4333:
3656:
3112:
4328:{\displaystyle {\begin{aligned}g((a,b),(c,d)&,(e,f))=ace\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+acf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+ade\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+adf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2})+bce\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+bcf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+bde\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+bdf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}).\end{aligned}}}
2644:
3107:{\displaystyle \{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\}.}
43:
6285:
2065:
5805:
3397:
1543:
5503:
5094:
3645:
2523:
5917:
1815:
2355:
5534:
925:
3180:
1350:
6683:
1654:
6542:
1771:
5268:
4722:
4480:
3452:
4411:
1000:
219:
1181:
6280:{\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{1,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})+A_{1,1}A_{2,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})+A_{1,2}A_{2,1}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})+A_{1,2}A_{2,2}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2}),\,}
2363:
4877:
1269:
5901:
753:
2144:
5240:
2060:{\displaystyle f({\textbf {v}}_{1},\ldots ,{\textbf {v}}_{n})=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}\cdots \sum _{j_{n}=1}^{d_{n}}\sum _{k=1}^{d}A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}v_{1j_{1}}\cdots v_{nj_{n}}{\textbf {b}}_{k}.}
2202:
459:
6823:
5800:{\displaystyle D(A)=\sum _{1\leq k_{1}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{i}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{n}\leq n}A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n})D({\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}).}
4530:
3661:
3172:
4866:
3444:
306:
1342:
4580:
268:
2576:
685:
6396:
6342:
3392:{\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{2}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}=v_{i1}\times {\textbf {e}}_{1}+v_{i2}\times {\textbf {e}}_{2}=v_{i1}\times (1,0)+v_{i2}\times (0,1).}
1807:
848:
5133:
1538:{\displaystyle f({\textbf {e}}_{1j_{1}},\ldots ,{\textbf {e}}_{nj_{n}})=A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{1}\,{\textbf {b}}_{1}+\cdots +A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{d}\,{\textbf {b}}_{d}.}
652:
2609:
1209:
1063:
1035:
6718:
2636:
525:
490:
385:
1675:
1290:
1105:
1084:
6416:
4620:
4600:
843:
820:
800:
780:
556:
358:
326:
6547:
1551:
6421:
5498:{\displaystyle D(A)=D\left(\sum _{j=1}^{n}A(1,j){\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)=\sum _{j=1}^{n}A(1,j)D({\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}).}
1683:
4628:
3640:{\displaystyle g({\textbf {v}}_{1},{\textbf {v}}_{2},{\textbf {v}}_{3})=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}\sum _{k=1}^{2}A_{ijk}v_{1i}v_{2j}v_{3k},}
4422:
6899:
2518:{\displaystyle g({\textbf {e}}_{1i},{\textbf {e}}_{2j},{\textbf {e}}_{3k})=f({\textbf {e}}_{i},{\textbf {e}}_{j},{\textbf {e}}_{k})=A_{ijk},}
4353:
942:
161:
1113:
5089:{\displaystyle D(a_{1},\ldots ,ca_{i}+a_{i}',\ldots ,a_{n})=cD(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})+D(a_{1},\ldots ,a_{i}',\ldots ,a_{n}).}
1214:
126:
5828:
708:
2081:
60:
5154:
2350:{\displaystyle \{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}=\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\}=\{(1,0),(0,1)\}.}
107:
2611:
is a function value at one of the eight possible triples of basis vectors (since there are two choices for each of the three
64:
79:
390:
31:
6726:
4488:
6920:
86:
3120:
4798:
500:
likewise scales by a factor of two. If both are scaled by a factor of 2, the cross product scales by a factor of
93:
3405:
273:
1295:
612:
75:
53:
6854:
4344:
1108:
148:
4539:
227:
920:{\displaystyle D^{k}\!F\colon \mathbb {R} ^{m}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}
2531:
661:
6859:
6347:
6293:
1779:
333:
5102:
608:
582:
496:
vectors; if one of these vectors is scaled by a factor of 2 while the other remains unchanged, the
635:
1006:
823:
604:
589:
6895:
6887:
2581:
1186:
1040:
1012:
100:
6849:
6688:
4751:
695:
578:
574:
337:
4757:
with identity, as a function of the rows (or equivalently the columns) of the matrix. Let
2614:
503:
468:
363:
756:
597:
462:
1659:
1274:
1089:
1068:
6894:. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 211 (3rd ed.). Springer. pp. 511–.
6678:{\displaystyle D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})=-D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})=-D(I)}
6844:
6401:
4605:
4585:
4533:
828:
805:
785:
765:
541:
343:
311:
140:
6914:
1649:{\displaystyle \{A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}\mid 1\leq j_{i}\leq d_{i},1\leq k\leq d\}}
699:
655:
629:
593:
497:
17:
6537:{\displaystyle D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})=D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2})=0}
625:
535:
329:
691:
42:
1766:{\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{d_{i}}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}\!}
6883:
581:. Multilinear maps and multilinear forms are fundamental objects of study in
531:
493:
155:
separately in each variable. More precisely, a multilinear map is a function
152:
6834:
A multilinear map has a value of zero whenever one of its arguments is zero.
4717:{\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{n})=F(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}).}
570:
4475:{\displaystyle F\colon V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\to W{\text{,}}}
4406:{\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}
995:{\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}
214:{\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}
6864:
1292:(using bold for vectors), then we can define a collection of scalars
1176:{\displaystyle \{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}}
27:
Vector-valued function of multiple vectors, linear in each argument
3402:
The function value at an arbitrary collection of three vectors
1264:{\displaystyle \{{\textbf {b}}_{1},\ldots ,{\textbf {b}}_{d}\}}
3174:
can be expressed as a linear combination of the basis vectors
36:
5896:{\displaystyle {\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}}
748:{\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}
588:
If all variables belong to the same space, one can consider
2139:{\displaystyle g\colon R^{2}\times R^{2}\times R^{2}\to R,}
5235:{\displaystyle a_{i}=\sum _{j=1}^{n}A(i,j){\hat {e}}_{j}.}
6720:, we get the determinant function on 2×2 matrices:
603:-linear maps. The latter two coincide if the underlying
5139:
th row of the identity matrix, we can express each row
6729:
6691:
6550:
6424:
6404:
6350:
6296:
5920:
5831:
5537:
5271:
5157:
5105:
4880:
4801:
4631:
4608:
4588:
4542:
4491:
4425:
4356:
3659:
3455:
3408:
3183:
3123:
2647:
2617:
2584:
2534:
2366:
2205:
2084:
1818:
1782:
1686:
1662:
1554:
1353:
1298:
1277:
1217:
1189:
1116:
1092:
1071:
1043:
1015:
945:
851:
831:
808:
788:
768:
711:
664:
638:
544:
506:
471:
393:
366:
346:
314:
276:
230:
164:
454:{\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{n})}
6818:{\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{2,2}-A_{1,2}A_{2,1}.}
4525:{\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\!}
4347:one-to-one correspondence between multilinear maps
698:multilinear function of the columns (or rows) of a
67:. Unsourced material may be challenged and removed.
6817:
6712:
6677:
6536:
6410:
6390:
6336:
6279:
5895:
5799:
5497:
5234:
5127:
5088:
4860:
4716:
4614:
4594:
4574:
4524:
4474:
4405:
4327:
3639:
3438:
3391:
3166:
3106:
2630:
2603:
2570:
2517:
2349:
2138:
2059:
1801:
1765:
1669:
1648:
1537:
1336:
1284:
1263:
1203:
1175:
1099:
1078:
1057:
1029:
994:
919:
837:
814:
794:
774:
747:
679:
646:
615:different from two, else the former two coincide.
550:
519:
484:
453:
379:
352:
320:
300:
262:
213:
4521:
1798:
1762:
1666:
1281:
1200:
1096:
1075:
1054:
1026:
862:
6888:"XIII. Matrices and Linear Maps §S Determinants"
3167:{\displaystyle {\textbf {v}}_{i}\in V_{i}=R^{2}}
538:. More generally, for any nonnegative integer
30:For multilinear maps used in cryptography, see
4740:One can consider multilinear functions, on an
1656:completely determine the multilinear function
654:-vector space is a multilinear map, as is the
492:. One way to visualize this is to imagine two
8:
4861:{\displaystyle D(A)=D(a_{1},\ldots ,a_{n}),}
3098:
3047:
3041:
2990:
2984:
2933:
2927:
2876:
2870:
2819:
2813:
2762:
2756:
2705:
2699:
2648:
2565:
2553:
2341:
2305:
2299:
2265:
2259:
2206:
1643:
1555:
1258:
1218:
1170:
1117:
3439:{\displaystyle {\textbf {v}}_{i}\in R^{2}}
301:{\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}
6800:
6784:
6765:
6749:
6728:
6690:
6648:
6637:
6636:
6626:
6615:
6614:
6592:
6581:
6580:
6570:
6559:
6558:
6549:
6519:
6508:
6507:
6497:
6486:
6485:
6466:
6455:
6454:
6444:
6433:
6432:
6423:
6403:
6364:
6353:
6352:
6349:
6310:
6299:
6298:
6295:
6276:
6264:
6253:
6252:
6242:
6231:
6230:
6211:
6195:
6179:
6168:
6167:
6157:
6146:
6145:
6126:
6110:
6094:
6083:
6082:
6072:
6061:
6060:
6041:
6025:
6009:
5998:
5997:
5987:
5976:
5975:
5956:
5940:
5919:
5911:In the case of 2×2 matrices, we get
5885:
5880:
5869:
5868:
5850:
5845:
5834:
5833:
5830:
5783:
5778:
5767:
5766:
5748:
5743:
5732:
5731:
5715:
5687:
5662:
5632:
5621:
5600:
5589:
5568:
5557:
5536:
5483:
5464:
5451:
5440:
5439:
5408:
5397:
5379:
5360:
5347:
5336:
5335:
5310:
5299:
5270:
5223:
5212:
5211:
5186:
5175:
5162:
5156:
5119:
5108:
5107:
5104:
5074:
5052:
5033:
5011:
4992:
4973:
4948:
4926:
4913:
4891:
4879:
4846:
4827:
4800:
4702:
4683:
4661:
4642:
4630:
4607:
4587:
4566:
4547:
4541:
4515:
4496:
4490:
4467:
4455:
4436:
4424:
4398:
4386:
4367:
4355:
4309:
4303:
4302:
4292:
4286:
4285:
4275:
4269:
4268:
4237:
4231:
4230:
4220:
4214:
4213:
4203:
4197:
4196:
4158:
4152:
4151:
4141:
4135:
4134:
4124:
4118:
4117:
4086:
4080:
4079:
4069:
4063:
4062:
4052:
4046:
4045:
4014:
4008:
4007:
3997:
3991:
3990:
3980:
3974:
3973:
3942:
3936:
3935:
3925:
3919:
3918:
3908:
3902:
3901:
3863:
3857:
3856:
3846:
3840:
3839:
3829:
3823:
3822:
3791:
3785:
3784:
3774:
3768:
3767:
3757:
3751:
3750:
3660:
3658:
3625:
3612:
3599:
3583:
3573:
3562:
3552:
3541:
3531:
3520:
3504:
3498:
3497:
3487:
3481:
3480:
3470:
3464:
3463:
3454:
3430:
3417:
3411:
3410:
3407:
3359:
3325:
3312:
3306:
3305:
3292:
3279:
3273:
3272:
3259:
3243:
3237:
3236:
3226:
3216:
3205:
3192:
3186:
3185:
3182:
3158:
3145:
3132:
3126:
3125:
3122:
3092:
3086:
3085:
3075:
3069:
3068:
3058:
3052:
3051:
3035:
3029:
3028:
3018:
3012:
3011:
3001:
2995:
2994:
2978:
2972:
2971:
2961:
2955:
2954:
2944:
2938:
2937:
2921:
2915:
2914:
2904:
2898:
2897:
2887:
2881:
2880:
2864:
2858:
2857:
2847:
2841:
2840:
2830:
2824:
2823:
2807:
2801:
2800:
2790:
2784:
2783:
2773:
2767:
2766:
2750:
2744:
2743:
2733:
2727:
2726:
2716:
2710:
2709:
2693:
2687:
2686:
2676:
2670:
2669:
2659:
2653:
2652:
2646:
2622:
2616:
2589:
2583:
2533:
2500:
2484:
2478:
2477:
2467:
2461:
2460:
2450:
2444:
2443:
2421:
2415:
2414:
2401:
2395:
2394:
2381:
2375:
2374:
2365:
2293:
2287:
2286:
2276:
2270:
2269:
2251:
2243:
2237:
2236:
2217:
2211:
2210:
2204:
2121:
2108:
2095:
2083:
2048:
2042:
2041:
2032:
2024:
2009:
2001:
1991:
1984:
1971:
1966:
1956:
1945:
1933:
1928:
1915:
1910:
1895:
1890:
1877:
1872:
1856:
1850:
1849:
1833:
1827:
1826:
1817:
1781:
1753:
1747:
1746:
1736:
1724:
1719:
1708:
1695:
1689:
1688:
1685:
1661:
1619:
1606:
1587:
1580:
1567:
1562:
1553:
1526:
1520:
1519:
1517:
1511:
1504:
1491:
1486:
1467:
1461:
1460:
1458:
1452:
1445:
1432:
1427:
1409:
1401:
1395:
1394:
1376:
1368:
1362:
1361:
1352:
1337:{\displaystyle A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}}
1328:
1321:
1308:
1303:
1297:
1276:
1252:
1246:
1245:
1229:
1223:
1222:
1216:
1194:
1188:
1162:
1154:
1148:
1147:
1128:
1122:
1121:
1115:
1091:
1070:
1048:
1042:
1020:
1014:
987:
975:
956:
944:
911:
907:
906:
896:
892:
891:
875:
871:
870:
856:
850:
830:
807:
787:
767:
739:
735:
734:
724:
720:
719:
710:
671:
667:
666:
663:
640:
639:
637:
543:
511:
505:
476:
470:
442:
423:
404:
392:
371:
365:
345:
340:), with the following property: for each
313:
289:
285:
284:
275:
254:
235:
229:
206:
194:
175:
163:
127:Learn how and when to remove this message
628:is a multilinear map. For example, any
6875:
530:A multilinear map of one variable is a
5508:Continuing this substitution for each
4582:. The relation between the functions
7:
6418:to be an alternating function, then
65:adding citations to reliable sources
4575:{\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}
4304:
4287:
4270:
4232:
4215:
4198:
4153:
4136:
4119:
4081:
4064:
4047:
4009:
3992:
3975:
3937:
3920:
3903:
3858:
3841:
3824:
3786:
3769:
3752:
3499:
3482:
3465:
3412:
3307:
3274:
3238:
3187:
3127:
3087:
3070:
3053:
3030:
3013:
2996:
2973:
2956:
2939:
2916:
2899:
2882:
2859:
2842:
2825:
2802:
2785:
2768:
2745:
2728:
2711:
2688:
2671:
2654:
2479:
2462:
2445:
2416:
2396:
2376:
2288:
2271:
2238:
2212:
2043:
1851:
1828:
1748:
1690:
1521:
1462:
1396:
1363:
1247:
1224:
1149:
1123:
263:{\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}
25:
4786:. Then the multilinear function
822:in its domain can be viewed as a
2571:{\displaystyle i,j,k\in \{1,2\}}
2075:Let's take a trilinear function
680:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
41:
6391:{\displaystyle {\hat {e}}_{2}=}
6337:{\displaystyle {\hat {e}}_{1}=}
2578:. In other words, the constant
1802:{\displaystyle 1\leq i\leq n\!}
52:needs additional citations for
6739:
6733:
6701:
6695:
6672:
6666:
6654:
6642:
6620:
6610:
6598:
6586:
6564:
6554:
6525:
6513:
6491:
6481:
6472:
6460:
6438:
6428:
6385:
6373:
6358:
6331:
6319:
6304:
6270:
6258:
6236:
6226:
6185:
6173:
6151:
6141:
6100:
6088:
6066:
6056:
6015:
6003:
5981:
5971:
5930:
5924:
5874:
5839:
5821:is uniquely determined by how
5791:
5772:
5737:
5727:
5721:
5702:
5693:
5674:
5668:
5649:
5547:
5541:
5489:
5445:
5435:
5429:
5417:
5341:
5331:
5319:
5281:
5275:
5217:
5207:
5195:
5128:{\displaystyle {\hat {e}}_{j}}
5113:
5080:
5026:
5017:
4966:
4954:
4884:
4852:
4820:
4811:
4805:
4708:
4676:
4667:
4635:
4461:
4392:
4315:
4264:
4243:
4192:
4164:
4113:
4092:
4041:
4020:
3969:
3948:
3897:
3869:
3818:
3797:
3746:
3725:
3722:
3710:
3700:
3688:
3682:
3670:
3667:
3510:
3459:
3383:
3371:
3349:
3337:
2490:
2439:
2430:
2370:
2338:
2326:
2320:
2308:
2127:
1862:
1822:
1417:
1357:
981:
902:
730:
448:
397:
360:, if all of the variables but
200:
1:
1005:be a multilinear map between
151:of several variables that is
32:Cryptographic multilinear map
5245:Using the multilinearity of
647:{\displaystyle \mathbb {R} }
573:of a multilinear map is the
534:, and of two variables is a
4339:Relation to tensor products
6937:
29:
4728:Multilinear functions on
932:Coordinate representation
4622:is given by the formula
387:are held constant, then
3650:or in expanded form as
2604:{\displaystyle A_{ijk}}
1204:{\displaystyle V_{i}\!}
1058:{\displaystyle d_{i}\!}
1030:{\displaystyle V_{i}\!}
558:, a multilinear map of
6855:Homogeneous polynomial
6819:
6714:
6713:{\displaystyle D(I)=1}
6679:
6538:
6412:
6392:
6338:
6281:
5897:
5801:
5499:
5413:
5315:
5236:
5191:
5129:
5090:
4862:
4718:
4616:
4596:
4576:
4526:
4476:
4407:
4329:
3641:
3578:
3557:
3536:
3440:
3393:
3221:
3168:
3108:
2632:
2605:
2572:
2519:
2351:
2140:
2061:
1961:
1940:
1902:
1803:
1767:
1731:
1671:
1650:
1539:
1338:
1286:
1265:
1205:
1177:
1101:
1080:
1059:
1031:
996:
921:
839:
816:
796:
776:
749:
681:
648:
562:variables is called a
552:
521:
486:
455:
381:
354:
322:
302:
264:
215:
6820:
6715:
6680:
6539:
6413:
6393:
6339:
6282:
5898:
5802:
5500:
5393:
5295:
5237:
5171:
5130:
5091:
4863:
4763:be such a matrix and
4719:
4617:
4597:
4577:
4527:
4477:
4408:
4330:
3642:
3558:
3537:
3516:
3441:
3394:
3201:
3169:
3109:
2633:
2631:{\displaystyle V_{i}}
2606:
2573:
2520:
2352:
2141:
2062:
1941:
1906:
1868:
1804:
1768:
1704:
1677:. In particular, if
1672:
1651:
1540:
1339:
1287:
1266:
1206:
1178:
1102:
1081:
1060:
1032:
1009:vector spaces, where
997:
922:
840:
817:
797:
777:
750:
682:
649:
553:
522:
520:{\displaystyle 2^{2}}
487:
485:{\displaystyle v_{i}}
456:
382:
380:{\displaystyle v_{i}}
355:
323:
303:
265:
216:
6860:Homogeneous function
6727:
6689:
6548:
6422:
6402:
6348:
6294:
5918:
5829:
5535:
5269:
5155:
5103:
4878:
4799:
4629:
4606:
4586:
4540:
4489:
4423:
4354:
3657:
3453:
3446:can be expressed as
3406:
3181:
3121:
2645:
2615:
2582:
2532:
2364:
2203:
2082:
1816:
1780:
1684:
1660:
1552:
1351:
1296:
1275:
1215:
1187:
1114:
1090:
1069:
1041:
1013:
943:
849:
829:
806:
786:
766:
709:
662:
636:
542:
504:
469:
391:
364:
344:
312:
274:
228:
162:
61:improve this article
18:Multilinear function
6921:Multilinear algebra
5060:
4934:
1996:
1670:{\displaystyle f\!}
1592:
1516:
1457:
1333:
1285:{\displaystyle W\!}
1100:{\displaystyle d\!}
1079:{\displaystyle W\!}
583:multilinear algebra
6815:
6710:
6675:
6534:
6408:
6398:. If we restrict
6388:
6334:
6277:
5893:
5797:
5645:
5613:
5581:
5495:
5232:
5125:
5086:
5048:
4922:
4858:
4792:can be written as
4714:
4612:
4592:
4572:
4522:
4472:
4403:
4325:
4323:
3637:
3436:
3389:
3164:
3104:
2628:
2601:
2568:
2515:
2347:
2136:
2057:
1962:
1799:
1763:
1667:
1646:
1558:
1535:
1482:
1423:
1334:
1299:
1282:
1261:
1201:
1173:
1107:. If we choose a
1097:
1076:
1055:
1027:
1007:finite-dimensional
992:
917:
835:
812:
792:
772:
745:
694:of a matrix is an
677:
644:
548:
517:
482:
451:
377:
350:
318:
298:
260:
211:
6901:978-0-387-95385-4
6645:
6623:
6589:
6567:
6516:
6494:
6463:
6441:
6411:{\displaystyle D}
6361:
6307:
6261:
6239:
6176:
6154:
6091:
6069:
6006:
5984:
5877:
5842:
5775:
5740:
5617:
5585:
5553:
5448:
5344:
5220:
5116:
4780:, be the rows of
4615:{\displaystyle F}
4595:{\displaystyle f}
4470:
4401:
4306:
4289:
4272:
4234:
4217:
4200:
4155:
4138:
4121:
4083:
4066:
4049:
4011:
3994:
3977:
3939:
3922:
3905:
3860:
3843:
3826:
3788:
3771:
3754:
3501:
3484:
3467:
3414:
3309:
3276:
3240:
3189:
3129:
3089:
3072:
3055:
3032:
3015:
2998:
2975:
2958:
2941:
2918:
2901:
2884:
2861:
2844:
2827:
2804:
2787:
2770:
2747:
2730:
2713:
2690:
2673:
2656:
2481:
2464:
2447:
2418:
2398:
2378:
2290:
2273:
2240:
2214:
2192:A basis for each
2045:
1853:
1830:
1750:
1692:
1548:Then the scalars
1523:
1464:
1398:
1365:
1249:
1226:
1151:
1125:
990:
845:-linear function
838:{\displaystyle k}
815:{\displaystyle p}
795:{\displaystyle F}
782:th derivative of
775:{\displaystyle k}
577:, it is called a
551:{\displaystyle k}
353:{\displaystyle i}
321:{\displaystyle W}
209:
137:
136:
129:
111:
76:"Multilinear map"
16:(Redirected from
6928:
6906:
6905:
6880:
6850:Multilinear form
6824:
6822:
6821:
6816:
6811:
6810:
6795:
6794:
6776:
6775:
6760:
6759:
6719:
6717:
6716:
6711:
6684:
6682:
6681:
6676:
6653:
6652:
6647:
6646:
6638:
6631:
6630:
6625:
6624:
6616:
6597:
6596:
6591:
6590:
6582:
6575:
6574:
6569:
6568:
6560:
6543:
6541:
6540:
6535:
6524:
6523:
6518:
6517:
6509:
6502:
6501:
6496:
6495:
6487:
6471:
6470:
6465:
6464:
6456:
6449:
6448:
6443:
6442:
6434:
6417:
6415:
6414:
6409:
6397:
6395:
6394:
6389:
6369:
6368:
6363:
6362:
6354:
6343:
6341:
6340:
6335:
6315:
6314:
6309:
6308:
6300:
6286:
6284:
6283:
6278:
6269:
6268:
6263:
6262:
6254:
6247:
6246:
6241:
6240:
6232:
6222:
6221:
6206:
6205:
6184:
6183:
6178:
6177:
6169:
6162:
6161:
6156:
6155:
6147:
6137:
6136:
6121:
6120:
6099:
6098:
6093:
6092:
6084:
6077:
6076:
6071:
6070:
6062:
6052:
6051:
6036:
6035:
6014:
6013:
6008:
6007:
5999:
5992:
5991:
5986:
5985:
5977:
5967:
5966:
5951:
5950:
5902:
5900:
5899:
5894:
5892:
5891:
5890:
5889:
5879:
5878:
5870:
5857:
5856:
5855:
5854:
5844:
5843:
5835:
5824:
5820:
5806:
5804:
5803:
5798:
5790:
5789:
5788:
5787:
5777:
5776:
5768:
5755:
5754:
5753:
5752:
5742:
5741:
5733:
5720:
5719:
5692:
5691:
5667:
5666:
5644:
5637:
5636:
5612:
5605:
5604:
5580:
5573:
5572:
5527:
5516:
5504:
5502:
5501:
5496:
5488:
5487:
5469:
5468:
5456:
5455:
5450:
5449:
5441:
5412:
5407:
5389:
5385:
5384:
5383:
5365:
5364:
5352:
5351:
5346:
5345:
5337:
5314:
5309:
5261:
5250:
5241:
5239:
5238:
5233:
5228:
5227:
5222:
5221:
5213:
5190:
5185:
5167:
5166:
5147:
5138:
5134:
5132:
5131:
5126:
5124:
5123:
5118:
5117:
5109:
5095:
5093:
5092:
5087:
5079:
5078:
5056:
5038:
5037:
5016:
5015:
4997:
4996:
4978:
4977:
4953:
4952:
4930:
4918:
4917:
4896:
4895:
4867:
4865:
4864:
4859:
4851:
4850:
4832:
4831:
4791:
4785:
4779:
4762:
4756:
4752:commutative ring
4749:
4723:
4721:
4720:
4715:
4707:
4706:
4688:
4687:
4666:
4665:
4647:
4646:
4621:
4619:
4618:
4613:
4601:
4599:
4598:
4593:
4581:
4579:
4578:
4573:
4571:
4570:
4552:
4551:
4531:
4529:
4528:
4523:
4520:
4519:
4501:
4500:
4481:
4479:
4478:
4473:
4471:
4468:
4460:
4459:
4441:
4440:
4416:and linear maps
4412:
4410:
4409:
4404:
4402:
4399:
4391:
4390:
4372:
4371:
4334:
4332:
4331:
4326:
4324:
4314:
4313:
4308:
4307:
4297:
4296:
4291:
4290:
4280:
4279:
4274:
4273:
4242:
4241:
4236:
4235:
4225:
4224:
4219:
4218:
4208:
4207:
4202:
4201:
4170:
4163:
4162:
4157:
4156:
4146:
4145:
4140:
4139:
4129:
4128:
4123:
4122:
4091:
4090:
4085:
4084:
4074:
4073:
4068:
4067:
4057:
4056:
4051:
4050:
4019:
4018:
4013:
4012:
4002:
4001:
3996:
3995:
3985:
3984:
3979:
3978:
3947:
3946:
3941:
3940:
3930:
3929:
3924:
3923:
3913:
3912:
3907:
3906:
3875:
3868:
3867:
3862:
3861:
3851:
3850:
3845:
3844:
3834:
3833:
3828:
3827:
3796:
3795:
3790:
3789:
3779:
3778:
3773:
3772:
3762:
3761:
3756:
3755:
3646:
3644:
3643:
3638:
3633:
3632:
3620:
3619:
3607:
3606:
3594:
3593:
3577:
3572:
3556:
3551:
3535:
3530:
3509:
3508:
3503:
3502:
3492:
3491:
3486:
3485:
3475:
3474:
3469:
3468:
3445:
3443:
3442:
3437:
3435:
3434:
3422:
3421:
3416:
3415:
3398:
3396:
3395:
3390:
3367:
3366:
3333:
3332:
3317:
3316:
3311:
3310:
3300:
3299:
3284:
3283:
3278:
3277:
3267:
3266:
3251:
3250:
3242:
3241:
3234:
3233:
3220:
3215:
3197:
3196:
3191:
3190:
3173:
3171:
3170:
3165:
3163:
3162:
3150:
3149:
3137:
3136:
3131:
3130:
3113:
3111:
3110:
3105:
3097:
3096:
3091:
3090:
3080:
3079:
3074:
3073:
3063:
3062:
3057:
3056:
3040:
3039:
3034:
3033:
3023:
3022:
3017:
3016:
3006:
3005:
3000:
2999:
2983:
2982:
2977:
2976:
2966:
2965:
2960:
2959:
2949:
2948:
2943:
2942:
2926:
2925:
2920:
2919:
2909:
2908:
2903:
2902:
2892:
2891:
2886:
2885:
2869:
2868:
2863:
2862:
2852:
2851:
2846:
2845:
2835:
2834:
2829:
2828:
2812:
2811:
2806:
2805:
2795:
2794:
2789:
2788:
2778:
2777:
2772:
2771:
2755:
2754:
2749:
2748:
2738:
2737:
2732:
2731:
2721:
2720:
2715:
2714:
2698:
2697:
2692:
2691:
2681:
2680:
2675:
2674:
2664:
2663:
2658:
2657:
2637:
2635:
2634:
2629:
2627:
2626:
2610:
2608:
2607:
2602:
2600:
2599:
2577:
2575:
2574:
2569:
2524:
2522:
2521:
2516:
2511:
2510:
2489:
2488:
2483:
2482:
2472:
2471:
2466:
2465:
2455:
2454:
2449:
2448:
2429:
2428:
2420:
2419:
2409:
2408:
2400:
2399:
2389:
2388:
2380:
2379:
2356:
2354:
2353:
2348:
2298:
2297:
2292:
2291:
2281:
2280:
2275:
2274:
2258:
2257:
2256:
2255:
2242:
2241:
2225:
2224:
2216:
2215:
2198:
2188:
2173:
2145:
2143:
2142:
2137:
2126:
2125:
2113:
2112:
2100:
2099:
2066:
2064:
2063:
2058:
2053:
2052:
2047:
2046:
2039:
2038:
2037:
2036:
2016:
2015:
2014:
2013:
1995:
1990:
1989:
1988:
1976:
1975:
1960:
1955:
1939:
1938:
1937:
1927:
1920:
1919:
1901:
1900:
1899:
1889:
1882:
1881:
1861:
1860:
1855:
1854:
1838:
1837:
1832:
1831:
1808:
1806:
1805:
1800:
1772:
1770:
1769:
1764:
1761:
1760:
1752:
1751:
1744:
1743:
1730:
1729:
1728:
1718:
1700:
1699:
1694:
1693:
1676:
1674:
1673:
1668:
1655:
1653:
1652:
1647:
1624:
1623:
1611:
1610:
1591:
1586:
1585:
1584:
1572:
1571:
1544:
1542:
1541:
1536:
1531:
1530:
1525:
1524:
1515:
1510:
1509:
1508:
1496:
1495:
1472:
1471:
1466:
1465:
1456:
1451:
1450:
1449:
1437:
1436:
1416:
1415:
1414:
1413:
1400:
1399:
1383:
1382:
1381:
1380:
1367:
1366:
1343:
1341:
1340:
1335:
1332:
1327:
1326:
1325:
1313:
1312:
1291:
1289:
1288:
1283:
1270:
1268:
1267:
1262:
1257:
1256:
1251:
1250:
1234:
1233:
1228:
1227:
1210:
1208:
1207:
1202:
1199:
1198:
1182:
1180:
1179:
1174:
1169:
1168:
1167:
1166:
1153:
1152:
1136:
1135:
1127:
1126:
1106:
1104:
1103:
1098:
1085:
1083:
1082:
1077:
1064:
1062:
1061:
1056:
1053:
1052:
1036:
1034:
1033:
1028:
1025:
1024:
1001:
999:
998:
993:
991:
988:
980:
979:
961:
960:
926:
924:
923:
918:
916:
915:
910:
901:
900:
895:
880:
879:
874:
861:
860:
844:
842:
841:
836:
821:
819:
818:
813:
801:
799:
798:
793:
781:
779:
778:
773:
754:
752:
751:
746:
744:
743:
738:
729:
728:
723:
686:
684:
683:
678:
676:
675:
670:
653:
651:
650:
645:
643:
579:multilinear form
575:field of scalars
557:
555:
554:
549:
526:
524:
523:
518:
516:
515:
491:
489:
488:
483:
481:
480:
460:
458:
457:
452:
447:
446:
428:
427:
409:
408:
386:
384:
383:
378:
376:
375:
359:
357:
356:
351:
338:commutative ring
327:
325:
324:
319:
307:
305:
304:
299:
297:
296:
288:
269:
267:
266:
261:
259:
258:
240:
239:
220:
218:
217:
212:
210:
207:
199:
198:
180:
179:
132:
125:
121:
118:
112:
110:
69:
45:
37:
21:
6936:
6935:
6931:
6930:
6929:
6927:
6926:
6925:
6911:
6910:
6909:
6902:
6882:
6881:
6877:
6873:
6841:
6831:
6796:
6780:
6761:
6745:
6725:
6724:
6687:
6686:
6635:
6613:
6579:
6557:
6546:
6545:
6506:
6484:
6453:
6431:
6420:
6419:
6400:
6399:
6351:
6346:
6345:
6297:
6292:
6291:
6251:
6229:
6207:
6191:
6166:
6144:
6122:
6106:
6081:
6059:
6037:
6021:
5996:
5974:
5952:
5936:
5916:
5915:
5909:
5881:
5867:
5846:
5832:
5827:
5826:
5822:
5811:
5779:
5765:
5744:
5730:
5711:
5683:
5658:
5628:
5596:
5564:
5533:
5532:
5518:
5514:
5509:
5479:
5460:
5438:
5375:
5356:
5334:
5294:
5290:
5267:
5266:
5252:
5246:
5210:
5158:
5153:
5152:
5145:
5140:
5136:
5106:
5101:
5100:
5070:
5029:
5007:
4988:
4969:
4944:
4909:
4887:
4876:
4875:
4842:
4823:
4797:
4796:
4787:
4781:
4769:
4764:
4758:
4754:
4741:
4738:
4698:
4679:
4657:
4638:
4627:
4626:
4604:
4603:
4584:
4583:
4562:
4543:
4538:
4537:
4511:
4492:
4487:
4486:
4451:
4432:
4421:
4420:
4382:
4363:
4352:
4351:
4341:
4322:
4321:
4301:
4284:
4267:
4229:
4212:
4195:
4168:
4167:
4150:
4133:
4116:
4078:
4061:
4044:
4006:
3989:
3972:
3934:
3917:
3900:
3873:
3872:
3855:
3838:
3821:
3783:
3766:
3749:
3703:
3655:
3654:
3621:
3608:
3595:
3579:
3496:
3479:
3462:
3451:
3450:
3426:
3409:
3404:
3403:
3355:
3321:
3304:
3288:
3271:
3255:
3235:
3222:
3184:
3179:
3178:
3154:
3141:
3124:
3119:
3118:
3084:
3067:
3050:
3027:
3010:
2993:
2970:
2953:
2936:
2913:
2896:
2879:
2856:
2839:
2822:
2799:
2782:
2765:
2742:
2725:
2708:
2685:
2668:
2651:
2643:
2642:
2618:
2613:
2612:
2585:
2580:
2579:
2530:
2529:
2496:
2476:
2459:
2442:
2413:
2393:
2373:
2362:
2361:
2285:
2268:
2247:
2235:
2209:
2201:
2200:
2197:
2193:
2175:
2166:
2155:
2150:
2117:
2104:
2091:
2080:
2079:
2073:
2040:
2028:
2020:
2005:
1997:
1980:
1967:
1929:
1911:
1891:
1873:
1848:
1825:
1814:
1813:
1778:
1777:
1745:
1732:
1720:
1687:
1682:
1681:
1658:
1657:
1615:
1602:
1576:
1563:
1550:
1549:
1518:
1500:
1487:
1459:
1441:
1428:
1405:
1393:
1372:
1360:
1349:
1348:
1317:
1304:
1294:
1293:
1273:
1272:
1244:
1221:
1213:
1212:
1190:
1185:
1184:
1158:
1146:
1120:
1112:
1111:
1088:
1087:
1067:
1066:
1044:
1039:
1038:
1016:
1011:
1010:
971:
952:
941:
940:
934:
905:
890:
869:
852:
847:
846:
827:
826:
804:
803:
784:
783:
764:
763:
733:
718:
707:
706:
665:
660:
659:
634:
633:
621:
540:
539:
507:
502:
501:
472:
467:
466:
463:linear function
438:
419:
400:
389:
388:
367:
362:
361:
342:
341:
310:
309:
283:
272:
271:
250:
231:
226:
225:
190:
171:
160:
159:
145:multilinear map
133:
122:
116:
113:
70:
68:
58:
46:
35:
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
6934:
6932:
6924:
6923:
6913:
6912:
6908:
6907:
6900:
6874:
6872:
6869:
6868:
6867:
6862:
6857:
6852:
6847:
6845:Algebraic form
6840:
6837:
6836:
6835:
6830:
6827:
6826:
6825:
6814:
6809:
6806:
6803:
6799:
6793:
6790:
6787:
6783:
6779:
6774:
6771:
6768:
6764:
6758:
6755:
6752:
6748:
6744:
6741:
6738:
6735:
6732:
6709:
6706:
6703:
6700:
6697:
6694:
6674:
6671:
6668:
6665:
6662:
6659:
6656:
6651:
6644:
6641:
6634:
6629:
6622:
6619:
6612:
6609:
6606:
6603:
6600:
6595:
6588:
6585:
6578:
6573:
6566:
6563:
6556:
6553:
6533:
6530:
6527:
6522:
6515:
6512:
6505:
6500:
6493:
6490:
6483:
6480:
6477:
6474:
6469:
6462:
6459:
6452:
6447:
6440:
6437:
6430:
6427:
6407:
6387:
6384:
6381:
6378:
6375:
6372:
6367:
6360:
6357:
6333:
6330:
6327:
6324:
6321:
6318:
6313:
6306:
6303:
6288:
6287:
6275:
6272:
6267:
6260:
6257:
6250:
6245:
6238:
6235:
6228:
6225:
6220:
6217:
6214:
6210:
6204:
6201:
6198:
6194:
6190:
6187:
6182:
6175:
6172:
6165:
6160:
6153:
6150:
6143:
6140:
6135:
6132:
6129:
6125:
6119:
6116:
6113:
6109:
6105:
6102:
6097:
6090:
6087:
6080:
6075:
6068:
6065:
6058:
6055:
6050:
6047:
6044:
6040:
6034:
6031:
6028:
6024:
6020:
6017:
6012:
6005:
6002:
5995:
5990:
5983:
5980:
5973:
5970:
5965:
5962:
5959:
5955:
5949:
5946:
5943:
5939:
5935:
5932:
5929:
5926:
5923:
5908:
5905:
5888:
5884:
5876:
5873:
5866:
5863:
5860:
5853:
5849:
5841:
5838:
5808:
5807:
5796:
5793:
5786:
5782:
5774:
5771:
5764:
5761:
5758:
5751:
5747:
5739:
5736:
5729:
5726:
5723:
5718:
5714:
5710:
5707:
5704:
5701:
5698:
5695:
5690:
5686:
5682:
5679:
5676:
5673:
5670:
5665:
5661:
5657:
5654:
5651:
5648:
5643:
5640:
5635:
5631:
5627:
5624:
5620:
5616:
5611:
5608:
5603:
5599:
5595:
5592:
5588:
5584:
5579:
5576:
5571:
5567:
5563:
5560:
5556:
5552:
5549:
5546:
5543:
5540:
5512:
5506:
5505:
5494:
5491:
5486:
5482:
5478:
5475:
5472:
5467:
5463:
5459:
5454:
5447:
5444:
5437:
5434:
5431:
5428:
5425:
5422:
5419:
5416:
5411:
5406:
5403:
5400:
5396:
5392:
5388:
5382:
5378:
5374:
5371:
5368:
5363:
5359:
5355:
5350:
5343:
5340:
5333:
5330:
5327:
5324:
5321:
5318:
5313:
5308:
5305:
5302:
5298:
5293:
5289:
5286:
5283:
5280:
5277:
5274:
5243:
5242:
5231:
5226:
5219:
5216:
5209:
5206:
5203:
5200:
5197:
5194:
5189:
5184:
5181:
5178:
5174:
5170:
5165:
5161:
5143:
5135:represent the
5122:
5115:
5112:
5097:
5096:
5085:
5082:
5077:
5073:
5069:
5066:
5063:
5059:
5055:
5051:
5047:
5044:
5041:
5036:
5032:
5028:
5025:
5022:
5019:
5014:
5010:
5006:
5003:
5000:
4995:
4991:
4987:
4984:
4981:
4976:
4972:
4968:
4965:
4962:
4959:
4956:
4951:
4947:
4943:
4940:
4937:
4933:
4929:
4925:
4921:
4916:
4912:
4908:
4905:
4902:
4899:
4894:
4890:
4886:
4883:
4869:
4868:
4857:
4854:
4849:
4845:
4841:
4838:
4835:
4830:
4826:
4822:
4819:
4816:
4813:
4810:
4807:
4804:
4767:
4750:matrix over a
4737:
4726:
4725:
4724:
4713:
4710:
4705:
4701:
4697:
4694:
4691:
4686:
4682:
4678:
4675:
4672:
4669:
4664:
4660:
4656:
4653:
4650:
4645:
4641:
4637:
4634:
4611:
4591:
4569:
4565:
4561:
4558:
4555:
4550:
4546:
4534:tensor product
4518:
4514:
4510:
4507:
4504:
4499:
4495:
4483:
4482:
4466:
4463:
4458:
4454:
4450:
4447:
4444:
4439:
4435:
4431:
4428:
4414:
4413:
4397:
4394:
4389:
4385:
4381:
4378:
4375:
4370:
4366:
4362:
4359:
4340:
4337:
4336:
4335:
4320:
4317:
4312:
4300:
4295:
4283:
4278:
4266:
4263:
4260:
4257:
4254:
4251:
4248:
4245:
4240:
4228:
4223:
4211:
4206:
4194:
4191:
4188:
4185:
4182:
4179:
4176:
4173:
4171:
4169:
4166:
4161:
4149:
4144:
4132:
4127:
4115:
4112:
4109:
4106:
4103:
4100:
4097:
4094:
4089:
4077:
4072:
4060:
4055:
4043:
4040:
4037:
4034:
4031:
4028:
4025:
4022:
4017:
4005:
4000:
3988:
3983:
3971:
3968:
3965:
3962:
3959:
3956:
3953:
3950:
3945:
3933:
3928:
3916:
3911:
3899:
3896:
3893:
3890:
3887:
3884:
3881:
3878:
3876:
3874:
3871:
3866:
3854:
3849:
3837:
3832:
3820:
3817:
3814:
3811:
3808:
3805:
3802:
3799:
3794:
3782:
3777:
3765:
3760:
3748:
3745:
3742:
3739:
3736:
3733:
3730:
3727:
3724:
3721:
3718:
3715:
3712:
3709:
3706:
3704:
3702:
3699:
3696:
3693:
3690:
3687:
3684:
3681:
3678:
3675:
3672:
3669:
3666:
3663:
3662:
3648:
3647:
3636:
3631:
3628:
3624:
3618:
3615:
3611:
3605:
3602:
3598:
3592:
3589:
3586:
3582:
3576:
3571:
3568:
3565:
3561:
3555:
3550:
3547:
3544:
3540:
3534:
3529:
3526:
3523:
3519:
3515:
3512:
3507:
3495:
3490:
3478:
3473:
3461:
3458:
3433:
3429:
3425:
3420:
3400:
3399:
3388:
3385:
3382:
3379:
3376:
3373:
3370:
3365:
3362:
3358:
3354:
3351:
3348:
3345:
3342:
3339:
3336:
3331:
3328:
3324:
3320:
3315:
3303:
3298:
3295:
3291:
3287:
3282:
3270:
3265:
3262:
3258:
3254:
3249:
3246:
3232:
3229:
3225:
3219:
3214:
3211:
3208:
3204:
3200:
3195:
3161:
3157:
3153:
3148:
3144:
3140:
3135:
3115:
3114:
3103:
3100:
3095:
3083:
3078:
3066:
3061:
3049:
3046:
3043:
3038:
3026:
3021:
3009:
3004:
2992:
2989:
2986:
2981:
2969:
2964:
2952:
2947:
2935:
2932:
2929:
2924:
2912:
2907:
2895:
2890:
2878:
2875:
2872:
2867:
2855:
2850:
2838:
2833:
2821:
2818:
2815:
2810:
2798:
2793:
2781:
2776:
2764:
2761:
2758:
2753:
2741:
2736:
2724:
2719:
2707:
2704:
2701:
2696:
2684:
2679:
2667:
2662:
2650:
2625:
2621:
2598:
2595:
2592:
2588:
2567:
2564:
2561:
2558:
2555:
2552:
2549:
2546:
2543:
2540:
2537:
2526:
2525:
2514:
2509:
2506:
2503:
2499:
2495:
2492:
2487:
2475:
2470:
2458:
2453:
2441:
2438:
2435:
2432:
2427:
2424:
2412:
2407:
2404:
2392:
2387:
2384:
2372:
2369:
2346:
2343:
2340:
2337:
2334:
2331:
2328:
2325:
2322:
2319:
2316:
2313:
2310:
2307:
2304:
2301:
2296:
2284:
2279:
2267:
2264:
2261:
2254:
2250:
2246:
2234:
2231:
2228:
2223:
2220:
2208:
2195:
2164:
2153:
2147:
2146:
2135:
2132:
2129:
2124:
2120:
2116:
2111:
2107:
2103:
2098:
2094:
2090:
2087:
2072:
2069:
2068:
2067:
2056:
2051:
2035:
2031:
2027:
2023:
2019:
2012:
2008:
2004:
2000:
1994:
1987:
1983:
1979:
1974:
1970:
1965:
1959:
1954:
1951:
1948:
1944:
1936:
1932:
1926:
1923:
1918:
1914:
1909:
1905:
1898:
1894:
1888:
1885:
1880:
1876:
1871:
1867:
1864:
1859:
1847:
1844:
1841:
1836:
1824:
1821:
1797:
1794:
1791:
1788:
1785:
1774:
1773:
1759:
1756:
1742:
1739:
1735:
1727:
1723:
1717:
1714:
1711:
1707:
1703:
1698:
1665:
1645:
1642:
1639:
1636:
1633:
1630:
1627:
1622:
1618:
1614:
1609:
1605:
1601:
1598:
1595:
1590:
1583:
1579:
1575:
1570:
1566:
1561:
1557:
1546:
1545:
1534:
1529:
1514:
1507:
1503:
1499:
1494:
1490:
1485:
1481:
1478:
1475:
1470:
1455:
1448:
1444:
1440:
1435:
1431:
1426:
1422:
1419:
1412:
1408:
1404:
1392:
1389:
1386:
1379:
1375:
1371:
1359:
1356:
1331:
1324:
1320:
1316:
1311:
1307:
1302:
1280:
1260:
1255:
1243:
1240:
1237:
1232:
1220:
1197:
1193:
1172:
1165:
1161:
1157:
1145:
1142:
1139:
1134:
1131:
1119:
1095:
1086:has dimension
1074:
1051:
1047:
1037:has dimension
1023:
1019:
1003:
1002:
986:
983:
978:
974:
970:
967:
964:
959:
955:
951:
948:
933:
930:
929:
928:
914:
909:
904:
899:
894:
889:
886:
883:
878:
873:
868:
865:
859:
855:
834:
811:
802:at each point
791:
771:
742:
737:
732:
727:
722:
717:
714:
703:
688:
674:
669:
658:of vectors in
642:
620:
617:
613:characteristic
547:
514:
510:
479:
475:
450:
445:
441:
437:
434:
431:
426:
422:
418:
415:
412:
407:
403:
399:
396:
374:
370:
349:
317:
295:
292:
287:
282:
279:
257:
253:
249:
246:
243:
238:
234:
222:
221:
205:
202:
197:
193:
189:
186:
183:
178:
174:
170:
167:
141:linear algebra
135:
134:
49:
47:
40:
26:
24:
14:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
6933:
6922:
6919:
6918:
6916:
6903:
6897:
6893:
6889:
6885:
6879:
6876:
6870:
6866:
6863:
6861:
6858:
6856:
6853:
6851:
6848:
6846:
6843:
6842:
6838:
6833:
6832:
6828:
6812:
6807:
6804:
6801:
6797:
6791:
6788:
6785:
6781:
6777:
6772:
6769:
6766:
6762:
6756:
6753:
6750:
6746:
6742:
6736:
6730:
6723:
6722:
6721:
6707:
6704:
6698:
6692:
6669:
6663:
6660:
6657:
6649:
6639:
6632:
6627:
6617:
6607:
6604:
6601:
6593:
6583:
6576:
6571:
6561:
6551:
6531:
6528:
6520:
6510:
6503:
6498:
6488:
6478:
6475:
6467:
6457:
6450:
6445:
6435:
6425:
6405:
6382:
6379:
6376:
6370:
6365:
6355:
6328:
6325:
6322:
6316:
6311:
6301:
6273:
6265:
6255:
6248:
6243:
6233:
6223:
6218:
6215:
6212:
6208:
6202:
6199:
6196:
6192:
6188:
6180:
6170:
6163:
6158:
6148:
6138:
6133:
6130:
6127:
6123:
6117:
6114:
6111:
6107:
6103:
6095:
6085:
6078:
6073:
6063:
6053:
6048:
6045:
6042:
6038:
6032:
6029:
6026:
6022:
6018:
6010:
6000:
5993:
5988:
5978:
5968:
5963:
5960:
5957:
5953:
5947:
5944:
5941:
5937:
5933:
5927:
5921:
5914:
5913:
5912:
5906:
5904:
5886:
5882:
5871:
5864:
5861:
5858:
5851:
5847:
5836:
5818:
5814:
5794:
5784:
5780:
5769:
5762:
5759:
5756:
5749:
5745:
5734:
5724:
5716:
5712:
5708:
5705:
5699:
5696:
5688:
5684:
5680:
5677:
5671:
5663:
5659:
5655:
5652:
5646:
5641:
5638:
5633:
5629:
5625:
5622:
5618:
5614:
5609:
5606:
5601:
5597:
5593:
5590:
5586:
5582:
5577:
5574:
5569:
5565:
5561:
5558:
5554:
5550:
5544:
5538:
5531:
5530:
5529:
5526:
5522:
5515:
5492:
5484:
5480:
5476:
5473:
5470:
5465:
5461:
5457:
5452:
5442:
5432:
5426:
5423:
5420:
5414:
5409:
5404:
5401:
5398:
5394:
5390:
5386:
5380:
5376:
5372:
5369:
5366:
5361:
5357:
5353:
5348:
5338:
5328:
5325:
5322:
5316:
5311:
5306:
5303:
5300:
5296:
5291:
5287:
5284:
5278:
5272:
5265:
5264:
5263:
5259:
5255:
5249:
5229:
5224:
5214:
5204:
5201:
5198:
5192:
5187:
5182:
5179:
5176:
5172:
5168:
5163:
5159:
5151:
5150:
5149:
5146:
5120:
5110:
5083:
5075:
5071:
5067:
5064:
5061:
5057:
5053:
5049:
5045:
5042:
5039:
5034:
5030:
5023:
5020:
5012:
5008:
5004:
5001:
4998:
4993:
4989:
4985:
4982:
4979:
4974:
4970:
4963:
4960:
4957:
4949:
4945:
4941:
4938:
4935:
4931:
4927:
4923:
4919:
4914:
4910:
4906:
4903:
4900:
4897:
4892:
4888:
4881:
4874:
4873:
4872:
4855:
4847:
4843:
4839:
4836:
4833:
4828:
4824:
4817:
4814:
4808:
4802:
4795:
4794:
4793:
4790:
4784:
4778:
4774:
4770:
4761:
4753:
4748:
4744:
4735:
4731:
4727:
4711:
4703:
4699:
4695:
4692:
4689:
4684:
4680:
4673:
4670:
4662:
4658:
4654:
4651:
4648:
4643:
4639:
4632:
4625:
4624:
4623:
4609:
4589:
4567:
4563:
4559:
4556:
4553:
4548:
4544:
4535:
4516:
4512:
4508:
4505:
4502:
4497:
4493:
4464:
4456:
4452:
4448:
4445:
4442:
4437:
4433:
4429:
4426:
4419:
4418:
4417:
4395:
4387:
4383:
4379:
4376:
4373:
4368:
4364:
4360:
4357:
4350:
4349:
4348:
4346:
4338:
4318:
4310:
4298:
4293:
4281:
4276:
4261:
4258:
4255:
4252:
4249:
4246:
4238:
4226:
4221:
4209:
4204:
4189:
4186:
4183:
4180:
4177:
4174:
4172:
4159:
4147:
4142:
4130:
4125:
4110:
4107:
4104:
4101:
4098:
4095:
4087:
4075:
4070:
4058:
4053:
4038:
4035:
4032:
4029:
4026:
4023:
4015:
4003:
3998:
3986:
3981:
3966:
3963:
3960:
3957:
3954:
3951:
3943:
3931:
3926:
3914:
3909:
3894:
3891:
3888:
3885:
3882:
3879:
3877:
3864:
3852:
3847:
3835:
3830:
3815:
3812:
3809:
3806:
3803:
3800:
3792:
3780:
3775:
3763:
3758:
3743:
3740:
3737:
3734:
3731:
3728:
3719:
3716:
3713:
3707:
3705:
3697:
3694:
3691:
3685:
3679:
3676:
3673:
3664:
3653:
3652:
3651:
3634:
3629:
3626:
3622:
3616:
3613:
3609:
3603:
3600:
3596:
3590:
3587:
3584:
3580:
3574:
3569:
3566:
3563:
3559:
3553:
3548:
3545:
3542:
3538:
3532:
3527:
3524:
3521:
3517:
3513:
3505:
3493:
3488:
3476:
3471:
3456:
3449:
3448:
3447:
3431:
3427:
3423:
3418:
3386:
3380:
3377:
3374:
3368:
3363:
3360:
3356:
3352:
3346:
3343:
3340:
3334:
3329:
3326:
3322:
3318:
3313:
3301:
3296:
3293:
3289:
3285:
3280:
3268:
3263:
3260:
3256:
3252:
3247:
3244:
3230:
3227:
3223:
3217:
3212:
3209:
3206:
3202:
3198:
3193:
3177:
3176:
3175:
3159:
3155:
3151:
3146:
3142:
3138:
3133:
3101:
3093:
3081:
3076:
3064:
3059:
3044:
3036:
3024:
3019:
3007:
3002:
2987:
2979:
2967:
2962:
2950:
2945:
2930:
2922:
2910:
2905:
2893:
2888:
2873:
2865:
2853:
2848:
2836:
2831:
2816:
2808:
2796:
2791:
2779:
2774:
2759:
2751:
2739:
2734:
2722:
2717:
2702:
2694:
2682:
2677:
2665:
2660:
2641:
2640:
2639:
2623:
2619:
2596:
2593:
2590:
2586:
2562:
2559:
2556:
2550:
2547:
2544:
2541:
2538:
2535:
2512:
2507:
2504:
2501:
2497:
2493:
2485:
2473:
2468:
2456:
2451:
2436:
2433:
2425:
2422:
2410:
2405:
2402:
2390:
2385:
2382:
2367:
2360:
2359:
2358:
2344:
2335:
2332:
2329:
2323:
2317:
2314:
2311:
2302:
2294:
2282:
2277:
2262:
2252:
2248:
2244:
2232:
2229:
2226:
2221:
2218:
2190:
2186:
2182:
2178:
2171:
2167:
2160:
2156:
2133:
2130:
2122:
2118:
2114:
2109:
2105:
2101:
2096:
2092:
2088:
2085:
2078:
2077:
2076:
2070:
2054:
2049:
2033:
2029:
2025:
2021:
2017:
2010:
2006:
2002:
1998:
1992:
1985:
1981:
1977:
1972:
1968:
1963:
1957:
1952:
1949:
1946:
1942:
1934:
1930:
1924:
1921:
1916:
1912:
1907:
1903:
1896:
1892:
1886:
1883:
1878:
1874:
1869:
1865:
1857:
1845:
1842:
1839:
1834:
1819:
1812:
1811:
1810:
1795:
1792:
1789:
1786:
1783:
1757:
1754:
1740:
1737:
1733:
1725:
1721:
1715:
1712:
1709:
1705:
1701:
1696:
1680:
1679:
1678:
1663:
1640:
1637:
1634:
1631:
1628:
1625:
1620:
1616:
1612:
1607:
1603:
1599:
1596:
1593:
1588:
1581:
1577:
1573:
1568:
1564:
1559:
1532:
1527:
1512:
1505:
1501:
1497:
1492:
1488:
1483:
1479:
1476:
1473:
1468:
1453:
1446:
1442:
1438:
1433:
1429:
1424:
1420:
1410:
1406:
1402:
1390:
1387:
1384:
1377:
1373:
1369:
1354:
1347:
1346:
1345:
1329:
1322:
1318:
1314:
1309:
1305:
1300:
1278:
1253:
1241:
1238:
1235:
1230:
1195:
1191:
1163:
1159:
1155:
1143:
1140:
1137:
1132:
1129:
1110:
1093:
1072:
1049:
1045:
1021:
1017:
1008:
984:
976:
972:
968:
965:
962:
957:
953:
949:
946:
939:
938:
937:
931:
912:
897:
887:
884:
881:
876:
866:
863:
857:
853:
832:
825:
809:
789:
769:
761:
759:
740:
725:
715:
712:
704:
701:
700:square matrix
697:
693:
689:
672:
657:
656:cross product
631:
630:inner product
627:
623:
622:
618:
616:
614:
610:
606:
602:
599:
595:
594:antisymmetric
591:
586:
584:
580:
576:
572:
568:
566:
561:
545:
537:
533:
528:
512:
508:
499:
498:cross product
495:
477:
473:
464:
443:
439:
435:
432:
429:
424:
420:
416:
413:
410:
405:
401:
394:
372:
368:
347:
339:
335:
331:
330:vector spaces
315:
293:
290:
280:
277:
255:
251:
247:
244:
241:
236:
232:
203:
195:
191:
187:
184:
181:
176:
172:
168:
165:
158:
157:
156:
154:
150:
146:
142:
131:
128:
120:
109:
106:
102:
99:
95:
92:
88:
85:
81:
78: –
77:
73:
72:Find sources:
66:
62:
56:
55:
50:This article
48:
44:
39:
38:
33:
19:
6891:
6878:
6289:
5910:
5825:operates on
5816:
5812:
5809:
5524:
5520:
5517:we get, for
5510:
5507:
5257:
5253:
5247:
5244:
5141:
5098:
4870:
4788:
4782:
4776:
4772:
4765:
4759:
4746:
4742:
4739:
4733:
4729:
4532:denotes the
4484:
4415:
4342:
3649:
3401:
3117:Each vector
3116:
2638:), namely:
2527:
2191:
2184:
2180:
2176:
2169:
2162:
2158:
2151:
2148:
2074:
1775:
1547:
1211:and a basis
1004:
935:
757:
626:bilinear map
600:
587:
564:
563:
559:
536:bilinear map
529:
223:
144:
138:
123:
117:October 2023
114:
104:
97:
90:
83:
71:
59:Please help
54:verification
51:
6884:Lang, Serge
6685:. Letting
5810:Therefore,
5251:we rewrite
5148:as the sum
4871:satisfying
4343:There is a
762:, then the
696:alternating
692:determinant
598:alternating
567:-linear map
6871:References
6829:Properties
5099:If we let
569:. If the
532:linear map
494:orthogonal
87:newspapers
6886:(2005) .
6778:−
6661:−
6643:^
6621:^
6605:−
6587:^
6565:^
6514:^
6492:^
6461:^
6439:^
6359:^
6305:^
6259:^
6237:^
6174:^
6152:^
6089:^
6067:^
6004:^
5982:^
5875:^
5862:…
5840:^
5773:^
5760:…
5738:^
5697:…
5639:≤
5626:≤
5619:∑
5615:…
5607:≤
5594:≤
5587:∑
5583:…
5575:≤
5562:≤
5555:∑
5474:…
5446:^
5395:∑
5370:…
5342:^
5297:∑
5218:^
5173:∑
5114:^
5065:…
5043:…
5002:…
4983:…
4939:…
4901:…
4837:…
4696:⊗
4693:⋯
4690:⊗
4652:…
4557:…
4509:⊗
4506:⋯
4503:⊗
4462:→
4449:⊗
4446:⋯
4443:⊗
4430::
4393:→
4380:×
4377:⋯
4374:×
4361::
4259:×
4187:×
4108:×
4036:×
3964:×
3892:×
3813:×
3741:×
3560:∑
3539:∑
3518:∑
3424:∈
3369:×
3335:×
3302:×
3269:×
3203:∑
3139:∈
2551:∈
2230:…
2128:→
2115:×
2102:×
2089::
2018:⋯
1978:⋯
1943:∑
1908:∑
1904:⋯
1870:∑
1843:…
1793:≤
1787:≤
1706:∑
1638:≤
1632:≤
1613:≤
1600:≤
1594:∣
1574:⋯
1498:⋯
1477:⋯
1439:⋯
1388:…
1315:⋯
1239:…
1183:for each
1141:…
982:→
969:×
966:⋯
963:×
950::
903:→
888:×
885:⋯
882:×
867::
824:symmetric
731:→
716::
590:symmetric
433:…
414:…
291:≥
281:∈
245:…
201:→
188:×
185:⋯
182:×
169::
6915:Category
6839:See also
5058:′
4932:′
4736:matrices
760:function
619:Examples
611:) has a
571:codomain
149:function
6892:Algebra
6865:Tensors
5907:Example
4345:natural
2172:= 1,2,3
2071:Example
1809:, then
336:over a
334:modules
101:scholar
6898:
6290:where
4771:, 1 ≤
4745:×
4732:×
4485:where
2528:where
2174:, and
2149:where
1065:, and
308:) and
224:where
153:linear
103:
96:
89:
82:
74:
2168:= 2,
1109:basis
755:is a
632:on a
609:field
461:is a
147:is a
108:JSTOR
94:books
6896:ISBN
6544:and
6344:and
5519:1 ≤
4602:and
2357:Let
1776:for
1271:for
936:Let
690:The
624:Any
607:(or
605:ring
596:and
332:(or
328:are
143:, a
80:news
5262:as
4536:of
2199:is
2187:= 1
1344:by
705:If
465:of
139:In
63:by
6917::
6890:.
5903:.
5528:,
5523:≤
4775:≤
2189:.
2183:,
2179:=
2161:,
2157:=
592:,
585:.
527:.
6904:.
6813:.
6808:1
6805:,
6802:2
6798:A
6792:2
6789:,
6786:1
6782:A
6773:2
6770:,
6767:2
6763:A
6757:1
6754:,
6751:1
6747:A
6743:=
6740:)
6737:A
6734:(
6731:D
6708:1
6705:=
6702:)
6699:I
6696:(
6693:D
6673:)
6670:I
6667:(
6664:D
6658:=
6655:)
6650:2
6640:e
6633:,
6628:1
6618:e
6611:(
6608:D
6602:=
6599:)
6594:1
6584:e
6577:,
6572:2
6562:e
6555:(
6552:D
6532:0
6529:=
6526:)
6521:2
6511:e
6504:,
6499:2
6489:e
6482:(
6479:D
6476:=
6473:)
6468:1
6458:e
6451:,
6446:1
6436:e
6429:(
6426:D
6406:D
6386:]
6383:1
6380:,
6377:0
6374:[
6371:=
6366:2
6356:e
6332:]
6329:0
6326:,
6323:1
6320:[
6317:=
6312:1
6302:e
6274:,
6271:)
6266:2
6256:e
6249:,
6244:2
6234:e
6227:(
6224:D
6219:2
6216:,
6213:2
6209:A
6203:2
6200:,
6197:1
6193:A
6189:+
6186:)
6181:1
6171:e
6164:,
6159:2
6149:e
6142:(
6139:D
6134:1
6131:,
6128:2
6124:A
6118:2
6115:,
6112:1
6108:A
6104:+
6101:)
6096:2
6086:e
6079:,
6074:1
6064:e
6057:(
6054:D
6049:2
6046:,
6043:2
6039:A
6033:1
6030:,
6027:1
6023:A
6019:+
6016:)
6011:1
6001:e
5994:,
5989:1
5979:e
5972:(
5969:D
5964:2
5961:,
5958:1
5954:A
5948:1
5945:,
5942:1
5938:A
5934:=
5931:)
5928:A
5925:(
5922:D
5887:n
5883:k
5872:e
5865:,
5859:,
5852:1
5848:k
5837:e
5823:D
5819:)
5817:A
5815:(
5813:D
5795:.
5792:)
5785:n
5781:k
5770:e
5763:,
5757:,
5750:1
5746:k
5735:e
5728:(
5725:D
5722:)
5717:n
5713:k
5709:,
5706:n
5703:(
5700:A
5694:)
5689:2
5685:k
5681:,
5678:2
5675:(
5672:A
5669:)
5664:1
5660:k
5656:,
5653:1
5650:(
5647:A
5642:n
5634:n
5630:k
5623:1
5610:n
5602:i
5598:k
5591:1
5578:n
5570:1
5566:k
5559:1
5551:=
5548:)
5545:A
5542:(
5539:D
5525:n
5521:i
5513:i
5511:a
5493:.
5490:)
5485:n
5481:a
5477:,
5471:,
5466:2
5462:a
5458:,
5453:j
5443:e
5436:(
5433:D
5430:)
5427:j
5424:,
5421:1
5418:(
5415:A
5410:n
5405:1
5402:=
5399:j
5391:=
5387:)
5381:n
5377:a
5373:,
5367:,
5362:2
5358:a
5354:,
5349:j
5339:e
5332:)
5329:j
5326:,
5323:1
5320:(
5317:A
5312:n
5307:1
5304:=
5301:j
5292:(
5288:D
5285:=
5282:)
5279:A
5276:(
5273:D
5260:)
5258:A
5256:(
5254:D
5248:D
5230:.
5225:j
5215:e
5208:)
5205:j
5202:,
5199:i
5196:(
5193:A
5188:n
5183:1
5180:=
5177:j
5169:=
5164:i
5160:a
5144:i
5142:a
5137:j
5121:j
5111:e
5084:.
5081:)
5076:n
5072:a
5068:,
5062:,
5054:i
5050:a
5046:,
5040:,
5035:1
5031:a
5027:(
5024:D
5021:+
5018:)
5013:n
5009:a
5005:,
4999:,
4994:i
4990:a
4986:,
4980:,
4975:1
4971:a
4967:(
4964:D
4961:c
4958:=
4955:)
4950:n
4946:a
4942:,
4936:,
4928:i
4924:a
4920:+
4915:i
4911:a
4907:c
4904:,
4898:,
4893:1
4889:a
4885:(
4882:D
4856:,
4853:)
4848:n
4844:a
4840:,
4834:,
4829:1
4825:a
4821:(
4818:D
4815:=
4812:)
4809:A
4806:(
4803:D
4789:D
4783:A
4777:n
4773:i
4768:i
4766:a
4760:A
4755:K
4747:n
4743:n
4734:n
4730:n
4712:.
4709:)
4704:n
4700:v
4685:1
4681:v
4677:(
4674:F
4671:=
4668:)
4663:n
4659:v
4655:,
4649:,
4644:1
4640:v
4636:(
4633:f
4610:F
4590:f
4568:n
4564:V
4560:,
4554:,
4549:1
4545:V
4517:n
4513:V
4498:1
4494:V
4469:,
4465:W
4457:n
4453:V
4438:1
4434:V
4427:F
4400:,
4396:W
4388:n
4384:V
4369:1
4365:V
4358:f
4319:.
4316:)
4311:2
4305:e
4299:,
4294:2
4288:e
4282:,
4277:2
4271:e
4265:(
4262:g
4256:f
4253:d
4250:b
4247:+
4244:)
4239:1
4233:e
4227:,
4222:2
4216:e
4210:,
4205:2
4199:e
4193:(
4190:g
4184:e
4181:d
4178:b
4175:+
4165:)
4160:2
4154:e
4148:,
4143:1
4137:e
4131:,
4126:2
4120:e
4114:(
4111:g
4105:f
4102:c
4099:b
4096:+
4093:)
4088:1
4082:e
4076:,
4071:1
4065:e
4059:,
4054:2
4048:e
4042:(
4039:g
4033:e
4030:c
4027:b
4024:+
4021:)
4016:2
4010:e
4004:,
3999:2
3993:e
3987:,
3982:1
3976:e
3970:(
3967:g
3961:f
3958:d
3955:a
3952:+
3949:)
3944:1
3938:e
3932:,
3927:2
3921:e
3915:,
3910:1
3904:e
3898:(
3895:g
3889:e
3886:d
3883:a
3880:+
3870:)
3865:2
3859:e
3853:,
3848:1
3842:e
3836:,
3831:1
3825:e
3819:(
3816:g
3810:f
3807:c
3804:a
3801:+
3798:)
3793:1
3787:e
3781:,
3776:1
3770:e
3764:,
3759:1
3753:e
3747:(
3744:g
3738:e
3735:c
3732:a
3729:=
3726:)
3723:)
3720:f
3717:,
3714:e
3711:(
3708:,
3701:)
3698:d
3695:,
3692:c
3689:(
3686:,
3683:)
3680:b
3677:,
3674:a
3671:(
3668:(
3665:g
3635:,
3630:k
3627:3
3623:v
3617:j
3614:2
3610:v
3604:i
3601:1
3597:v
3591:k
3588:j
3585:i
3581:A
3575:2
3570:1
3567:=
3564:k
3554:2
3549:1
3546:=
3543:j
3533:2
3528:1
3525:=
3522:i
3514:=
3511:)
3506:3
3500:v
3494:,
3489:2
3483:v
3477:,
3472:1
3466:v
3460:(
3457:g
3432:2
3428:R
3419:i
3413:v
3387:.
3384:)
3381:1
3378:,
3375:0
3372:(
3364:2
3361:i
3357:v
3353:+
3350:)
3347:0
3344:,
3341:1
3338:(
3330:1
3327:i
3323:v
3319:=
3314:2
3308:e
3297:2
3294:i
3290:v
3286:+
3281:1
3275:e
3264:1
3261:i
3257:v
3253:=
3248:j
3245:i
3239:e
3231:j
3228:i
3224:v
3218:2
3213:1
3210:=
3207:j
3199:=
3194:i
3188:v
3160:2
3156:R
3152:=
3147:i
3143:V
3134:i
3128:v
3102:.
3099:}
3094:2
3088:e
3082:,
3077:2
3071:e
3065:,
3060:2
3054:e
3048:{
3045:,
3042:}
3037:1
3031:e
3025:,
3020:2
3014:e
3008:,
3003:2
2997:e
2991:{
2988:,
2985:}
2980:2
2974:e
2968:,
2963:1
2957:e
2951:,
2946:2
2940:e
2934:{
2931:,
2928:}
2923:1
2917:e
2911:,
2906:1
2900:e
2894:,
2889:2
2883:e
2877:{
2874:,
2871:}
2866:2
2860:e
2854:,
2849:2
2843:e
2837:,
2832:1
2826:e
2820:{
2817:,
2814:}
2809:1
2803:e
2797:,
2792:2
2786:e
2780:,
2775:1
2769:e
2763:{
2760:,
2757:}
2752:2
2746:e
2740:,
2735:1
2729:e
2723:,
2718:1
2712:e
2706:{
2703:,
2700:}
2695:1
2689:e
2683:,
2678:1
2672:e
2666:,
2661:1
2655:e
2649:{
2624:i
2620:V
2597:k
2594:j
2591:i
2587:A
2566:}
2563:2
2560:,
2557:1
2554:{
2548:k
2545:,
2542:j
2539:,
2536:i
2513:,
2508:k
2505:j
2502:i
2498:A
2494:=
2491:)
2486:k
2480:e
2474:,
2469:j
2463:e
2457:,
2452:i
2446:e
2440:(
2437:f
2434:=
2431:)
2426:k
2423:3
2417:e
2411:,
2406:j
2403:2
2397:e
2391:,
2386:i
2383:1
2377:e
2371:(
2368:g
2345:.
2342:}
2339:)
2336:1
2333:,
2330:0
2327:(
2324:,
2321:)
2318:0
2315:,
2312:1
2309:(
2306:{
2303:=
2300:}
2295:2
2289:e
2283:,
2278:1
2272:e
2266:{
2263:=
2260:}
2253:i
2249:d
2245:i
2239:e
2233:,
2227:,
2222:1
2219:i
2213:e
2207:{
2196:i
2194:V
2185:d
2181:R
2177:W
2170:i
2165:i
2163:d
2159:R
2154:i
2152:V
2134:,
2131:R
2123:2
2119:R
2110:2
2106:R
2097:2
2093:R
2086:g
2055:.
2050:k
2044:b
2034:n
2030:j
2026:n
2022:v
2011:1
2007:j
2003:1
1999:v
1993:k
1986:n
1982:j
1973:1
1969:j
1964:A
1958:d
1953:1
1950:=
1947:k
1935:n
1931:d
1925:1
1922:=
1917:n
1913:j
1897:1
1893:d
1887:1
1884:=
1879:1
1875:j
1866:=
1863:)
1858:n
1852:v
1846:,
1840:,
1835:1
1829:v
1823:(
1820:f
1796:n
1790:i
1784:1
1758:j
1755:i
1749:e
1741:j
1738:i
1734:v
1726:i
1722:d
1716:1
1713:=
1710:j
1702:=
1697:i
1691:v
1664:f
1644:}
1641:d
1635:k
1629:1
1626:,
1621:i
1617:d
1608:i
1604:j
1597:1
1589:k
1582:n
1578:j
1569:1
1565:j
1560:A
1556:{
1533:.
1528:d
1522:b
1513:d
1506:n
1502:j
1493:1
1489:j
1484:A
1480:+
1474:+
1469:1
1463:b
1454:1
1447:n
1443:j
1434:1
1430:j
1425:A
1421:=
1418:)
1411:n
1407:j
1403:n
1397:e
1391:,
1385:,
1378:1
1374:j
1370:1
1364:e
1358:(
1355:f
1330:k
1323:n
1319:j
1310:1
1306:j
1301:A
1279:W
1259:}
1254:d
1248:b
1242:,
1236:,
1231:1
1225:b
1219:{
1196:i
1192:V
1171:}
1164:i
1160:d
1156:i
1150:e
1144:,
1138:,
1133:1
1130:i
1124:e
1118:{
1094:d
1073:W
1050:i
1046:d
1022:i
1018:V
989:,
985:W
977:n
973:V
958:1
954:V
947:f
927:.
913:n
908:R
898:m
893:R
877:m
872:R
864:F
858:k
854:D
833:k
810:p
790:F
770:k
758:C
741:n
736:R
726:m
721:R
713:F
702:.
687:.
673:3
668:R
641:R
601:k
565:k
560:k
546:k
513:2
509:2
478:i
474:v
449:)
444:n
440:v
436:,
430:,
425:i
421:v
417:,
411:,
406:1
402:v
398:(
395:f
373:i
369:v
348:i
316:W
294:0
286:Z
278:n
270:(
256:n
252:V
248:,
242:,
237:1
233:V
208:,
204:W
196:n
192:V
177:1
173:V
166:f
130:)
124:(
119:)
115:(
105:·
98:·
91:·
84:·
57:.
34:.
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
