6700:
4359:
902:
882:
3254:
839:
34:
2352:
2854:
3706:
3809:
This matches the intuition that as collections of subsets become smaller, their respective intersections become larger; in the extreme case, the empty collection has an intersection equal to the whole underlying set.
3425:
2214:
769:
697:
1086:
2585:
311:
3239:
660:
2219:
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2086:
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3178:
3018:
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2966:
3807:
817:
3981:
3891:
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3321:
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105:
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3610:
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3551:
3530:
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3119:
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2425:
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1640:
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1552:
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1359:
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1252:
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1156:
1108:
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439:
419:
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220:
174:
154:
56:
3350:
5837:
4978:
4156:"Set Operations | Union | Intersection | Complement | Difference | Mutually Exclusive | Partitions | De Morgan's Law | Distributive Law | Cartesian Product"
701:
6151:
664:
1024:
2521:
6724:
6309:
4268:
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6164:
5487:
4505:
4325:
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5749:
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6169:
6159:
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5093:
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5400:
5141:
4811:
3566:
2347:{\displaystyle {\begin{aligned}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\end{aligned}}}
252:
6663:
6365:
6128:
6123:
5948:
5369:
5053:
774:
3241:". This last example, an intersection of countably many sets, is actually very common; for an example, see the article on
3185:
6658:
6441:
6358:
6071:
6002:
5879:
5121:
4585:
4464:
4187:
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5729:
4828:
6583:
6409:
6095:
5328:
5734:
4821:
6729:
6066:
5805:
5063:
4964:
4459:
4422:
1994:
6461:
6456:
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5980:
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5342:
5033:
20:
5107:
2971:
6680:
6629:
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5985:
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4390:
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5136:
6451:
5990:
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5825:
5548:
5028:
4318:
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5684:
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4675:
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2378:
3952:
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1669:
6643:
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6348:
6315:
6208:
6054:
6039:
6012:
5963:
5847:
5782:
5607:
5573:
5568:
5442:
5273:
5250:
4882:
4763:
4575:
4395:
2888:
1768:
820:
2849:{\displaystyle \left(x\in \bigcap _{A\in M}A\right)\Leftrightarrow \left(\forall A\in M,\ x\in A\right).}
6734:
6573:
6426:
6218:
5936:
5672:
5578:
5437:
5422:
5303:
5278:
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4712:
4632:
4612:
4590:
3272:
2152:
6699:
4155:
6546:
6508:
6385:
6189:
6029:
5953:
5931:
5759:
5717:
5616:
5583:
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5235:
5146:
4872:
4862:
4696:
4627:
4580:
4520:
4407:
4075:
3344:
1945:
846:
6675:
6566:
6551:
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6325:
6251:
6196:
6133:
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5921:
5869:
5637:
5626:
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5126:
5117:
5113:
5048:
5043:
4867:
4778:
4691:
4686:
4681:
4495:
4437:
4375:
4311:
4057:
4045:
3701:{\displaystyle \bigcap M=\bigcap \varnothing =\{x\in X:x\in A{\text{ for all }}A\in \varnothing \}}
3257:
2515:
2145:
1915:
1499:
3306:
6704:
6473:
6436:
6421:
6414:
6397:
6183:
6049:
5975:
5958:
5911:
5724:
5633:
5467:
5452:
5412:
5364:
5349:
5337:
5293:
5268:
5038:
4987:
4790:
4785:
4570:
4525:
4432:
4081:
4039:
3734:
vacuously satisfy the required condition, the intersection of the empty collection of subsets of
2511:
2156:
6201:
5657:
2865:
2115:
6639:
6446:
6256:
6246:
6138:
6019:
5854:
5830:
5611:
5595:
5500:
5477:
5354:
5323:
5288:
5183:
5018:
4647:
4484:
4476:
4447:
4417:
4348:
4286:
4264:
4245:
4223:
4191:
4131:
4110:
3264:
375:
327:
126:
116:
3070:
1912:
Thus the parentheses may be omitted without ambiguity: either of the above can be written as
1738:
1706:
1447:
1113:
955:
179:
84:
6653:
6648:
6541:
6498:
6320:
6281:
6276:
6261:
6087:
6044:
5941:
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5689:
5263:
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4905:
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3711:
3562:
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3896:
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494:
6634:
6624:
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6561:
6516:
6478:
6380:
6300:
6107:
6034:
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5789:
5744:
5712:
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5315:
5258:
5208:
5173:
5131:
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4380:
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4012:
2162:
1796:
1784:
894:
3757:
3470:
2741:
2699:
2450:
2357:
2191:
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1825:
1602:
1320:
1181:
1001:
932:
901:
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352:
61:
6619:
6598:
6556:
6536:
6431:
6286:
5884:
5874:
5864:
5859:
5793:
5667:
5543:
5432:
5427:
5405:
5006:
4940:
4737:
4718:
4622:
4607:
4564:
4500:
4442:
3819:
3737:
3615:
3595:
3575:
3536:
3515:
3493:
3450:
3430:
3326:
3282:
3122:
3104:
3023:
2721:
2679:
2655:
2631:
2607:
2493:
2473:
2430:
2410:
2095:
2039:
1951:
1645:
1625:
1582:
1557:
1537:
1479:
1427:
1407:
1386:
1364:
1344:
1300:
1280:
1257:
1237:
1161:
1141:
1136:
1093:
981:
912:
886:
512:
444:
424:
404:
332:
225:
205:
159:
139:
41:
881:
6718:
6593:
6271:
5778:
5563:
5553:
5523:
5508:
5178:
4945:
4915:
4747:
4661:
4656:
4237:
3558:
3554:
3268:
3242:
1575:
1472:
771:
The intersection of more than two sets (generalized intersection) can be written as:
3253:
897:
scripts, considering only the shapes of the letters and ignoring their pronunciation
6493:
6340:
6241:
6233:
6113:
6061:
5970:
5906:
5889:
5820:
5679:
5538:
5240:
5023:
4895:
4890:
4708:
4637:
4595:
4454:
4358:
1215:
890:
4289:
4259:
Rosen, Kenneth (2007). "Basic
Structures: Sets, Functions, Sequences, and Sums".
6603:
6483:
5662:
5652:
5599:
5283:
5203:
5188:
5068:
5013:
4920:
4555:
4018:
3814:
2089:
1790:
1219:
5533:
5388:
5359:
5165:
4900:
4768:
4671:
4334:
2859:
319:
6685:
6588:
5641:
5558:
5518:
5482:
5418:
5230:
5220:
5193:
4703:
4666:
4617:
4515:
4294:
3300:
3099:
2625:
2033:
1663:
838:
6670:
6468:
5916:
5621:
5215:
3420:{\displaystyle \bigcap _{A\in M}A=\{x:{\text{ for all }}A\in M,x\in A\}.}
3572:
However, when restricted to the context of subsets of a given fixed set
6266:
5058:
4063:
3592:, the notion of the intersection of an empty collection of subsets of
4956:
4728:
4550:
826:
For an explanation of the symbols used in this article, refer to the
764:{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}}
33:
5810:
5156:
5001:
4600:
4367:
3252:
1767:
are disjoint, while the set of even numbers intersects the set of
900:
880:
837:
3323:). The reason is as follows: The intersection of the collection
4960:
4307:
2159:
and union distributes over intersection. That is, for any sets
1207:
The intersection of the sets {1, 2, 3} and {2, 3, 4} is {2, 3}.
978:, is the set of all objects that are members of both the sets
4303:
4190:. Vol. 183. New York: Springer-Verlag. pp. xx+596.
2600:
The most general notion is the intersection of an arbitrary
4042: â Graph representing intersections between given sets
2858:
The notation for this last concept can vary considerably.
692:{\displaystyle \mathbb {Z} \cap \mathbb {N} =\mathbb {N} }
3510:'s satisfy the stated condition?" The answer seems to be
2144:. All these properties follow from analogous facts about
1081:{\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A{\text{ and }}x\in B\}.}
4220:
3557:. So the intersection of the empty family should be the
3182:
When formatting is difficult, this can also be written "
2580:{\displaystyle A\cap B=\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{c}}
306:{\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A{\text{ and }}x\in B\}}
4035:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
4033: â Shape formed from points common to other shapes
3553:
is empty, the condition given above is an example of a
4244:(Second ed.). Upper Saddle River: Prentice Hall.
3983:(the set whose elements are exactly all terms of type
2968:", which refers to the intersection of the collection
4021: â Definition of the number of elements in a set
3989:
3955:
3919:
3899:
3865:
3842:
3822:
3783:
3760:
3740:
3714:
3638:
3618:
3598:
3578:
3565:
for the operation of intersection), but in standard (
3539:
3518:
3496:
3473:
3453:
3433:
3353:
3329:
3309:
3285:
3234:{\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots }
3188:
3135:
3107:
3073:
3046:
3026:
2974:
2929:
2891:
2868:
2767:
2744:
2724:
2702:
2682:
2658:
2634:
2610:
2524:
2496:
2476:
2453:
2433:
2413:
2386:
2360:
2217:
2194:
2165:
2118:
2098:
2062:
2042:
1997:
1974:
1954:
1918:
1853:
1828:
1799:
1741:
1709:
1672:
1648:
1628:
1605:
1585:
1560:
1540:
1502:
1482:
1450:
1430:
1410:
1389:
1367:
1347:
1323:
1303:
1283:
1260:
1240:
1184:
1164:
1144:
1116:
1096:
1027:
1004:
984:
958:
935:
915:
849:
777:
704:
667:
600:
521:
497:
467:
447:
427:
407:
378:
355:
335:
255:
228:
208:
182:
162:
142:
87:
64:
44:
3279:
In the previous section, we excluded the case where
2036:
results in the empty set; that is, that for any set
1622:
In plain language, they have no elements in common.
655:{\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\varnothing }
6612:
6507:
6339:
6232:
6084:
5777:
5700:
5594:
5498:
5387:
5314:
5249:
5164:
5155:
5077:
4994:
4881:
4844:
4756:
4646:
4534:
4475:
4366:
4341:
4015: â Identities and relationships involving sets
246:
132:
122:
112:
4222:(Second ed.). New York, NY: Springer-Verlag.
3995:
3975:
3941:
3905:
3885:
3851:
3828:
3801:
3769:
3746:
3726:
3700:
3624:
3604:
3584:
3545:
3524:
3502:
3482:
3459:
3439:
3419:
3335:
3315:
3291:
3233:
3172:
3113:
3088:
3059:
3032:
3012:
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2915:
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2848:
2753:
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2579:
2502:
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2180:
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2048:
2024:
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1960:
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305:
234:
214:
194:
168:
148:
99:
73:
50:
4027: â Set of the elements not in a given subset
3271:); accordingly the intersection of no set is the
1222:{1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}, because 9 is not prime.
3859:so the intersection is understood to be of type
3569:) set theory, the universal set does not exist.
1905:{\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C.}
2081:{\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }
588:{\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}}
3173:{\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}.}
2923:". The latter notation can be generalized to "
4972:
4319:
2628:set whose elements are themselves sets, then
8:
3695:
3657:
3411:
3376:
3013:{\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}.}
1754:
1742:
1722:
1710:
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1040:
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752:
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570:
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540:
522:
300:
268:
26:
4084: â Set of elements in any of some sets
4078: â Elements in exactly one of two sets
4054: â Equalities for combinations of sets
3942:{\displaystyle \bigcap _{A\in \emptyset }A}
5798:
5393:
5161:
4979:
4965:
4957:
4326:
4312:
4304:
2514:of their complements, derived easily from
491:Intersection is written using the symbol "
32:
25:
16:Set of elements common to all of some sets
4261:Discrete Mathematics and Its Applications
3988:
3956:
3954:
3924:
3918:
3898:
3866:
3864:
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3577:
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3517:
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3352:
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3206:
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2952:
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2931:
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2766:
2743:
2723:
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2633:
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2412:
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2216:
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2117:
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2041:
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1973:
1953:
1917:
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1627:
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1302:
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1163:
1143:
1115:
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599:
520:
496:
466:
446:
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406:
377:
354:
334:
286:
254:
227:
207:
181:
161:
141:
86:
63:
43:
3893:(the type of sets whose elements are in
2961:{\displaystyle {\bigcap }_{i\in I}A_{i}}
2510:may be written as the complement of the
19:For broader coverage of this topic, see
4263:(Sixth ed.). Boston: McGraw-Hill.
4094:
3802:{\displaystyle \bigcap \varnothing =X.}
3787:
3692:
3651:
3310:
2075:
2069:
1685:
885:Intersections of the unaccented modern
812:{\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}}
649:
4184:An introduction to Banach space theory
3263:The conjunction of no argument is the
1662:are disjoint if their intersection is
401:is the set containing all elements of
3976:{\displaystyle \mathrm {set} \ \tau }
3886:{\displaystyle \mathrm {set} \ \tau }
2032:The intersection of any set with the
1694:{\displaystyle A\cap B=\varnothing .}
1218:{2, 3, 5, 7, 11, ...} and the set of
7:
4150:
4148:
4052:List of set identities and relations
4048: â Branch of algebraic geometry
2916:{\displaystyle {\bigcap }_{A\in M}A}
2885:", while others will instead write "
2088:Also, the intersection operation is
1781:List of set identities and relations
905:Example of an intersection with sets
3612:is well-defined. In that case, if
3125:, notation analogous to that of an
3963:
3960:
3957:
3931:
3873:
3870:
3867:
3152:
2811:
1214:in the intersection of the set of
1110:is an element of the intersection
14:
4031:Intersection (Euclidean geometry)
2470:Furthermore, the intersection of
2427:to be the set of all elements of
1793:operation; that is, for any sets
1476:, meaning that there exists some
511:" between the terms; that is, in
441:or equivalently, all elements of
202:of elements that lie in both set
6698:
4357:
4240:(2000). "Set Theory and Logic".
2025:{\displaystyle A\cap B=B\cap A.}
3490:so the question becomes "which
3260:of the arguments in parentheses
1340:in which case we also say that
4060: â Logical connective AND
3632:is empty, its intersection is
2803:
2337:
2325:
2319:
2307:
2301:
2289:
2276:
2264:
2258:
2246:
2240:
2228:
1890:
1878:
1872:
1860:
1227:Intersecting and disjoint sets
871:{\displaystyle ~A\cap B\cap C}
1:
6659:History of mathematical logic
4188:Graduate Texts in Mathematics
4072: â Informal set theories
4066: â Data mining technique
1937:{\displaystyle A\cap B\cap C}
1524:{\displaystyle x\in A\cap B.}
909:The intersection of two sets
828:table of mathematical symbols
38:The intersection of two sets
6725:Basic concepts in set theory
6584:Primitive recursive function
3447:is empty, there are no sets
3316:{\displaystyle \varnothing }
1771:of 3 at the multiples of 6.
3949:to be the universal set of
3343:is defined as the set (see
1297:that is an element of both
842:Intersection of three sets:
6751:
5648:SchröderâBernstein theorem
5375:Monadic predicate calculus
5034:Foundations of mathematics
4817:von NeumannâBernaysâGödel
4132:"Stats: Probability Rules"
2593:
1789:Binary intersection is an
1778:
21:Intersection (mathematics)
18:
6694:
6681:Philosophy of mathematics
6630:Automated theorem proving
5801:
5755:Von NeumannâBernaysâGödel
5396:
4618:One-to-one correspondence
4355:
4160:www.probabilitycourse.com
2878:{\displaystyle \bigcap M}
2596:Iterated binary operation
2137:{\displaystyle A\cap A=A}
31:
3836:is of a prescribed type
487:Notation and terminology
394:{\displaystyle A\cap B,}
81:represented by circles.
6331:Self-verifying theories
6152:Tarski's axiomatization
5103:Tarski's undefinability
5098:incompleteness theorems
3089:{\displaystyle i\in I.}
3040:is a nonempty set, and
2604:collection of sets. If
2590:Arbitrary intersections
1944:. Intersection is also
1760:{\displaystyle \{3,4\}}
1728:{\displaystyle \{1,2\}}
1463:{\displaystyle A\cap B}
1129:{\displaystyle A\cap B}
971:{\displaystyle A\cap B}
195:{\displaystyle A\cap B}
100:{\displaystyle A\cap B}
6705:Mathematics portal
6316:Proof of impossibility
5964:propositional variable
5274:Propositional calculus
4576:Constructible universe
4403:Constructibility (V=L)
4103:"Intersection of Sets"
3997:
3977:
3943:
3907:
3887:
3853:
3852:{\displaystyle \tau ,}
3830:
3803:
3771:
3748:
3728:
3727:{\displaystyle x\in X}
3702:
3626:
3606:
3586:
3547:
3526:
3504:
3484:
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3441:
3421:
3337:
3317:
3293:
3276:
3235:
3174:
3156:
3115:
3090:
3061:
3034:
3014:
2962:
2917:
2879:
2862:will sometimes write "
2850:
2755:
2732:
2713:
2690:
2666:
2642:
2618:
2581:
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2464:
2441:
2421:
2401:
2371:
2348:
2205:
2182:
2138:
2106:
2082:
2050:
2026:
1985:
1962:
1938:
1906:
1839:
1816:
1761:
1729:
1703:For example, the sets
1695:
1656:
1636:
1616:
1593:
1568:
1548:
1525:
1490:
1464:
1444:if their intersection
1438:
1418:
1397:
1375:
1355:
1334:
1311:
1291:
1268:
1248:
1195:
1172:
1158:is both an element of
1152:
1130:
1104:
1082:
1015:
992:
972:
946:
923:
906:
898:
878:
872:
821:capital-sigma notation
813:
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765:
693:
656:
589:
505:
478:
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415:
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366:
343:
307:
236:
216:
196:
170:
150:
101:
75:
52:
6574:Kolmogorov complexity
6527:Computably enumerable
6427:Model complete theory
6219:Principia Mathematica
5279:Propositional formula
5108:BanachâTarski paradox
4799:Principia Mathematica
4633:Transfinite induction
4492:(i.e. set difference)
4182:(1998). "Chapter 1".
4134:. People.richland.edu
3998:
3996:{\displaystyle \tau }
3978:
3944:
3913:), and we can define
3908:
3906:{\displaystyle \tau }
3888:
3854:
3831:
3804:
3772:
3749:
3729:
3703:
3627:
3607:
3587:
3548:
3527:
3505:
3485:
3462:
3442:
3422:
3338:
3318:
3294:
3256:
3236:
3175:
3136:
3116:
3098:In the case that the
3091:
3062:
3060:{\displaystyle A_{i}}
3035:
3015:
2963:
2918:
2880:
2851:
2756:
2733:
2714:
2691:
2667:
2648:is an element of the
2643:
2619:
2594:Further information:
2582:
2505:
2485:
2465:
2442:
2422:
2402:
2400:{\displaystyle A^{c}}
2372:
2349:
2206:
2183:
2139:
2107:
2083:
2051:
2027:
1986:
1963:
1939:
1907:
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1730:
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1657:
1637:
1617:
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1569:
1549:
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1356:
1335:
1312:
1292:
1277:if there exists some
1269:
1249:
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657:
590:
506:
504:{\displaystyle \cap }
479:
456:
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237:
217:
197:
171:
151:
102:
76:
53:
6522:ChurchâTuring thesis
6509:Computability theory
5718:continuum hypothesis
5236:Square of opposition
5094:Gödel's completeness
4873:Burali-Forti paradox
4628:Set-builder notation
4581:Continuum hypothesis
4521:Symmetric difference
4180:Megginson, Robert E.
4076:Symmetric difference
3987:
3953:
3917:
3897:
3863:
3840:
3820:
3781:
3758:
3738:
3712:
3636:
3616:
3596:
3576:
3537:
3516:
3494:
3471:
3451:
3431:
3351:
3345:set-builder notation
3327:
3307:
3283:
3249:Nullary intersection
3186:
3133:
3105:
3071:
3044:
3024:
2972:
2927:
2889:
2866:
2765:
2742:
2722:
2700:
2680:
2656:
2632:
2608:
2522:
2494:
2474:
2451:
2431:
2411:
2384:
2358:
2215:
2192:
2181:{\displaystyle A,B,}
2163:
2116:
2096:
2060:
2040:
1995:
1972:
1952:
1916:
1851:
1826:
1815:{\displaystyle A,B,}
1797:
1775:Algebraic properties
1739:
1707:
1670:
1646:
1626:
1603:
1583:
1558:
1538:
1500:
1480:
1448:
1428:
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1345:
1321:
1301:
1281:
1258:
1238:
1182:
1162:
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1114:
1094:
1025:
1002:
982:
956:
933:
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