40:
over the integers, such a factorization cannot come from an algebraic factorization of the polynomial. Nevertheless, certain families of integers coming from cyclotomic polynomials have factorizations given by formulas applying to the whole family, as in the examples below.
3658:
847:
1133:
1843:
When the number is of a particular form (the exact expression varies with the base), aurifeuillean factorization may be used, which gives a product of two or three numbers. The following equations give aurifeuillean factors for the
4042:
580:
235:
3846:
374:
1618:
1570:
1298:
3397:
3315:
3233:
3157:
3009:
2861:
2785:
2711:
2637:
2493:
2419:
1521:
3087:
2939:
2567:
2349:
2279:
1476:
677:
429:
2209:
2139:
2069:
1237:
1185:
953:
3463:
1663:
1409:
625:
1370:
668:
91:
3895:
948:
3452:
1836:
1803:
1334:
906:
294:
3736:
3689:
3921:
873:
261:
1750:
3756:
3709:
1770:
1727:
1703:
1683:
1432:
434:
100:
4047:
Of course, Landry's full factorization follows from this (taking out the obvious factor of 5). The general form of the factorization was later discovered by
3929:
3852:
25:
4076:
3800:
94:
299:
4148:
At the end of tables 2LM, 3+, 5-, 6+, 7+, 10+, 11+ and 12+ are formulae detailing the aurifeuillean factorizations.
1575:
1527:
1242:
3350:
3268:
3186:
3110:
2962:
2814:
2738:
2664:
2590:
2446:
2372:
1481:
4286:
4281:
3040:
2892:
2520:
2302:
2232:
1439:
379:
37:
2162:
2092:
2022:
1190:
1138:
3653:{\displaystyle L_{10k+5}=L_{2k+1}\cdot (5{F_{2k+1}}^{2}-5F_{2k+1}+1)\cdot (5{F_{2k+1}}^{2}+5F_{2k+1}+1)}
33:
3772:
1629:
1375:
1412:
587:
1339:
630:
53:
4219:
1845:
1706:
4122:
3858:
911:
4157:
3421:
4119:
1808:
1775:
1306:
878:
842:{\displaystyle a^{6}+27b^{6}=(a^{2}+3b^{2})\cdot (a^{2}-3ab+3b^{2})\cdot (a^{2}+3ab+3b^{2}).}
266:
4266:
4239:
4091:
4048:
3759:
1128:{\displaystyle 3^{6k+3}+1=(3^{2k+1}+1)\cdot (3^{2k+1}-3^{k+1}+1)\cdot (3^{2k+1}+3^{k+1}+1).}
671:
4245:
4204:
3714:
3667:
3900:
3785:
3781:
3777:
1434:, have aurifeuillean factorization if and only if one of the following conditions holds:
852:
240:
4143:
1732:
4158:
List of aurifeuillean factorization of cyclotomic numbers (square-free bases up to 199)
4055:
3741:
3694:
1755:
1712:
1688:
1668:
1417:
4275:
4037:{\displaystyle 2^{58}+1=(2^{29}-2^{15}+1)(2^{29}+2^{15}+1)=536838145\cdot 536903681.}
1930:
29:
17:
4251:
4179:
4168:
3791:
3416:
4096:
4223:
3790:, through a tremendous manual effort, obtained the following factorization into
1947:
1951:
4127:
4261:
575:{\displaystyle 2^{4k+2}+1=(2^{2k+1}-2^{k+1}+1)\cdot (2^{2k+1}+2^{k+1}+1).}
4180:
Coefficients of Lucas C,D polynomials for all square-free bases up to 998
4169:
Coefficients of Lucas C,D polynomials for all square-free bases up to 199
230:{\displaystyle a^{4}+4b^{4}=(a^{2}-2ab+2b^{2})\cdot (a^{2}+2ab+2b^{2}).}
4190:
1187:
and the remaining two terms provide an aurifeuillean factorization of
4205:
Integer
Arithmetic, Number Theory â Aurifeuillean Factorizations
3771:
In 1869, before the discovery of aurifeuillean factorizations,
4256:
1135:
Here, the first of the three terms in the factorization is
296:, one obtains the following aurifeuillean factorization of
3923:, with the formula from the previous section, factors as:
627:
have the following factorization, where the first factor (
3841:{\displaystyle 2^{58}+1=5\cdot 107367629\cdot 536903681.}
3855:
discovered the nature of this factorization; the number
1954:
for all square-free bases up to 199 and up to 998, see )
3932:
3903:
3861:
3803:
3744:
3717:
3697:
3670:
3466:
3424:
3353:
3271:
3189:
3113:
3043:
2965:
2895:
2817:
2741:
2667:
2593:
2523:
2449:
2375:
2305:
2235:
2165:
2095:
2025:
1811:
1778:
1758:
1735:
1715:
1691:
1671:
1632:
1578:
1530:
1484:
1442:
1420:
1378:
1342:
1309:
1245:
1193:
1141:
956:
914:
881:
855:
680:
633:
590:
437:
382:
302:
269:
243:
103:
56:
4036:
3915:
3889:
3840:
3750:
3730:
3703:
3683:
3652:
3446:
3391:
3309:
3227:
3151:
3081:
3003:
2933:
2855:
2779:
2705:
2631:
2561:
2487:
2413:
2343:
2273:
2203:
2133:
2063:
1830:
1797:
1764:
1744:
1721:
1697:
1677:
1657:
1612:
1564:
1515:
1470:
1426:
1403:
1364:
1328:
1292:
1231:
1179:
1127:
942:
900:
867:
841:
662:
619:
574:
423:
368:
288:
255:
229:
85:
4252:The Search for Aurifeuillean-Like Factorizations
3454:have the following aurifeuillean factorization:
369:{\displaystyle \Phi _{4}(2^{2k+1})=2^{4k+2}+1}
1805:have aurifeuillean factorization, otherwise,
908:, one obtains the following factorization of
8:
4215:
4213:
4200:
4198:
4113:
4111:
4109:
4107:
4095:
4007:
3994:
3972:
3959:
3937:
3931:
3902:
3866:
3860:
3808:
3802:
3743:
3722:
3716:
3696:
3675:
3669:
3626:
3610:
3594:
3589:
3555:
3539:
3523:
3518:
3493:
3471:
3465:
3429:
3423:
3371:
3358:
3352:
3289:
3276:
3270:
3207:
3194:
3188:
3131:
3118:
3112:
3061:
3048:
3042:
2983:
2970:
2964:
2913:
2900:
2894:
2835:
2822:
2816:
2759:
2746:
2740:
2685:
2672:
2666:
2611:
2598:
2592:
2541:
2528:
2522:
2467:
2454:
2448:
2393:
2380:
2374:
2323:
2310:
2304:
2253:
2240:
2234:
2183:
2170:
2164:
2113:
2100:
2094:
2043:
2030:
2024:
1816:
1810:
1783:
1777:
1757:
1734:
1714:
1690:
1670:
1643:
1631:
1591:
1577:
1546:
1529:
1494:
1483:
1452:
1441:
1419:
1389:
1377:
1347:
1341:
1314:
1308:
1272:
1250:
1244:
1211:
1198:
1192:
1159:
1146:
1140:
1101:
1079:
1048:
1026:
992:
961:
955:
919:
913:
892:
880:
854:
827:
799:
780:
752:
733:
717:
701:
685:
679:
654:
638:
632:
611:
595:
589:
548:
526:
495:
473:
442:
436:
409:
387:
381:
345:
320:
307:
301:
280:
268:
242:
215:
187:
168:
140:
124:
108:
102:
77:
61:
55:
1959:
4067:
1889:, the aurifeuillean factorizations for
4262:A Note on Aurifeuillean Factorizations
1613:{\displaystyle n\equiv 2t{\pmod {4t}}}
1565:{\displaystyle t\equiv 2,3{\pmod {4}}}
1293:{\displaystyle \Phi _{6}(x)=x^{2}-x+1}
3392:{\displaystyle \Phi _{12}(24^{2k+1})}
3310:{\displaystyle \Phi _{46}(23^{2k+1})}
3228:{\displaystyle \Phi _{44}(22^{2k+1})}
3152:{\displaystyle \Phi _{21}(21^{2k+1})}
3004:{\displaystyle \Phi _{38}(19^{2k+1})}
2856:{\displaystyle \Phi _{17}(17^{2k+1})}
2780:{\displaystyle \Phi _{30}(15^{2k+1})}
2706:{\displaystyle \Phi _{28}(14^{2k+1})}
2632:{\displaystyle \Phi _{13}(13^{2k+1})}
2488:{\displaystyle \Phi _{22}(11^{2k+1})}
2414:{\displaystyle \Phi _{20}(10^{2k+1})}
1516:{\displaystyle n\equiv t{\pmod {2t}}}
431:is the fourth cyclotomic polynomial:
36:. Because cyclotomic polynomials are
7:
3082:{\displaystyle \Phi _{5}(20^{2k+1})}
2934:{\displaystyle \Phi _{4}(18^{2k+1})}
2562:{\displaystyle \Phi _{6}(12^{2k+1})}
2344:{\displaystyle \Phi _{14}(7^{2k+1})}
2274:{\displaystyle \Phi _{12}(6^{2k+1})}
1471:{\displaystyle t\equiv 1{\pmod {4}}}
670:) is the algebraic factorization of
424:{\displaystyle \Phi _{4}(x)=x^{2}+1}
4191:Lucas Aurifeuilliean primitive part
4075:A. Granville, P. Pleasants (2006).
2204:{\displaystyle \Phi _{5}(5^{2k+1})}
2134:{\displaystyle \Phi _{6}(3^{2k+1})}
2064:{\displaystyle \Phi _{4}(2^{2k+1})}
1599:
1554:
1502:
1460:
1232:{\displaystyle \Phi _{6}(3^{2k+1})}
1180:{\displaystyle \Phi _{2}(3^{2k+1})}
3355:
3273:
3191:
3115:
3045:
2967:
2897:
2819:
2743:
2669:
2595:
2525:
2451:
2377:
2307:
2237:
2167:
2097:
2027:
1344:
1247:
1195:
1143:
384:
304:
93:have the following factorization (
32:of certain integer values of the
14:
1838:have aurifeuillean factorization.
26:Léon-François-Antoine Aurifeuille
1592:
1547:
1495:
1453:
4019:
3987:
3984:
3952:
3647:
3582:
3576:
3511:
3386:
3364:
3304:
3282:
3222:
3200:
3168:+ 7(21) + 13(21) + 10(21) + 1
3146:
3124:
3076:
3054:
3020:+ 27(19) + 17(19) + 9(19) + 1
2998:
2976:
2928:
2906:
2850:
2828:
2774:
2752:
2700:
2678:
2646:+ 19(13) + 15(13) + 7(13) + 1
2626:
2604:
2556:
2534:
2482:
2460:
2408:
2386:
2338:
2316:
2268:
2246:
2198:
2176:
2128:
2106:
2058:
2036:
1658:{\displaystyle b=s^{2}\cdot t}
1606:
1593:
1558:
1548:
1509:
1496:
1464:
1454:
1404:{\displaystyle b=s^{2}\cdot t}
1359:
1353:
1262:
1256:
1226:
1204:
1174:
1152:
1119:
1072:
1066:
1019:
1013:
985:
833:
792:
786:
745:
739:
710:
566:
519:
513:
466:
399:
393:
335:
313:
221:
180:
174:
133:
1:
4123:"Aurifeuillean Factorization"
4097:10.1090/S0025-5718-05-01766-7
4077:"Aurifeuillian factorization"
4054:536903681 is an example of a
620:{\displaystyle a^{6}+27b^{6}}
4246:Aurifeuillean Factorizations
3851:Three years later, in 1871,
2720:- 7(14) + 3(14) + 7(14) + 1
1365:{\displaystyle \Phi _{n}(b)}
663:{\displaystyle a^{2}+3b^{2}}
86:{\displaystyle a^{4}+4b^{4}}
4267:Aurifeuillean Factorisation
4240:Aurifeuillean Factorisation
1933:excluded, since a power of
22:aurifeuillean factorization
4303:
3890:{\displaystyle 2^{4k+2}+1}
3326:+ 25(23) - 15(23) - 19(23)
3324:- 19(23) - 15(23) + 25(23)
3244:+ 21(22) + 33(22) + 27(22)
3242:+ 33(22) + 21(22) + 11(22)
3018:+ 27(19) + 31(19) + 31(19)
943:{\displaystyle 3^{6k+3}+1}
3447:{\displaystyle L_{10k+5}}
1772:is congruent to 1 mod 4,
95:Sophie Germain's identity
4257:Online factor collection
4144:"Main Cunningham Tables"
2870:- 5(17) - 15(17) - 5(17)
3253:+ 6(22) + 7(22) + 4(22)
3251:+ 6(22) + 3(22) + 3(22)
3025:+ 7(19) + 7(19) + 7(19)
1831:{\displaystyle b^{n}+1}
1798:{\displaystyle b^{n}-1}
1329:{\displaystyle b^{n}-1}
901:{\displaystyle b=3^{k}}
289:{\displaystyle b=2^{k}}
38:irreducible polynomials
4038:
3917:
3891:
3842:
3752:
3732:
3705:
3685:
3654:
3448:
3393:
3311:
3229:
3153:
3083:
3005:
2935:
2857:
2781:
2707:
2633:
2563:
2489:
2415:
2345:
2275:
2205:
2135:
2065:
1848:bases as a product of
1832:
1799:
1766:
1746:
1723:
1699:
1679:
1659:
1614:
1566:
1517:
1472:
1428:
1405:
1366:
1330:
1294:
1233:
1181:
1129:
944:
902:
869:
843:
664:
621:
576:
425:
370:
290:
257:
231:
87:
34:cyclotomic polynomials
4039:
3918:
3892:
3843:
3753:
3733:
3731:{\displaystyle F_{n}}
3711:th Lucas number, and
3706:
3686:
3684:{\displaystyle L_{n}}
3655:
3449:
3394:
3328:+ 9(23) + 11(23) + 1
3312:
3230:
3173:+ 2(21) + 3(21) + 21
3154:
3084:
3027:+ 5(19) + 3(19) + 19
3006:
2936:
2872:+ 11(17) + 9(17) + 1
2858:
2782:
2708:
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