2210:
1620:
2205:{\displaystyle {\begin{aligned}1&=|AB|\\&=2\cdot |MB|\\&=2\cdot |BF|\cdot \cos(\gamma )\\&=2^{2}|BL|\cos(\gamma )\\&=2^{2}\cdot |BD|\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\\&=2^{3}\cdot |BJ|\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\\&=2^{3}\cdot |BC|\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\alpha )\\&=2^{3}\cdot 1\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\alpha )\\&=8\cdot \cos(80^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ })\cdot \cos(20^{\circ })\end{aligned}}}
1148:
779:
3070:
2730:
854:
2741:
2425:
1143:{\displaystyle {\begin{aligned}40^{\circ }&={\frac {360^{\circ }}{9}}\\70^{\circ }&={\frac {180^{\circ }-40^{\circ }}{2}}\\\alpha &=180^{\circ }-90^{\circ }-70^{\circ }=20^{\circ }\\\beta &=180^{\circ }-90^{\circ }-(70^{\circ }-\alpha )=40^{\circ }\\\gamma &=140^{\circ }-\beta -\alpha =80^{\circ }\end{aligned}}}
3065:{\displaystyle \cos(\alpha )\cos(2\alpha )\cos(4\alpha )\cdots \cos \left(2^{n-1}\alpha \right)={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\cdots {\frac {\sin \left(2^{n}\alpha \right)}{2\sin \left(2^{n-1}\alpha \right)}}.}
2725:{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2\alpha )&={\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\\\cos(4\alpha )&={\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\\&\,\,\,\vdots \\\cos \left(2^{n-1}\alpha \right)&={\frac {\sin \left(2^{n}\alpha \right)}{2\sin \left(2^{n-1}\alpha \right)}}.\end{aligned}}}
3221:
440:
763:
284:
630:
141:
2430:
2414:
30:, who used to refer to the identity under that name. Feynman picked that name because he learned it during his childhood from a boy with the name Morrie Jacobs and afterwards remembered it for all of his life.
2295:
3085:
299:
1625:
859:
1518:
1422:
1470:
512:
641:
156:
3275:
528:
2330:
1612:
1583:
1554:
1374:
1198:
824:
41:
1347:
1304:
1261:
1324:
1281:
1238:
1218:
844:
3075:
The intermediate numerators and denominators cancel leaving only the first denominator, a power of 2 and the final numerator. Note that there are
2337:
3348:
3401:
3280:
2226:
3216:{\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\cos \left(2^{k}\alpha \right)={\frac {\sin \left(2^{n}\alpha \right)}{2^{n}\sin(\alpha )}},}
435:{\displaystyle {\frac {\sin(160^{\circ })}{\sin(20^{\circ })}}={\frac {\sin(180^{\circ }-20^{\circ })}{\sin(20^{\circ })}}=1,}
1475:
1379:
1427:
451:
758:{\displaystyle \tan(20^{\circ })\cdot \tan(40^{\circ })\cdot \tan(80^{\circ })={\sqrt {3}}=\tan(60^{\circ }).}
1521:
279:{\displaystyle 2^{n}\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{\sin(\alpha )}}}
23:
3406:
3235:
625:{\displaystyle \sin(20^{\circ })\cdot \sin(40^{\circ })\cdot \sin(80^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{8}}.}
3241:
1525:
3324:
2303:
1588:
1559:
1530:
1352:
1159:
785:
136:{\displaystyle \cos(20^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ })\cdot \cos(80^{\circ })={\frac {1}{8}}.}
3374:
3344:
778:
3299:
27:
3319:
Samuel G. Moreno, Esther M. García-Caballero: "'A Geometric Proof of Morrie's Law". In:
1329:
1286:
1243:
635:
Moreover, dividing the second identity by the first, the following identity is evident:
1309:
1266:
1223:
1203:
829:
3395:
847:
147:
3377:
3382:
3307:
2409:{\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}.}
1154:
3304:
A Generalization of a
Curiosity that Feynman Remembered All His Life
777:
3226:
which is equivalent to the generalization of Morrie's law.
2290:{\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha ).}
16:
For angles in degrees, cos(20)*cos(40)*cos(80) equals 1/8
2735:
Multiplying all of these expressions together yields:
2220:
Recall the double angle formula for the sine function
3244:
3088:
2744:
2428:
2340:
2306:
2229:
1623:
1591:
1562:
1533:
1478:
1430:
1382:
1355:
1332:
1312:
1289:
1269:
1246:
1226:
1206:
1162:
857:
832:
788:
644:
531:
522:
A similar identity for the sine function also holds:
454:
302:
159:
44:
3269:
3215:
3064:
2724:
2408:
2324:
2289:
2204:
1606:
1577:
1548:
1512:
1464:
1416:
1368:
1341:
1318:
1298:
1275:
1255:
1232:
1212:
1192:
1142:
838:
818:
757:
624:
506:
434:
278:
135:
1513:{\displaystyle \alpha =\angle CBD=20^{\circ }}
1417:{\displaystyle \gamma =\angle FBM=80^{\circ }}
3079:terms in both sides of the expression. Thus,
1465:{\displaystyle \beta =\angle DBF=40^{\circ }}
507:{\displaystyle \sin(180^{\circ }-x)=\sin(x).}
8:
3323:, vol. 122, no. 2 (February 2015), p. 168 (
2216:Algebraic proof of the generalised identity
3356:Morrie's Law and Experimental Mathematics
3255:
3243:
3186:
3166:
3148:
3131:
3104:
3093:
3087:
3036:
3002:
2984:
2934:
2884:
2837:
2814:
2743:
2692:
2658:
2640:
2613:
2590:
2589:
2588:
2534:
2458:
2429:
2427:
2359:
2339:
2305:
2228:
2189:
2164:
2139:
2044:
1971:
1960:
1951:
1896:
1885:
1876:
1821:
1810:
1801:
1767:
1756:
1750:
1713:
1702:
1681:
1670:
1649:
1638:
1624:
1622:
1590:
1561:
1532:
1504:
1477:
1456:
1429:
1408:
1381:
1360:
1354:
1331:
1311:
1288:
1268:
1245:
1225:
1205:
1161:
1130:
1105:
1081:
1059:
1043:
1030:
1006:
993:
980:
967:
937:
924:
917:
904:
885:
879:
866:
858:
856:
831:
787:
743:
720:
708:
683:
658:
643:
607:
595:
570:
545:
530:
468:
453:
411:
387:
374:
358:
343:
319:
303:
301:
244:
228:
213:
188:
177:
164:
158:
120:
108:
83:
58:
43:
1614:then yields the proof for Morrie's law:
1349:. The inner angles of the nonagon equal
3341:Trigonometry: A Very Short Introduction
3291:
7:
3360:Journal of recreational mathematics
293:= 3 and α = 20° and the fact that
26:. Its name is due to the physicist
1592:
1563:
1534:
1485:
1437:
1389:
14:
3343:. Oxford University Press, 2020,
3281:List of trigonometric identities
3306:, Math. Mag. 69, 43–44, 1996. (
3270:{\displaystyle \alpha =2^{-n}x}
774:Geometric proof of Morrie's law
3298:W. A. Beyer, J. D. Louck, and
3204:
3198:
2975:
2966:
2952:
2943:
2925:
2916:
2902:
2893:
2875:
2869:
2855:
2846:
2793:
2784:
2775:
2766:
2757:
2751:
2575:
2566:
2552:
2543:
2524:
2515:
2499:
2490:
2476:
2467:
2448:
2439:
2397:
2391:
2377:
2368:
2353:
2347:
2319:
2313:
2281:
2275:
2266:
2260:
2245:
2236:
2195:
2182:
2170:
2157:
2145:
2132:
2107:
2101:
2089:
2083:
2071:
2065:
2027:
2021:
2009:
2003:
1991:
1985:
1972:
1961:
1934:
1928:
1916:
1910:
1897:
1886:
1859:
1853:
1841:
1835:
1822:
1811:
1784:
1778:
1768:
1757:
1733:
1727:
1714:
1703:
1682:
1671:
1650:
1639:
1071:
1052:
749:
736:
714:
701:
689:
676:
664:
651:
601:
588:
576:
563:
551:
538:
498:
492:
480:
461:
417:
404:
393:
367:
349:
336:
325:
312:
270:
264:
253:
237:
222:
206:
114:
101:
89:
76:
64:
51:
1:
3321:American Mathematical Monthly
2325:{\displaystyle \cos(\alpha )}
1607:{\displaystyle \triangle BCJ}
1578:{\displaystyle \triangle BDL}
1549:{\displaystyle \triangle BFM}
150:of the more general identity
1520:(see graphic). Applying the
1369:{\displaystyle 140^{\circ }}
34:Identity and generalisation
3423:
850:. Computing of the angles:
1193:{\displaystyle ABCDEFGHI}
819:{\displaystyle ABCDEFGHI}
846:being the center of its
3402:Mathematical identities
3238:, same identity taking
3271:
3217:
3115:
3066:
2726:
2410:
2326:
2291:
2206:
1608:
1579:
1550:
1514:
1466:
1418:
1370:
1343:
1320:
1300:
1277:
1257:
1234:
1214:
1194:
1150:
1144:
840:
820:
759:
626:
508:
436:
280:
199:
137:
24:trigonometric identity
3272:
3218:
3089:
3067:
2727:
2411:
2327:
2292:
2207:
1609:
1580:
1551:
1526:right angle triangles
1515:
1467:
1419:
1371:
1344:
1321:
1301:
1278:
1258:
1235:
1215:
1195:
1145:
841:
821:
781:
760:
627:
509:
437:
281:
173:
138:
3354:Ernest C. Anderson:
3339:Glen Van Brummelen:
3242:
3086:
2742:
2426:
2338:
2304:
2227:
1621:
1589:
1560:
1531:
1476:
1428:
1380:
1353:
1330:
1310:
1287:
1267:
1244:
1224:
1204:
1160:
855:
830:
786:
642:
529:
452:
300:
157:
42:
1240:be the midpoint of
1153:Consider a regular
773:
3375:Weisstein, Eric W.
3267:
3213:
3062:
2722:
2720:
2406:
2322:
2287:
2202:
2200:
1604:
1575:
1546:
1522:cosinus definition
1510:
1462:
1414:
1366:
1342:{\displaystyle BD}
1339:
1316:
1299:{\displaystyle BF}
1296:
1273:
1256:{\displaystyle AB}
1253:
1230:
1210:
1190:
1151:
1140:
1138:
836:
816:
755:
622:
518:Similar identities
504:
432:
276:
133:
3208:
3057:
2979:
2929:
2879:
2713:
2579:
2503:
2419:It follows that:
2401:
1319:{\displaystyle J}
1276:{\displaystyle L}
1233:{\displaystyle M}
1213:{\displaystyle 1}
1200:with side length
947:
894:
839:{\displaystyle O}
725:
617:
613:
421:
353:
274:
128:
3414:
3388:
3387:
3328:
3317:
3311:
3296:
3276:
3274:
3273:
3268:
3263:
3262:
3222:
3220:
3219:
3214:
3209:
3207:
3191:
3190:
3180:
3179:
3175:
3171:
3170:
3149:
3144:
3140:
3136:
3135:
3114:
3103:
3071:
3069:
3068:
3063:
3058:
3056:
3055:
3051:
3047:
3046:
3016:
3015:
3011:
3007:
3006:
2985:
2980:
2978:
2955:
2935:
2930:
2928:
2905:
2885:
2880:
2878:
2858:
2838:
2833:
2829:
2825:
2824:
2731:
2729:
2728:
2723:
2721:
2714:
2712:
2711:
2707:
2703:
2702:
2672:
2671:
2667:
2663:
2662:
2641:
2632:
2628:
2624:
2623:
2584:
2580:
2578:
2555:
2535:
2504:
2502:
2479:
2459:
2415:
2413:
2412:
2407:
2402:
2400:
2380:
2360:
2331:
2329:
2328:
2323:
2296:
2294:
2293:
2288:
2211:
2209:
2208:
2203:
2201:
2194:
2193:
2169:
2168:
2144:
2143:
2113:
2049:
2048:
2033:
1975:
1964:
1956:
1955:
1940:
1900:
1889:
1881:
1880:
1865:
1825:
1814:
1806:
1805:
1790:
1771:
1760:
1755:
1754:
1739:
1717:
1706:
1689:
1685:
1674:
1657:
1653:
1642:
1613:
1611:
1610:
1605:
1584:
1582:
1581:
1576:
1555:
1553:
1552:
1547:
1519:
1517:
1516:
1511:
1509:
1508:
1471:
1469:
1468:
1463:
1461:
1460:
1423:
1421:
1420:
1415:
1413:
1412:
1376:and furthermore
1375:
1373:
1372:
1367:
1365:
1364:
1348:
1346:
1345:
1340:
1326:the midpoint of
1325:
1323:
1322:
1317:
1305:
1303:
1302:
1297:
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1280:
1279:
1274:
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