2450:
2471:
2464:
2457:
1028:
727:
281:
480:
2575:. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications.
735:
1404:
488:
37:
289:
1923:
1740:
1628:
1516:
1982:
2129:
2031:
2080:
1023:{\displaystyle \theta _{s}(z,m)={\frac {{\sqrt {2\pi }}\,q(m)^{1/4}}{m^{1/4}(1-m)^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(q(m))^{k(k+1)}\sin \left({\frac {(2k+1)\pi z}{2K(m)}}\right)}
2435:
2358:
2284:
2210:
1811:
1173:
722:{\displaystyle \theta _{n}(z,m)={\frac {\sqrt {2\pi }}{2(1-m)^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}(q(m))^{k^{2}}\cos \left({\frac {\pi zk}{K(m)}}\right)\right)}
276:{\displaystyle \theta _{c}(z,m)={\frac {{\sqrt {2\pi }}\,q(m)^{1/4}}{m^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\sum _{k=0}^{\infty }(q(m))^{k(k+1)}\cos \left({\frac {(2k+1)\pi z}{2K(m)}}\right)}
1094:
1247:
1263:
475:{\displaystyle \theta _{d}(z,m)={\frac {\sqrt {2\pi }}{2{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\left(1+2\,\sum _{k=1}^{\infty }(q(m))^{k^{2}}\cos \left({\frac {\pi zk}{K(m)}}\right)\right)}
1826:
1634:
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2656:
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2570:
2449:
1399:{\displaystyle \theta _{s}(z|\tau )=\theta _{3}^{2}(0|\tau )\theta _{1}(z'|\tau )/\theta '_{1}(0|\tau )}
1213:
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2594:
2618:
1918:{\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{p}(u,m)}{\theta _{q}(u,m)}}.}
2650:
1257:
The
Neville theta functions may be expressed in terms of the Jacobi theta functions
2566:
2572:
Handbook of
Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
1735:{\displaystyle \theta _{d}(z|\tau )=\theta _{3}(z'|\tau )/\theta _{3}(0|\tau )}
1623:{\displaystyle \theta _{n}(z|\tau )=\theta _{4}(z'|\tau )/\theta _{4}(0|\tau )}
1511:{\displaystyle \theta _{c}(z|\tau )=\theta _{2}(z'|\tau )/\theta _{2}(0|\tau )}
1820:. If pq(u,m) is a Jacobi elliptic function (p and q are one of s,c,n,d), then
2637:
2606:
1977:{\displaystyle \theta _{c}(2.5,0.3)\approx -0.65900466676738154967}
2124:{\displaystyle \theta _{s}(2.5,0.3)\approx 0.82086879524530400536}
2026:{\displaystyle \theta _{d}(2.5,0.3)\approx 0.95182196661267561994}
2538:"NIST Digital Library of Mathematical Functions (Release 1.0.17)"
2075:{\displaystyle \theta _{n}(2.5,0.3)\approx 1.0526693354651613637}
2590:
1198:(e.g. NIST). The functions may also be written in terms of the
2537:
2367:
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2353:{\displaystyle \theta _{n}(z,m)=\theta _{n}(-z,m)}
2352:
2279:{\displaystyle \theta _{d}(z,m)=\theta _{d}(-z,m)}
2278:
2205:{\displaystyle \theta _{c}(z,m)=\theta _{c}(-z,m)}
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1022:
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474:
275:
2536:Olver, F. W. J.; et al., eds. (2017-12-22).
2540:. National Institute of Standards and Technology
1816:The Neville theta functions are related to the
1806:{\displaystyle z'=z/\theta _{3}^{2}(0|\tau )}
8:
1186:are sometimes defined in terms of the nome
2403:
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2531:
2529:
1168:{\displaystyle q(m)=e^{-\pi K'(m)/K(m)}}
2485:
7:
2492:Abramowitz and Stegun, pp. 578-579
895:
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387:
167:
14:
2469:
2462:
2455:
2448:
1242:{\displaystyle q=e^{i\pi \tau }}
2522:The Mathematical Functions Site
2511:The Mathematical Functions Site
1253:Relationship to other functions
18:Theta function (disambiguation)
2424:
2409:
2390:
2378:
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51:
1:
2615:Neville, E. H. (Eric Harold)
1089:{\displaystyle K'(m)=K(1-m)}
2620:Jacobian Elliptic Functions
16:For other θ functions, see
2688:
31:, are defined as follows:
15:
2633:"Neville Theta Functions"
2623:. Oxford Clarendon Press.
1818:Jacobi elliptic functions
1178:Note that the functions
25:Neville theta functions
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23:In mathematics, the
1785:
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1041:of the first kind,
29:Eric Harold Neville
2672:Analytic functions
2667:Elliptic functions
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2662:Theta functions
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