3409:
6149:
Famously, or perhaps infamously, Berge only considers
Hausdorff topological spaces and only allows those compact sets which are themselves Hausdorff spaces. He also requires that upper hemicontinuous correspondences be compact-valued. These properties have been clarified and disaggregated in later
4425:
613:
3214:
2008:
3936:
2094:
1924:
3096:
3711:
5733:
2909:
2590:
397:
6851:
2986:
4290:
4997:
1694:
2518:
1622:
1203:
5103:
3857:
450:
4621:
5912:
2146:
1132:
4282:
4154:
132:
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3141:
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1382:
2644:
232:
2834:
6844:
5650:
4103:
6043:
5980:
4018:
1341:
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4535:
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1417:
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1245:
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2418:
2343:
1477:
3641:
2378:
161:
4875:
4810:
4747:
4571:
934:
3764:
796:
The theorem is typically interpreted as providing conditions for a parametric optimization problem to have continuous solutions with regard to the parameter. In this case,
849:
6648:
6536:
4774:
3796:
2450:
1816:
1509:
6837:
4839:
4707:
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1723:
878:
5150:
4448:
3432:
2166:
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5389:
5282:
2798:
2778:
1836:
814:
661:
92:
986:
The result is that if the elements of an optimization problem are sufficiently continuous, then some, but not all, of that continuity is preserved in the solutions.
5588:
5541:
5514:
5436:
5329:
5215:
5188:
5130:
4509:
4482:
4065:
3606:
3511:
2275:
2200:
961:
755:
735:
715:
688:
6478:
Berge's argument is essentially the one presented here, but he again uses auxiliary results proven with the assumptions that the underlying spaces are
Hausdorff.
786:
6625:
6513:
6424:
6367:
6347:
6284:
6227:
6207:
5773:
5753:
5670:
5561:
5483:
5459:
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5349:
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5262:
5238:
5037:
5017:
4038:
3731:
3484:
3464:
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2753:
2248:
2228:
1437:
1265:
1094:
1074:
1002:
containing a particular point. We preface with a preliminary lemma, which is a general fact in the calculus of correspondences. Recall that a correspondence is
981:
898:
637:
72:
3404:{\displaystyle f^{*}(\theta ')=\sup _{x'\in C(\theta ')}f(x',\theta ')<\max _{k=1,\dots ,n}f(x_{k},\theta )+\varepsilon \leq f^{*}(\theta )+\varepsilon ,}
7041:
1841:
1929:
2013:
7280:
6941:
3862:
3646:
7033:
6126:
5677:
6065:
to the consumer's demand, which require compactness and continuity, and the maximum theorem provides the sufficient conditions to do so.
315:
4420:{\displaystyle f^{*}(\theta )<f(x,\theta )+{\frac {\varepsilon }{2}}<f(x',\theta ')+\varepsilon \leq f^{*}(\theta ')+\varepsilon }
7295:
7046:
2839:
5609:
where a consumer makes a choice from their budget set. Translating from the notation above to the standard consumer theory notation,
3022:
6811:
6712:
6678:
6566:
6454:
6306:
6182:
1627:
4912:
1137:
2914:
2523:
608:{\displaystyle C^{*}(\theta )=\mathrm {arg} \max\{f(x,\theta ):x\in C(\theta )\}=\{x\in C(\theta ):f(x,\theta )=f^{*}(\theta )\}}
7066:
7290:
6983:
5042:
7300:
6607:
They work exclusively with
Hausdorff spaces, and their proof again relies on topological nets. Their result also allows for
6495:
They work exclusively with
Hausdorff spaces, and their proof again relies on topological nets. Their result also allows for
4576:
7305:
5836:
7285:
6084:
6062:
5606:
2455:
1559:
1099:
97:
6079:
6058:
408:
7051:
3941:
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2099:
1021:
6054:
271:
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7081:
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1728:
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6089:
5983:
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2678:
1346:
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6898:
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4236:
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7141:
7118:
7012:
6936:
5615:
5991:
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3982:
1311:
7259:
7220:
7136:
7061:
6988:
6973:
6926:
6461:
This is given for arbitrary topological spaces, but the proof relies on the machinery of topological nets.
1514:
36:
31:
function and the set of its maximizers with respect to its parameters. The statement was first proven by
6993:
6732:; Kasyanov, Pavlo O.; Zadoianchuk, Nina V. (January 2013). "Berge's theorem for noncompact image sets".
4710:
4514:
3532:
2296:
1387:
1270:
1224:
237:
5780:
4159:
4070:
3558:
3101:
2383:
2322:
1442:
6998:
6864:
3611:
3146:
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7091:
7086:
7017:
7002:
6911:
6883:
6860:
6685:
They consider arbitrary topological spaces and use an argument involving topological nets.
6573:
They consider arbitrary topological spaces, and use an argument based on topological nets.
40:
6796:
6663:
6551:
6439:
6167:
6189:
This is given for arbitrary topological spaces. They also consider the possibility that
2758:
768:
7238:
7146:
7007:
6906:
6610:
6498:
6409:
6352:
6332:
6269:
6212:
6192:
5758:
5738:
5655:
5546:
5468:
5444:
5394:
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5334:
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5247:
5223:
5022:
5002:
4023:
3716:
3469:
3449:
3191:
2738:
2233:
2213:
1422:
1250:
1079:
1059:
1007:
966:
883:
640:
622:
57:
16:
Provides conditions for a parametric optimization problem to have continuous solutions
7274:
7205:
7197:
7193:
7189:
7185:
7181:
7022:
6791:
6697:
6329:
Berge assumes that the underlying spaces are
Hausdorff and employs this property for
6162:
6111:
2202:
in the maximum theorem is the result of combining two independent theorems together.
7243:
6763:
5241:
32:
5438:
is single-valued, and thus is a continuous function rather than a correspondence.
7233:
7228:
7112:
1919:{\displaystyle A(U_{\theta })\subseteq G\cup V_{x_{1}}\cup \dots \cup V_{x_{n}}}
717:
is upper-hemicontinuous with nonempty and compact values. As a consequence, the
6825:. Vol. 1: Theory. Springer-Science + Business Media, B. V. pp. 82–89.
6755:
7156:
7126:
6888:
5915:
5486:
2003:{\displaystyle \theta '\in U_{\theta }\cap U_{x_{1}}\cap \dots \cap U_{x_{n}}}
2089:{\displaystyle A(\theta ')\subseteq G\cup V_{x_{1}}\cup \dots \cup V_{x_{n}}}
765:
The maximum theorem can be used for minimization by considering the function
6605:. Vol. 1: Theory. Springer-Science + Business Media, B. V. p. 83.
6493:. Vol. 1: Theory. Springer-Science + Business Media, B. V. p. 82.
6384:. Vol. 1: Theory. Springer-Science + Business Media, B. V. p. 53.
6244:. Vol. 1: Theory. Springer-Science + Business Media, B. V. p. 84.
7165:
999:
3931:{\displaystyle f(x,\theta )<f(x',\theta ')+{\frac {\varepsilon }{2}}}
3706:{\displaystyle f^{*}(\theta )<f(x,\theta )+{\frac {\varepsilon }{2}}}
1343:, then the result follows immediately. Otherwise, observe that for each
6946:
6141:
The original reference is the
Maximum Theorem in Chapter 6, Section 3
5728:{\displaystyle \Theta =\mathbb {R} _{++}^{l}\times \mathbb {R} _{++}}
4511:
is an upper hemicontinuous correspondence with compact values. Let
392:{\displaystyle f^{*}(\theta )=\sup\{f(x,\theta ):x\in C(\theta )\}}
6746:
5593:
It is also possible to generalize Berge's theorem to non-compact
5159:
A natural generalization from the above results gives sufficient
2904:{\displaystyle C(\theta ')\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}V_{x_{k}}}
6833:
3091:{\displaystyle f(x',\theta ')<f(x_{k},\theta )+\varepsilon }
4992:{\textstyle D(\theta )=\{x\in X:f(x,\theta )=f^{*}(\theta )\}}
1689:{\displaystyle \{G\}\cup \{V_{x}:x\in A(\theta )\setminus G\}}
1198:{\displaystyle (A\cap B)(\theta )=A(\theta )\cap B(\theta )}
5217:
to be nonempty, compact-valued, and upper semi-continuous.
2981:{\displaystyle U=U'\cap U_{x_{1}}\cap \dots \cap U_{x_{n}}}
2585:{\displaystyle f(x',\theta ')<f(x,\theta )+\varepsilon }
2250:
is upper hemicontinuous, nonempty and compact-valued, then
6301:. New York: Cambridge University Press. pp. 83–84.
5098:{\displaystyle C^{*}(\theta )=C(\theta )\cap D(\theta )}
6299:
Optimization and
Stability Theory for Economic Analysis
4915:
4616:{\displaystyle f_{\theta }:C(\theta )\to \mathbb {R} }
6633:
6613:
6521:
6501:
6412:
6392:
6355:
6335:
6272:
6252:
6215:
6195:
5994:
5931:
5839:
5783:
5761:
5741:
5680:
5658:
5618:
5569:
5549:
5522:
5495:
5471:
5447:
5417:
5397:
5377:
5357:
5337:
5310:
5290:
5270:
5250:
5226:
5196:
5169:
5138:
5111:
5045:
5025:
5005:
4883:
4847:
4818:
4782:
4755:
4719:
4686:
4629:
4579:
4543:
4517:
4490:
4463:
4436:
4293:
4239:
4208:
4162:
4111:
4073:
4046:
4040:
is lower hemicontinuous, there exists a neighborhood
4026:
3985:
3944:
3865:
3804:
3772:
3739:
3733:
is lower semicontinuous, there exists a neighborhood
3719:
3649:
3614:
3587:
3561:
3535:
3492:
3472:
3452:
3420:
3217:
3194:
3149:
3104:
3025:
2994:
2917:
2842:
2806:
2786:
2761:
2755:
is upper hemicontinuous, there exists a neighborhood
2741:
2681:
2652:
2598:
2526:
2458:
2426:
2386:
2351:
2325:
2299:
2256:
2236:
2216:
2181:
2154:
2102:
2016:
1932:
1844:
1824:
1797:
1731:
1702:
1630:
1562:
1517:
1485:
1445:
1425:
1390:
1349:
1314:
1273:
1253:
1227:
1140:
1102:
1082:
1062:
1024:
969:
942:
906:
886:
857:
822:
802:
771:
743:
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696:
669:
649:
625:
453:
411:
318:
274:
240:
205:
169:
143:
100:
80:
60:
5907:{\displaystyle C(\theta )=B(p,w)=\{x\,|\,px\leq w\}}
7252:
7219:
7174:
7105:
7031:
6955:
6897:
6871:
6798:
6665:
6553:
6441:
Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide
6169:
Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide
1791:. By upper hemicontinuity, there is a neighborhood
6642:
6619:
6582:Compare with Theorem 1 in Chapter 6, Section 3 of
6530:
6507:
6470:Compare with Theorem 2 in Chapter 6, Section 3 of
6418:
6398:
6361:
6341:
6321:Compare with Theorem 7 in Chapter 6, Section 1 of
6278:
6258:
6221:
6201:
6037:
5974:
5906:
5819:
5767:
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5727:
5664:
5644:
5582:
5555:
5535:
5508:
5477:
5453:
5430:
5403:
5383:
5363:
5343:
5323:
5296:
5276:
5256:
5232:
5209:
5182:
5144:
5124:
5097:
5031:
5011:
4991:
4901:
4869:
4833:
4804:
4768:
4741:
4701:
4672:
4615:
4565:
4529:
4503:
4476:
4442:
4419:
4276:
4225:
4194:
4148:
4097:
4059:
4032:
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3725:
3705:
3635:
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3547:
3505:
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2747:
2727:
2667:
2638:
2584:
2513:{\displaystyle (\theta ',x')\in U_{x}\times V_{x}}
2512:
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1688:
1617:{\displaystyle (\theta ',x')\in U_{x}\times V_{x}}
1616:
1548:
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1239:
1197:
1127:{\displaystyle A\cap B:\Theta \rightrightarrows X}
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749:
729:
709:
682:
655:
631:
607:
436:
391:
301:
252:
226:
187:
155:
126:
86:
66:
6734:Journal of Mathematical Analysis and Applications
6661:Charalambos D. Aliprantis; Kim C. Border (2006).
6549:Charalambos D. Aliprantis; Kim C. Border (2006).
6437:Charalambos D. Aliprantis; Kim C. Border (2006).
6426:are Hausdorff spaces, but their proof is general.
127:{\displaystyle f:X\times \Theta \to \mathbb {R} }
6085:Kakutani fixed point theorem for correspondences
3312:
3246:
1076:is upper hemicontinuous and compact-valued, and
744:
724:
487:
437:{\displaystyle C^{*}:\Theta \rightrightarrows X}
341:
6590:The argument presented here is essentially his.
5735:represents the price vector of the commodities
3972:{\displaystyle C(\theta )\cap V\neq \emptyset }
1725:, which allows us to extract a finite subcover
6821:Shouchuan Hu; Nikolas S. Papageorgiou (1997).
6601:Shouchuan Hu; Nikolas S. Papageorgiou (1997).
6489:Shouchuan Hu; Nikolas S. Papageorgiou (1997).
6380:Shouchuan Hu; Nikolas S. Papageorgiou (1997).
6240:Shouchuan Hu; Nikolas S. Papageorgiou (1997).
3852:{\displaystyle (\theta ',x')\in U_{1}\times V}
2141:{\displaystyle (A\cap B)(\theta ')\subseteq G}
1049:{\displaystyle A,B:\Theta \rightrightarrows X}
6845:
4457:Under the hypotheses of the Maximum theorem,
302:{\displaystyle f^{*}:\Theta \to \mathbb {R} }
8:
5901:
5876:
5597:if the objective function is K-inf-compact.
5039:is a closed correspondence. Moreover, since
4986:
4931:
4902:{\displaystyle D:\Theta \rightrightarrows X}
2633:
2599:
1784:{\displaystyle G,V_{x_{1}},\dots ,V_{x_{n}}}
1683:
1643:
1637:
1631:
602:
538:
532:
490:
386:
344:
188:{\displaystyle C:\Theta \rightrightarrows X}
4673:{\displaystyle f_{\theta }(x)=f(x,\theta )}
994:Throughout this proof we will use the term
936:is the maximized value of the function and
6852:
6838:
6830:
3517:
2728:{\displaystyle V_{x_{1}},\dots ,V_{x_{n}}}
2281:
1377:{\displaystyle x\in A(\theta )\setminus G}
1209:
35:in 1959. The theorem is primarily used in
6745:
6632:
6612:
6520:
6500:
6411:
6391:
6354:
6334:
6271:
6251:
6214:
6194:
6113:Real Analysis with Economics Applications
5999:
5993:
5936:
5930:
5888:
5883:
5882:
5838:
5782:
5760:
5740:
5716:
5712:
5711:
5701:
5693:
5689:
5688:
5679:
5657:
5636:
5631:
5627:
5626:
5617:
5574:
5568:
5548:
5543:is convex-valued. Similarly to above, if
5527:
5521:
5500:
5494:
5470:
5446:
5422:
5416:
5396:
5376:
5356:
5336:
5315:
5309:
5289:
5269:
5249:
5225:
5201:
5195:
5174:
5168:
5137:
5116:
5110:
5050:
5044:
5024:
5004:
4971:
4914:
4882:
4852:
4846:
4817:
4787:
4781:
4760:
4754:
4724:
4718:
4685:
4634:
4628:
4609:
4608:
4584:
4578:
4548:
4542:
4516:
4495:
4489:
4484:is continuous. It remains to verify that
4468:
4462:
4435:
4391:
4337:
4298:
4292:
4238:
4207:
4186:
4173:
4161:
4110:
4089:
4072:
4051:
4045:
4025:
3984:
3943:
3918:
3864:
3837:
3803:
3771:
3744:
3738:
3718:
3693:
3654:
3648:
3613:
3592:
3586:
3560:
3534:
3497:
3491:
3471:
3451:
3419:
3377:
3349:
3315:
3249:
3222:
3216:
3193:
3170:
3165:
3148:
3103:
3067:
3024:
2993:
2970:
2965:
2944:
2939:
2916:
2893:
2888:
2878:
2867:
2841:
2805:
2785:
2760:
2740:
2717:
2712:
2691:
2686:
2680:
2651:
2639:{\displaystyle \{V_{x}:x\in C(\theta )\}}
2606:
2597:
2525:
2504:
2491:
2457:
2425:
2404:
2391:
2385:
2350:
2324:
2298:
2261:
2255:
2235:
2215:
2186:
2180:
2153:
2101:
2078:
2073:
2052:
2047:
2015:
1992:
1987:
1966:
1961:
1948:
1931:
1908:
1903:
1882:
1877:
1855:
1843:
1823:
1802:
1796:
1773:
1768:
1747:
1742:
1730:
1701:
1650:
1629:
1608:
1595:
1561:
1516:
1484:
1463:
1450:
1444:
1424:
1389:
1348:
1313:
1272:
1252:
1226:
1139:
1101:
1081:
1061:
1023:
968:
947:
941:
911:
905:
885:
856:
821:
801:
770:
742:
722:
701:
695:
690:is continuous, and the set of maximizers
674:
668:
648:
639:is continuous (i.e. both upper and lower
624:
587:
476:
458:
452:
416:
410:
323:
317:
295:
294:
279:
273:
239:
227:{\displaystyle C(\theta )\neq \emptyset }
204:
168:
142:
120:
119:
99:
79:
59:
5220:If in addition to the conditions above,
6942:Locally convex topological vector space
6101:
4573:is nonempty, observe that the function
4277:{\displaystyle x'\in C(\theta ')\cap V}
4149:{\displaystyle x'\in C(\theta ')\cap V}
1696:forms an open cover of the compact set
1677:
1368:
6703:. Cambridge University Press. p.
6117:. Princeton University Press. p.
5645:{\displaystyle X=\mathbb {R} _{+}^{l}}
5105:, the preliminary Lemma implies that
6699:A First Course in Optimization Theory
6038:{\displaystyle C^{*}(\theta )=x(p,w)}
5975:{\displaystyle f^{*}(\theta )=v(p,w)}
4013:{\displaystyle x\in C(\theta )\cap V}
1336:{\displaystyle A(\theta )\subseteq G}
851:is the function to be maximized, and
7:
6785:. Oliver and Boyd. pp. 115–117.
6209:may only be defined on the graph of
1549:{\displaystyle x'\notin B(\theta ')}
4812:a closed subset of the compact set
963:is the set of points that maximize
6637:
6525:
6393:
6297:Beavis, Brian; Dobbs, Ian (1990).
6253:
5681:
4890:
4530:{\displaystyle \theta \in \Theta }
4524:
3966:
3548:{\displaystyle \theta \in \Theta }
3542:
2312:{\displaystyle \theta \in \Theta }
2306:
1439:is closed there is a neighborhood
1412:{\displaystyle x\notin B(\theta )}
1301:{\displaystyle (A\cap B)(\theta )}
1240:{\displaystyle \theta \in \Theta }
1234:
1115:
1037:
803:
483:
480:
477:
425:
288:
253:{\displaystyle \theta \in \Theta }
247:
221:
176:
150:
113:
81:
14:
6378:Compare with Proposition 2.46 in
5820:{\displaystyle f(x,\theta )=u(x)}
4680:is continuous on the compact set
4195:{\displaystyle U=U_{1}\cap U_{2}}
4098:{\displaystyle \theta '\in U_{2}}
3574:{\displaystyle \varepsilon >0}
3136:{\displaystyle x'\in C(\theta ')}
2413:{\displaystyle U_{x}\times V_{x}}
2338:{\displaystyle \varepsilon >0}
1472:{\displaystyle U_{x}\times V_{x}}
6823:Handbook of Multivalued Analysis
6695:Sundaram, Rangarajan K. (1996).
6603:Handbook of Multivalued Analysis
6599:Compare with Proposition 3.3 in
6491:Handbook of Multivalued Analysis
6487:Compare with Proposition 3.1 in
6435:Compare with Corollary 17.18 in
6382:Handbook of Multivalued Analysis
6242:Handbook of Multivalued Analysis
4749:is nonempty. In addition, since
3581:be arbitrary. By definition of
134:be a continuous function on the
7047:Ekeland's variational principle
6588:. Oliver and Boyd. p. 115.
6476:. Oliver and Boyd. p. 116.
6327:. Oliver and Boyd. p. 112.
6147:. Oliver and Boyd. p. 116.
5652:is the space of all bundles of
4776:is continuous, it follows that
3636:{\displaystyle x\in C(\theta )}
3181:{\displaystyle x'\in V_{x_{k}}}
2373:{\displaystyle x\in C(\theta )}
156:{\displaystyle X\times \Theta }
7281:Theory of continuous functions
6159:Compare with Theorem 17.31 in
6032:
6020:
6011:
6005:
5969:
5957:
5948:
5942:
5884:
5870:
5858:
5849:
5843:
5814:
5808:
5799:
5787:
5092:
5086:
5077:
5071:
5062:
5056:
4983:
4977:
4961:
4949:
4925:
4919:
4893:
4870:{\displaystyle C^{*}(\theta )}
4864:
4858:
4828:
4822:
4805:{\displaystyle C^{*}(\theta )}
4799:
4793:
4742:{\displaystyle C^{*}(\theta )}
4736:
4730:
4696:
4690:
4667:
4655:
4646:
4640:
4605:
4602:
4596:
4566:{\displaystyle C^{*}(\theta )}
4560:
4554:
4408:
4397:
4375:
4353:
4331:
4319:
4310:
4304:
4265:
4254:
4137:
4126:
4001:
3995:
3954:
3948:
3912:
3890:
3881:
3869:
3827:
3805:
3785:
3773:
3687:
3675:
3666:
3660:
3630:
3624:
3486:is lower hemicontinuous, then
3389:
3383:
3361:
3342:
3305:
3283:
3275:
3264:
3239:
3228:
3130:
3119:
3079:
3060:
3051:
3029:
2857:
2846:
2829:{\displaystyle \theta '\in U'}
2662:
2656:
2630:
2624:
2573:
2561:
2552:
2530:
2481:
2459:
2439:
2427:
2380:, there exists a neighborhood
2367:
2361:
2129:
2118:
2115:
2103:
2031:
2020:
1861:
1848:
1712:
1706:
1674:
1668:
1585:
1563:
1543:
1532:
1498:
1486:
1406:
1400:
1365:
1359:
1324:
1318:
1295:
1289:
1286:
1274:
1192:
1186:
1177:
1171:
1162:
1156:
1153:
1141:
1118:
1040:
929:{\displaystyle f^{*}(\theta )}
923:
917:
880:gives the constraint set that
867:
861:
838:
826:
599:
593:
577:
565:
556:
550:
529:
523:
508:
496:
470:
464:
428:
383:
377:
362:
350:
335:
329:
291:
215:
209:
179:
116:
1:
6063:Kakutani fixed-point theorems
4226:{\displaystyle \theta '\in U}
3759:{\displaystyle U_{1}\times V}
3012:{\displaystyle \theta '\in U}
6659:Compare with Lemma 17.29 in
6547:Compare with Lemma 17.30 in
6386:They assume implicitly that
6246:They consider the case that
6238:Compare with Theorem 3.5 in
5607:utility maximization problem
5351:is strictly quasiconcave in
5155:Variants and generalizations
3466:is lower semicontinuous and
2735:suffice. Furthermore, since
2230:is upper semicontinuous and
2148:. This completes the proof.
844:{\displaystyle f(x,\theta )}
23:provides conditions for the
7067:Hermite–Hadamard inequality
6790:Charalambos D. Aliprantis;
6643:{\displaystyle \pm \infty }
6531:{\displaystyle \pm \infty }
6161:Charalambos D. Aliprantis;
6080:Brouwer fixed point theorem
4769:{\displaystyle f_{\theta }}
3791:{\displaystyle (\theta ,x)}
2592:. The set of neighborhoods
2445:{\displaystyle (\theta ,x)}
1811:{\displaystyle U_{\theta }}
1504:{\displaystyle (\theta ,x)}
7322:
6756:10.1016/j.jmaa.2012.07.051
6055:general equilibrium theory
5755:and the consumer's wealth
5590:is a continuous function.
5563:is strictly concave, then
5331:is also convex-valued. If
5019:is a continuous function,
4834:{\displaystyle C(\theta )}
4702:{\displaystyle C(\theta )}
2668:{\displaystyle C(\theta )}
1718:{\displaystyle A(\theta )}
1267:is an open set containing
873:{\displaystyle C(\theta )}
663:, then the value function
7296:Mathematical optimization
6090:Michael selection theorem
5984:indirect utility function
5132:is upper hemicontinuous.
4877:is compact. Finally, let
1624:. The collection of sets
900:is maximized over. Then,
7253:Applications and related
7057:Fenchel-Young inequality
5145:{\displaystyle \square }
4443:{\displaystyle \square }
3513:is lower semicontinuous.
3427:{\displaystyle \square }
2277:is upper semicontinuous.
2161:{\displaystyle \square }
1205:is upper hemicontinuous.
816:is the parameter space,
7013:Legendre transformation
6937:Legendre transformation
6399:{\displaystyle \Theta }
6259:{\displaystyle \Theta }
5411:is convex-valued, then
5384:{\displaystyle \theta }
5304:is convex-valued, then
5277:{\displaystyle \theta }
2793:{\displaystyle \theta }
2675:, which is compact, so
2345:be arbitrary. For each
1831:{\displaystyle \theta }
809:{\displaystyle \Theta }
656:{\displaystyle \theta }
94:be topological spaces,
87:{\displaystyle \Theta }
7291:Mathematical economics
7260:Convexity in economics
7194:(lower) ideally convex
7052:Fenchel–Moreau theorem
7042:Carathéodory's theorem
6644:
6627:to take on the values
6621:
6532:
6515:to take on the values
6509:
6420:
6400:
6363:
6343:
6280:
6260:
6223:
6203:
6039:
5976:
5908:
5821:
5769:
5749:
5729:
5666:
5646:
5584:
5557:
5537:
5510:
5479:
5455:
5432:
5405:
5385:
5365:
5345:
5325:
5298:
5278:
5258:
5234:
5211:
5184:
5146:
5126:
5099:
5033:
5013:
4993:
4903:
4871:
4835:
4806:
4770:
4743:
4703:
4674:
4617:
4567:
4531:
4505:
4478:
4444:
4421:
4278:
4227:
4196:
4150:
4099:
4061:
4034:
4014:
3973:
3932:
3853:
3792:
3760:
3727:
3707:
3637:
3602:
3575:
3549:
3507:
3480:
3460:
3428:
3405:
3202:
3182:
3137:
3092:
3013:
2982:
2905:
2883:
2830:
2794:
2774:
2749:
2729:
2669:
2640:
2586:
2514:
2446:
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37:mathematical economics
7301:Mathematical theorems
7182:Convex series related
7082:Shapley–Folkman lemma
6802:. Springer. pp.
6781:Claude Berge (1963).
6669:. Springer. pp.
6645:
6622:
6584:Claude Berge (1963).
6557:. Springer. pp.
6533:
6510:
6472:Claude Berge (1963).
6445:. Springer. pp.
6421:
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6344:
6323:Claude Berge (1963).
6286:are Hausdorff spaces.
6281:
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6173:. Springer. pp.
6143:Claude Berge (1963).
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4067:such that whenever
3798:such that whenever
3414:which was desired.
2800:such that whenever
2452:such that whenever
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7190:(cs, bcs)-complete
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4202:. Then whenever
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404:set of maximizers
262:marginal function
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