2101:
3378:
1786:
3143:
2096:{\displaystyle {\bigg (}({\mathcal {M}},s)\models \Phi _{1}\Leftrightarrow \Phi _{2}{\bigg )}\Leftrightarrow {\bigg (}{\Big (}{\big (}({\mathcal {M}},s)\models \Phi _{1}{\big )}\land {\big (}({\mathcal {M}},s)\models \Phi _{2}{\big )}{\Big )}\lor {\Big (}\neg {\big (}({\mathcal {M}},s)\models \Phi _{1}{\big )}\land \neg {\big (}({\mathcal {M}},s)\models \Phi _{2}{\big )}{\Big )}{\bigg )}}
1780:
1402:
1591:
426:
249:
3137:
3835:
2855:
3373:{\displaystyle {\bigg (}\pi \models \phi _{1}\Leftrightarrow \phi _{2}{\bigg )}\Leftrightarrow {\bigg (}{\Big (}{\big (}\pi \models \phi _{1}{\big )}\land {\big (}\pi \models \phi _{2}{\big )}{\Big )}\lor {\Big (}\neg {\big (}\pi \models \phi _{1}{\big )}\land \neg {\big (}\pi \models \phi _{2}{\big )}{\Big )}{\bigg )}}
2996:
1597:
1219:
1408:
1213:
255:
1019:
3645:
3551:
111:
3002:
2644:
3651:
2714:
2720:
2861:
2309:
2180:
1111:
3457:
1775:{\displaystyle {\Big (}({\mathcal {M}},s)\models \Phi _{1}\Rightarrow \Phi _{2}{\Big )}\Leftrightarrow {\Big (}{\big (}({\mathcal {M}},s)\not \models \Phi _{1}{\big )}\lor {\big (}({\mathcal {M}},s)\models \Phi _{2}{\big )}{\Big )}}
1397:{\displaystyle {\Big (}({\mathcal {M}},s)\models \Phi _{1}\land \Phi _{2}{\Big )}\Leftrightarrow {\Big (}{\big (}({\mathcal {M}},s)\models \Phi _{1}{\big )}\land {\big (}({\mathcal {M}},s)\models \Phi _{2}{\big )}{\Big )}}
1586:{\displaystyle {\Big (}({\mathcal {M}},s)\models \Phi _{1}\lor \Phi _{2}{\Big )}\Leftrightarrow {\Big (}{\big (}({\mathcal {M}},s)\models \Phi _{1}{\big )}\lor {\big (}({\mathcal {M}},s)\models \Phi _{2}{\big )}{\Big )}}
3900:
1117:
421:{\displaystyle \phi ::=\Phi \mid (\neg \phi )\mid (\phi \land \phi )\mid (\phi \lor \phi )\mid (\phi \Rightarrow \phi )\mid (\phi \Leftrightarrow \phi )\mid X\phi \mid F\phi \mid G\phi \mid \mid }
926:
244:{\displaystyle \Phi ::=\bot \mid \top \mid p\mid (\neg \Phi )\mid (\Phi \land \Phi )\mid (\Phi \lor \Phi )\mid (\Phi \Rightarrow \Phi )\mid (\Phi \Leftrightarrow \Phi )\mid A\phi \mid E\phi }
3557:
3463:
3132:{\displaystyle {\Big (}\pi \models \phi _{1}\Rightarrow \phi _{2}{\Big )}\Leftrightarrow {\Big (}{\big (}\pi \not \models \phi _{1}{\big )}\lor {\big (}\pi \models \phi _{2}{\big )}{\Big )}}
2468:
3830:{\displaystyle {\Big (}\pi \models {\Big )}\Leftrightarrow {\Big (}\exists n\geqslant 0:{\big (}\pi \models \phi _{2}\land \forall 0\leqslant k<n:~\pi \models \phi _{1}{\big )}{\Big )}}
2560:
2552:
4033:
30:(LTL). It freely combines path quantifiers and temporal operators. Like CTL, CTL* is a branching-time logic. The formal semantics of CTL* formulae are defined with respect to a given
633:
2850:{\displaystyle {\Big (}\pi \models \phi _{1}\land \phi _{2}{\Big )}\Leftrightarrow {\Big (}{\big (}\pi \models \phi _{1}{\big )}\land {\big (}\pi \models \phi _{2}{\big )}{\Big )}}
2991:{\displaystyle {\Big (}\pi \models \phi _{1}\lor \phi _{2}{\Big )}\Leftrightarrow {\Big (}{\big (}\pi \models \phi _{1}{\big )}\lor {\big (}\pi \models \phi _{2}{\big )}{\Big )}}
2650:
77:
community, while CTL* is of practical importance because it provides an expressive testbed for representing and comparing these and other logics. This is surprising because the
2393:
695:
2236:
2107:
527:
918:
1025:
594:) has to be directly preceded by a quantifier, while in CTL* this is not required. The universal path quantifier may be defined in CTL* in the same way as for classical
3384:
2359:
2230:
735:
2416:
809:
772:
592:
2500:
2332:
2203:
892:
497:
473:
872:
832:
449:
846:. As the names imply, state formulae are interpreted with respect to the states of this structure, while path formulae are interpreted over paths on it.
1208:{\displaystyle {\Big (}({\mathcal {M}},s)\models \neg \Phi {\Big )}\Leftrightarrow {\Big (}({\mathcal {M}},s)\not \models \Phi {\Big )}}
4089:
3963:
4074:
78:
3918:
1014:{\displaystyle {\Big (}({\mathcal {M}},s)\models \top {\Big )}\land {\Big (}({\mathcal {M}},s)\not \models \bot {\Big )}}
3640:{\displaystyle {\Big (}\pi \models G\phi {\Big )}\Leftrightarrow {\Big (}\forall n\geqslant 0:\pi \models \phi {\Big )}}
3546:{\displaystyle {\Big (}\pi \models F\phi {\Big )}\Leftrightarrow {\Big (}\exists n\geqslant 0:\pi \models \phi {\Big )}}
814:
Remark: When taking LTL as subset of CTL*, any LTL formula is implicitly prefixed with the universal path quantifier
2639:{\displaystyle {\Big (}\pi \models \Phi {\Big )}\Leftrightarrow {\Big (}({\mathcal {M}},s_{0})\models \Phi {\Big )}}
2421:
3988:
3877:
2505:
23:
600:
4094:
2709:{\displaystyle {\Big (}\pi \models \neg \phi {\Big )}\Leftrightarrow {\Big (}\pi \not \models \phi {\Big )}}
553:
2304:{\displaystyle {\Big (}({\mathcal {M}},s)\models E\phi {\Big )}\Leftrightarrow {\Big (}\pi \models \phi }
2175:{\displaystyle {\Big (}({\mathcal {M}},s)\models A\phi {\Big )}\Leftrightarrow {\Big (}\pi \models \phi }
27:
4070:
4056:
Ph. Schnoebelen: The
Complexity of Temporal Logic Model Checking. Advances in Modal Logic 2002: 393–436
2372:
647:
506:
102:
1106:{\displaystyle {\Big (}({\mathcal {M}},s)\models p{\Big )}\Leftrightarrow {\Big (}p\in L(s){\Big )}}
897:
3949:
3452:{\displaystyle {\Big (}\pi \models X\phi {\Big )}\Leftrightarrow {\Big (}\pi \models \phi {\Big )}}
534:
98:
43:
73:
CTL and LTL were developed independently before CTL*. Both sublogics have become standards in the
4047:
4013:
4005:
3924:
595:
2337:
2208:
3959:
3914:
702:
2398:
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559:
4039:
3997:
3906:
3867:
2473:
2314:
2185:
843:
530:
31:
877:
482:
458:
94:
4046:: "Sometimes" and "not never" revisited: on branching versus linear time temporal logic.
4043:
3983:
3979:
3945:
3897:
Emerson, E. Allen; Halpern, Joseph Y. (1983). ""Sometimes" and "Not Never" revisited".
3872:
3862:
3846:
3845:
CTL* model checking (of an input formula on a fixed model) is PSPACE-complete and the
857:
817:
546:
452:
434:
74:
67:
59:
4083:
63:
55:
4017:
3928:
51:
4066:
4029:
47:
3953:
3910:
81:
of model checking in CTL* is not worse than that of LTL: they both lie in
3850:
4051:
101:
is generated by the following unambiguous (with respect to bracketing)
4009:
82:
4001:
3901:
ACM SIGPLAN-SIGACT Symposium on
Principles of Programming Languages
529:
as well as implication and equivalence can be defined as just for
3955:
Principles of Model
Checking (Representation and Mind Series)
503:. (The above grammar contains some redundancies; for example
2602:
2252:
2123:
2045:
1993:
1927:
1878:
1802:
1731:
1682:
1613:
1542:
1493:
1424:
1353:
1304:
1235:
1178:
1133:
1041:
984:
942:
537:) from negation and conjunction, and the temporal operators
4032:: The temporal logic of programs. Proceedings of the 18th
4034:
IEEE Annual
Symposium on Foundations of Computer Science
842:
The semantics of CTL* are defined with respect to some
455:. Valid CTL*-formulae are built using the nonterminal
16:
Branching-time logic that is a superset of LTL and CTL
3654:
3560:
3466:
3387:
3146:
3005:
2864:
2723:
2653:
2563:
2508:
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2188:
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1028:
929:
900:
880:
860:
820:
782:
745:
705:
650:
635:, although this is not possible in the CTL fragment.
603:
562:
509:
485:
461:
437:
258:
114:
920:. This relation is defined inductively as follows:
3829:
3639:
3545:
3451:
3372:
3131:
2990:
2849:
2708:
2638:
2546:
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2462:
2410:
2387:
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2303:
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2197:
2174:
2095:
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1585:
1396:
1207:
1105:
1013:
912:
886:
874:of the Kripke structure satisfies a state formula
866:
826:
803:
766:
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689:
627:
586:
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1466:
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1158:
1123:
1098:
1073:
1063:
1031:
1006:
974:
964:
932:
644:CTL* formula that is neither in LTL or in CTL:
4036:(FOCS), 1977, 46–57. DOI= 10.1109/SFCS.1977.32
2463:{\displaystyle \pi =s_{0}\to s_{1}\to \cdots }
3815:
3731:
3351:
3328:
3315:
3292:
3265:
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2022:
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1907:
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1571:
1532:
1522:
1483:
1382:
1343:
1333:
1294:
8:
556:. However, in CTL, every temporal operator (
3986:(June 1999). "Church's problem revisited".
2547:{\displaystyle s_{n}\to s_{n+1}\to \cdots }
2470:is also defined inductively. For this, let
552:The operators basically are the same as in
3821:
3820:
3814:
3813:
3807:
3755:
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