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25:
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4928:
100:
2875:
952:
as well as positive, although often the term is restricted to positive divisors. For example, there are six divisors of 4; they are 1, 2, 4, −1, −2, and −4, but only the positive ones (1, 2, and 4) would usually be mentioned.
3509:
3002:
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2577:; the eight divisors of 42 are 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 and 42. However, the number of positive divisors is not a totally multiplicative function: if the two numbers
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81:
This article is about an integer that is a factor of another integer. For a number used to divide another number in a division operation, see
3978:
3767:
956:
1 and −1 divide (are divisors of) every integer. Every integer (and its negation) is a divisor of itself. Integers divisible by 2 are called
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4267:"FoCaLiZe and Dedukti to the Rescue for Proof Interoperability by Raphael Cauderlier and Catherine Dubois"
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2181:. Equivalently, a prime number is a positive integer that has exactly two positive factors: 1 and itself.
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In definitions that allow the divisor to be 0, the relation of divisibility turns the set
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3639:. The largest element of this lattice is 0 and the smallest is 1. The meet operation
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that allow one to recognize certain divisors of a number from the number's digits.
1070:
4301:
4347:
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3538:. One interpretation of this result is that a randomly chosen positive integer
5085:
5080:
4927:
4565:
4454:
4411:, Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
99:
3504:{\displaystyle d(1)+d(2)+\cdots +d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}),}
2997:{\displaystyle n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}}
4948:
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3220:{\displaystyle p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}}
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4225:
4223:
4034:{\displaystyle \Rightarrow \exists j\colon ja=b,\,\exists k\colon ka=c}
3823:{\displaystyle \Rightarrow \exists j\colon ja=b,\,\exists k\colon ka=c}
401:
170:
2570:{\displaystyle d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)}
4917:
4781:
98:
3127:{\displaystyle d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),}
4886:
4466:
18:
1294:
92:"Divisible" redirects here. For divisibility of groups, see
1173:
The non-trivial divisors of 6 are 2, −2, 3, −3.
1092:
Plot of the number of divisors of integers from 1 to 1000.
4210:
4208:
3699:– A table of prime and non-prime divisors for 1–1000
1176:
The positive divisors of 42 are 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
4229:
4098:{\displaystyle \Rightarrow \exists j,k\colon (j-k)a=b-c}
3887:{\displaystyle \Rightarrow \exists j,k\colon (j+k)a=b+c}
798:
With the convention without an additional constraint on
2617:
share a common divisor, then it might not be true that
1166:
It can also be said that 42 is divisible by 7, 42 is a
4161:
4110:
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However, this is a result from the contributions of
1277:{\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\},}
774:
There are two conventions, distinguished by whether
4966:
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4624:
4548:
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2228:raised to some power. This is a consequence of the
4167:
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207:
192:that may be multiplied by some integer to produce
184:
161:
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4162:
1843:
2263:if the sum of its proper divisors is less than
2118:but leaves a remainder is sometimes called an
4898:
4478:
2259:if it equals the sum of its proper divisors,
960:, and integers not divisible by 2 are called
8:
1268:
1196:
1057:that is not a trivial divisor is known as a
4282:
4214:
3705:– A table of prime factors for 1–1000
3542:has an average number of divisors of about
3269:{\displaystyle 0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}}
2877:). Both of these functions are examples of
2177:whose only proper divisor is 1 is called a
1170:of 7, 7 divides 42, or 7 is a factor of 42.
16:Integer that is a factor of another integer
4905:
4891:
4883:
4485:
4471:
4463:
4417:Abstract Algebra: A Computational Approach
4365:, New York: Macmillan Publishing Company,
4160:
4109:
4045:
4009:
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2315:The total number of positive divisors of
2295:
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197:
177:
151:
124:
69:Learn how and when to remove this message
4388:An Introduction to the Theory of Numbers
4356:(4th ed.). Oxford University Press.
4353:An Introduction to the Theory of Numbers
4141:{\displaystyle \Rightarrow a\mid (b-c).}
3930:{\displaystyle \Rightarrow a\mid (b+c).}
3007:then the number of positive divisors of
1087:
32:This article includes a list of general
4192:
3720:
3573:numbers with "abnormally many" divisors
4253:
4230:Niven, Zuckerman & Montgomery 1991
4199:
3137:and each of the divisors has the form
2675:{\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).}
2472:{\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).}
3373:{\displaystyle d(n)<2{\sqrt {n}}.}
7:
4256:, p. 57, Chapter III Section 10
4241:
3655:. This lattice is isomorphic to the
2682:The sum of the positive divisors of
103:The divisors of 10 illustrated with
4493:Divisibility-based sets of integers
4419:, New York: John Wiley & Sons,
2702:is another multiplicative function
4326:Unsolved Problems in Number Theory
4050:
4010:
3985:
3839:
3799:
3774:
423:is divisible by a nonzero integer
38:it lacks sufficient corresponding
14:
4531:Fundamental theorem of arithmetic
4306:(6th ed.). New York: Wiley.
3969:{\displaystyle a\mid b,\,a\mid c}
3758:{\displaystyle a\mid b,\,a\mid c}
2230:fundamental theorem of arithmetic
1307:There are some elementary rules:
215:In this case, one also says that
4957:
4926:
4539:
1183:of all positive divisors of 60,
23:
4303:Modern Algebra: An Introduction
4132:
4120:
4111:
4077:
4065:
4047:
3982:
3921:
3909:
3900:
3866:
3854:
3836:
3771:
3495:
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3473:
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3437:
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3416:
3410:
3401:
3395:
3351:
3345:
3304:{\displaystyle 1\leq i\leq k.}
3118:
3099:
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2424:
2370:meaning that when two numbers
2354:
2348:
1858:
1846:
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1713:
1635:
1623:
1597:
1585:
1073:have no non-trivial divisors.
1:
3637:complete distributive lattice
1133:{\displaystyle 7\times 6=42,}
1105:7 is a divisor of 42 because
1096:have exactly 2 divisors, and
765:{\displaystyle m\not \mid n.}
3620:{\displaystyle \mathbb {N} }
1873:{\displaystyle \gcd(a,b)=1,}
1644:{\displaystyle a\mid (b-c).}
4439:. New York: Facts on File.
4436:Encyclopedia of mathematics
1737:{\displaystyle (a+c)\mid b}
1603:{\displaystyle a\mid (b+c)}
1395:that is, divisibility is a
443:if there exists an integer
5133:
4285:, p. 264, Theorem 320
3598:
3590:Divisibility (ring theory)
3587:
2724:{\displaystyle \sigma (n)}
1748:always hold (for example,
917:for every nonzero integer
91:
80:
4997:
4955:
4924:
4728:Superior highly composite
4537:
4415:Sims, Charles C. (1984),
4382:; Zuckerman, Herbert S.;
3536:Euler–Mascheroni constant
1829:{\displaystyle a\mid bc,}
1800:but 5 does not divide 6).
1303:Further notions and facts
1287:by divisibility, has the
1159:{\displaystyle 7\mid 42.}
871:With the convention that
794:is permitted to be zero:
530:This may be read as that
5112:Elementary number theory
4625:Constrained divisor sums
4361:Herstein, I. N. (1986),
4350:; Wright, E. M. (1960).
4300:Durbin, John R. (2009).
2184:Any positive divisor of
2013:{\displaystyle p\mid b.}
1958:{\displaystyle p\mid ab}
1902:{\displaystyle a\mid c.}
1699:{\displaystyle c\mid b,}
1565:{\displaystyle a\mid c,}
1450:{\displaystyle b\mid a,}
1388:{\displaystyle a\mid c;}
1359:{\displaystyle b\mid c,}
1098:highly composite numbers
520:{\displaystyle m\mid n.}
352:; this implies dividing
87:Divisor (disambiguation)
4283:Hardy & Wright 1960
4215:Hardy & Wright 1960
4177:greatest common divisor
3647:and the join operation
3645:greatest common divisor
3527:{\displaystyle \gamma }
2337:multiplicative function
2042:that is different from
1984:{\displaystyle p\mid a}
1793:{\displaystyle 3\mid 6}
1767:{\displaystyle 2\mid 6}
1670:{\displaystyle a\mid b}
1536:{\displaystyle a\mid b}
1421:{\displaystyle a\mid b}
1330:{\displaystyle a\mid b}
910:{\displaystyle m\mid 0}
839:{\displaystyle m\mid 0}
53:more precise citations.
5117:Division (mathematics)
4433:Tanton, James (2005).
4169:
4142:
4099:
4035:
3970:
3931:
3888:
3824:
3759:
3703:Table of prime factors
3687:Fraction (mathematics)
3621:
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2170:{\displaystyle n>1}
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2036:
2022:A positive divisor of
2014:
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1959:
1936:is a prime number and
1930:
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163:
136:
108:
85:. For other uses, see
83:Division (mathematics)
4506:Integer factorization
4392:John Wiley & Sons
4170:
4168:{\displaystyle \gcd }
4143:
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3760:
3692:Integer factorization
3653:least common multiple
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3677:Arithmetic functions
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123:
4718:Colossally abundant
4549:Factorization forms
4384:Montgomery, Hugh L.
3682:Euclidean algorithm
3579:In abstract algebra
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3191:
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2993:
2968:
2945:
2886:prime factorization
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1059:non-trivial divisor
495:This is written as
292:by another integer
4934:Division and ratio
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4691:With many divisors
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3313:For every natural
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3697:Table of divisors
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2879:divisor functions
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2035:{\displaystyle n}
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1285:partially ordered
1050:{\displaystyle n}
1010:are known as the
980:{\displaystyle n}
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670:{\displaystyle n}
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185:{\displaystyle m}
107:: 1, 2, 5, and 10
79:
78:
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5124:
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4647:Multiply perfect
4543:
4521:Divisor function
4487:
4480:
4473:
4464:
4458:
4429:
4405:
4390:(5th ed.).
4375:
4363:Abstract Algebra
4357:
4342:
4328:(3rd ed.),
4317:
4313:978-0470-38443-5
4286:
4280:
4274:
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3663:of the infinite
3643:is given by the
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3595:Division lattice
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