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Minimal model (physics)

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6064: 5352: 6059:{\displaystyle {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|ccccc}4&3&{\frac {13}{8}}&{\frac {2}{3}}&{\frac {1}{8}}&0\\3&{\frac {7}{5}}&{\frac {21}{40}}&{\frac {1}{15}}&{\frac {1}{40}}&{\frac {2}{5}}\\2&{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{40}}&{\frac {1}{15}}&{\frac {21}{40}}&{\frac {7}{5}}\\1&0&{\frac {1}{8}}&{\frac {2}{3}}&{\frac {13}{8}}&3\\\hline &1&2&3&4&5\end{array}}\\c_{6,5}={\frac {4}{5}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccccc}4&{\frac {15}{4}}&{\frac {16}{7}}&{\frac {33}{28}}&{\frac {3}{7}}&{\frac {1}{28}}&0\\3&{\frac {9}{5}}&{\frac {117}{140}}&{\frac {8}{35}}&-{\frac {3}{140}}&{\frac {3}{35}}&{\frac {11}{20}}\\2&{\frac {11}{20}}&{\frac {3}{35}}&-{\frac {3}{140}}&{\frac {8}{35}}&{\frac {117}{140}}&{\frac {9}{5}}\\1&0&{\frac {1}{28}}&{\frac {3}{7}}&{\frac {33}{28}}&{\frac {16}{7}}&{\frac {15}{4}}\\\hline &1&2&3&4&5&6\end{array}}\\c_{7,5}={\frac {11}{35}}\end{array}}} 5346: 4798: 6527: 5341:{\displaystyle {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccc}3&{\frac {3}{2}}&{\frac {3}{5}}&{\frac {1}{10}}&0\\2&{\frac {7}{16}}&{\frac {3}{80}}&{\frac {3}{80}}&{\frac {7}{16}}\\1&0&{\frac {1}{10}}&{\frac {3}{5}}&{\frac {3}{2}}\\\hline &1&2&3&4\end{array}}\\c_{5,4}={\frac {7}{10}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccccc}3&{\frac {5}{2}}&{\frac {10}{7}}&{\frac {9}{14}}&{\frac {1}{7}}&-{\frac {1}{14}}&0\\2&{\frac {13}{16}}&{\frac {27}{112}}&-{\frac {5}{112}}&-{\frac {5}{112}}&{\frac {27}{112}}&{\frac {13}{16}}\\1&0&-{\frac {1}{14}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {9}{14}}&{\frac {10}{7}}&{\frac {5}{2}}\\\hline &1&2&3&4&5&6\end{array}}\\c_{7,4}=-{\frac {13}{14}}\end{array}}} 6070: 6522:{\displaystyle {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccccc}5&5&{\frac {22}{7}}&{\frac {12}{7}}&{\frac {5}{7}}&{\frac {1}{7}}&0\\4&{\frac {23}{8}}&{\frac {85}{56}}&{\frac {33}{56}}&{\frac {5}{56}}&{\frac {1}{56}}&{\frac {3}{8}}\\3&{\frac {4}{3}}&{\frac {10}{21}}&{\frac {1}{21}}&{\frac {1}{21}}&{\frac {10}{21}}&{\frac {4}{3}}\\2&{\frac {3}{8}}&{\frac {1}{56}}&{\frac {5}{56}}&{\frac {33}{56}}&{\frac {85}{56}}&{\frac {23}{8}}\\1&0&{\frac {1}{7}}&{\frac {5}{7}}&{\frac {12}{7}}&{\frac {22}{7}}&5\\\hline &1&2&3&4&5&6\end{array}}\\c_{7,6}={\frac {6}{7}}\end{array}}} 4792: 4471: 2554: 2200: 4787:{\displaystyle {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|ccc}2&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{16}}&0\\1&0&{\frac {1}{16}}&{\frac {1}{2}}\\\hline &1&2&3\end{array}}\\c_{4,3}={\frac {1}{2}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccc}2&{\frac {3}{4}}&{\frac {1}{5}}&-{\frac {1}{20}}&0\\1&0&-{\frac {1}{20}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {3}{4}}\\\hline &1&2&3&4\end{array}}\\c_{5,3}=-{\frac {3}{5}}\end{array}}} 3580: 8299: 3274: 2206: 1852: 4465: 1365: 3836: 3280: 2549:{\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{D-series}}\ \ {\underset {q\equiv 2\operatorname {mod} 4,\ q\geq 6}{=}}\ \ {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\oplus {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{q-r,s}\ ,} 2195:{\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{D-series}}\ \ {\underset {q\equiv 0\operatorname {mod} 4,\ q\geq 8}{=}}\ \ {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\oplus {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}2}^{q-2}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{q-r,s}\ ,} 2995: 4266: 954: 3586: 3575:{\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,18}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|{\mathcal {R}}_{9,s}\oplus 2{\mathcal {R}}_{3,s}\right|^{2}\ominus 4\left|{\mathcal {R}}_{3,s}\right|^{2}\oplus \bigoplus _{r\in \{1,5,7\}}\left|{\mathcal {R}}_{r,s}\oplus {\mathcal {R}}_{18-r,s}\right|^{2}\right\}\ ,} 3269:{\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,12}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|{\mathcal {R}}_{1,s}\oplus {\mathcal {R}}_{7,s}\right|^{2}\oplus \left|{\mathcal {R}}_{4,s}\oplus {\mathcal {R}}_{8,s}\right|^{2}\oplus \left|{\mathcal {R}}_{5,s}\oplus {\mathcal {R}}_{11,s}\right|^{2}\right\}\ ,} 1607: 4460:{\displaystyle {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cc}1&0&0\\\hline &1&2\end{array}}\\c_{3,2}=0\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccc}1&0&-{\frac {1}{5}}&-{\frac {1}{5}}&0\\\hline &1&2&3&4\end{array}}\\c_{5,2}=-{\frac {22}{5}}\end{array}}} 7461: 7356: 7251: 1360:{\displaystyle {\mathcal {R}}_{r_{1},s_{1}}\times {\mathcal {R}}_{r_{2},s_{2}}=\sum _{r_{3}{\overset {2}{=}}|r_{1}-r_{2}|+1}^{\min(r_{1}+r_{2},2q-r_{1}-r_{2})-1}\ \sum _{s_{3}{\overset {2}{=}}|s_{1}-s_{2}|+1}^{\min(s_{1}+s_{2},2p-s_{1}-s_{2})-1}{\mathcal {R}}_{r_{3},s_{3}}\ ,} 6993: 6728: 3831:{\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,30}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|\bigoplus _{r\in \{1,11,19,29\}}{\mathcal {R}}_{r,s}\right|^{2}\oplus \left|\bigoplus _{r\in \{7,13,17,23\}}{\mathcal {R}}_{r,s}\right|^{2}\right\}\ .} 371: 1447: 2792: 2658: 2987: 7362: 7257: 7152: 897: 2713:: the OPE of one diagonal and one non-diagonal field yields only non-diagonal fields, and the OPE of two fields of the same type yields only diagonal fields. For this rule, one copy of the representation 587: 6079: 5675: 478: 156: 5027: 6888: 2704: 6584: 7539:
minimal models each have a fermionic extension. These two fermionic extensions involve fields with half-integer spins, and they are related to one another by a parity-shift operation.
7031:, the generalized minimal models tend to the corresponding A-series minimal model. This means in particular that the degenerate representations that are not in the Kac table decouple. 730: 5361: 225: 7505: 942: 627: 2847: 1804: 6880: 816: 4258: 7043:
reduces to a generalized minimal model when the fields are taken to be degenerate, it further reduces to an A-series minimal model when the central charge is then sent to
1602:{\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{A-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{r=1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\ .} 4222: 4166: 4109: 4057: 4001: 3949: 3897: 7136: 1439: 217: 7729: 2716: 2582: 7074: 7029: 2919: 2873: 1718: 673: 514: 483:
The spectrums of minimal models are made of irreducible, degenerate lowest-weight representations of the Virasoro algebra, whose conformal dimensions are of the type
7103: 6757: 4807: 7537: 6844: 6809: 6572: 1674: 1642: 766: 1407: 185: 8152: 7962: 6777: 4616: 2893: 2577: 1844: 1824: 1778: 1758: 1738: 8044: 8003: 4344: 2924: 7782: 4480: 7807: 7456:{\displaystyle {\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}\otimes {\mathcal {S}}_{2,7}^{\text{A-series}}={\mathcal {S}}_{7,30}^{\text{E-series}}\ .} 7351:{\displaystyle {\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}\otimes {\mathcal {S}}_{3,4}^{\text{A-series}}={\mathcal {S}}_{5,12}^{\text{E-series}}\ ,} 7246:{\displaystyle {\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}\otimes {\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}={\mathcal {S}}_{3,10}^{\text{D-series}}\ ,} 945: 32: 7911: 2709:
The OPE of two fields involves all the fields that are allowed by the fusion rules of the corresponding representations, and that respect the
8142: 8034: 7722: 4004: 7890: 7772: 6814:
There exist other realizations of certain minimal models, diagonal or not, as cosets of WZW models, not necessarily based on the group
824: 7146:
There are three cases of minimal models that are products of two minimal models. At the level of their spectrums, the relations are:
8302: 7982: 7583: 522: 4275: 2579:
run by increments of two. In any given spectrum, each representation has multiplicity one, except the representations of the type
47:. The term minimal model can also refer to a rational CFT based on an algebra that is larger than the Virasoro algebra, such as a 8326: 8232: 8039: 7802: 7835: 7105:: a diagonal CFT with a continuous spectrum called Runkel–Watts theory, which coincides with the limit of Liouville theory when 8321: 8192: 8095: 8075: 7715: 4169: 948:
of simply degenerate representations, which encode constraints from individual null vectors. Explicitly, the fusion rules are
7998: 7757: 7752: 1441:, there exists a diagonal minimal model whose spectrum contains one copy of each distinct representation in the Kac table: 8147: 1679:
The OPE of two fields involves all the fields that are allowed by the fusion rules of the corresponding representations.
732:
distinct representations of this type. The set of these representations, or of their conformal dimensions, is called the
8271: 7797: 382: 74: 7556: 8266: 8060: 7840: 6988:{\displaystyle {\mathcal {S}}=\bigoplus _{r,s=1}^{\infty }{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\ .} 6723:{\displaystyle {\frac {SU(2)_{k}\times SU(2)_{1}}{SU(2)_{k+1}}}\ ,\quad {\text{where}}\quad k={\frac {q}{p-q}}-2\ .} 36: 8008: 2706:, which have multiplicity two. These representations indeed appear in both terms in our formula for the spectrum. 2663: 8244: 8116: 7941: 7916: 678: 366:{\displaystyle h_{r,s}={\frac {(pr-qs)^{2}-(p-q)^{2}}{4pq}}\ ,\quad {\text{with}}\ r,s\in \mathbb {N} ^{*}\ ,} 7855: 8283: 8207: 8202: 8137: 8065: 7967: 7870: 7860: 7845: 7762: 7474: 7040: 910: 595: 8018: 7921: 7885: 7830: 8256: 8251: 8090: 8085: 7875: 2805: 1783: 6857: 771: 8197: 7931: 7767: 7738: 7677: 8261: 8227: 8162: 8080: 8070: 7865: 4231: 20: 7895: 7693: 7667: 4177: 4121: 4064: 4012: 3956: 3904: 3852: 2787:{\displaystyle {\mathcal {R}}_{{\frac {q}{2}},s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{{\frac {q}{2}},s}} 2653:{\displaystyle {\mathcal {R}}_{{\frac {q}{2}},s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{{\frac {q}{2}},s}} 44: 7108: 1412: 190: 7946: 7579: 7046: 7001: 2898: 2852: 1690: 636: 486: 8217: 7685: 7082: 6736: 65: 40: 7510: 6817: 6782: 6545: 2802:
There are three series of E-series minimal models. Each series exists for a given value of
1647: 1615: 739: 8239: 7977: 7926: 1386: 164: 7681: 8182: 8157: 7936: 6762: 2878: 2562: 1829: 1809: 1763: 1743: 1723: 944:
encode constraints from all their null vectors. They can therefore be deduced from the
8315: 8278: 8212: 8187: 7787: 7697: 7645:
T. Quella, I. Runkel, G. Watts, "Reflection and Transmission for Conformal Defects",
6882:, there is a diagonal CFT whose spectrum is made of all degenerate representations, 8222: 8132: 7850: 7792: 7777: 630: 7621:
I. Runkel, G. Watts, "A Nonrational CFT with c = 1 as a limit of minimal models",
4115:
The following D-series minimal models are related to well-known physical systems:
3846:
The following A-series minimal models are related to well-known physical systems:
7880: 7689: 2982:{\displaystyle |{\mathcal {R}}|^{2}={\mathcal {R}}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}} 7658:
Runkel, Ingo; Watts, Gerard (2020). "Fermionic CFTs and classifying algebras".
7555:
A. Cappelli, J-B. Zuber, "A-D-E Classification of Conformal Field Theories",
8013: 6575: 48: 7594:
I. Runkel, "Structure constants for the D series Virasoro minimal models",
633:
by its infinitely many nontrivial submodules. It is unitary if and only if
4228:
The Kac tables of these models, together with a few other Kac tables with
8111: 7707: 7646: 7634: 7622: 7595: 43:. Minimal models have been classified and solved, and found to obey an 7672: 219:. Then the conformal dimensions of degenerate representations are 7610: 892:{\displaystyle {\mathcal {R}}_{r,s}={\mathcal {R}}_{q-r,p-s}\ .} 7711: 7079:
Moreover, A-series minimal models have a well-defined limit as
818:, where each representation appears twice due to the relation 582:{\displaystyle 1\leq r\leq q-1\quad ,\quad 1\leq s\leq p-1\ .} 7488: 7425: 7397: 7369: 7320: 7292: 7264: 7215: 7187: 7159: 6957: 6932: 6894: 3789: 3709: 3593: 3527: 3504: 3431: 3389: 3363: 3287: 3227: 3204: 3164: 3141: 3101: 3078: 3002: 2969: 2957: 2935: 2755: 2723: 2621: 2589: 2512: 2487: 2388: 2363: 2213: 2158: 2133: 2034: 2009: 1859: 1571: 1546: 1454: 1320: 998: 961: 917: 907:
The fusion rules of the multiply degenerate representations
854: 831: 602: 2794:
counts as diagonal, and the other copy as non-diagonal.
768:. The Kac table is usually drawn as a rectangle of size 7633:
V. Schomerus, "Rolling tachyons from Liouville theory",
6075: 5671: 5357: 5023: 4803: 4612: 4476: 4340: 4271: 7513: 7477: 7365: 7260: 7155: 7111: 7085: 7049: 7004: 6891: 6860: 6820: 6785: 6765: 6739: 6587: 6548: 6073: 5355: 4801: 4474: 4269: 4234: 4180: 4124: 4067: 4015: 3959: 3907: 3855: 3589: 3283: 2998: 2927: 2901: 2881: 2855: 2808: 2719: 2666: 2585: 2565: 2209: 1855: 1832: 1812: 1786: 1766: 1746: 1726: 1693: 1650: 1618: 1450: 1415: 1389: 957: 913: 827: 774: 742: 681: 639: 598: 525: 489: 385: 228: 193: 167: 77: 8175: 8125: 8104: 8053: 8027: 7991: 7955: 7904: 7823: 7816: 7745: 7609:S. Ribault, "Conformal field theory on the plane", 6811:i.e. if and only if the minimal model is unitary. 7531: 7499: 7455: 7350: 7245: 7130: 7097: 7068: 7023: 6987: 6874: 6838: 6803: 6771: 6751: 6722: 6566: 6521: 6058: 5340: 4786: 4459: 4252: 4216: 4160: 4103: 4051: 3995: 3943: 3891: 3830: 3574: 3268: 2981: 2913: 2887: 2867: 2841: 2786: 2698: 2652: 2571: 2548: 2194: 1838: 1818: 1798: 1772: 1752: 1732: 1712: 1668: 1636: 1601: 1433: 1401: 1359: 936: 891: 810: 760: 724: 667: 621: 581: 508: 473:{\displaystyle h_{r,s}=h_{q-r,p-s}=h_{r+q,s+p}\ .} 472: 365: 211: 179: 151:{\displaystyle c_{p,q}=1-6{(p-q)^{2} \over pq}\ .} 150: 1687:A D-series minimal model with the central charge 1242: 1098: 55:Relevant representations of the Virasoro algebra 7574:P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. SĂ©nĂ©chal, 7723: 64:In minimal models, the central charge of the 8: 3781: 3757: 3701: 3677: 3490: 3472: 2833: 2815: 2699:{\displaystyle q\equiv 2\ \mathrm {mod} \ 4} 16:Family of solved 2D conformal field theories 35:whose spectrum is built from finitely many 7820: 7730: 7716: 7708: 1379:A-series minimal models: the diagonal case 7671: 7512: 7491: 7487: 7476: 7441: 7430: 7424: 7423: 7413: 7402: 7396: 7395: 7385: 7374: 7368: 7367: 7364: 7336: 7325: 7319: 7318: 7308: 7297: 7291: 7290: 7280: 7269: 7263: 7262: 7259: 7231: 7220: 7214: 7213: 7203: 7192: 7186: 7185: 7175: 7164: 7158: 7157: 7154: 7122: 7110: 7084: 7054: 7048: 7009: 7003: 6967: 6956: 6954: 6953: 6937: 6931: 6930: 6923: 6906: 6893: 6892: 6890: 6868: 6867: 6859: 6819: 6784: 6764: 6738: 6690: 6678: 6656: 6632: 6607: 6588: 6586: 6547: 6505: 6490: 6430: 6418: 6406: 6394: 6370: 6358: 6346: 6334: 6322: 6310: 6291: 6279: 6267: 6255: 6243: 6231: 6212: 6200: 6188: 6176: 6164: 6152: 6128: 6116: 6104: 6092: 6078: 6074: 6072: 6042: 6027: 5972: 5960: 5948: 5936: 5924: 5900: 5888: 5876: 5864: 5849: 5837: 5818: 5806: 5794: 5779: 5767: 5755: 5731: 5719: 5707: 5695: 5683: 5674: 5670: 5655: 5640: 5585: 5573: 5561: 5537: 5525: 5513: 5501: 5489: 5470: 5458: 5446: 5434: 5422: 5398: 5386: 5374: 5360: 5356: 5354: 5324: 5306: 5251: 5239: 5227: 5215: 5203: 5176: 5164: 5152: 5137: 5122: 5110: 5086: 5071: 5059: 5047: 5035: 5026: 5022: 5007: 4992: 4947: 4935: 4923: 4899: 4887: 4875: 4863: 4839: 4827: 4815: 4806: 4802: 4800: 4770: 4752: 4707: 4695: 4683: 4651: 4636: 4624: 4615: 4611: 4596: 4581: 4541: 4529: 4500: 4488: 4479: 4475: 4473: 4443: 4425: 4375: 4360: 4343: 4339: 4316: 4274: 4270: 4268: 4233: 4179: 4123: 4066: 4014: 3958: 3906: 3854: 3811: 3794: 3788: 3787: 3750: 3731: 3714: 3708: 3707: 3670: 3643: 3632: 3618: 3609: 3598: 3592: 3591: 3588: 3555: 3532: 3526: 3525: 3509: 3503: 3502: 3465: 3452: 3436: 3430: 3429: 3411: 3394: 3388: 3387: 3368: 3362: 3361: 3337: 3326: 3312: 3303: 3292: 3286: 3285: 3282: 3249: 3232: 3226: 3225: 3209: 3203: 3202: 3186: 3169: 3163: 3162: 3146: 3140: 3139: 3123: 3106: 3100: 3099: 3083: 3077: 3076: 3052: 3041: 3027: 3018: 3007: 3001: 3000: 2997: 2968: 2966: 2965: 2956: 2955: 2946: 2941: 2934: 2933: 2928: 2926: 2900: 2880: 2854: 2807: 2766: 2765: 2754: 2752: 2751: 2729: 2728: 2722: 2721: 2718: 2679: 2665: 2632: 2631: 2620: 2618: 2617: 2595: 2594: 2588: 2587: 2584: 2564: 2522: 2511: 2509: 2508: 2492: 2486: 2485: 2472: 2461: 2445: 2431: 2427: 2413: 2398: 2387: 2385: 2384: 2368: 2362: 2361: 2348: 2337: 2321: 2307: 2303: 2289: 2241: 2229: 2218: 2212: 2211: 2208: 2168: 2157: 2155: 2154: 2138: 2132: 2131: 2118: 2107: 2091: 2077: 2073: 2059: 2044: 2033: 2031: 2030: 2014: 2008: 2007: 1994: 1983: 1967: 1953: 1949: 1935: 1887: 1875: 1864: 1858: 1857: 1854: 1831: 1811: 1785: 1765: 1745: 1725: 1698: 1692: 1649: 1617: 1581: 1570: 1568: 1567: 1551: 1545: 1544: 1531: 1520: 1504: 1493: 1479: 1470: 1459: 1453: 1452: 1449: 1414: 1388: 1370:where the sums run by increments of two. 1343: 1330: 1325: 1319: 1318: 1300: 1287: 1265: 1252: 1241: 1229: 1223: 1210: 1201: 1191: 1185: 1180: 1156: 1143: 1121: 1108: 1097: 1085: 1079: 1066: 1057: 1047: 1041: 1036: 1021: 1008: 1003: 997: 996: 984: 971: 966: 960: 959: 956: 922: 916: 915: 912: 859: 853: 852: 836: 830: 829: 826: 773: 741: 682: 680: 654: 640: 638: 607: 601: 600: 597: 524: 494: 488: 440: 409: 390: 384: 351: 347: 346: 325: 298: 273: 248: 233: 227: 192: 166: 125: 106: 82: 76: 6542:The A-series minimal model with indices 4224: : tricritical 3-state Potts model. 725:{\displaystyle {\frac {1}{2}}(p-1)(q-1)} 7605: 7603: 7548: 675:. At a given central charge, there are 7808:Two-dimensional conformal field theory 7467:Fermionic extensions of minimal models 6574:coincides with the following coset of 33:two-dimensional conformal field theory 7570: 7568: 7566: 7564: 7: 7500:{\displaystyle q\equiv 0{\bmod {4}}} 937:{\displaystyle {\mathcal {R}}_{r,s}} 622:{\displaystyle {\mathcal {R}}_{r,s}} 6924: 4111: : tetracritical Ising model. 3951: : Yang-Lee edge singularity, 2842:{\displaystyle q\in \{12,18,30\},} 2686: 2683: 2680: 1799:{\displaystyle p\leftrightarrow q} 14: 8303:Template:Quantum mechanics topics 6998:When the central charge tends to 6875:{\displaystyle c\in \mathbb {C} } 811:{\displaystyle (q-1)\times (p-1)} 8298: 8297: 7507:, the A-series and the D-series 6533:Related conformal field theories 4059: : tricritical Ising model, 6683: 6677: 5669: 5021: 4610: 4338: 551: 547: 324: 187:are coprime integers such that 7660:Journal of High Energy Physics 7526: 7514: 7115: 7089: 6961: 6833: 6827: 6653: 6646: 6629: 6622: 6604: 6597: 6561: 6549: 4211: 4199: 4193: 4181: 4155: 4143: 4137: 4125: 4098: 4086: 4080: 4068: 4046: 4034: 4028: 4016: 3990: 3978: 3972: 3960: 3938: 3926: 3920: 3908: 3886: 3874: 3868: 3856: 2973: 2942: 2929: 2759: 2625: 2516: 2392: 2162: 2038: 1790: 1663: 1651: 1631: 1619: 1575: 1306: 1245: 1230: 1202: 1162: 1101: 1086: 1058: 805: 793: 787: 775: 755: 743: 719: 707: 704: 692: 655: 641: 295: 282: 270: 251: 122: 109: 1: 4253:{\displaystyle 2\leq q\leq 6} 376:and they obey the identities 8267:Quantum information science 4217:{\displaystyle (p,q)=(7,6)} 4161:{\displaystyle (p,q)=(6,5)} 4104:{\displaystyle (p,q)=(6,5)} 4052:{\displaystyle (p,q)=(5,4)} 3996:{\displaystyle (p,q)=(4,3)} 3944:{\displaystyle (p,q)=(5,2)} 3892:{\displaystyle (p,q)=(3,2)} 2711:conservation of diagonality 37:irreducible representations 8343: 7142:Products of minimal models 7131:{\displaystyle c\to 1^{+}} 6850:Generalized minimal models 6779:is integer if and only if 8292: 2895:. (This actually implies 1434:{\displaystyle p,q\geq 2} 1383:For any coprime integers 212:{\displaystyle p,q\geq 2} 68:takes values of the type 1846:is odd. The spectrum is 8327:Exactly solvable models 7963:2D free massless scalar 7856:Quantum electrodynamics 7783:QFT in curved spacetime 7690:10.1007/JHEP06(2020)025 7069:{\displaystyle c_{p,q}} 7024:{\displaystyle c_{p,q}} 6854:For any central charge 2914:{\displaystyle p\geq 5} 2868:{\displaystyle p\geq 2} 2798:E-series minimal models 1713:{\displaystyle c_{p,q}} 1683:D-series minimal models 668:{\displaystyle |p-q|=1} 509:{\displaystyle h_{r,s}} 8322:Conformal field theory 8284:Quantum thermodynamics 8208:On shell and off shell 8203:Loop quantum cosmology 8045:N = 4 super Yang–Mills 8004:N = 1 super Yang–Mills 7871:Scalar electrodynamics 7861:Quantum chromodynamics 7763:Conformal field theory 7739:Quantum field theories 7576:Conformal Field Theory 7533: 7501: 7457: 7352: 7247: 7132: 7099: 7098:{\displaystyle c\to 1} 7070: 7025: 6989: 6928: 6876: 6840: 6805: 6773: 6753: 6752:{\displaystyle p>q} 6724: 6568: 6523: 6060: 5342: 4788: 4461: 4254: 4218: 4162: 4105: 4053: 3997: 3945: 3893: 3832: 3654: 3576: 3348: 3270: 3063: 2989:, the spectrums read: 2983: 2921:.) Using the notation 2915: 2889: 2869: 2843: 2788: 2700: 2654: 2573: 2550: 2483: 2456: 2359: 2332: 2196: 2129: 2102: 2005: 1978: 1840: 1820: 1800: 1774: 1754: 1734: 1714: 1670: 1638: 1603: 1542: 1515: 1435: 1403: 1361: 1316: 1172: 938: 893: 812: 762: 726: 669: 623: 592:Such a representation 583: 510: 474: 367: 213: 181: 152: 29:Virasoro minimal model 8257:Quantum hydrodynamics 8252:Quantum hadrodynamics 7876:Scalar chromodynamics 7534: 7532:{\displaystyle (p,q)} 7502: 7458: 7353: 7248: 7133: 7100: 7071: 7026: 6990: 6902: 6877: 6841: 6839:{\displaystyle SU(2)} 6806: 6804:{\displaystyle p=q+1} 6774: 6754: 6725: 6569: 6567:{\displaystyle (p,q)} 6524: 6061: 5343: 4789: 4462: 4255: 4219: 4163: 4106: 4054: 3998: 3946: 3894: 3833: 3628: 3577: 3322: 3271: 3037: 2984: 2916: 2890: 2875:that is coprime with 2870: 2844: 2789: 2701: 2655: 2574: 2551: 2457: 2423: 2333: 2299: 2197: 2103: 2069: 1979: 1945: 1841: 1821: 1801: 1780:. Using the symmetry 1775: 1760:is even and at least 1755: 1735: 1715: 1676:models are the same. 1671: 1669:{\displaystyle (q,p)} 1639: 1637:{\displaystyle (p,q)} 1604: 1516: 1489: 1436: 1404: 1362: 1176: 1032: 939: 894: 813: 763: 761:{\displaystyle (p,q)} 727: 670: 624: 584: 511: 475: 368: 214: 182: 153: 8228:Quantum fluctuations 8198:Loop quantum gravity 7768:Lattice field theory 7647:arxiv:hep-th/0611296 7635:arXiv:hep-th/0306026 7623:arXiv:hep-th/0107118 7511: 7475: 7363: 7258: 7153: 7109: 7083: 7047: 7002: 6889: 6858: 6818: 6783: 6763: 6737: 6585: 6546: 6071: 5353: 4799: 4472: 4267: 4232: 4178: 4122: 4065: 4013: 4005:critical Ising model 3957: 3905: 3899: : trivial CFT, 3853: 3587: 3281: 2996: 2925: 2899: 2879: 2853: 2806: 2717: 2664: 2583: 2563: 2559:where the sums over 2207: 1853: 1830: 1810: 1784: 1764: 1744: 1724: 1691: 1648: 1616: 1448: 1413: 1387: 955: 911: 825: 772: 740: 679: 637: 596: 523: 487: 383: 226: 191: 165: 75: 8262:Quantum information 7866:Quartic interaction 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Index

theoretical physics
two-dimensional conformal field theory
irreducible representations
Virasoro algebra
ADE classification
W-algebra
Virasoro algebra
Verma module
fusion rules
critical Ising model
Potts model
WZW models
Liouville theory
Scholarpedia




ISBN
0-387-94785-X
hep-th/9908046


arXiv:1406.4290
arXiv:hep-th/0107118
arXiv:hep-th/0306026
arxiv:hep-th/0611296
arXiv
2001.05055
Bibcode

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