639:
1861:
1157:
312:
1603:
2336:
2037:
1324:
447:
2187:
1721:
163:
1389:
2415:
969:
920:
1709:
1194:
782:
1367:
842:
1661:
713:
126:
2523:
2494:
344:
155:
59:
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2447:
395:
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964:
942:
662:
439:
415:
364:
634:{\displaystyle f(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}=1}^{r}V(K_{j_{1}},\ldots ,K_{j_{n}})\lambda _{j_{1}}\cdots \lambda _{j_{n}},}
1911:
1204:
1856:{\displaystyle W_{j}(K)=V({\overset {n-j{\text{ times}}}{\overbrace {K,K,\ldots ,K} }},{\overset {j{\text{ times}}}{\overbrace {B,B,\ldots ,B} }})}
2081:
307:{\displaystyle f(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})=\mathrm {Vol} _{n}(\lambda _{1}K_{1}+\cdots +\lambda _{r}K_{r}),\qquad \lambda _{i}\geq 0,}
1598:{\displaystyle V(K_{1},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})\geq {\sqrt {V(K_{1},K_{1},K_{3},\ldots ,K_{n})V(K_{2},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})}}.}
1373:
2344:
1612:
1152:{\displaystyle V(\lambda K+\lambda 'K',K_{2},\dots ,K_{n})=\lambda V(K,K_{2},\dots ,K_{n})+\lambda 'V(K',K_{2},\dots ,K_{n})}
2637:
860:
2632:
1666:
2657:
718:
787:
2652:
1631:
1162:
667:
72:
1329:
418:
2627:
61:. This number depends on the size and shape of the bodies, and their relative orientation to each other.
2458:
2499:
2470:
320:
131:
35:
2464:
2331:{\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}V_{j}(K)\,\mathrm {Vol} _{n-j}(tB_{n-j}).}
2525:
is a linear combination of the quermassintegrals (or, equivalently, of the intrinsic volumes).
2597:
2558:
2609:
2572:
2420:
373:
2605:
2568:
21:
2542:
2058:
1877:
1377:
949:
927:
647:
424:
400:
349:
2646:
2032:{\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{j}.}
1902:
367:
2586:
Klain, Daniel A. (1995). "A short proof of
Hadwiger's characterization theorem".
2588:
1201:
The mixed volume is non-negative and monotonically increasing in each variable:
29:
17:
2601:
1319:{\displaystyle V(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{n})\leq V(K_{1}',K_{2},\ldots ,K_{n})}
2182:{\displaystyle V_{j}(K)={\binom {n}{j}}{\frac {W_{n-j}(K)}{\kappa _{n-j}}},}
1712:
853:
The mixed volume is uniquely determined by the following three properties:
2563:
2546:
2075:
is a different normalization of the quermassintegral, defined by
1619:, are special cases of the Alexandrov–Fenchel inequality.
28:
is a way to associate a non-negative number to a tuple of
2410:{\displaystyle \kappa _{n-j}={\text{Vol}}_{n-j}(B_{n-j})}
2496:
that is continuous and invariant under rigid motions of
1372:
2502:
2473:
2423:
2347:
2195:
2084:
2061:
1914:
1880:
1724:
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1634:
1392:
1332:
1207:
1165:
972:
952:
930:
863:
790:
721:
670:
650:
450:
427:
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352:
323:
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75:
38:
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2409:
2330:
2181:
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1855:
1703:
1655:
1597:
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1151:
958:
936:
914:
836:
776:
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433:
409:
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358:
338:
306:
149:
120:
53:
2123:
2110:
1991:
1978:
915:{\displaystyle V(K,\dots ,K)={\text{Vol}}_{n}(K)}
1704:{\displaystyle B=B_{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}
664:are symmetric. For a particular index function
1611:Numerous geometric inequalities, such as the
777:{\displaystyle V(K_{j_{1}},\dots ,K_{j_{n}})}
366:-dimensional volume, and its argument is the
8:
696:
677:
1897:The definition of mixed volume yields the
837:{\displaystyle K_{j_{1}},\dots ,K_{j_{n}}}
2562:
2509:
2505:
2504:
2501:
2480:
2476:
2475:
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2422:
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2373:
2368:
2352:
2346:
2310:
2288:
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2275:
2260:
2250:
2239:
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2197:
2194:
2162:
2136:
2129:
2122:
2109:
2107:
2089:
2083:
2060:
2020:
2001:
1990:
1977:
1975:
1969:
1958:
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1916:
1913:
1879:
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1806:
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1755:
1753:
1729:
1723:
1695:
1691:
1690:
1680:
1668:
1656:{\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}
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1633:
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136:
133:
112:
93:
80:
74:
45:
41:
40:
37:
2547:"Inequalities between intrinsic volumes"
2452:
1189:{\displaystyle \lambda ,\lambda '\geq 0}
708:{\displaystyle j\in \{1,\ldots ,r\}^{n}}
121:{\displaystyle K_{1},K_{2},\dots ,K_{r}}
2534:
2463:Hadwiger's theorem asserts that every
1362:{\displaystyle K_{1}\subseteq K_{1}'}
7:
2453:Hadwiger's characterization theorem
2284:
2281:
2278:
2204:
2201:
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2114:
1982:
1923:
1920:
1917:
216:
213:
210:
14:
1715:of unit radius. The mixed volume
2518:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
2489:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
1613:Brunn–Minkowski inequality
1374:Aleksandr Danilovich Aleksandrov
339:{\displaystyle {\text{Vol}}_{n}}
150:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
54:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
284:
2436:
2424:
2404:
2385:
2322:
2300:
2272:
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2101:
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1750:
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1587:
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1523:
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1454:
1396:
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1265:
1256:
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1146:
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1086:
1048:
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944:is symmetric in its arguments;
909:
903:
885:
867:
784:is called the mixed volume of
771:
725:
588:
542:
486:
454:
278:
226:
202:
170:
1:
1617:Minkowski's first inequality
370:of the scaled convex bodies
2633:Encyclopedia of Mathematics
2674:
2551:Monatshefte fĂĽr Mathematik
2456:
157:and consider the function
2602:10.1112/s0025579300014625
1663:be a convex body and let
2449:-dimensional unit ball.
20:, more specifically, in
2626:Burago, Yu.D. (2001) ,
441:, so can be written as
2519:
2490:
2443:
2411:
2332:
2255:
2183:
2069:
2033:
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1888:
1857:
1705:
1657:
1615:for convex bodies and
1599:
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1320:
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960:
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538:
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340:
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151:
122:
55:
2628:"Mixed-volume theory"
2520:
2491:
2444:
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2417:is the volume of the
2412:
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341:
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2471:
2467:on convex bodies in
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644:where the functions
448:
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397:. One can show that
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715:, the coefficient
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