
841:0
834:0
829:0
823:(
816:)
810:0
805:0
798:0
793:1
787:(
766:,
761:)
755:0
750:0
743:0
738:0
732:(
727:=
722:)
716:2
711:2
704:1
699:1
693:(
686:)
680:1
675:2
665:1
660:2
651:(
646:=
641:)
635:1
627:1
617:1
612:1
606:(
599:)
593:2
588:2
581:1
576:1
570:(
551:n
541:n
537:n
530:.
518:e
515:)
512:e
506:1
503:(
500:=
497:0
494:=
491:)
488:e
482:1
479:(
476:e
456:1
450:e
429:.
417:0
392:Z
380:.
363:0
358:=
350:4
345:=
337:2
324:2
297:2
273:Z
269:4
265:/
260:Z
177:y
164:x
154:a
133:R
127:y
117:a
101:x
95:R
89:R
72:R
66:x
56:R
47:a
34:.
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
