2946:
2523:
1744:
1191:
2941:{\displaystyle {\begin{aligned}P\left(\left|X_{t}-\varphi (t)\right|\leq \varepsilon {\text{ for every }}t\in \right)&=P\left(\left|X_{t}^{\varphi }\right|\leq \varepsilon {\text{ for every }}t\in \right)\\&=\int _{\left\{\left|X_{t}^{\varphi }\right|\leq \varepsilon {\text{ for every }}t\in \right\}}\exp \left(-\int _{0}^{T}{\dot {\varphi }}(t)\,dX_{t}^{\varphi }-\int _{0}^{T}{\tfrac {1}{2}}|{\dot {\varphi }}(t)|^{2}\,dt\right)\,dP^{\varphi }.\end{aligned}}}
1341:
802:
3298:
3813:
1739:{\displaystyle \lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {P\left(\rho (X_{t},\varphi _{1}(t))\leq \varepsilon {\text{ for every }}t\in \right)}{P\left(\rho (X_{t},\varphi _{2}(t))\leq \varepsilon {\text{ for every }}t\in \right)}}=\exp \left(-\int _{0}^{T}L\left(\varphi _{1}(t),{\dot {\varphi }}_{1}(t)\right)\,dt+\int _{0}^{T}L\left(\varphi _{2}(t),{\dot {\varphi }}_{2}(t)\right)\,dt\right)}
494:
1186:{\displaystyle {\frac {P\left(\left|X_{t}-\varphi _{1}(t)\right|\leq \varepsilon {\text{ for every }}t\in \right)}{P\left(\left|X_{t}-\varphi _{2}(t)\right|\leq \varepsilon {\text{ for every }}t\in \right)}}\to \exp \left(-\int _{0}^{T}L\left(\varphi _{1}(t),{\dot {\varphi }}_{1}(t)\right)\,dt+\int _{0}^{T}L\left(\varphi _{2}(t),{\dot {\varphi }}_{2}(t)\right)\,dt\right)}
2981:
3543:
2476:
214:
3293:{\displaystyle P(|X_{t}-\varphi (t)|\leq \varepsilon {\text{ for every }}t\in )=\int _{\left\{\left|X_{t}^{\varphi }\right|\leq \varepsilon {\text{ for every }}t\in \right\}}\exp \left(-\int _{0}^{T}{\dot {\varphi }}(t)\,dX_{t}-\int _{0}^{T}{\tfrac {1}{2}}|{\dot {\varphi }}(t)|^{2}\,dt\right)\,dP.}
3468:
1996:
3966:
3808:{\displaystyle \lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {P(|X_{t}-\varphi (t)|\leq \varepsilon {\text{ for every }}t\in )}{P(|X_{t}|\leq \varepsilon {\text{ for every }}t\in )}}=\exp \left(-\int _{0}^{T}{\tfrac {1}{2}}|{\dot {\varphi }}(t)|^{2}\,dt\right).}
4218:
2295:
4232:. Rather than taking the maximum distance between the stochastic process and the curve over a time interval, other conditions have been considered such as distances based on completely convex norms and Hölder, Besov and Sobolev type norms.
4097:
489:{\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=\left(\prod _{i=1}^{n-1}{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma (x_{i})^{2}\Delta t_{i}}}}\right)\exp \left(-\sum _{i=1}^{n-1}L\left(x_{i},{\frac {x_{i+1}-x_{i}}{\Delta t_{i}}}\right)\,\Delta t_{i}\right)}
601:
1815:
750:
173:
3313:
2528:
3502:
1854:
2177:
3836:
4116:
2471:{\displaystyle P^{\varphi }=\exp \left(\int _{0}^{T}{\dot {\varphi }}(t)\,dX_{t}^{\varphi }+\int _{0}^{T}{\tfrac {1}{2}}\left|{\dot {\varphi }}(t)\right|^{2}\,dt\right)\,dP.}
3985:
4651:
1260:
505:
1760:
684:
4692:
4622:
657:. A similar approximation is possible for processes in higher dimensions. The approximation is more accurate for smaller time step sizes
75:
3463:{\displaystyle \int _{0}^{T}{\dot {\varphi }}(t)\,dX_{t}={\dot {\varphi }}(T)X_{T}-\int _{0}^{T}{\ddot {\varphi }}(t)X_{t}\,dt,}
83:
4797:
4777:
1300:
4802:
4792:
2082:
The following examples give explicit expressions for the
Onsager–Machlup function of a continuous stochastic processes.
1991:{\displaystyle L(x,v)={\tfrac {1}{2}}\|v-b(x)\|_{x}^{2}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {div} \,b(x)-{\tfrac {1}{12}}R(x),}
187:
4675:
Takahashi, Y.; Watanabe, S. (1981). "The probability functionals (Onsager–Machlup functions) of diffusion processes".
3476:
2109:
3961:{\displaystyle L(x,v)={\frac {1}{2}}\left|{\frac {v-b(x)}{\sigma }}\right|^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {db}{dx}}(x).}
4253:
4600:
4258:
4407:
Adib, A.B. (2008). "Stochastic actions for diffusive dynamics: Reweighting, sampling, and minimization".
4715:
4241:
4213:{\displaystyle (\operatorname {div} \,b)(x)=\sum _{i=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}b_{i}(x).}
2281:
4595:
Shepp, L. & Zeitouni, O. (1993). "Exponential estimates for convex norms and some applications".
4575:
4502:
1754:
28:
40:
4659:
4605:
1224:
755:
4632:
4518:
4477:
4442:
4416:
678:
the probability density function becomes ill defined, one reason being that the product of terms
24:
27:. It is used to define a probability density for a stochastic process, and it is similar to the
4092:{\displaystyle L(x,v)={\frac {1}{2}}\|v-b(x)\|^{2}+{\frac {1}{2}}(\operatorname {div} \,b)(x),}
4688:
4618:
4491:"The Onsager–Machlup function as Lagrangian for the most probable path of a diffusion process"
4434:
4244:
trajectories, as well as for determining the most probable trajectory of a diffusion process.
3304:
1231:
4228:
Generalizations have been obtained by weakening the differentiability condition on the curve
4755:
4680:
4610:
4583:
4543:
4510:
4467:
4426:
3824:
2952:
2067:
32:
4702:
4778:
http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Onsager-Machlup_function&oldid=22857
4728:
4698:
4644:
1312:
775:
4579:
4506:
4107:
2091:
183:
4786:
4481:
2011:
45:
4522:
4446:
4679:. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 851. Berlin: Springer. pp. 433–463.
1308:
36:
758:. In order to nevertheless define a density for the continuous stochastic process
596:{\displaystyle L(x,v)={\frac {1}{2}}\left({\frac {v-b(x)}{\sigma (x)}}\right)^{2}}
4614:
4566:
Onsager, L. & Machlup, S. (1953). "Fluctuations and
Irreversible Processes".
4490:
2044:
1818:
4760:
4737:
4548:
4531:
4587:
2095:
4438:
3819:
Diffusion processes with constant diffusion coefficient on
Euclidean space
4240:
The
Onsager–Machlup function can be used for purposes of reweighting and
1810:{\displaystyle \scriptstyle {\dot {\varphi }}_{1},{\dot {\varphi }}_{2}}
745:{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma (x_{i})^{2}\Delta t_{i}}}}}
4684:
4514:
4472:
4455:
3823:
The
Onsager–Machlup function in the one-dimensional case with constant
4430:
4738:"On the Onsager–Machlup functional of diffusion processes around non
4456:"Onsager–Machlup functional for some smooth norms on Wiener space"
4421:
763:
4677:
Stochastic integrals (Proc. Sympos., Univ. Durham, Durham, 1980)
4662:(1971). "On the probability functional of diffusion processes".
4599:. Vol. 32. Berlin: Birkhauser-Verlag. pp. 203–215.
4776:
Onsager–Machlup function. Encyclopedia of
Mathematics. URL:
50:
who were the first to consider such probability densities.
4710:
Wittich, Olaf. "The
Onsager–Machlup Functional Revisited".
168:{\displaystyle dX_{t}=b(X_{t})\,dt+\sigma (X_{t})\,dW_{t}}
4559:
Stochastic differential equations and diffusion processes
4339:
Ikeda, N. and
Watanabe, S. (1980), Chapter VI, Section 9
4321:
Ikeda, N. and
Watanabe, S. (1980), Chapter VI, Section 9
4532:"The Onsager–Machlup function for diffusion processes"
3741:
3480:
3219:
2856:
2397:
2135:
1962:
1931:
1880:
1764:
4119:
3988:
3839:
3546:
3479:
3316:
2984:
2975:, hence the latter can be substituted by the former:
2526:
2298:
2112:
1857:
1763:
1344:
805:
687:
508:
217:
86:
4212:
4091:
3960:
3807:
3496:
3462:
3292:
2940:
2470:
2171:
1990:
1809:
1738:
1185:
744:
595:
488:
167:
3548:
1346:
53:The dynamics of a continuous stochastic process
23:is a function that summarizes the dynamics of a
3497:{\displaystyle \scriptstyle {\ddot {\varphi }}}
2172:{\displaystyle L(x,v)={\tfrac {1}{2}}|v|^{2}.}
8:
4042:
4020:
1913:
1891:
186:, can in approximation be described by the
2220:be a twice differentiable curve such that
4759:
4604:
4547:
4471:
4420:
4192:
4179:
4166:
4160:
4149:
4126:
4118:
4070:
4054:
4045:
4010:
3987:
3979:equal to the unit matrix, it is given by
3926:
3916:
3907:
3876:
3861:
3838:
3790:
3784:
3779:
3758:
3757:
3752:
3740:
3734:
3729:
3676:
3665:
3659:
3650:
3613:
3602:
3581:
3572:
3563:
3551:
3545:
3482:
3481:
3478:
3450:
3444:
3420:
3419:
3413:
3408:
3395:
3371:
3370:
3361:
3353:
3333:
3332:
3326:
3321:
3315:
3280:
3268:
3262:
3257:
3236:
3235:
3230:
3218:
3212:
3207:
3194:
3186:
3166:
3165:
3159:
3154:
3103:
3087:
3082:
3068:
3032:
3021:
3000:
2991:
2983:
2925:
2917:
2905:
2899:
2894:
2873:
2872:
2867:
2855:
2849:
2844:
2831:
2826:
2818:
2798:
2797:
2791:
2786:
2735:
2719:
2714:
2700:
2655:
2639:
2634:
2580:
2548:
2527:
2525:
2458:
2446:
2440:
2415:
2414:
2396:
2390:
2385:
2372:
2367:
2359:
2339:
2338:
2332:
2327:
2303:
2297:
2160:
2155:
2146:
2134:
2111:
1961:
1945:
1930:
1921:
1916:
1879:
1856:
1848:The Onsager–Machlup function is given by
1800:
1789:
1788:
1778:
1767:
1766:
1762:
1724:
1704:
1693:
1692:
1673:
1655:
1650:
1636:
1616:
1605:
1604:
1585:
1567:
1562:
1507:
1483:
1470:
1419:
1395:
1382:
1361:
1349:
1343:
1171:
1151:
1140:
1139:
1120:
1102:
1097:
1083:
1063:
1052:
1051:
1032:
1014:
1009:
954:
928:
915:
865:
839:
826:
806:
804:
733:
720:
710:
688:
686:
587:
545:
530:
507:
475:
467:
453:
438:
419:
412:
403:
379:
368:
336:
323:
313:
291:
279:
268:
247:
228:
216:
159:
151:
142:
122:
113:
94:
85:
4597:Barcelona Seminar on Stochastic Analysis
4650:CS1 maint: location missing publisher (
4269:
4724:
4713:
4640:
4630:
4557:Ikeda, N. & Watanabe, S. (1980).
4294:Takahashi, Y. and Watanabe, S. (1980)
199:at a finite number of points in time
7:
4530:Fujita, T. & Kotani, S. (1982).
4664:Select. Transl. In Math. Stat. Prob
4276:Onsager, L. and Machlup, S. (1953)
4172:
4168:
2090:The Onsager–Machlup function of a
726:
468:
446:
329:
14:
4357:Shepp, L. and Zeitouni, O. (1993)
4489:Dürr, D. & Bach, A. (1978).
4303:Fujita, T. and Kotani, S. (1982)
3530:and will disappear in the limit
76:stochastic differential equation
3508:, and so this term is of order
2086:Wiener process on the real line
74:in one dimension, satisfying a
4204:
4198:
4139:
4133:
4130:
4120:
4083:
4077:
4074:
4064:
4038:
4032:
4004:
3992:
3952:
3946:
3894:
3888:
3855:
3843:
3780:
3775:
3769:
3753:
3702:
3699:
3687:
3666:
3651:
3647:
3639:
3636:
3624:
3603:
3599:
3593:
3573:
3569:
3555:
3437:
3431:
3388:
3382:
3350:
3344:
3258:
3253:
3247:
3231:
3183:
3177:
3126:
3114:
3058:
3055:
3043:
3022:
3018:
3012:
2992:
2988:
2895:
2890:
2884:
2868:
2815:
2809:
2758:
2746:
2678:
2666:
2603:
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2566:
2560:
2432:
2426:
2356:
2350:
2156:
2147:
2128:
2116:
2010:is the Riemannian norm in the
1982:
1976:
1955:
1949:
1909:
1903:
1873:
1861:
1716:
1710:
1685:
1679:
1628:
1622:
1597:
1591:
1530:
1518:
1498:
1495:
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1463:
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1430:
1410:
1407:
1401:
1375:
1353:
1163:
1157:
1132:
1126:
1075:
1069:
1044:
1038:
988:
977:
965:
940:
934:
888:
876:
851:
845:
770:lying within a small distance
717:
703:
577:
571:
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557:
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512:
320:
306:
253:
221:
148:
135:
119:
106:
1:
4393:Dürr, D. and Bach, A. (1978).
25:continuous stochastic process
4615:10.1007/978-3-0348-8555-3_11
4460:Probab. Theory Relat. Fields
4330:Dürr, D. and Bach, A. (1978)
3504:is the second derivative of
188:probability density function
2967:equals the distribution of
4819:
2233:. Define another process
1301:Laplace–Beltrami operator
3975:-dimensional case, with
1843:Onsager–Machlup function
1209:Onsager–Machlup function
21:Onsager–Machlup function
4588:10.1103/physrev.91.1505
4285:Stratonovich, R. (1971)
2488:, the probability that
2204:be a Wiener process on
1261:infinitesimal generator
4798:Functions and mappings
4761:10.1214/aop/1176991255
4723:Cite journal requires
4561:. Kodansha-John Wiley.
4549:10.1215/kjm/1250521863
4454:Capitaine, M. (1995).
4259:Functional integration
4214:
4165:
4093:
3962:
3809:
3498:
3464:
3294:
2955:, the distribution of
2942:
2472:
2173:
1992:
1811:
1740:
1187:
746:
597:
490:
390:
290:
169:
16:Concept in mathematics
4748:Annals of Probability
4736:Zeitouni, O. (1989).
4215:
4145:
4094:
3963:
3825:diffusion coefficient
3810:
3678: for every
3615: for every
3499:
3465:
3295:
3105: for every
3034: for every
2943:
2737: for every
2657: for every
2582: for every
2473:
2174:
1993:
1812:
1741:
1509: for every
1421: for every
1188:
956: for every
867: for every
747:
598:
491:
364:
264:
170:
4803:Stochastic processes
4366:Capitaine, M. (1995)
4117:
3986:
3837:
3544:
3477:
3314:
2982:
2524:
2296:
2110:
1855:
1761:
1342:
803:
766:of probabilities of
756:diverges to infinity
685:
506:
215:
84:
35:. It is named after
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