1731:
1335:
1726:{\displaystyle {\begin{aligned}T_{p}X&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}|_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}|_{p}{\Big \rbrace }\\T_{p}Y&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}|_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}|_{p}{\Big \rbrace }\\{T_{X/Y}}_{p}&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{k+1}}}|_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}|_{p}{\Big \rbrace }\\\end{aligned}}}
2446:
3296:
2124:
3059:
1891:
866:
585:
1028:
3096:
denotes the embedding. Notice that the constant rank condition ensures that these normal spaces fit together to form a bundle. Furthermore, any fibre inherits the structure of a symplectic vector space.
1975:
2336:
3149:
2207:
1340:
1327:
312:
207:
2464:
tangent bundle, but do not have a normal bundle: only an embedding (or immersion) of a manifold in another yields a normal bundle. However, since every manifold can be embedded in
1790:
1223:
2285:
2029:
400:
368:
3094:
2698:
2669:
2531:
2491:
911:
503:
1151:
2897:
2018:
139:
3141:
706:
644:
274:
952:
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1054:
169:
4248:
109:
3439:
2764:
2823:
2633:
2250:
3319:
2917:
2862:
2329:
2305:
2227:
1269:
1171:
1117:
1097:
1076:
980:
523:
464:
444:
420:
332:
233:
2925:
4243:
1798:
3530:
670:. For a Riemannian manifold one can identify this quotient with the orthogonal complement, but in general one cannot (such a choice is equivalent to a
3554:
3749:
748:
3321:
implies that the symplectic normal bundle already determines the constant rank embedding locally. This feature is similar to the
Riemannian case.
3619:
3369:
3346:
2541:, and hence induce the same normal bundle. The resulting class of normal bundles (it is a class of bundles and not a specific bundle because
3845:
3898:
3426:
531:
4182:
3396:
985:
3947:
3539:
3930:
2441:{\displaystyle T_{X/\lbrace p\rbrace }^{*}\simeq (T_{p}X)^{\vee }\simeq {\frac {{\mathfrak {m}}_{p}}{{\mathfrak {m}}_{p}^{2}}}}
659:
3291:{\displaystyle i^{*}(TM)\cong TX/\nu \oplus (TX)^{\omega }/\nu \oplus (\nu \oplus \nu ^{*}),\quad \nu =TX\cap (TX)^{\omega },}
4301:
4296:
1899:
4142:
3380:
2133:
4127:
3850:
3624:
4291:
4172:
4177:
4147:
3855:
3811:
3792:
3559:
3503:
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3579:
2494:
671:
4099:
3964:
3656:
3498:
4306:
3796:
3766:
3690:
3680:
3636:
3466:
3419:
1274:
612:
279:
174:
63:
3564:
2119:{\displaystyle 0\to T_{X/Y}^{*}\rightarrowtail \Omega _{X}^{1}|_{Y}\twoheadrightarrow \Omega _{Y}^{1}\to 0}
4137:
3756:
3651:
3471:
2829:
1743:
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373:
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3724:
3549:
3412:
3384:
2870:
2639:
1983:
3734:
2919:. Then one can define the symplectic normal bundle to X as the vector bundle over X with fibres
118:
3107:
4132:
4112:
4107:
4014:
3925:
3739:
3719:
3574:
3513:
3392:
3365:
3342:
2457:
677:
617:
238:
924:
4270:
4064:
4019:
3942:
3913:
3771:
3704:
3699:
3694:
3684:
3476:
3459:
2538:
1228:
1033:
600:
148:
82:
4213:
4122:
3952:
3908:
3674:
3357:
2833:
2832:, and allows one to prove lower bounds on immersibility and embeddability of manifolds in
3054:{\displaystyle (T_{i(x)}X)^{\omega }/(T_{i(x)}X\cap (T_{i(x)}X)^{\omega }),\quad x\in X,}
2707:
2769:
2567:
2232:
4079:
4004:
3974:
3872:
3865:
3805:
3776:
3646:
3641:
3602:
3304:
2902:
2847:
2701:
2461:
2314:
2290:
2212:
1254:
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1102:
1082:
1061:
965:
508:
470:
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405:
317:
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55:
4285:
4265:
4089:
4084:
4069:
4009:
3986:
3860:
3820:
3761:
3709:
3508:
2308:
1886:{\displaystyle (I_{Y}/I_{Y}^{2})_{p}\times {T_{X/Y}}_{p}\longrightarrow \mathbb {R} }
474:
211:
47:
4192:
4187:
4029:
3996:
3969:
3877:
3518:
4035:
4024:
3981:
3882:
3483:
1737:
596:
39:
28:
4260:
4218:
4044:
3957:
3589:
3493:
861:{\displaystyle 0\to TN\to TM\vert _{i(N)}\to T_{M/N}:=TM\vert _{i(N)}/TN\to 0}
4074:
4039:
3744:
3631:
59:
17:
2287:
is a point, then the ideal sheaf is the sheaf of smooth germs vanishing at
599:
to the normal bundle. It can be realised naturally as a sub-bundle of the
4238:
4233:
4223:
3614:
3435:
2558:
2209:, viz. the sections of the conormal bundle are the cotangent vectors to
3404:
715:
of the tangent bundle of the ambient space restricted to the subspace.
3830:
3341:, (1997) Springer-Verlag New York, Graduate Texts in Mathematics 176
2899:, such that the pullback of the symplectic form has constant rank on
2500:
There is in general no natural choice of embedding, but for a given
2497:, every manifold admits a normal bundle, given such an embedding.
580:{\displaystyle \mathrm {N} S:=\coprod _{p\in S}\mathrm {N} _{p}S}
2557:
The normal bundle is dual to the tangent bundle in the sense of
3408:
646:(for instance an embedding), one can define a normal bundle of
1023:{\displaystyle T_{M/N}{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}N}
2671:, the tangent bundle of the ambient space is trivial (since
3104:, the constant rank embedding is locally determined by
1970:{\displaystyle T_{X/Y}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{2})^{\vee }}
3307:
3152:
3110:
3070:
2928:
2905:
2873:
2850:
2772:
2710:
2677:
2648:
2570:
2510:
2470:
2339:
2317:
2293:
2261:
2235:
2215:
2136:
2032:
1986:
1902:
1801:
1746:
1338:
1277:
1257:
1231:
1179:
1159:
1133:
1105:
1085:
1064:
1036:
988:
968:
927:
877:
751:
680:
620:
534:
511:
486:
452:
432:
408:
376:
344:
320:
282:
241:
221:
177:
151:
121:
85:
4206:
4165:
4098:
3995:
3891:
3838:
3829:
3665:
3588:
3527:
3447:
2202:{\displaystyle T_{X/Y}^{*}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{2})}
1792:. Therefore we can define a non-degenerate pairing
3339:Riemannian Manifolds, An Introduction to Curvature
3313:
3290:
3135:
3088:
3053:
2911:
2891:
2856:
2817:
2758:
2692:
2663:
2627:
2525:
2485:
2440:
2323:
2299:
2279:
2244:
2221:
2201:
2118:
2012:
1969:
1885:
1784:
1725:
1321:
1263:
1243:
1217:
1165:
1145:
1111:
1091:
1070:
1048:
1022:
974:
946:
905:
860:
700:
638:
579:
517:
497:
458:
438:
414:
394:
362:
326:
306:
268:
227:
201:
163:
133:
103:
1714:
1624:
1574:
1490:
1454:
1370:
1977:. We can rephrase this fact by introducing the
730:is a quotient bundle of the tangent bundle on
27:For normal bundles in algebraic geometry, see
3420:
913:is the restriction of the tangent bundle on
8:
2359:
2353:
2274:
2268:
885:
823:
774:
3835:
3427:
3413:
3405:
3306:
3279:
3238:
3214:
3208:
3184:
3157:
3151:
3115:
3109:
3069:
3026:
3004:
2976:
2964:
2958:
2936:
2927:
2904:
2872:
2849:
2784:
2780:
2771:
2737:
2733:
2709:
2684:
2679:
2676:
2655:
2650:
2647:
2597:
2593:
2569:
2517:
2512:
2509:
2477:
2472:
2469:
2430:
2425:
2419:
2418:
2411:
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2404:
2401:
2392:
2379:
2363:
2348:
2344:
2338:
2316:
2311:in terms of germs of smooth functions on
2292:
2260:
2234:
2214:
2190:
2185:
2176:
2170:
2154:
2145:
2141:
2135:
2104:
2099:
2086:
2081:
2074:
2069:
2056:
2047:
2043:
2031:
2004:
1995:
1991:
1985:
1961:
1951:
1946:
1937:
1931:
1911:
1907:
1901:
1879:
1878:
1869:
1858:
1854:
1849:
1839:
1829:
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1815:
1809:
1800:
1776:
1751:
1745:
1713:
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1706:
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1691:
1678:
1663:
1658:
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1629:
1623:
1622:
1618:
1617:
1604:
1593:
1589:
1584:
1573:
1572:
1566:
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1551:
1538:
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1518:
1508:
1495:
1489:
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1467:
1453:
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1446:
1441:
1431:
1418:
1403:
1398:
1388:
1375:
1369:
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1307:
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1276:
1256:
1230:
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1187:
1178:
1158:
1132:
1104:
1084:
1063:
1035:
1007:
997:
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967:
932:
926:
888:
876:
841:
826:
803:
799:
777:
750:
690:
679:
619:
568:
563:
550:
535:
533:
510:
487:
485:
451:
431:
407:
383:
378:
375:
351:
346:
343:
319:
295:
290:
281:
240:
220:
190:
185:
176:
150:
120:
84:
477:to the manifold, the total space of the
3330:
1896:that induces an isomorphism of sheaves
1329:; then with this choice of coordinates
711:Thus the normal bundle is in general a
3364:, (2010) EMS Textbooks in Mathematics
2561:: by the above short exact sequence,
1322:{\displaystyle x_{k+1}=\dots =x_{n}=0}
1153:is a smooth submanifold of a manifold
473:to a manifold is constructed from all
307:{\displaystyle v\in \mathrm {T} _{p}S}
202:{\displaystyle n\in \mathrm {T} _{p}M}
2828:This is useful in the computation of
7:
1785:{\displaystyle x_{k+1},\dots ,x_{n}}
1218:{\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}
3391:, (1978) Benjamin-Cummings, London
2420:
2406:
2307:and the isomorphism reduces to the
2280:{\displaystyle Y=\lbrace p\rbrace }
3301:of symplectic vector bundles over
2096:
2066:
1684:
1680:
1635:
1631:
1544:
1540:
1501:
1497:
1424:
1420:
1381:
1377:
982:). The fiber of the normal bundle
564:
536:
488:
379:
347:
291:
186:
25:
395:{\displaystyle \mathrm {N} _{p}S}
363:{\displaystyle \mathrm {T} _{p}S}
3089:{\displaystyle i:X\rightarrow M}
2693:{\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}
2680:
2664:{\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}
2651:
2526:{\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}
2513:
2486:{\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}
2473:
1173:, we can pick local coordinates
3250:
3038:
2309:definition of the tangent space
906:{\displaystyle TM\vert _{i(N)}}
469:Just as the total space of the
3467:Differentiable/Smooth manifold
3276:
3266:
3244:
3225:
3205:
3195:
3172:
3163:
3130:
3121:
3080:
3032:
3023:
3014:
3008:
2997:
2986:
2980:
2969:
2955:
2946:
2940:
2929:
2886:
2874:
2812:
2803:
2794:
2773:
2747:
2726:
2720:
2711:
2622:
2613:
2607:
2586:
2580:
2571:
2389:
2372:
2196:
2163:
2110:
2092:
2082:
2062:
2036:
1958:
1924:
1875:
1836:
1802:
1702:
1659:
1562:
1519:
1442:
1399:
1212:
1180:
1009:
898:
892:
852:
836:
830:
792:
787:
781:
764:
755:
684:
630:
257:
245:
98:
86:
1:
2642:. In case of an immersion in
498:{\displaystyle \mathrm {N} S}
1146:{\displaystyle Y\subseteq X}
4173:Classification of manifolds
2892:{\displaystyle (M,\omega )}
2013:{\displaystyle T_{X/Y}^{*}}
4323:
2545:could vary) is called the
611:More abstractly, given an
134:{\displaystyle S\subset M}
26:
4249:over commutative algebras
3136:{\displaystyle i^{*}(TM)}
2495:Whitney embedding theorem
954:of the tangent bundle on
3965:Riemann curvature tensor
3389:Foundations of Mechanics
2840:For symplectic manifolds
2504:, any two embeddings in
1740:is locally generated by
921:(properly, the pullback
701:{\displaystyle V\to V/W}
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