4974:
2856:
4353:
3867:
2328:
5210:
4969:{\displaystyle \sum _{j_{7}j_{8}}(2j_{7}+1)(2j_{8}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}'\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{3}j_{3}'}\delta _{j_{6}j_{6}'}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{6}&j_{9}\end{Bmatrix}}}{(2j_{3}+1)(2j_{6}+1)}}.}
20:
3403:
4333:
2851:{\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{4}&j_{7}\\j_{2}&j_{5}&j_{8}\\j_{3}&j_{6}&j_{9}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{9}&j_{6}&j_{3}\\j_{8}&j_{5}&j_{2}\\j_{7}&j_{4}&j_{1}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{7}&j_{4}&j_{1}\\j_{9}&j_{6}&j_{3}\\j_{8}&j_{5}&j_{2}\end{Bmatrix}}.}
3433:
2966:
2304:
3925:
3862:{\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=\sum _{x}(-1)^{2x}(2x+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{4}&j_{7}\\j_{8}&j_{9}&x\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{5}&j_{8}\\j_{4}&x&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{6}&j_{9}\\x&j_{1}&j_{2}\end{Bmatrix}}}
3398:{\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=(-1)^{S}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=(-1)^{S}{\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\\j_{8}&j_{7}&j_{9}\end{Bmatrix}}.}
1799:
1841:
301:
4328:{\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{3},j_{6}}\delta _{j_{7},j_{8}}}{\sqrt {(2j_{3}+1)(2j_{7}+1)}}}(-1)^{j_{2}+j_{3}+j_{4}+j_{7}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{7}\end{Bmatrix}}.}
1472:
516:
2299:{\displaystyle |((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}m_{9}\rangle =\sum _{j_{3}}\sum _{j_{6}}|((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}m_{9}\rangle \langle ((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}|((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}\rangle .}
59:
1794:{\displaystyle |j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{4}m_{4}\rangle |j_{5}m_{5}\rangle ,\;\;m_{1}=-j_{1},\ldots ,j_{1};\;\;m_{2}=-j_{2},\ldots ,j_{2};\;\;m_{4}=-j_{4},\ldots ,j_{4};\;\;m_{5}=-j_{5},\ldots ,j_{5}.}
1344:
948:
30:. Plus signs on each nodes indicate an anticlockwise reading of the lines for the 3-jm symbol, whereas minus signs indicate clockwise. Due to its symmetries, there are many ways in which the diagram can be drawn.
689:
1464:
305:
2955:
1804:
Hence, the transformation between the two sets is unitary and the matrix elements of the transformation are given by the scalar products of the functions. As in the case of the
1212:
1183:
1154:
1125:
1096:
1067:
1038:
1009:
980:
816:
787:
758:
729:
610:
581:
552:
296:{\displaystyle {\sqrt {(2j_{3}+1)(2j_{6}+1)(2j_{7}+1)(2j_{8}+1)}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}}
2895:
3909:
1833:
637:
5239:
5606:
5361:
1220:
824:
5370:
702:. Using the notation and techniques of that article, total angular momentum states that arise from coupling the angular momentum vectors
5497:
5451:
5428:
5401:
5341:
5316:
5261:
642:
5177:
692:
1352:
5474:
5289:
5601:
5108:
511:{\displaystyle =\langle ((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}|((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}\rangle .}
5611:
5333:
5308:
5222:
47:
5232:
5226:
5218:
2903:
5243:
5168:
on 8 vertices. Symmetry relations are generally representative of the automorphism group of these graphs.
19:
1188:
1159:
1130:
1101:
1072:
1043:
1014:
985:
956:
792:
763:
734:
705:
586:
557:
528:
5516:
5443:
5188:
1805:
699:
43:
5493:
5470:
5447:
5424:
5397:
5366:
5356:
5337:
5312:
5285:
2864:
698:
Coupling of three angular momenta can be done in several ways, as explained in the article on
51:
3881:
1808:
the matrix elements are independent of the total angular momentum projection quantum number (
5524:
5489:
2319:
5380:
1811:
615:
5420:
5376:
5156:
1349:
Both sets of functions provide a complete, orthonormal basis for the space with dimension
5520:
5466:
5327:
5301:
5281:
5130:
5413:
5595:
5141:
23:
5564:
5165:
5278:
Quantum Theory of
Angular Momentum: A collection of Reprints and Original Papers
4980:
27:
5554:
5193:
5182:
5043:
3916:
5544:
5507:
Jahn, H. A.; Hope, J. (1954). "Symmetry properties of the Wigner 9j symbol".
5583:
5528:
5573:
5393:
1339:{\displaystyle |((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}m_{9}\rangle .}
943:{\displaystyle |((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}m_{9}\rangle .}
26:
for the Wigner 9-j symbol. The diagram describes a summation over six
2318:
symbol is invariant under reflection about either diagonal as well as
5089:
coefficients admit, i.e., which lead to non-vanishing contributions.
5359:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.),
18:
5484:
Varshalovich, D. A.; Moskalev, A. N.; Khersonskii, V. K. (1988).
5096:
factor is represented by a vertex and each j by an edge, these
5203:
684:{\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {j} _{1}+\mathbf {j} _{2}}
3417:
symbols can be calculated as sums over triple-products of 6-
2861:
An odd permutation of rows or columns yields a phase factor
5352:
5030:) satisfies the triangle conditions, and zero otherwise.
5326:
Condon, Edward U.; Shortley, G. H. (1970). "Chapter 3".
1459:{\displaystyle (2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{4}+1)(2j_{5}+1)}
4863:
4813:
4763:
4565:
4439:
4239:
3934:
3783:
3702:
3621:
3442:
3271:
3123:
2975:
2724:
2595:
2466:
2337:
583:
is the construction of simultaneous eigenfunctions of
172:
4356:
3928:
3884:
3436:
2969:
2906:
2867:
2331:
1844:
1814:
1475:
1355:
1223:
1191:
1162:
1133:
1104:
1075:
1046:
1017:
988:
959:
827:
795:
766:
737:
708:
645:
618:
589:
560:
531:
308:
62:
5553:
Plasma
Laboratory of Weizmann Institute of Science.
5074:
coefficients. The sums are over all combinations of
3427:
admitted by the triangle conditions in the factors:
5411:Brink, D. M.; Satchler, G. R. (1993). "Chapter 2".
5412:
5300:
4968:
4327:
3903:
3861:
3397:
2949:
2889:
2850:
2298:
1827:
1793:
1458:
1338:
1206:
1177:
1148:
1119:
1090:
1061:
1032:
1003:
974:
942:
810:
781:
752:
723:
683:
631:
604:
575:
546:
510:
295:
5231:but its sources remain unclear because it lacks
5064:symbols that are defined as sums of products of
4347:symbols satisfy this orthogonality relation:
3421:symbols where the summation extends over all
8:
5151:), and the two distinct (non-isomorphic) 12-
2290:
2100:
2097:
1951:
1585:
1557:
1529:
1501:
1330:
934:
502:
312:
521:Recoupling of four angular momentum vectors
1742:
1741:
1692:
1691:
1642:
1641:
1592:
1591:
5262:Learn how and when to remove this message
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4782:
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4758:
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4737:
4732:
4717:
4707:
4702:
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4678:
4666:
4654:
4637:
4625:
4613:
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4546:
4534:
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4355:
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2982:
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2731:
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2678:
2664:
2652:
2640:
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2602:
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2162:
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2123:
2113:
2091:
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2045:
2029:
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1991:
1983:
1978:
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1474:
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1169:
1164:
1161:
1140:
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1103:
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307:
279:
267:
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217:
203:
191:
179:
167:
150:
125:
100:
75:
63:
61:
5461:Biedenharn, L. C.; Louck, J. D. (1981).
5362:NIST Handbook of Mathematical Functions
5276:Biedenharn, L. C.; van Dam, H. (1965).
2950:{\displaystyle S=\sum _{i=1}^{9}j_{i}.}
5438:Zare, Richard N. (1988). "Chapter 2".
5303:Angular Momentum in Quantum Mechanics
7:
953:Alternatively, one may first couple
5607:Representation theory of Lie groups
5588:(fast lookup, accurate; C, fortran)
5463:Angular Momentum in Quantum Physics
5559:(Answer as floating point numbers)
5486:Quantum Theory of Angular Momentum
14:
5549:(Gives answer in exact fractions)
5107:symbols can be mapped on certain
691:, as explained in the article on
5208:
1207:{\displaystyle \mathbf {j} _{9}}
1194:
1178:{\displaystyle \mathbf {j} _{8}}
1165:
1149:{\displaystyle \mathbf {j} _{7}}
1136:
1120:{\displaystyle \mathbf {j} _{8}}
1107:
1091:{\displaystyle \mathbf {j} _{5}}
1078:
1062:{\displaystyle \mathbf {j} _{2}}
1049:
1033:{\displaystyle \mathbf {j} _{7}}
1020:
1004:{\displaystyle \mathbf {j} _{4}}
991:
975:{\displaystyle \mathbf {j} _{1}}
962:
811:{\displaystyle \mathbf {j} _{5}}
798:
782:{\displaystyle \mathbf {j} _{4}}
769:
753:{\displaystyle \mathbf {j} _{2}}
740:
724:{\displaystyle \mathbf {j} _{1}}
711:
671:
656:
647:
605:{\displaystyle \mathbf {J} ^{2}}
592:
576:{\displaystyle \mathbf {j} _{2}}
563:
547:{\displaystyle \mathbf {j} _{1}}
534:
525:Coupling of two angular momenta
54:involving four angular momenta:
16:Symbol used in quantum mechanics
5545:"Wigner coefficient calculator"
5578:(accurate; C, fortran, python)
5563:Fack, Veerl; van Dyck, Dries.
5365:, Cambridge University Press,
5129:symbol is associated with the
5009:is equal to 1 when the triad (
4957:
4935:
4932:
4910:
4431:
4409:
4406:
4384:
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2878:
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