2551:
38:
5745:
7721:
7006:
5944:
In the first version of the theorem, evidently the separating hyperplane is never unique. In the second version, it may or may not be unique. Technically a separating axis is never unique because it can be translated; in the second version of the theorem, a separating axis can be unique up to
148:
in between them and even two parallel hyperplanes in between them separated by a gap. In another version, if both disjoint convex sets are open, then there is a hyperplane in between them, but not necessarily any gap. An axis which is orthogonal to a separating hyperplane is a
5735:
Note that the existence of a hyperplane that only "separates" two convex sets in the weak sense of both inequalities being non-strict obviously does not imply that the two sets are disjoint. Both sets could have points located on the hyperplane.
4393:
3354:
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4667:
3939:
3887:
6237:
In 3D, using face normals alone will fail to separate some edge-on-edge non-colliding cases. Additional axes, consisting of the cross-products of pairs of edges, one taken from each object, are required.
3474:
3414:
4550:
4057:
1778:
1264:
The number of dimensions must be finite. In infinite-dimensional spaces there are examples of two closed, convex, disjoint sets which cannot be separated by a closed hyperplane (a hyperplane where a
5724:
5646:
2228:
5924:
6219:
Regardless of dimensionality, the separating axis is always a line. For example, in 3D, the space is separated by planes, but the separating axis is perpendicular to the separating plane.
3548:
2283:
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872:
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4163:
5292:
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4983:
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7126:
6848:
6703:
7594:
7096:
7035:
6679:
7163:
6194:
and related results can be understood as hyperplane separation theorems when the convex bodies are defined by finitely many linear inequalities.
7339:
6466:
6418:
6352:
5929:(Although, by an instance of the second theorem, there is a hyperplane that separates their interiors.) Another type of counterexample has
7745:
7552:
7604:
7101:
7071:
6434:
6215:
Two closed convex objects are disjoint if there exists a line ("separating axis") onto which the two objects' projections are disjoint.
4608:
7724:
7028:
6571:
6234:
or other feature direction is used as a separating axis. Note that this yields possible separating axes, not separating lines/planes.
3892:
3840:
7512:
6660:
6551:
6504:
6485:
6327:
2288:
3419:
3359:
6930:
1275:. This version of the separation theorem does generalize to infinite-dimension; the generalization is more commonly known as the
4505:
6575:
3984:
1706:
5651:
5582:
7579:
7181:
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5359:
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6782:
7630:
7009:
6731:
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6544:
6746:
7755:
7139:
7134:
6991:
6751:
5847:
5784:
is a closed half plane and B is bounded by one arm of a hyperbola, then there is no strictly separating hyperplane:
7750:
7687:
7224:
7076:
6945:
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169:
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7051:
6838:
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7706:
7696:
7680:
7380:
7329:
7229:
7214:
6966:
6910:
6874:
582:
If both sets are closed, and at least one of them is compact, then the separation can be strict, that is,
183:
5790:
845:
812:
7675:
7375:
7362:
7344:
7309:
2233:
7149:
5395:
4676:
Since a separating hyperplane cannot intersect the interiors of open convex sets, we have a corollary:
5955:
5553:
5220:
1335:
1268:
linear functional equals some constant) even in the weak sense where the inequalities are not strict.
733:
264:
7691:
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7614:
6949:
4398:
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3097:
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7574:
7569:
7527:
7106:
6915:
6853:
6567:
6223:
6040:
5984:
5452:
4467:
3008:
1594:
136:. There are several rather similar versions. In one version of the theorem, if both these sets are
74:
2550:
7559:
7502:
7451:
7447:
7436:
7421:
7417:
7288:
7278:
6940:
6807:
6293:
6205:
In collision detection, the hyperplane separation theorem is usually used in the following form:
4388:{\displaystyle c_{A}:=\sup _{a\in A}\langle v,a\rangle ,c_{B}:=\inf _{b\in B}\langle v,b\rangle }
4069:
3944:
3057:
2968:
2734:
1803:
4555:
4257:
2621:
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1384:
2501:
2083:
2003:
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7664:
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6925:
6843:
6812:
6792:
6777:
6772:
6767:
6604:
6406:
6191:
5167:
are disjoint, then the proof of the first case still applies with no change, thus yielding:
3482:
1568:
1542:
1508:
1482:
1183:
908:
884:
6400:
5498:
5427:
4136:
4109:
3761:
3734:
3578:
3349:{\displaystyle L_{A}=\{x:\langle v,x\rangle =c_{A}\},L_{B}=\{x:\langle v,x\rangle =c_{B}\}}
2901:
2874:
2847:
2820:
2474:
2447:
2056:
2029:
1930:
1903:
1679:
1239:
1215:
1159:
7639:
7487:
6787:
6741:
6689:
6684:
6655:
6536:
6531:
6265:
6227:
5744:
133:
64:
6614:
5140:
4438:
3814:
1271:
Here, the compactness in the hypothesis cannot be relaxed; see an example in the section
707:
17:
6453:
3709:
3664:
3553:
2402:
2134:
2109:
654:{\displaystyle \langle x,v\rangle >c_{1}\,{\text{ and }}\langle y,v\rangle <c_{2}}
7670:
7619:
7334:
6976:
6828:
6629:
6379:
6231:
6160:
6140:
6116:
6096:
5533:
5478:
5458:
5375:
5269:
5249:
5200:
5180:
5111:
5091:
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5051:
4960:
4940:
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4900:
4880:
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4769:
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3644:
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2654:
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1863:
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562:
542:
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464:
444:
424:
404:
313:
293:
244:
224:
5937:
open. For example, A can be a closed square and B can be an open square that touches
3605:
2774:
7739:
7654:
7564:
7507:
7467:
7395:
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6981:
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7701:
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7609:
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7324:
7319:
7116:
7066:
7020:
6971:
6624:
6594:
4244:{\displaystyle \langle v_{k},A_{k}\rangle <c_{k}<\langle v_{k},B_{k}\rangle }
6299:
The
Elements of Statistical Learning : Data Mining, Inference, and Prediction
5347:{\displaystyle \langle x,v\rangle \geq c\,{\text{ and }}\langle y,v\rangle \leq c}
391:{\displaystyle \langle x,v\rangle \geq c\,{\text{ and }}\langle y,v\rangle \leq c}
4847:{\displaystyle \langle x,v\rangle >c\,{\text{ and }}\langle y,v\rangle \leq c}
7659:
7644:
7537:
7431:
7426:
7411:
7390:
7354:
7261:
7081:
6900:
6890:
6797:
6599:
5038:{\displaystyle \langle x,v\rangle >c\,{\text{ and }}\langle y,v\rangle <c}
4254:
Since the unit sphere is compact, we can take a convergent subsequence, so that
3223:{\displaystyle c_{A}:=\langle v,a_{0}\rangle <c_{B}:=\langle v,b_{0}\rangle }
203:
199:
141:
5952:
provides a good counterexample to many hyperplane separations. For example, in
7472:
7385:
7349:
7209:
7091:
6833:
6673:
6669:
6665:
6410:
5949:
195:
145:
137:
125:
7624:
7441:
6250:
6241:
For increased efficiency, parallel axes may be calculated as a single axis.
6137:
open, then there does not necessarily exist a separation that is strict for
5772:
could be concentric circles. A more subtle counterexample is one in which
5764:
is not convex, then there are many possible counterexamples. For example,
7589:
7584:
7542:
7522:
7492:
7283:
6179:
114:
6316:
Witten, Ian H.; Frank, Eibe; Hall, Mark A.; Pal, Christopher J. (2016).
7532:
51:
6518:
Support and separation properties of convex sets in finite dimension
5246:
with disjoint relative interiors. Then there exist a nonzero vector
5743:
4662:{\displaystyle \langle v_{k},a\rangle >\langle v_{k},b\rangle }
2549:
6343:
Deisenroth, Marc Peter; Faisal, A. Aldo; Ong, Cheng Soon (2020).
3981:
is closed and compact, and the unions are the relative interiors
1900:. Since the distance function is continuous, there exist points
5579:, then extend the affine span to a supporting hyperplane. Else,
3934:{\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2}\subseteq \cdots \subseteq B}
3882:{\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots \subseteq A}
7024:
6540:
27:
On the existence of hyperplanes separating disjoint convex sets
2392:{\displaystyle \|a-b'\|\leq \|a'-b'\|+\|a-a'\|<r_{1}+r_{2}}
2080:
in fact have the minimum distance over all pairs of points in
6037:, but the only line separating them contains the entirety of
5780:
are both closed but neither one is compact. For example, if
6319:
Data Mining: Practical
Machine Learning Tools and Techniques
3469:{\displaystyle \forall b\in B,\langle v,b\rangle \geq c_{B}}
3409:{\displaystyle \forall a\in A,\langle v,a\rangle \leq c_{A}}
6495:
Shimizu, Kiyotaka; Ishizuka, Yo; Bard, Jonathan F. (1997).
4937:. If both sets are open, then there exist a nonzero vector
4545:{\displaystyle \langle v,a\rangle >\langle v,b\rangle }
4052:{\displaystyle \mathrm {relint} (A),\mathrm {relint} (B)}
6497:
Nondifferentiable and two-level mathematical programming
6305:(Second ed.). New York: Springer. pp. 129–135.
1773:{\displaystyle S=B\cap {\overline {B_{r_{1}+r_{2}}(a)}}}
6478:
6322:(Fourth ed.). Morgan Kaufmann. pp. 253–254.
5719:{\displaystyle \mathrm {relint} (\{a_{0}\})=\{a_{0}\}}
5641:{\displaystyle \mathrm {relint} (A)=\mathrm {int} (A)}
6163:
6143:
6119:
6099:
6043:
5987:
5958:
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5793:
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1656:
is compact, it is contained in some ball centered on
1642:
1597:
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339:
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267:
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6384:
Analyse fonctionnelle : théorie et applications
6222:
The separating axis theorem can be applied for fast
2106:. Suppose for contradiction that there exist points
7460:
7404:
7302:
7190:
7125:
7059:
6959:
6883:
6862:
6821:
6760:
6702:
6648:
6583:
5981:, the unit disk is disjoint from the open interval
2562:We first prove the second case. (See the diagram.)
1272:
101:
93:
83:
57:
47:
6896:Spectral theory of ordinary differential equations
6499:. Boston: Kluwer Academic Publishers. p. 19.
6169:
6149:
6125:
6105:
6085:
6029:
5973:
5918:
5835:
5718:
5640:
5571:
5542:
5514:
5487:
5467:
5443:
5416:
5384:
5346:
5278:
5258:
5238:
5209:
5189:
5155:
5120:
5100:
5080:
5060:
5037:
4969:
4949:
4929:
4909:
4889:
4869:
4846:
4778:
4758:
4738:
4718:
4698:
4661:
4597:
4577:
4544:
4494:
4453:
4427:
4387:
4279:
4243:
4152:
4125:
4098:
4051:
3973:
3933:
3881:
3829:
3797:
3777:
3750:
3723:
3698:
3678:
3653:
3633:
3594:
3567:
3542:
3497:
3468:
3408:
3348:
3222:
3132:
3086:
3043:
2997:
2957:
2937:
2917:
2890:
2863:
2836:
2809:
2763:
2723:
2683:
2663:
2643:
2610:
2577:
2536:
2516:
2490:
2463:
2436:
2416:
2391:
2277:
2222:
2148:
2123:
2098:
2072:
2045:
2018:
1992:
1946:
1919:
1892:
1872:
1852:
1832:
1792:
1772:
1695:
1668:
1648:
1628:
1583:
1557:
1523:
1497:
1471:
1439:
1406:
1373:
1353:
1324:
1304:
1251:
1227:
1195:
1171:
1140:
1100:
1069:
1030:
990:
959:
920:
896:
866:
833:
800:
779:
751:
722:
693:
653:
571:
551:
531:
511:
473:
453:
433:
413:
390:
322:
302:
282:
253:
233:
42:Illustration of the hyperplane separation theorem.
6402:Convexity and Optimization in Finite Dimensions I
157:of the convex bodies onto the axis are disjoint.
6367:
6347:. Cambridge University Press. pp. 337–338.
4355:
4308:
730:to be disjoint, nonempty, and convex subsets of
6452:Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004).
5919:{\displaystyle B=\{(x,y):x>0,y\geq 1/x\}.\ }
5475:, then there exists a supporting hyperplane of
7036:
6552:
3785:, contradiction. Similar argument applies to
2585:is compact. By the lemma, there exist points
759:. The summary of the results are as follows:
8:
5907:
5857:
5830:
5800:
5713:
5700:
5691:
5678:
5335:
5323:
5308:
5296:
5026:
5014:
4999:
4987:
4835:
4823:
4808:
4796:
4656:
4637:
4631:
4612:
4539:
4527:
4521:
4509:
4382:
4370:
4335:
4323:
4238:
4212:
4193:
4167:
3543:{\displaystyle \langle v,a\rangle >c_{A}}
3524:
3512:
3450:
3438:
3390:
3378:
3343:
3327:
3315:
3306:
3287:
3271:
3259:
3250:
3217:
3198:
3179:
3160:
3005:, and thus the perpendicular hyperplanes to
2360:
2343:
2337:
2315:
2309:
2292:
2259:
2237:
2223:{\displaystyle \|a'-b'\|<\|a_{0}-b_{0}\|}
2217:
2191:
2185:
2163:
1987:
1961:
1880:is compact and nonempty because it contains
1623:
1611:
1466:
1454:
861:
849:
828:
816:
635:
623:
601:
589:
500:
488:
379:
367:
352:
340:
160:The hyperplane separation theorem is due to
30:
6209:
5366:
5171:
4746:is open, then there exist a nonzero vector
4680:
2000:is the minimum over all pairs of points in
1286:
1282:The proof is based on the following lemma:
261:be two disjoint nonempty convex subsets of
215:
7043:
7029:
7021:
6587:
6559:
6545:
6537:
6476:Golshtein, E. G.; Tretyakov, N.V. (1996).
6399:Stoer, Josef; Witzgall, Christoph (1970).
3051:satisfy the requirement of the theorem.
512:{\displaystyle \langle \cdot ,v\rangle =c}
36:
29:
6520:. Extracta Math. Vol. 36, no. 2, 241-278.
6405:. Springer Berlin, Heidelberg. (2.12.9).
6162:
6142:
6118:
6098:
6042:
5986:
5965:
5961:
5960:
5957:
5899:
5849:
5792:
5707:
5685:
5655:
5653:
5618:
5586:
5584:
5563:
5559:
5558:
5555:
5535:
5506:
5500:
5480:
5460:
5435:
5429:
5405:
5401:
5400:
5397:
5377:
5318:
5317:
5294:
5271:
5251:
5230:
5226:
5225:
5222:
5202:
5182:
5142:
5113:
5093:
5073:
5053:
5009:
5008:
4985:
4962:
4942:
4922:
4902:
4882:
4862:
4818:
4817:
4794:
4771:
4751:
4731:
4726:be two disjoint nonempty convex sets. If
4711:
4691:
4644:
4619:
4610:
4590:
4563:
4557:
4507:
4469:
4440:
4419:
4406:
4400:
4358:
4345:
4311:
4298:
4292:
4265:
4259:
4232:
4219:
4203:
4187:
4174:
4165:
4144:
4138:
4117:
4111:
4090:
4077:
4071:
4020:
3988:
3986:
3965:
3952:
3946:
3913:
3900:
3894:
3861:
3848:
3842:
3816:
3790:
3769:
3763:
3742:
3736:
3711:
3691:
3666:
3646:
3616:
3607:
3586:
3580:
3555:
3534:
3510:
3484:
3460:
3421:
3400:
3361:
3337:
3297:
3281:
3241:
3235:
3211:
3189:
3173:
3151:
3145:
3124:
3111:
3099:
3078:
3065:
3059:
3032:
3019:
3010:
2989:
2976:
2970:
2950:
2930:
2909:
2903:
2882:
2876:
2855:
2849:
2828:
2822:
2798:
2785:
2776:
2755:
2742:
2736:
2715:
2702:
2696:
2676:
2656:
2651:of minimum distance to each other. Since
2629:
2623:
2596:
2590:
2570:
2529:
2503:
2482:
2476:
2455:
2449:
2429:
2404:
2383:
2370:
2290:
2269:
2235:
2211:
2198:
2161:
2136:
2111:
2085:
2064:
2058:
2037:
2031:
2005:
1981:
1968:
1959:
1938:
1932:
1911:
1905:
1885:
1865:
1845:
1824:
1811:
1805:
1785:
1747:
1734:
1729:
1722:
1708:
1687:
1681:
1661:
1641:
1602:
1596:
1570:
1544:
1510:
1484:
1452:
1425:
1419:
1392:
1386:
1366:
1345:
1341:
1340:
1337:
1317:
1297:
1241:
1217:
1185:
1161:
1132:
1119:
1113:
1092:
1083:
1061:
1052:
1022:
1009:
1003:
982:
973:
951:
942:
910:
886:
847:
814:
793:
772:
743:
739:
738:
735:
709:
685:
672:
666:
645:
618:
617:
611:
587:
564:
544:
524:
486:
466:
446:
426:
406:
362:
361:
338:
315:
295:
274:
270:
269:
266:
246:
226:
6849:Group algebra of a locally compact group
761:
6277:
5163:have possible intersections, but their
7182:Uniform boundedness (Banach–Steinhaus)
4066:Now by the second case, for each pair
7:
6394:
6392:
1381:is compact. Then there exist points
290:. Then there exist a nonzero vector
5836:{\displaystyle A=\{(x,y):x\leq 0\}}
5752:if one of the bodies is not convex.
4464:Assume not, then there exists some
867:{\displaystyle \langle y,v\rangle }
834:{\displaystyle \langle x,v\rangle }
5671:
5668:
5665:
5662:
5659:
5656:
5625:
5622:
5619:
5602:
5599:
5596:
5593:
5590:
5587:
5217:be two nonempty convex subsets of
4036:
4033:
4030:
4027:
4024:
4021:
4004:
4001:
3998:
3995:
3992:
3989:
3575:be the foot of perpendicular from
3423:
3363:
2444:, which contradicts the fact that
2285:, and by the triangle inequality,
2278:{\displaystyle \|a'-b'\|<r_{1}}
1332:be two disjoint closed subsets of
25:
5417:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
2731:. Now, construct two hyperplanes
1676:; let the radius of this ball be
7720:
7719:
7005:
7004:
6931:Topological quantum field theory
6532:Collision detection and response
6345:Mathematics for Machine Learning
5974:{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
5572:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
5239:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
5133:Case with possible intersections
1354:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
752:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
283:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
7707:With the approximation property
6183:then such a separation exists.
4428:{\displaystyle c_{A}\leq c_{B}}
3054:Algebraically, the hyperplanes
2724:{\displaystyle a_{0}\neq b_{0}}
1993:{\displaystyle \|a_{0}-b_{0}\|}
1591:be any pair of points, and let
188:optimally separating hyperplane
7170:Open mapping (Banach–Schauder)
6480:. New York: Wiley. p. 6.
6461:. Cambridge University Press.
6080:
6077:
6065:
6059:
6047:
6044:
6024:
6021:
6009:
6003:
5991:
5988:
5872:
5860:
5815:
5803:
5740:Counterexamples and uniqueness
5726:, so apply the above theorem.
5694:
5675:
5635:
5629:
5612:
5606:
4569:
4271:
4106:there exists some unit vector
4046:
4040:
4014:
4008:
3628:
3609:
3133:{\displaystyle v:=b_{0}-a_{0}}
3038:
3012:
2804:
2778:
2771:perpendicular to line segment
1761:
1755:
1277:Hahn–Banach separation theorem
1273:Counterexamples and uniqueness
1141:{\displaystyle c_{2}<c_{1}}
1031:{\displaystyle c_{2}<c_{1}}
694:{\displaystyle c_{1}>c_{2}}
166:Hahn–Banach separation theorem
106:Hahn–Banach separation theorem
1:
6727:Uniform boundedness principle
6226:between polygon meshes. Each
6086:{\displaystyle ((1,0),(1,1))}
6030:{\displaystyle ((1,0),(1,1))}
5367:Supporting hyperplane theorem
5360:supporting hyperplane theorem
4495:{\displaystyle a\in A,b\in B}
3044:{\displaystyle (a_{0},b_{0})}
1800:with a closed ball of radius
1629:{\displaystyle r_{1}=\|b-a\|}
539:the normal vector, separates
216:Hyperplane separation theorem
177:supporting hyperplane theorem
119:hyperplane separation theorem
31:Hyperplane separation theorem
6368:Boyd & Vandenberghe 2004
1765:
140:and at least one of them is
7746:Theorems in convex geometry
7391:Radially convex/Star-shaped
7376:Pre-compact/Totally bounded
6197:More results may be found.
5358:in particular, we have the
4099:{\displaystyle A_{k},B_{k}}
3974:{\displaystyle A_{k},B_{k}}
3087:{\displaystyle L_{A},L_{B}}
2998:{\displaystyle L_{A},L_{B}}
2764:{\displaystyle L_{A},L_{B}}
2026:. It remains to show that
1833:{\displaystyle r_{1}+r_{2}}
7772:
7077:Continuous linear operator
6870:Invariant subspace problem
6201:Use in collision detection
4578:{\displaystyle v_{k}\to v}
4280:{\displaystyle v_{k}\to v}
3706:, and by planar geometry,
3094:are defined by the vector
2644:{\displaystyle b_{0}\in B}
2611:{\displaystyle a_{0}\in A}
2498:had minimum distance over
1440:{\displaystyle b_{0}\in B}
1407:{\displaystyle a_{0}\in A}
168:generalizes the result to
7715:
7422:Algebraic interior (core)
7164:Vector-valued Hahn–Banach
7052:Topological vector spaces
7000:
6590:
6411:10.1007/978-3-642-46216-0
6386:, 1983, remarque 4, p. 7.
2965:enters the space between
2517:{\displaystyle A\times S}
2099:{\displaystyle A\times B}
2019:{\displaystyle A\times S}
1101:{\displaystyle <c_{2}}
1070:{\displaystyle >c_{1}}
991:{\displaystyle <c_{2}}
960:{\displaystyle >c_{1}}
192:maximum-margin hyperplane
170:topological vector spaces
153:, because the orthogonal
70:Topological vector spaces
35:
18:Maximum-margin hyperplane
7252:Topological homomorphism
7112:Topological vector space
6839:Spectrum of a C*-algebra
3808:Now for the first case.
2925:. We claim that neither
2537:{\displaystyle \square }
1447:minimizing the distance
175:A related result is the
6936:Noncommutative geometry
6210:Separating axis theorem
2230:. Then in particular,
1780:be the intersection of
1472:{\displaystyle \|a-b\|}
481:; i.e., the hyperplane
184:support-vector machines
7310:Absolutely convex/disk
6992:Tomita–Takesaki theory
6967:Approximation property
6911:Calculus of variations
6435:"Advanced vector math"
6171:
6151:
6127:
6107:
6087:
6031:
5975:
5920:
5837:
5753:
5750:theorem does not apply
5720:
5642:
5573:
5544:
5530:If the affine span of
5516:
5489:
5469:
5445:
5418:
5386:
5348:
5280:
5260:
5240:
5211:
5191:
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3479:Suppose there is some
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2691:are disjoint, we have
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7345:Complemented subspace
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6950:Generalized functions
6261:Kirchberger's theorem
6172:
6152:
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6093:. This shows that if
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2021:
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1172:{\displaystyle >c}
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704:In all cases, assume
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656:
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7595:Locally convex space
7145:Closed graph theorem
7097:Locally convex space
6732:Kakutani fixed-point
6717:Riesz representation
6161:
6141:
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4681:Separation theorem I
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3645:
3606:
3602:to the line segment
3579:
3554:
3509:
3483:
3420:
3360:
3356:. Our claim is that
3234:
3144:
3140:, and two constants
3098:
3058:
3009:
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1365:
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265:
245:
225:
210:Statements and proof
198:which separates two
7575:Interpolation space
7107:Operator topologies
6916:Functional calculus
6875:Mahler's conjecture
6854:Von Neumann algebra
6568:Functional analysis
6516:Soltan, V. (2021).
6455:Convex Optimization
6224:collision detection
6213: —
5731:Converse of theorem
5392:is a convex set in
5370: —
5175: —
5156:{\displaystyle A,B}
4684: —
4585:, for large enough
4454:{\displaystyle A,B}
4063:page for details.)
3837:from the inside by
3830:{\displaystyle A,B}
2554:Proof illustration.
1290: —
764:
723:{\displaystyle A,B}
219: —
121:is a theorem about
75:Collision detection
32:
7756:Linear functionals
7605:(Pseudo)Metrizable
7437:Minkowski addition
7289:Sublinear function
6941:Riemann hypothesis
6640:Topological vector
6290:Tibshirani, Robert
6211:
6167:
6147:
6123:
6103:
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6027:
5971:
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5833:
5754:
5716:
5638:
5569:
5540:
5528:
5512:
5485:
5465:
5451:is a point on the
5441:
5414:
5382:
5368:
5344:
5276:
5266:and a real number
5256:
5236:
5207:
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5173:
5165:relative interiors
5153:
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4716:
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4682:
4659:
4595:
4575:
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4492:
4451:
4435:, thus separating
4425:
4385:
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3775:
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3724:{\displaystyle a'}
3721:
3696:
3679:{\displaystyle a'}
3676:
3651:
3631:
3592:
3568:{\displaystyle a'}
3565:
3540:
3495:
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3346:
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2560:
2556:
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2417:{\displaystyle b'}
2414:
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2149:{\displaystyle b'}
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411:
388:
320:
310:and a real number
300:
280:
251:
231:
217:
182:In the context of
144:, then there is a
7751:Hermann Minkowski
7733:
7732:
7452:Relative interior
7198:Bilinear operator
7082:Linear functional
7018:
7017:
6921:Integral operator
6698:
6697:
6468:978-0-521-83378-3
6420:978-3-642-46216-0
6354:978-1-108-45514-5
6170:{\displaystyle A}
6150:{\displaystyle B}
6126:{\displaystyle B}
6106:{\displaystyle A}
5915:
5648:is disjoint from
5543:{\displaystyle A}
5526:
5488:{\displaystyle A}
5468:{\displaystyle A}
5385:{\displaystyle A}
5321:
5279:{\displaystyle c}
5259:{\displaystyle v}
5210:{\displaystyle B}
5190:{\displaystyle A}
5121:{\displaystyle B}
5101:{\displaystyle y}
5081:{\displaystyle A}
5061:{\displaystyle x}
5012:
4970:{\displaystyle c}
4950:{\displaystyle v}
4930:{\displaystyle B}
4910:{\displaystyle y}
4890:{\displaystyle A}
4870:{\displaystyle x}
4821:
4779:{\displaystyle c}
4759:{\displaystyle v}
4739:{\displaystyle A}
4719:{\displaystyle B}
4699:{\displaystyle A}
4669:, contradiction.
4598:{\displaystyle k}
4354:
4307:
4061:relative interior
3941:, such that each
3798:{\displaystyle B}
3699:{\displaystyle A}
3654:{\displaystyle A}
2958:{\displaystyle B}
2938:{\displaystyle A}
2684:{\displaystyle B}
2664:{\displaystyle A}
2578:{\displaystyle A}
2558:
2437:{\displaystyle S}
1893:{\displaystyle b}
1873:{\displaystyle S}
1853:{\displaystyle a}
1793:{\displaystyle B}
1768:
1669:{\displaystyle a}
1649:{\displaystyle A}
1535:
1374:{\displaystyle A}
1325:{\displaystyle B}
1305:{\displaystyle A}
1262:
1261:
801:{\displaystyle B}
780:{\displaystyle A}
621:
572:{\displaystyle B}
552:{\displaystyle A}
532:{\displaystyle v}
474:{\displaystyle B}
454:{\displaystyle y}
434:{\displaystyle A}
414:{\displaystyle x}
365:
323:{\displaystyle c}
303:{\displaystyle v}
254:{\displaystyle B}
234:{\displaystyle A}
202:of points and is
162:Hermann Minkowski
111:
110:
88:Hermann Minkowski
16:(Redirected from
7763:
7723:
7722:
7697:Uniformly smooth
7366:
7358:
7325:Balanced/Circled
7315:Absorbing/Radial
7045:
7038:
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7007:
6926:Jones polynomial
6844:Operator algebra
6588:
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6371:
6370:, Exercise 2.22.
6365:
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6358:
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6333:
6313:
6307:
6306:
6304:
6294:Friedman, Jerome
6282:
6214:
6176:
6174:
6173:
6168:
6156:
6154:
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