205:
713:
22:
1197:
484:
989:
395:
1597:
2783:
708:{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon r}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a}{r}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta )\equiv {\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{k=0}^{\infty }M_{k}\left({\frac {1}{r^{k+1}}}\right)P_{k}(\cos \theta )}
261:
2301:
2174:
1463:
2886:
1192:{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon a}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {r}{a}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta )\equiv {\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{k=0}^{\infty }I_{k}r^{k}P_{k}(\cos \theta )}
2432:
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1910:
390:{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {1}{R}}={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {1}{\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ar\cos \theta }}}.}
141:-axis. However, the axial multipole expansion can also be applied to any potential or field that varies inversely with the distance to the source, i.e., as
1629:
39:
2987:
1703:
1592:{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{k=0}^{\infty }M_{k}\left({\frac {1}{r^{k+1}}}\right)P_{k}(\cos \theta )}
3225:
1828:
86:
1267:
To get the general axial multipole moments, we replace the point charge of the previous section with an infinitesimal charge element
1764:
1255:
contain everything specific to a given charge distribution; the other parts depend only on the coordinates of the observation point
105:
58:
65:
43:
168:. For clarity, we first illustrate the expansion for a single point charge, then generalize to an arbitrary charge density
3195:
3185:
2437:
72:
3124:
2010:
3180:
2778:{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{k=0}^{\infty }I_{k}r^{k}P_{k}(\cos \theta )}
54:
2563:. The same equation shows that multipole moments higher than the first non-zero moment do depend on the choice of
1205:
3256:
3251:
3246:
1270:
32:
2521:
2891:
1693:
770:
2639:
2582:
1432:
1375:
893:. This illustrates the general theorem that the lowest non-zero multipole moment is independent of the
853:
721:
134:
2610:
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2564:
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2169:{\displaystyle M_{k}^{\prime }\equiv \int d\zeta \ \lambda (\zeta )\ \left(\zeta +b\right)^{k}}
3221:
2058:, but higher moments generally depend on the choice of origin. The shifted multipole moments
1337:
898:
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776:
3170:
2061:
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235:
3077:
3057:
1895:
3161:), the potential is well-approximated by the leading nonzero interior multipole term.
204:
3240:
761:
contain everything specific to a given charge distribution; the other parts of the
222:
2881:{\displaystyle I_{k}\equiv \int d\zeta \ {\frac {\lambda (\zeta )}{\zeta ^{k+1}}}}
3215:
1892:. Each successive term in the expansion varies inversely with a greater power of
21:
2427:{\displaystyle M_{k}^{\prime }=M_{k}+lbM_{k-1}+\dots +lb^{l-1}M_{1}+b^{l}M_{0}}
208:
Figure 1: Point charge on the z axis; Definitions for axial multipole expansion
1822:
847:
3054:, etc. Each successive term in the expansion varies with a greater power of
3047:{\textstyle M_{1}\equiv \int d\zeta \ {\frac {\lambda (\zeta )}{\zeta ^{2}}}}
2973:{\displaystyle M_{0}\equiv \int d\zeta \ {\frac {\lambda (\zeta )}{\zeta }},}
2047:), the potential is well-approximated by the leading nonzero multipole term.
2050:
The lowest non-zero axial multipole moment is invariant under a shift
2981:
1758:
807:
1683:{\displaystyle M_{k}\equiv \int d\zeta \ \lambda (\zeta )\zeta ^{k}}
1885:{\textstyle M_{2}\equiv \int d\zeta \ \lambda (\zeta )\ \zeta ^{2}}
203:
1814:{\textstyle M_{1}\equiv \int d\zeta \ \lambda (\zeta )\ \zeta }
15:
2535:
2320:
2105:
1750:{\displaystyle M_{0}\equiv \int d\zeta \ \lambda (\zeta ),}
765:
depend only on the coordinates of the observation point
3127:
2990:
2013:
1979:
1945:
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1831:
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901:, but higher multipole moments are not (in general).
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816:
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444:
264:
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174:
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2511:{\displaystyle M_{k-1},M_{k-2},\ldots ,M_{1},M_{0}}
46:. Unsourced material may be challenged and removed.
3154:{\textstyle {\frac {r}{\zeta _{\text{min}}}}\ll 1}
3153:
3113:
3086:
3074:, e.g., the interior monopole potential varies as
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3046:
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935:
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798:
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707:
470:
430:
389:
250:
189:
160:
129:of a charge distribution localized close to the
1248:{\textstyle I_{k}\equiv {\frac {q}{a^{k+1}}}}
8:
2178:Expanding the polynomial under the integral
2785:where the interior axial multipole moments
1334:represents the charge density at position
3137:
3128:
3126:
3105:
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2899:
2890:Special cases include the interior axial
2864:
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1944:
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1917:
1912:, e.g., the monopole potential varies as
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213:Axial multipole moments of a point charge
173:
148:
146:
106:Learn how and when to remove this message
438:and expand the square root in powers of
3206:
2556:{\displaystyle M_{k}^{\prime }=M_{k}}
1973:, the quadrupole potential varies as
7:
44:adding citations to reliable sources
3220:. Courier Corporation. p. 22.
3217:The Classical Electromagnetic Field
2656:{\displaystyle \zeta _{\text{min}}}
2600:{\displaystyle \left|\zeta \right|}
1449:{\displaystyle \zeta _{\text{max}}}
1393:{\displaystyle \left|\zeta \right|}
769:. Special cases include the axial
2725:
2674:
2007:, etc. Thus, at large distances (
1599:where the axial multipole moments
1518:
1467:
1139:
1047:
993:
886:{\displaystyle M_{2}\equiv qa^{2}}
754:{\displaystyle M_{k}\equiv qa^{k}}
634:
542:
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265:
14:
3094:, the dipole potential varies as
1939:, the dipole potential varies as
2681:
2629:{\displaystyle \lambda (\zeta )}
2571:Interior axial multipole moments
1692:Special cases include the axial
1474:
1422:{\displaystyle \lambda (\zeta )}
1327:{\displaystyle \lambda (\zeta )}
1201:interior axial multipole moments
1000:
495:
272:
20:
2000:{\textstyle {\frac {1}{r^{3}}}}
1966:{\textstyle {\frac {1}{r^{2}}}}
1263:General axial multipole moments
31:needs additional citations for
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178:
161:{\displaystyle {\frac {1}{R}}}
1:
3214:Eyges, Leonard (2012-06-11).
3186:Cylindrical multipole moments
2579:is smaller than the smallest
3121:, etc. At short distances (
1372:is greater than the largest
403:of the observation point is
3181:Spherical multipole moments
1932:{\textstyle {\frac {1}{r}}}
431:{\textstyle {\frac {1}{r}}}
190:{\displaystyle \lambda (z)}
3273:
2575:Conversely, if the radius
976:{\displaystyle (r/a)<1}
904:Conversely, if the radius
471:{\displaystyle (a/r)<1}
1368:of the observation point
55:"Axial multipole moments"
2636:is significant (denoted
1429:is significant (denoted
1353:{\displaystyle z=\zeta }
943:and expand in powers of
839:{\displaystyle M_{1}=qa}
1364:-axis. If the radius
799:{\displaystyle M_{0}=q}
717:axial multipole moments
119:Axial multipole moments
3155:
3115:
3088:
3068:
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2557:
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2303:leads to the equation
2297:
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137:, denoted here as the
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2434:If the lower moments
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985:Legendre polynomials
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916:, we may factor out
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480:Legendre polynomials
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415:
411:, we may factor out
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40:improve this article
3176:Multipole expansion
2980:the interior axial
2539:
2324:
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2077:
983:, once again using
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