8642:
8404:
7121:
1318:
3127:
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4109:
1834:
1954:
5900:
4861:
2994:
6606:
3875:
1061:
8637:{\displaystyle {\begin{cases}K_{n}^{M}(F)/2\to I^{n}/I^{n+1}\\\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\mapsto \langle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle =\langle 1,-a_{1}\rangle \otimes \cdots \otimes \langle 1,-a_{n}\rangle \end{cases}}}
6936:
676:
8241:
2999:
8716:
7390:
7229:
1130:
6052:
is not divisible because otherwise it could be expressed as a sum of squares. The Milnor K-theory ring is important in the study of motivic homotopy theory because it gives generators for part of the motivic
1468:
2120:
6417:
8099:
3229:
4678:
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4175:
2869:
6286:
6152:
6105:
6014:
4533:
4317:
362:. This led to much study and as a first guess for what this theory would look like, Milnor gave a definition for fields. His definition is based upon two calculations of what higher
8396:
2051:
817:
5202:
4977:
3506:
2004:
9558:
7283:
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5340:
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1114:
7938:
6243:
5006:
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2539:
1713:
5664:
5617:
1845:
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5723:
5381:
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4358:
2504:
1701:
597:
9348:
4448:
2294:
7416:
3582:
5050:
3761:, showing they differ by a boundary. The second main property to show is the Steinberg relations. With these, and the fact the higher Chow groups have a ring structure
3602:
6879:
6050:
5936:
5456:
3684:
567:
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260:
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6358:
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9515:
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8324:
8298:
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5168:
3326:
2366:
3655:
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7436:
7303:
7249:
6836:
6812:
6649:
6626:
6478:
6332:
5956:
5747:
5538:
5424:
4936:
4916:
4606:
3759:
2643:
916:
765:
524:
504:
484:
464:
404:
384:
81:
3153:
939:
7308:
602:
8137:
8650:
7116:{\displaystyle 0\to K_{n}^{M}(F)\to K_{n}^{M}(F(t))\xrightarrow {\partial _{\pi }} \bigoplus _{(\pi )\in {\text{Spec}}(F)}K_{n-1}F/(\pi )\to 0}
9216:
9137:
8925:
1313:{\displaystyle K_{n}^{M}(F)={\frac {K_{1}(F)\otimes \cdots \otimes K_{1}(F)}{\{l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n}):a_{i}+a_{i+1}=1\}}}.}
7720:
3951:
3880:
2735:
2660:
7126:
2806:
1389:
8104:
of the Milnor K-theory of a field with a certain motivic cohomology group. In this sense, the apparently ad hoc definition of Milnor
3122:{\displaystyle {\begin{aligned}\{1\}&\mapsto 0\in {\text{CH}}^{1}(F,1)\\\{a\}&\mapsto \in {\text{CH}}^{1}(F,1)\end{aligned}}}
2059:
9167:
5207:
8729:
Dmitri Orlov, Alexander Vishik, and
Voevodsky proved another statement called the Milnor conjecture, namely that this homomorphism
919:
7441:
8116:
6363:
8024:
2657:
One of the core properties relating Milnor K-theory to higher algebraic K-theory is the fact there exists natural isomorphisms
2371:
3158:
9521:
4611:
6419:. The full proof is in the appendix of Milnor's original paper. Some of the computation can be seen by looking at a map on
2582:
1639:{\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }K_{n}^{M}(F)\cong {\frac {T^{*}(K_{1}^{M}(F))}{\{l(a)\otimes l(1-a):a\neq 0,1\}}}}
9208:
9121:
8271:
5284:
2729:
2132:
4363:
681:
8855:
8732:
1120:. Milnor took the hypothesis that these were the only relations, hence he gave the following "ad-hoc" definition of
9159:
1117:
275:
9251:
6169:
4406:
in the tensor algebra. Every element of Milnor K-theory can be written as a finite sum of symbols. The fact that
820:
7955:
7793:
6884:
9242:
8860:
8338:
8109:
7845:
1704:
843:
824:
7676:
7486:
4866:
4117:
7646:{\displaystyle \partial (l(\pi )l(u_{2})\cdots l(u_{n}))=l({\overline {u}}_{2})\cdots l({\overline {u}}_{n})}
6248:
6114:
6067:
5961:
4494:
4270:
4019:
We can then relate the higher Chow groups to higher algebraic K-theory using the fact there are isomorphisms
8826:
8356:
4552:
2009:
778:
5173:
4941:
3467:
1962:
9525:
7254:
5461:
4217:
2544:
2299:
1333:
9437:
9406:
9352:
6654:
5071:
4104:{\displaystyle K_{n}(X)\otimes \mathbb {Q} \cong \bigoplus _{p}{\text{CH}}^{p}(X,n)\otimes \mathbb {Q} }
1829:{\displaystyle (l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n}))\cdot (l(b_{1})\otimes \cdots \otimes l(b_{m}))}
1069:
7916:
6219:
4982:
3331:
3234:
2198:
1949:{\displaystyle l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n})\otimes l(b_{1})\otimes \cdots \otimes l(b_{m})}
9255:
8869:
6747:
6163:
5895:{\displaystyle K_{n}^{M}(\mathbb {R} )=\{(-1)^{n},l(a_{1})\cdots l(a_{n}):a_{1},\ldots ,a_{n}>0\}}
3948:
Showing the map in the reverse direction is an isomorphism is more work, but we get the isomorphisms
2513:
1328:
267:
8413:
5622:
5575:
4856:{\displaystyle K_{n,A}^{pre}:U\mapsto A_{tr}(\mathbb {A} ^{n})(U)/A_{tr}(\mathbb {A} ^{n}-\{0\})(U)}
9125:
8263:
8128:
355:
96:
61:
8918:
6694:
6608:
whose kernel finitely generated. In addition, the cokernel is isomorphic to the roots of unity in
6422:
5706:
5345:
5106:
4453:
4322:
2468:
1665:
580:
9472:
9446:
9398:
9387:
9361:
9313:
9307:
9287:
9194:
9051:
9025:
8996:
8893:
8255:
8015:
8008:
7949:
4548:
4409:
2989:{\displaystyle \phi (a)\phi (1-a)=0~{\text{in}}~{\text{CH}}^{2}(F,2)~{\text{for}}~a,1-a\in F^{*}}
2249:
2126:
191:
92:
7395:
3545:
5011:
3587:
9573:
9271:
9212:
9163:
9133:
9043:
8968:
8885:
8346:
8124:
8108:
becomes a theorem: certain motivic cohomology groups of a field can be explicitly computed by
6841:
6019:
5905:
5619:. Because the Steinberg relations generate all relations in the Milnor K-theory ring, we have
5429:
3660:
2646:
536:
413:
229:
104:
27:
6337:
4683:
4558:
4187:
2435:
9456:
9371:
9295:
9263:
9181:
9035:
8958:
8877:
6601:{\displaystyle K_{2}^{M}(F)\to \bigoplus _{v}K_{2}^{M}(F_{v})/({\text{max. divis. subgr.}})}
6054:
5669:
5386:
3870:{\displaystyle {\text{CH}}^{p}(F,q)\otimes {\text{CH}}^{r}(F,s)\to {\text{CH}}^{p+r}(F,q+s)}
3429:
930:
223:
9493:
9468:
9383:
9283:
9226:
9177:
9147:
6483:
5543:
3511:
145:
118:
9464:
9379:
9299:
9279:
9222:
9185:
9173:
9143:
9073:
8821:
7656:
6108:
3689:
1380:
196:
8303:
8277:
6291:
5147:
3279:
2345:
530:
ring. Under this assumption, Milnor gave his "ad-hoc" definition. It turns out algebraic
9259:
8873:
3607:
3376:
9202:
9198:
8330:
7421:
7288:
7234:
6821:
6797:
6634:
6611:
6463:
6317:
5941:
5732:
5523:
5409:
4921:
4901:
4591:
4588:
representing a generalization of Milnor K-theory with coefficients in an abelian group
4181:
3718:
2628:
2462:
1324:
1056:{\displaystyle K_{2}(F)={\frac {F^{*}\otimes F^{*}}{\{l(a)\otimes l(1-a):a\neq 0,1\}}}}
901:
750:
509:
489:
469:
449:
389:
369:
112:
103:
and give some insight about its relationships with other parts of mathematics, such as
66:
3132:
671:{\displaystyle K_{n}^{M}(F)\otimes \mathbb {Q} \subseteq K_{n}(F)\otimes \mathbb {Q} }
9567:
9055:
8963:
8946:
8398:
given by the dimension of a quadratic form, modulo 2. Milnor defined a homomorphism:
8267:
6057:. The others are lifts from the classical Steenrod operations to motivic cohomology.
9476:
9291:
8995:
Voevodsky, Vladimir (2001-07-15). "Reduced power operations in motivic cohomology".
8897:
9391:
8723:
6159:
5066:
827:
9402:
9489:
9460:
9233:
8914:
8851:
8259:
5701:
835:
84:
17:
8236:{\displaystyle K_{n}^{M}(F)/r\cong H_{\mathrm {et} }^{n}(F,\mathbb {Z} /r(n)),}
4111:
giving the relation to
Quillen's higher algebraic K-theory. Note that the maps
9375:
9039:
6155:
108:
9275:
9047:
8972:
8889:
6288:
is the direct sum of the cyclic group of order 2 and cyclic groups of order
2129:
of this property, there are some additional properties which fall out, like
9016:
Bachmann, Tom (May 2018). "Motivic and Real Etale Stable
Homotopy Theory".
115:. Before Milnor K-theory was defined, there existed ad-hoc definitions for
5426:
can always be expressed as a sum of quadratic non-residues, i.e. elements
2506:
is nilpotent, which is a powerful statement about the structure of Milnor
8711:{\displaystyle \langle \langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle }
4863:
Note that sections of this pre-sheaf are equivalent classes of cycles on
1649:
showing his definition is a direct extension of the
Steinberg relations.
9267:
9158:. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 101. Cambridge:
8881:
7385:{\displaystyle \partial :K_{n}^{M}(F)\to K_{n-1}^{M}({\overline {F}})}
99:. It was hoped this would help illuminate the structure for algebraic
9366:
9001:
7010:
3542:. This check can be done using a rational curve defining a cycle in
9030:
8119:(also called the norm residue isomorphism theorem), relates Milnor
7305:. This follows from the theorem there exists only one homomorphism
7224:{\displaystyle \partial _{\pi }:K_{n}^{M}(F(t))\to K_{n-1}F/(\pi )}
569:
in general has a more complex structure, but for fields the Milnor
9451:
775:
Note for fields the
Grothendieck group can be readily computed as
1463:{\displaystyle \left\{l(a)\otimes l(1-a):0,1\neq a\in F\right\}}
226:, it was expected there should be an infinite set of invariants
2115:{\displaystyle \xi \cdot \eta =(-1)^{i\cdot j}\eta \cdot \xi .}
8947:"Relations between the milnor and quillen K-theory of fields"
5008:-weak equivalence with the motivic Eilenberg-Maclane sheaves
8919:"Milnor K-Theory is the Simplest Part of Algebraic K-Theory"
2653:
Relation to Higher Chow groups and
Quillen's higher K-theory
8630:
6412:{\displaystyle K_{n}^{M}(\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /2}
8094:{\displaystyle K_{n}^{M}(F)\cong H^{n}(F,\mathbb {Z} (n))}
8329:
Finally, there is a relation between Milnor K-theory and
3224:{\displaystyle \in \mathbb {P} _{F}^{1}-\{0,1,\infty \}}
4673:{\displaystyle A_{tr}(X)=\mathbb {Z} _{tr}(X)\otimes A}
9103:
Elman, Karpenko, Merkurjev (2008), sections 5 and 9.B.
9528:
9496:
9409:
9316:
8735:
8653:
8407:
8359:
8306:
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8027:
7958:
7919:
7848:
7796:
7723:
7679:
7659:
7522:
7489:
7444:
7424:
7398:
7311:
7291:
7257:
7237:
7129:
6939:
6887:
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6824:
6800:
6750:
6697:
6657:
6637:
6614:
6513:
6486:
6466:
6425:
6366:
6340:
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6294:
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6117:
6070:
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2809:
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2663:
2631:
2614:{\displaystyle {\sqrt {-1}}\not \in \mathbb {Q} _{p}}
2585:
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1848:
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372:
278:
232:
199:
148:
121:
69:
30:
7783:{\displaystyle \partial (l(u_{1})\cdots l(u_{n}))=0}
4012:{\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{n}(F,n)}
3941:{\displaystyle K_{*}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{*}(F,*)}
2796:{\displaystyle K_{*}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{*}(F,*)}
2721:{\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{n}(F,n)}
5383:is a finite group, this implies it must have order
3686:, showing they differ by a boundary. Similarly, if
2859:{\displaystyle \phi :F^{*}\to {\text{CH}}^{1}(F,1)}
177:, which in general is the easiest part to compute.
9552:
9509:
9425:
9342:
8804:
8710:
8636:
8390:
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6044:
6008:
5950:
5930:
5894:
5741:
5717:
5684:
5658:
5611:
5564:
5532:
5512:
5450:
5418:
5398:
5375:
5334:
5273:
5196:
5162:
5136:
5095:
5044:
5000:
4971:
4930:
4910:
4890:
4855:
4705:
4672:
4600:
4580:
4527:
4483:
4442:
4398:
4352:
4311:
4252:
4202:
4169:
4103:
4011:
3940:
3869:
3753:
3707:
3678:
3649:
3596:
3576:
3534:
3508:. Also, the second property implies the first for
3500:
3456:
3418:
3365:
3320:
3268:
3223:
3147:
3121:
2988:
2858:
2795:
2720:
2637:
2613:
2571:
2533:
2498:
2453:
2424:
2360:
2334:
2288:
2238:
2187:
2114:
2045:
1998:
1948:
1828:
1695:
1638:
1462:
1371:
1323:The direct sum of these groups is isomorphic to a
1312:
1108:
1055:
910:
887:
811:
759:
739:
670:
591:
561:
518:
498:
478:
458:
438:
406:. Then, if in a later generalization of algebraic
398:
378:
343:
254:
214:
161:
134:
75:
52:
9130:Algebraic and geometric theory of quadratic forms
8014:Milnor K-theory fits into the broader context of
7996:
6216:is the direct sum of the multiplicative group of
4713:as the sheafification of the following pre-sheaf
4399:{\displaystyle a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}}
740:{\displaystyle \lambda :K_{4}^{M}(F)\to K_{4}(F)}
2803:This can be verified using an explicit morphism
8805:{\displaystyle K_{n}^{M}(F)/2\to I^{n}/I^{n+1}}
6744:There is a general structure theorem computing
6166:2 and an uncountable uniquely divisible group;
4938:(which follows straight from the definition of
2625:are nilpotent. In the converse case, the field
7231:is a morphism constructed from a reduction of
5274:{\displaystyle l(a)\cdot l(b)=-l(b)\cdot l(a)}
573:groups are contained in the general algebraic
9207:, Clay Mathematical Monographs, vol. 2,
9156:Central simple algebras and Galois cohomology
9085:Mazza, Voevodsky, Weibel (2005), Theorem 5.1.
6460:induced from the inclusion of a global field
6245:and an uncountable uniquely divisible group;
2649:, which gives a total ordering on the field.
526:would give the structure for the rest of the
344:{\displaystyle K(R,I)\to K(R)\to K(R/I)\to 0}
8:
8705:
8702:
8657:
8654:
8624:
8602:
8590:
8568:
8562:
8559:
8527:
8524:
8518:
8486:
7948:Milnor K-theory plays a fundamental role in
7476:{\displaystyle U\to {\overline {F}}_{v}^{*}}
5889:
5785:
4838:
4832:
4522:
4510:
4431:
4413:
4306:
4274:
3360:
3354:
3263:
3257:
3218:
3200:
3066:
3060:
3013:
3007:
1630:
1576:
1301:
1213:
1066:for a two-sided ideal generated by elements
1047:
993:
6209:{\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {Q} _{p})}
4180:from the Milnor K-groups of a field to the
8000:{\displaystyle K_{1}^{M}(F)=F^{\times }\!}
7835:{\displaystyle (\pi )\in {\text{Spec}}(F)}
6926:{\displaystyle (\pi )\in {\text{Spec}}(F)}
5729:groups can be readily computed. In degree
4918:which are equidimensional and finite over
9543:
9542:
9533:
9527:
9501:
9495:
9450:
9415:
9411:
9410:
9408:
9365:
9332:
9326:
9321:
9315:
9154:Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006).
9029:
9000:
8985:Gille & Szamuely (2006), p. 184.
8962:
8856:"Algebraic K -theory and quadratic forms"
8790:
8781:
8775:
8760:
8745:
8740:
8734:
8696:
8677:
8664:
8652:
8618:
8584:
8553:
8534:
8512:
8493:
8470:
8461:
8455:
8440:
8425:
8420:
8408:
8406:
8380:
8376:
8375:
8358:
8305:
8279:
8262:and others. This includes the theorem of
8210:
8206:
8205:
8190:
8181:
8180:
8165:
8150:
8145:
8139:
8075:
8074:
8059:
8037:
8032:
8026:
7990:
7968:
7963:
7957:
7924:
7918:
7906:{\displaystyle v_{\pi }:F(t)\to F/(\pi )}
7889:
7853:
7847:
7809:
7795:
7762:
7740:
7722:
7686:
7681:
7678:
7658:
7634:
7624:
7605:
7595:
7573:
7551:
7521:
7496:
7488:
7467:
7462:
7452:
7443:
7423:
7397:
7369:
7360:
7349:
7327:
7322:
7310:
7290:
7269:
7259:
7256:
7236:
7207:
7183:
7152:
7147:
7134:
7128:
7093:
7069:
7040:
7027:
7015:
6982:
6977:
6955:
6950:
6938:
6900:
6886:
6857:
6843:
6823:
6799:
6760:
6755:
6749:
6707:
6702:
6696:
6672:
6668:
6667:
6661:
6656:
6636:
6613:
6590:
6582:
6573:
6560:
6555:
6545:
6523:
6518:
6512:
6491:
6485:
6465:
6435:
6430:
6424:
6401:
6397:
6396:
6386:
6385:
6376:
6371:
6365:
6339:
6319:
6293:
6271:
6270:
6261:
6256:
6250:
6229:
6225:
6224:
6221:
6197:
6193:
6192:
6182:
6177:
6171:
6137:
6136:
6127:
6122:
6116:
6090:
6089:
6080:
6075:
6069:
6036:
6021:
5997:
5975:
5963:
5943:
5922:
5907:
5877:
5858:
5842:
5820:
5801:
5775:
5774:
5765:
5760:
5754:
5734:
5711:
5710:
5708:
5671:
5635:
5630:
5624:
5588:
5583:
5577:
5545:
5525:
5501:
5492:
5463:
5431:
5411:
5388:
5358:
5353:
5347:
5326:
5301:
5286:
5209:
5188:
5183:
5179:
5178:
5175:
5149:
5119:
5114:
5108:
5087:
5083:
5082:
5073:
5013:
4992:
4988:
4987:
4984:
4951:
4947:
4946:
4943:
4923:
4903:
4882:
4878:
4877:
4868:
4823:
4819:
4818:
4805:
4796:
4778:
4774:
4773:
4760:
4735:
4724:
4718:
4691:
4685:
4646:
4642:
4641:
4619:
4613:
4593:
4566:
4560:
4496:
4466:
4461:
4455:
4411:
4390:
4371:
4365:
4335:
4330:
4324:
4300:
4281:
4272:
4244:
4225:
4219:
4189:
4152:
4130:
4125:
4119:
4097:
4096:
4072:
4067:
4060:
4049:
4048:
4030:
4024:
3988:
3983:
3964:
3959:
3953:
3917:
3912:
3893:
3888:
3882:
3834:
3829:
3804:
3799:
3774:
3769:
3766:
3740:
3720:
3691:
3662:
3609:
3589:
3553:
3547:
3524:
3513:
3477:
3472:
3469:
3431:
3378:
3345:
3333:
3301:
3281:
3248:
3236:
3191:
3186:
3182:
3181:
3160:
3134:
3094:
3089:
3035:
3030:
3003:
3001:
2980:
2950:
2926:
2921:
2912:
2871:
2835:
2830:
2820:
2808:
2772:
2767:
2748:
2743:
2737:
2732:which induces a morphism of graded rings
2697:
2692:
2673:
2668:
2662:
2630:
2605:
2601:
2600:
2586:
2584:
2554:
2550:
2549:
2546:
2518:
2517:
2515:
2481:
2476:
2470:
2437:
2432:There's a direct arithmetic application:
2425:{\displaystyle l(a_{1})\cdots l(a_{n})=0}
2407:
2385:
2373:
2347:
2326:
2307:
2301:
2251:
2221:
2200:
2149:
2134:
2088:
2061:
2028:
2023:
2011:
1981:
1976:
1964:
1937:
1909:
1887:
1859:
1847:
1814:
1786:
1758:
1730:
1715:
1678:
1673:
1667:
1556:
1551:
1538:
1531:
1513:
1508:
1498:
1487:
1481:
1391:
1363:
1341:
1335:
1283:
1270:
1254:
1226:
1196:
1168:
1161:
1143:
1138:
1132:
1071:
985:
972:
965:
947:
941:
903:
888:{\displaystyle l\colon K_{1}(F)\to F^{*}}
879:
857:
845:
805:
804:
786:
780:
752:
747:fails to be injective for a global field
722:
700:
695:
683:
664:
663:
645:
634:
633:
615:
610:
604:
585:
584:
582:
544:
538:
511:
491:
471:
451:
421:
415:
391:
371:
358:. Note the group on the left is relative
324:
277:
237:
231:
198:
153:
147:
126:
120:
68:
35:
29:
7710:{\displaystyle {\text{Ord}}_{v}(\pi )=1}
7509:{\displaystyle u\mapsto {\overline {u}}}
6016:is divisible. The subgroup generated by
4891:{\displaystyle U\times \mathbb {A} ^{n}}
4170:{\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to K_{n}(F)}
9350:with applications to quadratic forms",
8838:
6631:In addition, for a general local field
6281:{\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {Q} )}
6147:{\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {R} )}
6100:{\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {C} )}
6009:{\displaystyle l(a_{1})\cdots l(a_{n})}
5052:(depending on the grading convention).
4528:{\displaystyle a\in F\setminus \{0,1\}}
4507:
4312:{\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}
8391:{\displaystyle W(F)\to \mathbb {Z} /2}
4184:K-groups, which is an isomorphism for
830:. Also, Milnor's definition of higher
354:which should have a continuation by a
169:. Fortunately, it can be shown Milnor
88:
8353:to be the kernel of the homomorphism
6933:. This is given by an exact sequence
3715:the boundary map sends this cycle to
3276:. The main property to check is that
2046:{\displaystyle \eta \in K_{j}^{M}(F)}
933:, which gave the simple presentation
812:{\displaystyle K_{0}(F)=\mathbb {Z} }
266:groups, from the fact there exists a
7:
8940:
8938:
8909:
8907:
8846:
8844:
8842:
8341:not 2, define the fundamental ideal
5197:{\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{*}}
4972:{\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X)}
4543:Representation in motivic cohomology
3501:{\displaystyle {\text{CH}}^{2}(F,2)}
1999:{\displaystyle \xi \in K_{i}^{M}(F)}
486:, then the constructions in degrees
9553:{\displaystyle K_{2}(\mathbb {Q} )}
8951:Journal of Pure and Applied Algebra
7278:{\displaystyle {\overline {F}}_{v}}
5513:{\displaystyle ,\in F/F^{\times 2}}
4253:{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}
4214:, in general. For nonzero elements
3584:whose image under the boundary map
2572:{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}(i)}
2342:of non-zero fields elements equals
2335:{\displaystyle a_{1}+\cdots +a_{n}}
1372:{\displaystyle K_{1}(F)\cong F^{*}}
24:is an algebraic invariant (denoted
9426:{\displaystyle \mathbb {Z} /\ell }
9306:Orlov, Dmitri; Vishik, Alexander;
8185:
8182:
7921:
7724:
7523:
7418:which are elements have valuation
7312:
7131:
7012:
6681:{\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}
5958:and the subgroup generated by the
5335:{\displaystyle l(a)^{2}=-l(a)^{2}}
5096:{\displaystyle F=\mathbb {F} _{q}}
3591:
3215:
2188:{\displaystyle l(a)^{2}=l(a)l(-1)}
1499:
1109:{\displaystyle l(a)\otimes l(a-1)}
14:
9132:, American Mathematical Society,
9072:if it is a vector space over the
8274:as special cases (the cases when
7790:Since every non-zero prime ideal
5204:), so graded commutativity gives
9112:Orlov, Vishik, Voevodsky (2007).
8931:from the original on 2 Dec 2020.
8254:. This conjecture was proved by
7933:{\displaystyle \partial _{\pi }}
6238:{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
6111:uniquely divisible group. Also,
5001:{\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}
3366:{\displaystyle a\in F^{*}-\{1\}}
3269:{\displaystyle a\in F^{*}-\{1\}}
2510:. In particular, for the fields
2239:{\displaystyle l(a)\in K_{1}(F)}
410:was given, if the generators of
91:) as an attempt to study higher
9310:(2007), "An exact sequence for
8945:Shapiro, Jack M. (1981-01-01).
6787:{\displaystyle K_{n}^{M}(F(t))}
4979:). It can be shown there is an
2652:
2534:{\displaystyle \mathbb {Q} (i)}
678:. It turns out the natural map
9547:
9539:
9240:-theory and quadratic forms",
9204:Lectures in Motivic Cohomology
8768:
8757:
8751:
8521:
8448:
8437:
8431:
8372:
8369:
8363:
8227:
8224:
8218:
8196:
8162:
8156:
8088:
8085:
8079:
8065:
8049:
8043:
7980:
7974:
7900:
7894:
7886:
7880:
7874:
7871:
7865:
7829:
7826:
7820:
7814:
7803:
7797:
7771:
7768:
7755:
7746:
7733:
7727:
7698:
7692:
7640:
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366:"should" look like in degrees
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41:
1:
9209:American Mathematical Society
7392:which for the group of units
3426:. Note this is distinct from
9522:About Tate's computation of
9490:Some aspects of the functor
9461:10.4007/annals.2011.174.1.11
9403:"On motivic cohomology with
8964:10.1016/0022-4049(81)90051-7
7629:
7600:
7501:
7457:
7438:, having a natural morphism
7374:
7264:
6725:{\displaystyle K_{n}^{M}(F)}
6651:(such as a finite extension
6453:{\displaystyle K_{2}^{M}(F)}
5718:{\displaystyle \mathbb {R} }
5376:{\displaystyle K_{2}^{M}(F)}
5137:{\displaystyle K_{1}^{M}(F)}
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4353:{\displaystyle K_{n}^{M}(F)}
3464:since this is an element in
2499:{\displaystyle K_{n}^{M}(F)}
1696:{\displaystyle K_{*}^{M}(F)}
592:{\displaystyle \mathbb {Q} }
577:groups after tensoring with
466:and the relations in degree
190:After the definition of the
9343:{\displaystyle K_{*}^{M}/2}
6881:for non-zero primes ideals
5170:(since is it isomorphic to
5144:is a cyclic group of order
4443:{\displaystyle \{a,1-a\}=0}
2465:every positive dimensional
2289:{\displaystyle l(a)l(-a)=0}
834:depends upon the canonical
9590:
9160:Cambridge University Press
8115:A much deeper result, the
7411:{\displaystyle U\subset F}
6814:in relation to the Milnor
5749:the group is generated by
3577:{\displaystyle C^{1}(F,2)}
821:finitely generated modules
9376:10.4007/annals.2007.165.1
9250:(4), With an appendix by
9040:10.1112/S0010437X17007710
8718:denotes the class of the
8246:for any positive integer
7950:higher class field theory
7673:a prime element, meaning
7285:for a discrete valuation
5045:{\displaystyle K(A,2n,n)}
4680:then we define the sheaf
3597:{\displaystyle \partial }
1327:over the integers of the
9243:Inventiones Mathematicae
8861:Inventiones Mathematicae
8349:of quadratic forms over
8258:, with contributions by
8250:invertible in the field
8110:generators and relations
7940:on the Milnor K-groups.
6874:{\displaystyle F/(\pi )}
6507:, so there is a morphism
6045:{\displaystyle (-1)^{n}}
5931:{\displaystyle (-1)^{n}}
5451:{\displaystyle a,b\in F}
4535:is sometimes called the
3679:{\displaystyle ab\neq 1}
562:{\displaystyle K_{*}(R)}
439:{\displaystyle K_{*}(R)}
255:{\displaystyle K_{i}(R)}
53:{\displaystyle K_{*}(F)}
8827:Motivic homotopy theory
8007:in the one-dimensional
6353:{\displaystyle n\geq 3}
5938:gives a group of order
4706:{\displaystyle K_{n,A}}
4581:{\displaystyle K_{n,A}}
4553:motivic homotopy theory
4203:{\displaystyle n\leq 2}
3877:we get an explicit map
3155:the class of the point
2645:can be embedded into a
2454:{\displaystyle -1\in F}
898:(the group of units of
173:is a part of algebraic
95:in the special case of
9554:
9511:
9427:
9344:
9018:Compositio Mathematica
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8018:, via the isomorphism
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9353:Annals of Mathematics
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2996:This map is given by
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