965:
92:
960:{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (r,\theta )&=A_{0}r^{2}+B_{0}r^{2}\ln(r)+C_{0}\ln(r)\\&+\left(I_{0}r^{2}+I_{1}r^{2}\ln(r)+I_{2}\ln(r)+I_{3}\right)\theta \\&+\left(A_{1}r+B_{1}r^{-1}+B_{1}'r\theta +C_{1}r^{3}+D_{1}r\ln(r)\right)\cos \theta \\&+\left(E_{1}r+F_{1}r^{-1}+F_{1}'r\theta +G_{1}r^{3}+H_{1}r\ln(r)\right)\sin \theta \\&+\sum _{n=2}^{\infty }\left(A_{n}r^{n}+B_{n}r^{-n}+C_{n}r^{n+2}+D_{n}r^{-n+2}\right)\cos(n\theta )\\&+\sum _{n=2}^{\infty }\left(E_{n}r^{n}+F_{n}r^{-n}+G_{n}r^{n+2}+H_{n}r^{-n+2}\right)\sin(n\theta )\end{aligned}}}
5662:
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1911:
1635:
1582:
1502:
1380:
1278:
1257:
1236:
5456:
relations. A table of displacement components corresponding the terms in the Airy stress function for the
Michell solution is given below. In this table
5657:{\displaystyle \kappa ={\begin{cases}3-4~\nu &{\rm {for~plane~strain}}\\{\cfrac {3-\nu }{1+\nu }}&{\rm {for~plane~stress}}\\\end{cases}}}
9709:{\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}&=A~\cos \theta +B~\sin \theta \\u_{\theta }&=-A~\sin \theta +B~\cos \theta +C~r\\\end{aligned}}}
8293:
9111:
9028:
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8210:
5400:
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4647:
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8678:
9431:
9311:
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8431:
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1158:
8969:
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3299:
8748:
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4198:
3001:
2846:
2217:
2164:
1843:
1057:
components can be obtained by substituting the
Michell solution into the equations for stress in terms of the
9378:
8560:
7242:
6390:
5098:
3897:
2949:
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4809:
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2709:
2619:
1940:
1062:
7840:
7796:
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6944:
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2074:
2030:
1986:
7078:
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5785:
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1643:
1126:
5405:
2403:
2446:
2363:
1764:
1724:
1684:
1009:
970:
7559:
6543:
7678:
7395:
7279:
6826:
6710:
6427:
9760:"On the direct determination of stress in an elastic solid, with application to the theory of plates"
1058:
86:
5744:
5477:
1094:
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9738:
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1508:
1386:
1326:
31:
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5723:
5453:
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9771:
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5896:
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2575:
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1567:
1487:
1365:
1263:
1242:
1221:
59:
9802:
5712:
9775:
85:
Michell showed that the general solution can be expressed in terms of an
58:. The solution is such that the stress components are in the form of a
9759:
5717:
5650:
1067:
8368:{\displaystyle -(\kappa -n+1)~r^{-n+1}~\sin(n\theta )\,}
9183:{\displaystyle (\kappa -n+1)~r^{-n+1}~\cos(n\theta )\,}
9100:{\displaystyle (\kappa +n-1)~r^{-n+1}~\sin(n\theta )\,}
8956:{\displaystyle -(\kappa +n+1)~r^{n+1}~\cos(n\theta )\,}
8282:{\displaystyle (\kappa +n-1)~r^{-n+1}~\cos(n\theta )\,}
5574:
5556:
5448:
can be obtained from the
Michell solution by using the
1045:
define a trivial null state of stress and are ignored.
9569:
can be superposed on the
Michell solution of the form
8873:{\displaystyle (\kappa -n-1)~r^{n+1}~\sin(n\theta )\,}
8138:{\displaystyle (\kappa +n+1)~r^{n+1}~\sin(n\theta )\,}
8058:{\displaystyle (\kappa -n-1)~r^{n+1}~\cos(n\theta )\,}
5577:
5559:
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7516:
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7181:
7122:
7081:
7035:
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6947:
6829:
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6667:
6546:
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6232:
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1570:
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1511:
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1368:
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1289:
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1245:
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1129:
1097:
1076:
1012:
973:
95:
68:
34:
4636:{\displaystyle -(n+2)(n-1)~r^{-n}~\sin(n\theta )\,}
3436:{\displaystyle -(n+2)(n-1)~r^{-n}~\cos(n\theta )\,}
9708:
9552:
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9364:
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5084:
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4847:
4796:{\displaystyle (n-1)(n-2)~r^{-n}~\sin(n\theta )\,}
4795:
4709:
4635:
4546:
4485:
4402:
4329:{\displaystyle -(n+1)(n-2)~r^{n}~\sin(n\theta )\,}
4328:
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3132:{\displaystyle -(n+1)(n-2)~r^{n}~\cos(n\theta )\,}
3131:
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1905:
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1555:
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1374:
1353:
1314:
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1251:
1230:
1209:
1178:
1146:
1114:
1082:
1037:
998:
959:
74:
46:
7229:{\displaystyle -(\kappa +2)~r^{2}~\cos \theta \,}
5223:{\displaystyle -n(n+1)~r^{-n-2}~\sin(n\theta )\,}
4486:{\displaystyle (n+1)(n+2)~r^{n}~\sin(n\theta )\,}
4105:{\displaystyle -n(n+1)~r^{-n-2}~\sin(n\theta )\,}
4022:{\displaystyle -n(n+1)~r^{-n-2}~\cos(n\theta )\,}
3286:{\displaystyle (n+1)(n+2)~r^{n}~\cos(n\theta )\,}
1065:). A table of stress components is shown below.
7167:{\displaystyle (\kappa -2)~r^{2}~\sin \theta \,}
6377:{\displaystyle (\kappa +2)~r^{2}~\sin \theta \,}
6318:{\displaystyle (\kappa -2)~r^{2}~\cos \theta \,}
5383:{\displaystyle n(n+1)~r^{-n-2}~\sin(n\theta )\,}
5303:{\displaystyle n(n+1)~r^{-n-2}~\cos(n\theta )\,}
5008:{\displaystyle -n(n-1)~r^{n-2}~\cos(n\theta )\,}
4928:{\displaystyle -n(n-1)~r^{n-2}~\sin(n\theta )\,}
4185:{\displaystyle n(n+1)~r^{-n-2}~\cos(n\theta )\,}
3730:{\displaystyle -n(n-1)~r^{n-2}~\cos(n\theta )\,}
3598:{\displaystyle (n-1)(n-2)~r^{-n}~\cos(n\theta )}
5085:{\displaystyle n(n-1)~r^{n-2}~\sin(n\theta )\,}
3884:{\displaystyle n(n-1)~r^{n-2}~\cos(n\theta )\,}
3807:{\displaystyle n(n-1)~r^{n-2}~\sin(n\theta )\,}
3513:{\displaystyle -n(n-1)~r^{-n}~\sin(n\theta )\,}
4710:{\displaystyle n(n-1)~r^{-n}~\cos(n\theta )\,}
4403:{\displaystyle -n(n+1)~r^{n}~\cos(n\theta )\,}
3203:{\displaystyle n(n+1)~r^{n}~\sin(n\theta )\,}
8:
9719:to obtain an admissible displacement field.
9553:{\displaystyle -n~r^{-n-1}~\cos(n\theta )\,}
8735:{\displaystyle n(~r^{-n-1}~\sin(n\theta )\,}
7761:
7728:
7645:
7612:
7478:
7445:
7362:
7329:
6909:
6876:
6793:
6760:
6629:
6596:
6510:
6477:
9485:{\displaystyle n~r^{-n-1}~\sin(n\theta )\,}
9365:{\displaystyle -n~r^{n-1}~\cos(n\theta )\,}
9300:{\displaystyle -n~r^{n-1}~\sin(n\theta )\,}
8667:{\displaystyle n~r^{-n-1}~\cos(n\theta )\,}
8485:{\displaystyle -n~r^{n-1}~\cos(n\theta )\,}
8547:{\displaystyle n~r^{n-1}~\sin(n\theta )\,}
1179:{\displaystyle \sigma _{\theta \theta }\,}
9641:
9587:
9579:
9577:
9549:
9513:
9498:
9481:
9445:
9433:
9416:
9386:
9380:
9361:
9328:
9313:
9296:
9263:
9248:
9231:
9204:
9198:
9179:
9143:
9113:
9096:
9060:
9030:
9017:{\displaystyle r^{-n+2}~\sin(n\theta )\,}
9013:
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8971:
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8869:
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8448:
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8212:
8199:{\displaystyle r^{-n+2}~\cos(n\theta )\,}
8195:
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5396:Displacement components
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