2204:
5100:
7345:
5857:
3333:
2014:
4733:
5631:
3070:
2199:{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\theta }}&=\mathbf {Y} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {Y} \\&=(\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+\mathbf {U} {\boldsymbol {\xi }})^{\top }\mathbf {A} (\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+\mathbf {U} {\boldsymbol {\xi }})\\&={\boldsymbol {\xi }}^{\top }\mathbf {U} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {U} {\boldsymbol {\xi }}\end{aligned}}}
5095:{\displaystyle {\begin{aligned}\lVert \mathbf {U} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {U} -{\boldsymbol {\Delta }}\rVert _{2}^{2}&=(\mathbf {U} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {U} -{\boldsymbol {\Delta }})^{\top }(\mathbf {U} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {U} -{\boldsymbol {\Delta }})\\&=\mathrm {Tr} -\mathrm {Tr} +\mathrm {Tr} \\&=\mathrm {Tr} -\mathrm {Tr} \end{aligned}}}
1457:
5852:{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\theta }}&=\mathbf {Y} ^{\top }\mathbf {A} _{\star }\mathbf {Y} \\&=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\mathbf {Y} ^{\top }\mathbf {R} \mathbf {V} _{i}\mathbf {R} \mathbf {Y} \\&\equiv \sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}Q_{i}\\&\equiv {\boldsymbol {\lambda }}^{\top }\mathbf {Q} \end{aligned}}}
6844:
6674:
3328:{\displaystyle {\frac {p_{1}}{c_{1}}}{\boldsymbol {\xi }}_{1}^{\top }{\boldsymbol {\xi }}_{1}+\cdots +{\frac {p_{k}}{c_{k}}}{\boldsymbol {\xi }}_{k}^{\top }{\boldsymbol {\xi }}_{k}={\boldsymbol {\xi }}^{\top }\left{\boldsymbol {\xi }}\equiv {\boldsymbol {\xi }}^{\top }{\boldsymbol {\Delta }}{\boldsymbol {\xi }}}
2609:
3908:
6282:
1263:
211:
1825:
1732:
3405:
5514:
6723:
6411:
5350:
6933:
4510:
3967:
3643:
3462:
1185:
2765:
2310:
1662:
806:
3796:
1452:{\displaystyle \mathbb {V} =\sigma _{1}^{2}\mathbf {U} _{1}\mathbf {U} _{1}^{\top }+\cdots +\sigma _{k}^{2}\mathbf {U} _{k}\mathbf {U} _{k}^{\top }\equiv \sigma _{1}^{2}\mathbf {V} _{1}+\cdots +\sigma _{k}^{2}\mathbf {V} _{k}}
6003:
4384:
4208:
121:
1582:
4726:
7055:
7065:
MINQUE estimators can be obtained without the invariance criteria, in which case the estimator is only unbiased and minimizes the norm. Such estimators have slightly different constraints on the minimization problem.
5412:
6718:
1739:
4279:
6319:
7284:
574:
425:
354:
1669:
1257:
3340:
5417:
1964:
1868:
910:
3568:
1528:
650:
297:
256:
4077:
706:
3681:
2007:
1925:
7163:
7115:
6008:
5636:
4738:
2315:
2019:
1135:
3037:
2899:
760:
7006:
114:
5996:
6839:{\displaystyle {\hat {\theta }}={\boldsymbol {\lambda }}^{\top }\mathbf {Q} =\mathbf {p} ^{\top }(\mathbf {S} ^{-})^{\top }\mathbf {Q} =\mathbf {p} ^{\top }\mathbf {S} ^{-}\mathbf {Q} }
847:
497:
5881:
5602:
4432:
2303:
3059:
7334:
6669:{\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}\mathrm {Tr} &\cdots &\mathrm {Tr} \\\vdots &\ddots &\vdots \\\mathrm {Tr} &\cdots &\mathrm {Tr} \end{bmatrix}}}
6382:
7207:
2932:
5949:
4021:
3744:
1046:
5270:
3499:
970:
4109:
2272:. Below, the expectation of the estimator can be decomposed for each component since the components are uncorrelated with each other. Furthermore, the cyclic property of the
6849:
4437:
5238:
5143:
6404:
5624:
5573:
5540:
5263:
5187:
5165:
3590:
2787:
2250:
1890:
1604:
1209:
941:
3789:
3919:
3595:
3414:
2952:
2270:
1142:
2620:
7069:
The model can be extended to estimate covariance components. In such a model, the random effects of a component are assumed to have a common covariance structure
2604:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} &=\mathbb {E} \\&=\sum _{i=1}^{k}\mathbb {E} \\&=\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{2}\mathrm {Tr} \end{aligned}}}
7575:
449:
374:
1622:
768:
3903:{\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-m}}(\mathbf {Y} -\mathbf {X} {\hat {\boldsymbol {\beta }}})^{\top }(\mathbf {Y} -\mathbf {X} {\hat {\boldsymbol {\beta }}})}
6277:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Tr} &=p_{j}\\\mathrm {Tr} \left&=p_{j}\\\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\mathrm {Tr} &=p_{j}\end{aligned}}}
206:{\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+\mathbf {U} _{1}{\boldsymbol {\xi }}_{1}+\cdots +\mathbf {U} _{k}{\boldsymbol {\xi }}_{k}}
7386:
4284:
4114:
1533:
4519:
52:
7011:
5358:
1820:{\displaystyle (\mathbf {Y} -\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}_{0})^{\top }\mathbf {A} (\mathbf {Y} -\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}_{0})}
6681:
4213:
1727:{\displaystyle \mathbf {Y} -\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}_{0}=\mathbf {X} {\boldsymbol {\gamma }}+\mathbf {U} {\boldsymbol {\xi }}}
6289:
7212:
3400:{\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}^{\top }(\mathbf {U} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {U} -{\boldsymbol {\Delta }}){\boldsymbol {\xi }}}
502:
379:
302:
5509:{\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {V} ^{-1}\mathbf {X} )^{-}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {V} ^{-1}}
1216:
1930:
1834:
852:
3504:
1464:
579:
265:
55:
error variance in multiple linear regression. MINQUE estimators also provide an alternative to maximum likelihood estimators or
218:
4026:
655:
36:
3651:
1977:
1895:
7379:
7120:
7072:
56:
40:
1051:
428:
2957:
2792:
721:
6938:
82:
7570:
1075:
996:
5954:
7565:
3761:
3472:
Given the constraints and optimization strategy derived from the optimal properties above, the MINQUE estimator
763:
44:
7372:
1664:, which represents a translation of the original fixed effect. The new, equivalent model is now the following.
811:
454:
5864:
5585:
4404:
2279:
3042:
7289:
7117:. A MINQUE estimator for a mixture of variance and covariance components was also proposed. In this model,
6324:
7168:
4513:
2915:
2273:
5886:
5345:{\displaystyle \mathbf {A} _{\star }=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\mathbf {R} \mathbf {V} _{i}\mathbf {R} }
4434:
is the square root of the sum of squares of all elements in the matrix. When evaluating this norm below,
3980:
3688:
979:
6928:{\displaystyle \theta =\sum _{i=1}^{k}p_{i}\sigma _{i}^{2}=\mathbf {p} ^{\top }{\boldsymbol {\sigma }}}
4505:{\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {V} _{1}+\cdots +\mathbf {V} _{k}=\mathbf {U} \mathbf {U} ^{\top }}
7344:
3475:
946:
4082:
2209:
943:
that shares a common variance can be modeled as an individual variance component with an appropriate
5576:
5192:
5107:
3969:. Thus, the standard estimator for error variance in the Gauss-Markov model is a MINQUE estimator.
6387:
5607:
5545:
5523:
5246:
5170:
5148:
3962:{\displaystyle \lVert \mathbf {U} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {U} -{\boldsymbol {\Delta }}\rVert }
3638:{\displaystyle \lVert \mathbf {U} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {U} -{\boldsymbol {\Delta }}\rVert }
3573:
3457:{\displaystyle \lVert \mathbf {U} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {U} -{\boldsymbol {\Delta }}\rVert }
2770:
2215:
1873:
1587:
1192:
924:
7542:
7440:
3767:
1180:{\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+\mathbf {U} {\boldsymbol {\xi }}}
2760:{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{2}\mathrm {Tr} =\sum _{i=1}^{k}p_{i}\sigma _{i}^{2}}
5517:
48:
32:
7356:
2937:
2255:
7534:
7486:
7478:
7432:
3062:
1831:
argued that since the underlying models are equivalent, this estimator should be equal to
1657:{\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}={\boldsymbol {\beta }}-{\boldsymbol {\beta }}_{0}}
801:{\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\epsilon }}}
7525:
Rao, C.R. (1972). "Estimation of variance and covariance components in linear models".
434:
359:
67:
of the response variable and are used to estimate a linear function of the variances.
64:
4397:
proposed a MINQUE estimator for the variance components model based on minimizing the
7559:
7482:
259:
7469:
Rao, C.R. (1971). "Estimation of variance and covariance components MINQUE theory".
2009:, as argued in the section above. Then, the MINQUE estimator has the following form
7538:
7436:
5951:. That is, the vector represents the solution to the following system of equations
4398:
4379:{\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(Y_{i}-{\overline {Y}})^{2}}
4203:{\displaystyle {\frac {n}{n-2}}(Y_{i}-{\overline {Y}})^{2}-{\frac {s^{2}}{n-2}}}
3913:
3408:
76:
60:
451:-th random-effect component. The random effects are assumed to have zero mean (
7491:
7423:
Rao, C.R. (1970). "Estimation of heteroscedastic variances in linear models".
7352:
711:
This is a general model that captures commonly used linear regression models.
20:
1577:{\displaystyle {\hat {\theta }}=\mathbf {Y} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {Y} }
4721:{\displaystyle \mathrm {Tr} =\mathrm {Tr} =\mathrm {Tr} \left=\mathrm {Tr} }
4394:
2909:
2614:
1828:
28:
7050:{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\sigma }}}=\mathbf {S} ^{-}\mathbf {Q} }
5167:, the MINQUE with the Euclidean norm is obtained by identifying the matrix
3337:
The difference between the proposed estimator and the natural estimator is
5407:{\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {V} ^{-1}(\mathbf {I} -\mathbf {P} )}
1606:
such that the estimator has some desirable properties, described below.
7546:
7444:
6713:{\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}=\mathbf {S} ^{-}\mathbf {p} }
576:). Furthermore, any two random effect vectors are also uncorrelated (
5582:
Therefore, the MINQUE estimator is the following, where the vectors
4274:{\displaystyle {\overline {Y}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Y_{i}}
6314:{\displaystyle \mathbf {S} {\boldsymbol {\lambda }}=\mathbf {p} }
7279:{\displaystyle \mathbb {V} =\sigma _{i}^{2}\mathbf {I} _{c_{i}}}
569:{\displaystyle \mathbb {V} =\sigma _{i}^{2}\mathbf {I} _{c_{i}}}
420:{\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}_{i}\in \mathbb {R} ^{c_{i}}}
349:{\displaystyle \mathbf {U} _{i}\in \mathbb {R} ^{n\times c_{i}}}
1252:{\displaystyle \mathbb {E} =\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}}
1189:
Note that this model makes no distributional assumptions about
976:
A compact representation for the model is the following, where
3912:
This estimator is unbiased and can be shown to minimize the
1959:{\displaystyle \mathbf {Y} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {Y} }
1863:{\displaystyle \mathbf {Y} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {Y} }
905:{\displaystyle \mathbb {V} =\sigma _{1}^{2}\mathbf {I} _{n}}
3973:
Random
Variables with Common Mean and Heteroscedastic Error
3563:{\displaystyle \theta =\sum _{i=1}^{k}p_{i}\sigma _{i}^{2}}
1523:{\displaystyle \theta =\sum _{i=1}^{k}p_{i}\sigma _{i}^{2}}
31:. MINQUE is a theory alongside other estimation methods in
7008:. Therefore, the estimator for the variance components is
645:{\displaystyle \mathbb {V} =\mathbf {0} \,\forall i\neq j}
292:{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {R} ^{m}}
1736:
Under this equivalent model, the MINQUE estimator is now
1584:. MINQUE estimators are derived by identifying a matrix
251:{\displaystyle \mathbf {X} \in \mathbb {R} ^{n\times m}}
51:
models. The method was originally conceived to estimate
7360:
4072:{\displaystyle \sigma _{1}^{2},\cdots ,\sigma _{n}^{2}}
701:{\displaystyle \sigma _{1}^{2},\cdots ,\sigma _{k}^{2}}
6428:
7292:
7215:
7171:
7123:
7075:
7014:
6941:
6852:
6726:
6684:
6414:
6390:
6327:
6292:
6006:
5957:
5889:
5867:
5634:
5610:
5588:
5548:
5526:
5420:
5361:
5273:
5249:
5240:, subject to the MINQUE constraints discussed above.
5195:
5173:
5151:
5110:
4736:
4522:
4440:
4407:
4287:
4216:
4117:
4085:
4029:
3983:
3922:
3799:
3770:
3691:
3676:{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {X} =\mathbf {0} }
3654:
3598:
3576:
3507:
3478:
3417:
3407:. This difference can be minimized by minimizing the
3343:
3073:
3045:
2960:
2940:
2918:
2795:
2773:
2623:
2313:
2282:
2258:
2218:
2017:
2002:{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {X} =\mathbf {0} }
1980:
1933:
1920:{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {X} =\mathbf {0} }
1898:
1876:
1837:
1742:
1672:
1625:
1590:
1536:
1467:
1266:
1219:
1195:
1145:
1054:
982:
949:
927:
855:
814:
771:
724:
658:
582:
505:
457:
437:
382:
362:
305:
268:
221:
124:
85:
7158:{\displaystyle \mathbb {V} ={\boldsymbol {\Sigma }}}
7110:{\displaystyle \mathbb {V} ={\boldsymbol {\Sigma }}}
2276:
is used to evaluate the expectation with respect to
25:
minimum norm quadratic unbiased estimation (MINQUE)
7328:
7278:
7201:
7157:
7109:
7049:
7000:
6927:
6838:
6712:
6668:
6398:
6376:
6313:
6276:
5990:
5943:
5875:
5851:
5618:
5596:
5567:
5534:
5508:
5406:
5344:
5257:
5232:
5181:
5159:
5137:
5094:
4720:
4504:
4426:
4378:
4273:
4202:
4103:
4071:
4015:
3961:
3902:
3783:
3738:
3675:
3637:
3584:
3562:
3493:
3456:
3399:
3327:
3053:
3031:
2946:
2926:
2893:
2781:
2759:
2603:
2297:
2264:
2244:
2198:
2001:
1958:
1919:
1884:
1862:
1819:
1726:
1656:
1598:
1576:
1522:
1451:
1251:
1203:
1179:
1130:{\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}^{\top }=\left}
1129:
1040:
964:
935:
904:
841:
800:
754:
700:
644:
568:
491:
443:
419:
368:
348:
291:
250:
205:
108:
3032:{\displaystyle \mathbb {E} =c_{i}\sigma _{i}^{2}}
2894:{\displaystyle \mathrm {Tr} =\mathrm {Tr} =p_{i}}
1966:in the expansion of the quadratic form are zero.
755:{\displaystyle \mathbf {U} _{1}=\mathbf {I} _{n}}
7001:{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=^{\top }}
1610:Optimal Estimator Properties to Constrain MINQUE
708:represent the variance components of the model.
299:represents the unknown fixed-effect parameters,
109:{\displaystyle \mathbf {Y} \in \mathbb {R} ^{n}}
7527:Journal of the American Statistical Association
7425:Journal of the American Statistical Association
1615:Invariance to translation of the fixed effects
7380:
8:
7323:
7299:
7196:
7178:
5991:{\displaystyle \forall j\in \{1,\cdots ,k\}}
5985:
5967:
5265:that satisfies this optimization problem is
4775:
4741:
4512:. Furthermore, using the cyclic property of
4415:
4408:
3956:
3923:
3632:
3599:
3451:
3418:
2767:, which can be accomplished by constraining
4023:with a common mean and different variances
2613:To ensure that this estimator is unbiased,
718:If we consider a one-component model where
7387:
7373:
3756:Standard Estimator for Homoscedastic Error
1927:, which ensures that all terms other than
7490:
7291:
7268:
7263:
7258:
7251:
7246:
7230:
7225:
7217:
7216:
7214:
7170:
7150:
7138:
7133:
7125:
7124:
7122:
7102:
7090:
7085:
7077:
7076:
7074:
7042:
7036:
7031:
7016:
7015:
7013:
6992:
6982:
6977:
6972:
6968:
6962:
6957:
6942:
6940:
6920:
6914:
6909:
6899:
6894:
6884:
6874:
6863:
6851:
6831:
6825:
6820:
6813:
6808:
6799:
6793:
6783:
6778:
6768:
6763:
6754:
6748:
6743:
6728:
6727:
6725:
6705:
6699:
6694:
6685:
6683:
6649:
6644:
6638:
6632:
6627:
6621:
6610:
6594:
6589:
6583:
6577:
6572:
6566:
6555:
6525:
6520:
6514:
6508:
6503:
6497:
6486:
6470:
6465:
6459:
6453:
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6442:
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2939:
2934:were observed, a "natural" estimator for
2919:
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1218:
1211:other than the first and second moments.
1196:
1194:
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856:
854:
842:{\displaystyle \mathbb {E} =\mathbf {0} }
834:
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133:
125:
123:
100:
96:
95:
86:
84:
6286:This can be written as a matrix product
5876:{\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}
5597:{\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}
4427:{\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{2}}
2298:{\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}_{i}}
47:, MINQUE is specifically concerned with
7404:
7226:
7134:
7086:
7018:
6943:
6921:
6744:
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3850:
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3346:
3321:
3305:
3296:
3194:
3179:
3162:
3117:
3100:
3054:{\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}}
2988:
2971:
2920:
2490:
2439:
2391:
2358:
2285:
2188:
2155:
2136:
2123:
2095:
2082:
1870:. This can be achieved by constraining
1804:
1761:
1720:
1707:
1688:
1644:
1635:
1627:
1245:
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1057:
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824:
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786:
608:
593:
516:
468:
385:
270:
193:
160:
139:
7329:{\displaystyle i\in \{s+1,\cdots ,k\}}
2252:must equal the parameter of interest,
1619:Consider a new fixed-effect parameter
762:, then the model is equivalent to the
59:estimators for variance components in
6377:{\displaystyle \mathbf {p} =^{\top }}
116:with the following linear structure.
7:
7576:Statistical deviation and dispersion
7520:
7518:
7516:
7514:
7512:
7510:
7508:
7506:
7504:
7502:
7464:
7462:
7460:
7458:
7456:
7454:
7418:
7416:
7414:
7412:
7410:
7408:
7341:
7339:
7202:{\displaystyle i\in \{1,\cdots ,s\}}
5883:is obtained by using the constraint
2927:{\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}
5944:{\displaystyle \mathrm {Tr} =p_{i}}
4016:{\displaystyle Y_{1},\cdots ,Y_{n}}
3739:{\displaystyle \mathrm {Tr} =p_{i}}
2212:, the expectation of the estimator
7359:. You can help Knowledge (XXG) by
6993:
6915:
6814:
6794:
6769:
6749:
6720:. This implies that the MINQUE is
6614:
6611:
6559:
6556:
6490:
6487:
6435:
6432:
6369:
6209:
6206:
6074:
6071:
6015:
6012:
5958:
5894:
5891:
5835:
5735:
5665:
5486:
5444:
5200:
5197:
5115:
5112:
5068:
5065:
5031:
5028:
4997:
4994:
4967:
4950:
4947:
4935:
4903:
4889:
4886:
4849:
4834:
4806:
4751:
4698:
4695:
4615:
4612:
4600:
4571:
4568:
4541:
4527:
4524:
4497:
3933:
3864:
3791:is estimated using the following.
3696:
3693:
3609:
3428:
3366:
3351:
3310:
3219:
3216:
3213:
3210:
3199:
3172:
3110:
2981:
2851:
2848:
2819:
2800:
2797:
2683:
2664:
2661:
2572:
2553:
2550:
2466:
2449:
2375:
2363:
2172:
2160:
2104:
2048:
1941:
1845:
1776:
1559:
1461:The goal in MINQUE is to estimate
1378:
1325:
1114:
1090:
1062:
1041:{\displaystyle \mathbf {U} =\left}
630:
14:
4390:Estimator for Variance Components
2208:To ensure that this estimator is
376:-th random-effect component, and
16:Theory in the field of statistics
7343:
7259:
7151:
7103:
7043:
7032:
6910:
6832:
6821:
6809:
6800:
6779:
6764:
6755:
6706:
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6645:
6639:
6628:
6622:
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6584:
6573:
6567:
6521:
6515:
6504:
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6466:
6460:
6449:
6443:
6416:
6392:
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6294:
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2954:would be the following since
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5243:Rao showed that the matrix
4079:, the MINQUE estimator for
3784:{\displaystyle \sigma ^{2}}
356:is a design matrix for the
43:. Similar to the theory of
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7338:
1974:Suppose that we constrain
5520:into the column space of
652:). The unknown variances
75:We are concerned with a
63:. MINQUE estimators are
2947:{\displaystyle \theta }
2265:{\displaystyle \theta }
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499:) and be uncorrelated (
262:for the fixed effects,
7355:-related article is a
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