3725:
1964:
2437:
2558:
2085:
3599:
637:
1815:
3635:
2288:
1736:
3353:
2906:
1516:
667:
865:
3461:
2679:
230:
3237:
159:(actions) be two finite sets of symbols, and let Var be a countably infinite set of variables. The set of formulas of (propositional, modal) μ-calculus is defined as follows:
1110:
782:
596:
1633:
1575:
1328:
3017:
1037:
812:
500:
2744:
276:
1822:
3287:
3171:
2599:
1396:
1202:
1354:
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3623:
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3505:
3481:
3324:
3097:
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2875:
2795:
2764:
2719:
2699:
1130:
1061:
990:
903:
747:
707:
540:
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428:
388:
348:
299:
253:
204:
184:
3401:
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2651:
1456:
564:
3529:
3117:
3077:
3057:
3037:
2966:
2946:
2926:
2855:
2835:
2815:
2622:
2180:
2160:
2140:
2120:
1436:
1416:
1287:
1267:
1247:
1225:
1153:
1081:
970:
946:
727:
687:
520:
471:
408:
368:
319:
2295:
4151:
4088:
3944:
3917:
3818:
2444:
1971:
4139:
4068:
4048:
4099:
4020:
4131:
3560:
20:
3764:
601:
3629:
3356:
123:
plus the least and greatest fixed point operators; from this viewpoint, the modal μ-calculus is over the lattice of a
3120:
1743:
1164:
81:
3404:
2192:
1640:
101:
4200:
3329:
2882:
1461:
643:
817:
997:
120:
3422:
97:
2658:
209:
4003:
Proceedings of the 15th ACM SIGPLAN-SIGACT symposium on
Principles of programming languages - POPL '88
3180:
4195:
3720:{\displaystyle \nu Z.\left(\bigvee _{a\in A}\langle a\rangle \top \wedge \bigwedge _{a\in A}Z\right)}
3174:
1086:
752:
575:
58:
4107:
3759:
136:
43:
4095:, chapter 6, The μ-calculus over powerset algebras, pp. 141–153 is about the modal μ-calculus
1959:{\displaystyle \phi ]\!]_{i}=\{s\in S\mid \forall t\in S,(s,t)\in R_{a}\rightarrow t\in \!]_{i}\}}
1582:
1524:
1294:
2993:
1013:
788:
476:
112:
2726:
258:
4135:
4084:
4064:
4044:
4016:
3983:
3940:
3934:
3913:
3907:
3814:
3290:
1043:; the intent is to denote the least (and respectively greatest) fixed point of the expression
124:
108:
62:
54:
3242:
3126:
2566:
1363:
1169:
4160:
4123:
4006:
3973:
3806:
3739:
1333:
1001:
908:
116:
50:
3608:
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2749:
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2684:
1115:
1046:
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413:
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169:
3747:
3386:
3362:
2627:
1441:
1133:
1040:
949:
549:
132:
3903:
3743:
3735:
3632:-free, meaning no path from that state reaches a dead end, is expressed by the formula
3514:
3408:
3102:
3062:
3042:
3022:
2951:
2931:
2911:
2840:
2820:
2800:
2607:
2432:{\displaystyle \!]_{i}=\{s\in S\mid \exists t\in S,(s,t)\in R_{a}\wedge t\in \!]_{i}\}}
2165:
2145:
2125:
2090:
1421:
1401:
1272:
1252:
1232:
1210:
1138:
1066:
955:
931:
712:
672:
505:
456:
393:
353:
304:
128:
89:
85:
73:
4102:; was presented at The 18th European Summer School in Logic, Language and Information
4189:
4164:
3895:
3899:
77:
4179:
140:
46:
1063:
where the "minimization" (and respectively "maximization") are in the variable
3783:
69:
3987:
80:
into the version most used nowadays. It is used to describe properties of
4115:
3380:
4011:
542:
occurs positively, i.e. within the scope of an even number of negations.
3810:
2553:{\displaystyle \!]_{i}=\bigcap \{T\subseteq S\mid \!]_{i}\subseteq T\}}
2080:{\displaystyle \!]_{i}=\bigcup \{T\subseteq S\mid T\subseteq \!]_{i}\}}
3978:
3961:
3746:, satisfiability and validity problems of linear modal μ-calculus are
42:, although this can have a more general meaning) is an extension of
4149:
3801:
Kozen, Dexter (1982). "Results on the propositional μ-calculus".
3868:
3866:
996:
The first two formulas are the familiar ones from the classical
93:
4055:, chapter 7, Model checking for the μ-calculus, pp. 97–108
3936:
Verification of reactive systems: formal methods and algorithms
3511:-path" can be defined axiomatically as that (weakest) sentence
2186:
By duality, the interpretation of the other basic formulas is:
2563:
Less formally, this means that, for a given transition system
4039:
Clarke, Edmund M. Jr.; Orna
Grumberg; Doron A. Peled (1999).
546:(The notions of free and bound variables are as usual, where
569:
Given the above definitions, we can enrich the syntax with:
4182:
video recording of a lecture at ANU Logic Summer School '09
4001:
Vardi, M. Y. (1988-01-01). "A temporal fixpoint calculus".
4110:. In P. Blackburn; J. van Benthem & F. Wolter (eds.).
3962:"The Complexity of Propositional Linear Temporal Logics"
68:
The (propositional, modal) μ-calculus originates with
3638:
3611:
3563:
3537:
3517:
3493:
3469:
3425:
3389:
3365:
3332:
3303:
3245:
3183:
3129:
3105:
3085:
3065:
3045:
3025:
2996:
2974:
2954:
2934:
2914:
2885:
2863:
2843:
2823:
2803:
2774:
2752:
2729:
2707:
2687:
2661:
2630:
2610:
2569:
2447:
2298:
2195:
2168:
2148:
2128:
2093:
1974:
1825:
1746:
1643:
1585:
1527:
1464:
1444:
1424:
1404:
1366:
1336:
1297:
1275:
1255:
1235:
1213:
1172:
1155:; see the denotational semantics below for details.
1141:
1118:
1089:
1069:
1049:
1016:
978:
958:
934:
911:
873:
820:
791:
755:
735:
715:
695:
675:
646:
604:
578:
552:
528:
508:
502:
is a formula, provided that every free occurrence of
479:
459:
439:
416:
396:
376:
356:
327:
307:
287:
261:
241:
212:
192:
172:
3889:
3887:
1356:
to the set of states where the proposition is true.
3786:; Bakker, Jacobus (1969). "A theory of programs".
3719:
3617:
3594:{\displaystyle \mu Z.\phi \vee \langle a\rangle Z}
3593:
3543:
3523:
3499:
3475:
3455:
3395:
3371:
3347:
3318:
3281:
3231:
3165:
3111:
3091:
3071:
3051:
3031:
3011:
2980:
2960:
2940:
2920:
2900:
2869:
2849:
2829:
2809:
2789:
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2738:
2713:
2693:
2673:
2645:
2616:
2593:
2552:
2431:
2282:
2174:
2154:
2134:
2114:
2079:
1958:
1809:
1730:
1627:
1569:
1518:, is the function defined by the following rules:
1510:
1450:
1430:
1410:
1390:
1348:
1322:
1281:
1261:
1241:
1219:
1196:
1163:Models of (propositional) μ-calculus are given as
1147:
1124:
1104:
1075:
1055:
1031:
984:
964:
940:
920:
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741:
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681:
661:
631:
590:
558:
534:
514:
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445:
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402:
382:
362:
342:
313:
293:
270:
247:
224:
198:
178:
4063:. New York, Berlin, Heidelberg: Springer Verlag.
3268:
3249:
3203:
3193:
3152:
3133:
2515:
2505:
2470:
2451:
2415:
2405:
2321:
2302:
2269:
2259:
2242:
2232:
2215:
2199:
2048:
2038:
1997:
1978:
1942:
1932:
1848:
1829:
1796:
1786:
1763:
1750:
1717:
1707:
1690:
1680:
1663:
1647:
1599:
1589:
1541:
1531:
1478:
1468:
632:{\displaystyle \neg (\neg \phi \land \neg \psi )}
4106:Bradfield, Julian & Stirling, Colin (2006).
3601:is interpreted as the existence of a path along
163:each proposition and each variable is a formula;
4075:, chapter 5, Modal μ-calculus, pp. 103–128
1810:{\displaystyle \!]_{i}=S\smallsetminus \!]_{i}}
4126:(1996). "Model Checking and the Mu-calculus".
3851:Arnold and Niwiński, pp. viii-x and chapter 4
3842:Arnold and Niwiński, pp. viii-x and chapter 6
8:
4043:. Cambridge, Massachusetts, USA: MIT press.
4005:. New York, NY, USA: ACM. pp. 250–259.
3833:Clarke p.108, Theorem 6; Emerson p. 196
3675:
3669:
3585:
3579:
3551:and which remains true after processing any
3339:
3333:
2892:
2886:
2547:
2487:
2426:
2335:
2312:
2306:
2074:
2014:
1953:
1862:
653:
647:
92:can be encoded in the μ-calculus, including
3960:Sistla, A. P.; Clarke, E. M. (1985-07-01).
2283:{\displaystyle \!]_{i}=\!]_{i}\cup \!]_{i}}
1731:{\displaystyle \!]_{i}=\!]_{i}\cap \!]_{i}}
4061:Modal and Temporal Properties of Processes
3805:. ICALP. Vol. 140. pp. 348–359.
3383:("something good eventually happens") and
4010:
3977:
3688:
3657:
3637:
3610:
3562:
3536:
3516:
3492:
3468:
3424:
3388:
3364:
3331:
3302:
3273:
3244:
3208:
3182:
3157:
3128:
3104:
3084:
3064:
3044:
3024:
2995:
2973:
2953:
2933:
2913:
2884:
2862:
2842:
2822:
2802:
2773:
2751:
2728:
2706:
2686:
2660:
2629:
2609:
2568:
2520:
2475:
2446:
2420:
2387:
2326:
2297:
2274:
2247:
2220:
2194:
2167:
2147:
2127:
2092:
2053:
2002:
1973:
1947:
1914:
1853:
1824:
1801:
1768:
1745:
1722:
1695:
1668:
1642:
1604:
1584:
1546:
1526:
1502:
1483:
1463:
1443:
1423:
1403:
1365:
1335:
1314:
1296:
1274:
1254:
1234:
1212:
1171:
1140:
1117:
1088:
1068:
1048:
1015:
977:
957:
933:
910:
872:
819:
790:
754:
734:
714:
694:
674:
645:
603:
577:
551:
527:
507:
478:
458:
438:
415:
395:
375:
355:
326:
306:
286:
260:
240:
211:
191:
171:
4128:Descriptive Complexity and Finite Models
3909:Finite Model Theory and Its Applications
3775:
4079:André Arnold; Damian Niwiński (2001).
3906:; Yde Venema; Scott Weinstein (2007).
3742:. Like for linear temporal logic, the
3355:are in fact the "classical" ones from
3348:{\displaystyle \langle a\rangle \phi }
2901:{\displaystyle \langle a\rangle \phi }
1511:{\displaystyle \!]_{i}:\phi \to 2^{S}}
662:{\displaystyle \langle a\rangle \phi }
16:Extension of propositional modal logic
1039:(and its dual) are inspired from the
860:{\displaystyle \neg \nu Z.\neg \phi }
107:An algebraic view is to see it as an
7:
96:and its widely used fragments—
3894:Erich Grädel; Phokion G. Kolaitis;
3803:Automata, Languages and Programming
3456:{\displaystyle \nu Z.\phi \wedge Z}
1360:Given a labelled transition system
3678:
2730:
2350:
1877:
1754:
912:
886:
848:
833:
821:
768:
756:
620:
611:
605:
350:is a formula; (pronounced either:
262:
14:
3765:Alternation-free modal μ-calculus
3738:of a modal μ-calculus formula is
2674:{\displaystyle \phi \wedge \psi }
2162:while preserving the mappings of
225:{\displaystyle \phi \wedge \psi }
4100:Lectures on the Modal μ-calculus
3407:("nothing bad ever happens") in
3232:{\displaystyle T\mapsto \!]_{i}}
1105:{\displaystyle \lambda Z.\phi }
1083:, much like in lambda calculus
777:{\displaystyle \neg \neg \phi }
591:{\displaystyle \phi \lor \psi }
566:is the only binding operator.)
119:, with operators consisting of
76:, and was further developed by
3872:Bradfield and Stirling, p. 731
3706:
3700:
3628:The property of a state being
3605:-transitions to a state where
3447:
3441:
3310:
3304:
3270:
3265:
3250:
3246:
3224:
3212:
3205:
3200:
3194:
3190:
3187:
3154:
3149:
3134:
3130:
3019:holds in any state in any set
2781:
2775:
2640:
2634:
2588:
2570:
2536:
2524:
2517:
2512:
2506:
2502:
2472:
2467:
2452:
2448:
2417:
2412:
2406:
2402:
2377:
2365:
2323:
2318:
2303:
2299:
2271:
2266:
2260:
2256:
2244:
2239:
2233:
2229:
2217:
2212:
2200:
2196:
2109:
2097:
2069:
2057:
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1:
4132:American Mathematical Society
3359:. Additionally, the operator
3039:such that, when the variable
1000:and respectively the minimal
4165:10.1016/0304-3975(82)90125-6
4152:Theoretical Computer Science
3881:Bradfield and Stirling, p. 6
3411:'s informal classification.
2968:that leads to a state where
1628:{\displaystyle \!]_{i}=i(Z)}
1570:{\displaystyle \!]_{i}=V(p)}
1323:{\displaystyle V:P\to 2^{S}}
131:of μ-calculus is related to
21:theoretical computer science
4180:Logic, Automata & Games
4112:The Handbook of Modal Logic
3012:{\displaystyle \nu Z.\phi }
2948:-transition leading out of
2837:-transition leading out of
2746:holds in every state where
2681:holds in every state where
2624:holds in the set of states
1165:labelled transition systems
1112:is a function with formula
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807:{\displaystyle \mu Z.\phi }
495:{\displaystyle \nu Z.\phi }
82:labelled transition systems
4217:
3860:Arnold and Niwiński, p. 14
3487:-path". The idea is that "
2739:{\displaystyle \neg \phi }
271:{\displaystyle \neg \phi }
4059:Stirling, Colin. (2001).
3939:. Springer. p. 521.
3912:. Springer. p. 159.
3933:Klaus Schneider (2004).
1330:, maps each proposition
139:, particularly infinite
102:computational tree logic
4081:Rudiments of μ-Calculus
3297:The interpretations of
3282:{\displaystyle \!]_{i}}
3166:{\displaystyle \!]_{i}}
2857:leads to a state where
2594:{\displaystyle (S,R,V)}
1391:{\displaystyle (S,R,V)}
1197:{\displaystyle (S,R,V)}
88:these properties. Many
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4118:. pp. 721–756.
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3760:Finite model theory
3463:is interpreted as "
1249:maps to each label
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905:means substituting
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155:(propositions) and
137:perfect information
113:monotonic functions
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4178:Sophie Pinchinat,
4108:"Modal mu-calculi"
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