3221:
38:
2781:
166:
of a specified integer power of the deviation of the random variable from the mean. The various moments form one set of values by which the properties of a probability distribution can be usefully characterized. Central moments are used in preference to ordinary moments, computed in terms of
1175:
2321:
982:
1773:
402:
2528:
1922:
1620:
1418:
1503:
2990:
2883:
2094:
997:
696:
3171:
802:
1326:
584:
2776:{\displaystyle \mu _{j,k}=\operatorname {E} \left)^{j}(Y-\operatorname {E} )^{k}\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu _{X})^{j}(y-\mu _{Y})^{k}f(x,y)\,dx\,dy.}
257:
2403:
1989:
1230:
1266:
1781:
1635:
3164:
167:
deviations from the mean instead of from zero, because the higher-order central moments relate only to the spread and shape of the distribution, rather than also to its
2066:
2019:
1331:
2429:
3323:
2086:
2039:
3286:
3157:
1511:
3129:
3082:
2468:
223:
2316:{\displaystyle \operatorname {E} =\sum _{i=0}^{n}\operatorname {E} \left\sum _{j=0}^{i}{i \choose j}(-1)^{i-j}\operatorname {E} \left,}
2902:
2805:
1170:{\displaystyle \mu '_{m}=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{m}f(x)\,dx=\operatorname {E} =\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}\mu _{j}\mu ^{m-j}.}
121:
1426:
792:
Sometimes it is convenient to convert moments about the origin to moments about the mean. The general equation for converting the
3204:
3291:
55:
2471:
977:{\displaystyle \mu _{n}=\operatorname {E} \left\right)^{n}\right]=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(-1)^{n-j}\mu '_{j}\mu ^{n-j},}
614:
102:
59:
74:
3328:
3198:
2478:
397:{\displaystyle \mu _{n}=\operatorname {E} \left)^{n}\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{n}f(x)\,\mathrm {d} x.}
233:
514:
81:
3280:
1274:
48:
3192:
88:
3181:
2474:
2444:
605:
229:
151:
2329:
1937:
3053:
3020:
3003:
70:
2440:
3112:
Eriksson, Jan; Ollila, Esa; Koivunen, Visa (2009). "Statistics for complex random variables revisited".
2447:
about the mean), all odd central moments equal zero whenever they exist, because in the formula for the
1917:{\displaystyle 5\mu ^{4}\mu '_{1}-\mu ^{5}\mu '_{0}=5\mu ^{4}\mu -\mu ^{5}=5\mu ^{5}-\mu ^{5}=4\mu ^{5}}
1768:{\displaystyle \mu _{5}=\mu '_{5}-5\mu \mu '_{4}+10\mu ^{2}\mu '_{3}-10\mu ^{3}\mu '_{2}+4\mu ^{5}.\,}
1626:
501:
187:
147:
1199:
3048:
3038:
472:
408:
3252:
3135:
1235:
465:
168:
135:
710:
A related functional that shares the translation-invariance and homogeneity properties with the
3210:
3125:
3078:
1413:{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} -\left(\operatorname {E} \right)^{2}}
3117:
95:
2044:
1997:
174:
Sets of central moments can be defined for both univariate and multivariate distributions.
3220:
203:
155:
2455:
less than the mean by a certain amount exactly cancels out the term involving a value of
2408:
3242:
2071:
2024:
745:
440:
219:
163:
3149:
3317:
596:
such that n equals 1, 2, or 3 do we have an additivity property for random variables
17:
3139:
3043:
2021:
are mutually independent random variables sharing the same common distribution and
3098:
1615:{\displaystyle \mu _{4}=\mu '_{4}-4\mu \mu '_{3}+6\mu ^{2}\mu '_{2}-3\mu ^{4}.\,}
3121:
37:
3232:
436:
226:
139:
3114:
2009 IEEE International
Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing
991:
is the mean of the distribution, and the moment about the origin is given by
3302:
714:
th central moment, but continues to have this additivity property even when
3297:
3267:
3262:
3257:
3247:
1193:
1189:
1185:
723:
480:
476:
457:
1184:= 2, 3, 4 — which are of most interest because of the relations to
796:
th-order moment about the origin to the moment about the mean is
2985:{\displaystyle \beta _{n}=\operatorname {E} \left)|^{n}\right].}
2878:{\displaystyle \alpha _{n}=\operatorname {E} \left)^{n}\right],}
191:
159:
3153:
414:
The first few central moments have intuitive interpretations:
31:
1498:{\displaystyle \mu _{3}=\mu '_{3}-3\mu \mu '_{2}+2\mu ^{3}\,}
471:
The third and fourth central moments are used to define the
691:{\displaystyle \mu _{n}(X+Y)=\mu _{n}(X)+\mu _{n}(Y)\,}
2905:
2808:
2531:
2411:
2332:
2097:
2074:
2047:
2027:
2000:
1940:
1784:
1638:
1514:
1429:
1334:
1277:
1238:
1202:
1000:
805:
617:
517:
260:
1926:
The following sum is a stochastic variable having a
407:
For random variables that have no mean, such as the
1196:, respectively — this formula becomes (noting that
62:. Unsourced material may be challenged and removed.
2984:
2877:
2775:
2423:
2397:
2315:
2080:
2060:
2033:
2013:
1983:
1916:
1767:
1614:
1497:
1412:
1320:
1260:
1224:
1169:
976:
690:
578:
396:
2217:
2204:
2170:
2157:
1132:
1119:
911:
898:
2795:th central moment for a complex random variable
579:{\displaystyle \mu _{n}(cX)=c^{n}\mu _{n}(X).\,}
776:moments (about zero), and is also a (simpler)
3165:
3073:Grimmett, Geoffrey; Stirzaker, David (2009).
2041:a random integer variable independent of the
1321:{\displaystyle \mu _{2}=\mu '_{2}-\mu ^{2}\,}
8:
3077:. Oxford, England: Oxford University Press.
3172:
3158:
3150:
2787:Central moment of complex random variables
2459:greater than the mean by the same amount.
2451:th moment, each term involving a value of
2068:with its own distribution. The moments of
27:Moment of a random variable minus its mean
2968:
2963:
2930:
2910:
2904:
2861:
2813:
2807:
2763:
2756:
2732:
2722:
2703:
2693:
2671:
2663:
2650:
2642:
2624:
2590:
2536:
2530:
2410:
2385:
2374:
2364:
2353:
2331:
2300:
2289:
2279:
2268:
2236:
2216:
2203:
2201:
2195:
2184:
2169:
2156:
2154:
2138:
2127:
2111:
2096:
2073:
2052:
2046:
2026:
2005:
1999:
1972:
1962:
1951:
1939:
1908:
1892:
1879:
1863:
1847:
1828:
1818:
1802:
1792:
1783:
1764:
1755:
1736:
1726:
1707:
1697:
1678:
1656:
1643:
1637:
1611:
1602:
1583:
1573:
1554:
1532:
1519:
1513:
1494:
1488:
1469:
1447:
1434:
1428:
1404:
1366:
1333:
1317:
1311:
1295:
1282:
1276:
1243:
1237:
1213:
1201:
1152:
1142:
1131:
1118:
1116:
1110:
1099:
1083:
1060:
1042:
1029:
1021:
1005:
999:
959:
946:
930:
910:
897:
895:
889:
878:
861:
810:
804:
687:
672:
650:
622:
616:
575:
557:
547:
522:
516:
383:
382:
364:
339:
331:
313:
265:
259:
122:Learn how and when to remove this message
772:th-degree monic polynomial in the first
435:is 0 (not to be confused with the first
3065:
2398:{\displaystyle \operatorname {E} \left}
1984:{\displaystyle W=\sum _{i=1}^{M}Y_{i},}
3012:whereas the 2nd-order central moment
7:
3324:Statistical deviation and dispersion
788:Relation to moments about the origin
60:adding citations to reliable sources
411:, central moments are not defined.
3049:Normal distribution § Moments
2944:
2919:
2842:
2822:
2675:
2667:
2654:
2646:
2605:
2571:
2551:
2333:
2248:
2208:
2161:
2144:
2098:
1384:
1353:
1123:
1070:
1033:
1025:
902:
841:
819:
780:th-degree polynomial in the first
384:
343:
335:
294:
274:
25:
1328:which is commonly referred to as
3219:
3205:cumulative distribution function
3075:Probability and Random Processes
36:
3292:probability-generating function
47:needs additional citations for
2964:
2959:
2956:
2950:
2935:
2931:
2858:
2854:
2848:
2833:
2753:
2741:
2729:
2709:
2700:
2680:
2621:
2617:
2611:
2596:
2587:
2583:
2577:
2562:
2233:
2223:
2117:
2104:
1396:
1390:
1372:
1359:
1347:
1341:
1225:{\displaystyle \mu =\mu '_{1}}
1089:
1076:
1057:
1051:
927:
917:
853:
847:
684:
678:
662:
656:
640:
628:
569:
563:
537:
528:
379:
373:
361:
348:
310:
306:
300:
285:
1:
2995:The 2nd-order central moment
218: := E)], where E is the
3199:probability density function
2479:probability density function
418:The "zeroth" central moment
234:probability density function
158:about the random variable's
3122:10.1109/ICASSP.2009.4960396
2441:symmetric about their means
1261:{\displaystyle \mu '_{0}=1}
752: = either 2 or 3, the
3345:
3281:moment-generating function
2439:In distributions that are
449:The second central moment
3276:
3228:
3217:
3193:probability mass function
3188:
3182:probability distributions
1625:... and so on, following
475:which are used to define
464:, where σ represents the
460:, and is usually denoted
428:The first central moment
247:th moment about the mean
2500:) moment about the mean
2475:probability distribution
756:th cumulant is just the
744:th cumulant is just the
230:probability distribution
152:probability distribution
3287:characteristic function
3054:Complex random variable
2435:Symmetric distributions
2405:is defined as zero for
760:th central moment; for
3116:. pp. 3565–3568.
2986:
2879:
2777:
2425:
2399:
2369:
2317:
2284:
2200:
2143:
2082:
2062:
2035:
2015:
1985:
1967:
1918:
1769:
1616:
1499:
1414:
1322:
1262:
1226:
1171:
1115:
978:
894:
718: ≥ 4 is the
692:
580:
398:
2987:
2892:th central moment of
2880:
2778:
2443:(unaffected by being
2426:
2400:
2349:
2318:
2264:
2180:
2123:
2083:
2063:
2061:{\displaystyle Y_{k}}
2036:
2016:
2014:{\displaystyle Y_{i}}
1986:
1947:
1929:compound distribution
1919:
1770:
1617:
1500:
1415:
1323:
1263:
1227:
1172:
1095:
979:
874:
693:
581:
500:th central moment is
399:
162:; that is, it is the
18:Moment about the mean
3329:Moment (mathematics)
2903:
2806:
2529:
2463:Multivariate moments
2409:
2330:
2095:
2072:
2045:
2025:
1998:
1938:
1782:
1636:
1512:
1427:
1332:
1275:
1236:
1200:
998:
803:
764: ≥ 4, the
740: = 1, the
615:
515:
473:standardized moments
258:
220:expectation operator
56:improve this article
3039:Standardized moment
2679:
2658:
2424:{\displaystyle j=0}
1836:
1810:
1744:
1715:
1686:
1664:
1591:
1562:
1540:
1477:
1455:
1303:
1251:
1221:
1037:
1013:
954:
409:Cauchy distribution
347:
202:) of a real-valued
3253:standard deviation
2982:
2875:
2773:
2659:
2638:
2421:
2395:
2313:
2078:
2058:
2031:
2011:
1981:
1914:
1824:
1798:
1765:
1732:
1703:
1674:
1652:
1612:
1579:
1550:
1528:
1495:
1465:
1443:
1410:
1318:
1291:
1258:
1239:
1222:
1209:
1167:
1017:
1001:
974:
942:
768:th cumulant is an
688:
576:
466:standard deviation
394:
327:
178:Univariate moments
136:probability theory
3311:
3310:
3211:quantile function
3131:978-1-4244-2353-8
3084:978-0-19-857222-0
2215:
2168:
2088:are obtained as
2081:{\displaystyle W}
2034:{\displaystyle M}
1627:Pascal's triangle
1130:
909:
784:central moments.
132:
131:
124:
106:
16:(Redirected from
3336:
3223:
3174:
3167:
3160:
3151:
3144:
3143:
3109:
3103:
3102:
3099:"Central Moment"
3095:
3089:
3088:
3070:
2991:
2989:
2988:
2983:
2978:
2974:
2973:
2972:
2967:
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2915:
2914:
2884:
2882:
2881:
2876:
2871:
2867:
2866:
2865:
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2817:
2782:
2780:
2779:
2774:
2737:
2736:
2727:
2726:
2708:
2707:
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2697:
2678:
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2657:
2649:
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2628:
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2594:
2547:
2546:
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2428:
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2401:
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2394:
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2389:
2384:
2380:
2379:
2378:
2368:
2363:
2322:
2320:
2319:
2314:
2309:
2305:
2304:
2299:
2295:
2294:
2293:
2283:
2278:
2247:
2246:
2222:
2221:
2220:
2207:
2199:
2194:
2179:
2175:
2174:
2173:
2160:
2142:
2137:
2116:
2115:
2087:
2085:
2084:
2079:
2067:
2065:
2064:
2059:
2057:
2056:
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