4139:
600:
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473:
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1, â, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 0, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 4, 4, 3, 0, 4, 1, 4, 3, 3, 4, 3, 0, 5, 2, 2, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 2, 4, 2, 6, 5, 5, 0, 3, 0, 6, 2, 4, 2, 5, 0, 7, 4, 3, 1, 8, 4, 6, 1, 3, 1, 5, 2, 7, 3, ... (sequence
684:
1, â, 4, 9, 8, 25, 10, 49, 16, 27, 0, 121, 22, 169, 26, 55, 32, 289, 34, 361, 38, 85, 30, 529, 46, 133, 0, 187, 52, 841, 58, 961, 64, 253, 0, 323, 68, 1369, 74, 391, 76, 1681, 82, 1849, 86, 493, 70, 2209, 94, 589, 0, ... (sequence
642:
1, 2, 4, 9, 6, 25, 10, 15, 12, 21, 0, 35, 18, 33, 26, 39, 24, 65, 34, 51, 38, 45, 30, 95, 36, 69, 0, 63, 52, 161, 42, 87, 48, 93, 0, 75, 54, 217, 74, 99, 76, 185, 82, 123, 60, 117, 66, 215, 72, 141, 0, ... (sequence
294:
263:
It is expected that every even number larger than 6 is a sum of two distinct primes, so probably no odd number larger than 5 is a noncototient. The remaining odd numbers are covered by the observations
299:
130:
755:(1882â1969) asked whether there exist infinitely many noncototients. This was finally answered in the affirmative by Browkin and Schinzel (1995), who showed every member of the infinite family
125:
2241:
786:
578:, 232, 244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490, ... (sequence
741:
692:
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585:
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3051:
3031:
2121:
3744:
3324:
3046:
104:
It is conjectured that all noncototients are even. This follows from a modified form of the slightly stronger version of the
3830:
3146:
3496:
2815:
2608:
2154:
3531:
3501:
3176:
3166:
468:{\displaystyle {\begin{aligned}2pq-\varphi (2pq)&=2pq-(p-1)(q-1)\\&=pq+p+q-1\\&=(p+1)(q+1)-2\end{aligned}}}
3672:
3086:
2820:
2800:
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2139:
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2676:
2666:
3506:
3749:
3294:
2915:
2701:
2696:
2691:
2681:
2658:
792:). Since then other infinite families, of roughly the same form, have been given by Flammenkamp and Luca (2000).
2734:
2991:
3860:
3825:
3611:
3521:
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2451:
2378:
254:{\displaystyle {\begin{aligned}pq-\varphi (pq)&=pq-(p-1)(q-1)\\&=p+q-1\\&=n-1.\end{aligned}}}
3375:
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2020:
2002:
1985:
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39:
34:
that cannot be expressed as the difference between a positive integer
1963:
363, 695, 959, 1703, 2159, 3503, 3959, 4223, 4343, 4559, 5063, 5183
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1727:
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736:
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1915:
917, 1397, 3161, 3317, 3737, 3977, 4661, 4757, 18769
1631:
485, 1157, 1577, 1817, 2117, 2201, 2501, 2537, 10201
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297:
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2782:
2715:
2657:
2648:
112:can be represented as a sum of two distinct primes
1853:273, 369, 381, 1921, 2461, 2929, 3649, 3901, 4189
1489:395, 803, 923, 1139, 1403, 1643, 1739, 1763, 6889
780:
467:
253:
1931:411, 1651, 3379, 3811, 4171, 4819, 4891, 19321
2235:
2115:
8:
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1616:195, 279, 291, 979, 1411, 2059, 2419, 2491
1441:245, 365, 497, 737, 1037, 1121, 1457, 1517
4103:
4067:
4031:
3995:
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3594:
3580:
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2942:
2900:
2788:
2654:
2645:
2632:
2579:
2536:Possessing a specific set of other numbers
2531:
2465:
2417:
2355:
2259:
2242:
2228:
2220:
2122:
2108:
2100:
794:
16:Positive integers with specific properties
2036:
2001:
766:
760:
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296:
129:
127:
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1584:623, 1079, 1343, 1679, 1943, 2183, 2279
1329:135, 147, 171, 183, 295, 583, 799, 943
101:is a number that is never a cototient.
2095:Noncototient definition from MathWorld
1758:297, 333, 565, 1177, 1717, 2581, 3337
1743:339, 475, 763, 1339, 1843, 2923, 3139
1393:335, 671, 767, 1007, 1247, 1271, 5041
795:
1663:225, 309, 425, 505, 1513, 1909, 2773
1425:207, 219, 275, 355, 1003, 1219, 1363
7:
2021:"Infinite families of noncototients"
1986:"On integers not of the form n-Ï(n)"
1297:371, 611, 731, 779, 851, 899, 3481
2059:Unsolved problems in number theory
2019:Flammenkamp, A.; Luca, F. (2000).
1984:Browkin, J.; Schinzel, A. (1995).
1647:303, 679, 2263, 2479, 2623, 10609
291:For even numbers, it can be shown
14:
781:{\displaystyle 2^{k}\cdot 509203}
4137:
3745:Perfect digit-to-digit invariant
1884:393, 637, 889, 3193, 3589, 4453
507:The first few noncototients are
1473:189, 237, 243, 781, 1357, 1537
1505:165, 249, 325, 553, 949, 1273
1345:305, 413, 689, 893, 989, 1073
1250:329, 473, 533, 629, 713, 2809
1204:215, 287, 407, 527, 551, 2209
452:
440:
437:
425:
378:
366:
363:
351:
329:
317:
200:
188:
185:
173:
154:
145:
1:
2584:Expressible via specific sums
1837:255, 2071, 3007, 4087, 16129
1805:1243, 1819, 2323, 3403, 3763
42:integers below it. That is,
3673:Multiplicative digital root
2175:(reduced totient function)
1457:511, 871, 1159, 1591, 6241
661:such that the cototient of
619:such that the cototient of
68:, has no solution for
4180:
1568:261, 445, 913, 1633, 2173
1409:213, 469, 793, 1333, 5329
1377:201, 649, 901, 1081, 1189
4133:
4116:
4102:
4080:
4066:
4044:
4030:
4008:
3994:
3967:
3954:
3750:Perfect digital invariant
3593:
3579:
3487:
3468:
3325:Superior highly composite
3211:
3194:
3122:
3109:
3077:
3064:
2952:
2941:
2644:
2631:
2589:
2578:
2541:
2530:
2478:
2464:
2427:
2416:
2369:
2354:
2272:
2258:
2155:Jordan's totient function
2135:
1156:185, 341, 377, 437, 1681
3363:Euler's totient function
3147:EulerâJacobi pseudoprime
2422:Other polynomial numbers
2140:Euler's totient function
1845:192, 224, 248, 254, 256
1592:144, 160, 176, 184, 188
1282:105, 153, 265, 517, 697
1220:141, 301, 343, 481, 589
66:Euler's totient function
3177:SomerâLucas pseudoprime
3167:LucasâCarmichael number
3002:Lazy caterer's sequence
2209:Sparsely totient number
2204:Highly cototient number
1790:1331, 1417, 1957, 3397
1600:1501, 2077, 2257, 9409
1108:75, 155, 203, 299, 323
504:primes are cototients.
477:Thus, all even numbers
3052:WedderburnâEtherington
2452:Lucky numbers of Euler
1552:267, 1027, 1387, 1891
1520:415, 1207, 1711, 1927
782:
574:, 186, 202, 206, 218,
469:
255:
3340:Prime omega functions
3157:Frobenius pseudoprime
2947:Combinatorial numbers
2816:Centered dodecahedral
2609:Primary pseudoperfect
2199:Highly totient number
2038:10.4064/cm-86-1-37-41
2003:10.4064/cm-68-1-55-58
783:
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256:
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