25:
699:
1313:; usage for many such probability distributions are too contextual, and they may not carry significance in a broader perspective. Additionally, many such distributions lack a tractable representation of its distributional aspects, such as the known functional form of the normalizing constant. However, the MHN distribution occurs in diverse areas of research, signifying its relevance to contemporary Bayesian statistical modeling and the associated computation.
1946:
421:
1678:
1252:
694:{\displaystyle {\begin{aligned}F_{_{\text{MHN}}}(x\mid \alpha ,\beta ,\gamma )={}&{\frac {2\beta ^{\alpha /2}}{\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}\\&{}\times \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\gamma ^{i}}{2i!}}\beta ^{-(\alpha +i)/2}\gamma \left({\frac {\alpha +i}{2}},\beta x^{2}\right),\end{aligned}}}
2344:
889:
1504:
408:
2714:
1287:, and square root of the gamma distribution, all of which are special cases of the MHN distribution. Therefore, it is a flexible probability model for analyzing real-valued positive data. The name of the distribution is motivated by the similarities of its density function with that of the half-normal distribution.
1941:{\displaystyle F_{_{\text{MHN}}}(x\mid \alpha ,\beta ,\gamma )={\frac {2\beta ^{\alpha /2}}{\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\gamma ^{i}}{2i!}}\beta ^{-(\alpha +i)/2}\gamma \left({\frac {\alpha +i}{2}},\beta x^{2}\right){\text{ for }}x\geq 0,}
999:
4005:
2197:
1343:
4655:
2590:
752:
2585:
1332:. There exists a recursive relation between the three consecutive moments of the distribution; this is helpful in developing an efficient approximation for the mean of the distribution, as well as constructing a moment-based estimation of its parameters.
1662:
246:
3721:
986:
2477:
3602:
4429:
4558:
3219:
2981:
3141:
3878:
199:
1247:{\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {\Psi \left({\frac {\alpha +2}{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}{\beta \Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}-\left^{2}}
4260:
3066:
3333:
134:
4353:
2035:
426:
3429:
2108:
4134:
2339:{\displaystyle E(X^{k})={\frac {\Psi \left({\frac {\alpha +k}{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}{\beta ^{k/2}\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}.}
2764:
4563:
3635:
884:{\displaystyle E(X)={\frac {\Psi \left({\frac {\alpha +1}{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}{\beta ^{1/2}\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}
2349:
2482:
3371:
3511:
1499:{\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\alpha /2}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}{\text{ for }}x>0}
4202:
4085:
3749:
2844:
403:{\displaystyle f_{_{\text{MHN}}}(x)={\frac {2\beta ^{\alpha /2}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}}
2709:{\displaystyle M_{X}(t)={\frac {\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma +t}{\sqrt {\beta }}}\right)}{\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}.}
1509:
902:
3250:
2166:
4160:
3873:
3455:
2874:
4677:
4455:
4286:
4031:
3847:
3630:
3276:
3009:
2903:
2790:
734:
4057:
3516:
3481:
2816:
4358:
3818:
3769:
2134:
233:
4746:
Trangucci, Rob; Chen, Yang; Zelner, Jon (18 Aug 2022). "Modeling racial/ethnic differences in COVID-19 incidence with covariates subject to non-random missingnes".
3798:
4475:
4306:
2187:
4480:
3146:
2908:
3071:
4680:
147:
4922:
Gao, Fengxin; Wang, Hai-Bin (17 August 2022). "Generating
Modified-Half-Normal Random Variates by a Relaxed Transformed Density Rejection Method".
4703:
Sun, Jingchao; Kong, Maiying; Pal, Subhadip (22 June 2021). "The
Modified-Half-Normal distribution: Properties and an efficient sampling scheme".
3771:
gets larger, the difference between the upper and lower bounds approaches zero. Therefore, this also provides a high precision approximation of
4000:{\displaystyle \log(X_{\text{mode}})\leq E(\log(X))\leq \log \left({\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\alpha \beta }}}{4\beta }}\right).}
46:
4215:
3014:
5111:
4805:
Pal, Subhadip; Gaskins, Jeremy (2 November 2022). "Modified Pólya-Gamma data augmentation for
Bayesian analysis of directional data".
3281:
92:
4311:
68:
1951:
1672:
1668:. The connection between the normalizing constant of the distribution and the Fox–Wright function in provided in Sun, Kong, Pal.
414:
3385:
2064:
4090:
4650:{\displaystyle X^{2}\mid U\sim {\text{Gamma}}\left({\frac {\alpha }{2}},\left(\beta +{\frac {\gamma ^{2}}{U}}\right)\right)}
2726:
1280:
1275:
supported on the positive part of the real line. It can be viewed as a generalization of multiple families, including the
239:
1329:
39:
33:
2580:{\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {\alpha }{2\beta }}+E(X)\left({\frac {\gamma }{2\beta }}-E(X)\right).}
2038:
737:
3338:
50:
3486:
1291:
1276:
1272:
4165:
1665:
5052:
Mehrez, Khaled; Sitnik, Sergei M. (1 November 2019). "Functional inequalities for the Fox–Wright functions".
4062:
3726:
2821:
1657:{\displaystyle \Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)={}_{1}\Psi _{1}\left}
3716:{\displaystyle X_{\text{mode}}\leq E(X)\leq {\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\alpha \beta }}}{4\beta }}}
981:{\displaystyle {\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}{\text{ if }}\alpha >1}
1310:
205:
140:
3226:
2472:{\displaystyle E(X^{k+2})={\frac {\alpha +k}{2\beta }}E(X^{k})+{\frac {\gamma }{2\beta }}E(X^{k+1}).}
2191:
1317:
3597:{\displaystyle X_{\text{mode}}={\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}.}
2139:
4990:
Wright, E. Maitland (1935). "The
Asymptotic Expansion of the Generalized Hypergeometric Function".
4139:
3852:
3434:
2853:
1295:
4660:
4434:
4265:
4010:
3826:
3609:
3255:
2988:
2882:
2769:
704:
5087:
5061:
4972:
4904:
4830:
4747:
4728:
4036:
3460:
2795:
2050:
1284:
1260:
4424:{\displaystyle X^{2}\mid V\sim \operatorname {Gamma} \left({\frac {\alpha +V}{2}},\beta \right)}
5079:
5034:
5003:
4964:
4822:
4784:
4771:
Wang, Hai-Bin; Wang, Jian (23 August 2022). "An exact sampler for fully
Baysian elastic net".
4720:
1299:
895:
3803:
3754:
2113:
212:
5071:
5026:
4995:
4954:
4927:
4894:
4863:
4855:
4814:
4776:
4712:
3774:
1303:
4849:
4460:
4291:
2172:
745:
4553:{\displaystyle U\mid X\sim {\text{GIG}}\left({\frac {1}{2}},1,\gamma ^{2}X^{2}\right)}
5105:
5091:
4976:
4908:
4834:
4732:
5021:
Fox, C. (1928). "The
Asymptotic Expansion of Generalized Hypergeometric Functions".
4959:
4946:
3214:{\displaystyle {\frac {\gamma -{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}.}
2976:{\displaystyle {\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}.}
3136:{\displaystyle {\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}}
1290:
In addition to being used as a probability model, MHN distribution also appears in
4931:
4882:
4818:
4716:
4999:
4883:"Condition Evaluation and Fault Diagnosis of Power Transformer Based on GAN-CNN"
5030:
4899:
4780:
5075:
4758:
1264:
194:{\displaystyle \alpha >0,\beta >0,{\text{ and }}\gamma \in \mathbb {R} }
5083:
5038:
5007:
4968:
4826:
4788:
4724:
1340:
The probability density function of the modified half-normal distribution is
2053:
of distributions, and thus inherits the properties of exponential families.
2876:, then the probability density function of the distribution is log-concave.
4867:
1298:
procedures, including
Bayesian modeling of the directional data, Bayesian
1325:
1321:
992:
1309:
In
Bayesian analysis, new distributions often appear as a conditional
4947:"ПОВІТРЯНИЙ СТОВП НАПІРНОГО ГІДРОЦИКЛОНУ ІЗ ПНЕВМАТИЧНИМ РЕГУЛЯТОРОМ"
5066:
4887:
4752:
4255:{\displaystyle X\sim \operatorname {MHN} (\alpha ,\beta ,\gamma )}
2587:
The moment generating function of the MHN distribution is given as
4859:
3061:{\displaystyle 1-{\frac {\gamma ^{2}}{8\beta }}\leq \alpha <1}
3328:{\displaystyle 0<\alpha <1-{\frac {\gamma ^{2}}{8\beta }}}
129:{\displaystyle {\text{MHN}}\left(\alpha ,\beta ,\gamma \right)}
4348:{\displaystyle V\mid X\sim \operatorname {Poisson} (\gamma X)}
18:
4851:
Bayesian Model
Expansion for Selection Bias in Epidemiology
2030:{\displaystyle \gamma (s,y)=\int _{0}^{y}t^{s-1}e^{-t}\,dt}
4162:
is a sufficient condition for its validity. The fact that
3424:{\displaystyle X\sim {\text{MHN}}(\alpha ,\beta ,\gamma )}
2103:{\displaystyle X\sim {\text{MHN}}(\alpha ,\beta ,\gamma )}
4129:{\displaystyle {\text{Var}}(X)\leq {\frac {1}{2\beta }}}
3378:
Additional properties involving mode and expected values
4800:
4798:
3252:
and mode of the distribution does not exist, if either
1579:
4951:Проблеми водопостачання, водовідведення та гідравліки
4663:
4566:
4483:
4463:
4437:
4361:
4314:
4294:
4268:
4218:
4168:
4142:
4093:
4065:
4039:
4013:
3881:
3855:
3829:
3806:
3777:
3757:
3729:
3638:
3612:
3519:
3513:, and let the mode of the distribution be denoted by
3489:
3463:
3437:
3388:
3341:
3284:
3258:
3229:
3149:
3074:
3017:
2991:
2911:
2885:
2856:
2824:
2798:
2772:
2729:
2593:
2485:
2352:
2200:
2175:
2142:
2116:
2067:
1954:
1681:
1512:
1346:
1328:) of the MHN distribution can be represented via the
1002:
905:
755:
707:
424:
249:
215:
150:
95:
2759:{\displaystyle {\text{MHN}}(\alpha ,\beta ,\gamma )}
4698:
4696:
991:
894:
744:
413:
238:
204:
139:
86:
4671:
4649:
4552:
4469:
4449:
4423:
4347:
4300:
4280:
4254:
4196:
4154:
4128:
4079:
4051:
4025:
3999:
3867:
3841:
3812:
3792:
3763:
3743:
3715:
3624:
3596:
3505:
3475:
3449:
3423:
3365:
3327:
3270:
3244:
3213:
3135:
3060:
3003:
2975:
2905:, then the mode of the distribution is located at
2897:
2868:
2838:
2810:
2784:
2758:
2708:
2579:
2471:
2338:
2181:
2160:
2128:
2102:
2029:
1940:
1656:
1498:
1246:
980:
883:
728:
693:
402:
227:
193:
128:
4807:Journal of Statistical Computation and Simulation
4705:Communications in Statistics - Theory and Methods
3223:The density function is gradually decreasing on
4204:implies the distribution is positively skewed.
5023:Proceedings of the London Mathematical Society
8:
2049:The modified half-normal distribution is an
81:
4992:Journal of the London Mathematical Society
3366:{\displaystyle \gamma <0,\alpha \leq 1}
3068:, then the density has a local maximum at
1271:is a three-parameter family of continuous
80:
5065:
4958:
4898:
4751:
4681:generalized inverse Gaussian distribution
4664:
4662:
4626:
4620:
4596:
4586:
4571:
4565:
4539:
4529:
4506:
4496:
4482:
4462:
4436:
4392:
4366:
4360:
4313:
4293:
4267:
4217:
4173:
4167:
4141:
4111:
4094:
4092:
4073:
4072:
4064:
4038:
4012:
3959:
3953:
3944:
3895:
3880:
3854:
3828:
3805:
3776:
3756:
3737:
3736:
3728:
3682:
3676:
3667:
3643:
3637:
3611:
3548:
3542:
3533:
3524:
3518:
3506:{\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} {}}
3501:
3497:
3496:
3488:
3462:
3436:
3395:
3387:
3340:
3309:
3303:
3283:
3257:
3236:
3232:
3231:
3228:
3165:
3159:
3150:
3148:
3090:
3084:
3075:
3073:
3030:
3024:
3016:
2990:
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2921:
2912:
2910:
2884:
2855:
2832:
2831:
2823:
2797:
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2730:
2728:
2684:
2671:
2640:
2627:
2616:
2598:
2592:
2539:
2504:
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2451:
2426:
2414:
2381:
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2351:
2313:
2300:
2282:
2278:
2255:
2234:
2223:
2211:
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2174:
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2115:
2074:
2066:
2020:
2011:
1995:
1985:
1980:
1953:
1921:
1910:
1882:
1864:
1845:
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1816:
1810:
1799:
1775:
1762:
1742:
1738:
1728:
1690:
1686:
1680:
1637:
1598:
1585:
1578:
1567:
1557:
1555:
1534:
1521:
1511:
1482:
1462:
1449:
1421:
1390:
1376:
1372:
1362:
1345:
1238:
1214:
1201:
1183:
1179:
1156:
1135:
1124:
1096:
1083:
1053:
1032:
1021:
1001:
964:
921:
915:
906:
904:
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848:
830:
826:
803:
782:
771:
754:
706:
673:
645:
627:
608:
585:
579:
573:
562:
553:
526:
513:
493:
489:
479:
475:
437:
433:
425:
423:
379:
366:
360:
337:
306:
292:
288:
278:
258:
254:
248:
214:
187:
186:
175:
149:
96:
94:
69:Learn how and when to remove this message
4197:{\displaystyle X_{\text{mode}}\leq E(X)}
32:This article includes a list of general
4692:
4080:{\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }
3744:{\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }
2839:{\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }
1269:modified half-normal distribution (MHN)
4881:Haoran, Xu; Ziyi, Wang (18 May 2023).
4288:, then there exists a random variable
7:
4457:then there exists a random variable
2479:The variance of the distribution is
2619:
2292:
2226:
1811:
1754:
1564:
1513:
1441:
1193:
1127:
1075:
1024:
840:
774:
574:
505:
357:
38:it lacks sufficient corresponding
14:
4945:Копаниця, Юрій (5 October 2021).
82:Modified half-normal distribution
4848:Trangucci, Robert Neale (2023).
3245:{\displaystyle \mathbb {R} _{+}}
1673:cumulative distribution function
23:
4960:10.32347/2524-0021.2021.36.4-10
4342:
4333:
4249:
4231:
4191:
4185:
4105:
4099:
3928:
3925:
3919:
3910:
3901:
3888:
3787:
3781:
3661:
3655:
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