5418:
4761:
10245:
1577:
4754:
782:
1227:
5413:{\displaystyle {\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {2x\cos \theta '((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '){\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}}}{\frac {((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{x((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}}={\frac {2\cos \theta 'd\theta '}{\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}},}
5706:
10231:
38:
2028:
536:
4267:
4263:
10269:
10257:
5427:
1572:{\displaystyle {\begin{aligned}M(x,y)&={\frac {\pi }{2}}\left(\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}\right)^{-1}\\&=\pi \left(\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {t(t+x^{2})(t+y^{2})}}}\right)^{-1}\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}\end{aligned}}}
1739:
5948:
3943:
777:{\displaystyle {\begin{array}{rcccl}a_{1}&=&{\tfrac {1}{2}}(24+6)&=&15\\g_{1}&=&{\sqrt {24\cdot 6}}&=&12\\a_{2}&=&{\tfrac {1}{2}}(15+12)&=&13.5\\g_{2}&=&{\sqrt {15\cdot 12}}&=&13.416\ 407\ 8649\dots \\&&\vdots &&\end{array}}}
3735:
433:
7640:. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. pp. 598–599.
4749:{\displaystyle x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta ={\frac {x^{2}((x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta ')+4x^{2}y^{2}\sin ^{2}\theta '}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}={\frac {x^{2}((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}}
3949:
5701:{\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta '}{\sqrt {{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y){\bigr )}^{2}\cos ^{2}\theta '+{\bigl (}{\sqrt {xy}}{\bigr )}^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&=I{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}(x+y),{\sqrt {xy}}{\bigr )}.\end{aligned}}}
3373:
6251:
3226:
5715:
2023:{\displaystyle M(1,x)=\theta _{3}^{-2}\left(\exp \left(-\pi {\frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right)=\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }\exp \left(-n^{2}\pi {\frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right)^{-2},}
7249:
1696:
240:
3516:
2180:
2729:
3522:
2958:
3741:
6804:
2587:
6664:
7757:
Landen, John (1775). "An investigation of a general theorem for finding the length of any arc of any conic hyperbola, by means of two elliptic arcs, with some other new and useful theorems deduced therefrom".
6343:
2258:
6892:
4258:{\displaystyle d\theta ={\frac {2x\cos \theta '((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '){\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}}}d\theta '\ ,}
7065:
3245:
2310:
6121:
6095:
3108:
6498:
5720:
5432:
1232:
245:
3103:
7111:
1597:
3038:
2464:
77:
2071:
6423:
6585:
7023:
7155:
7150:
6006:
2377:
2852:
2066:
2857:
2618:
3400:
235:
3407:
2613:
2490:
942:
agree (underlined) approximately doubles with each iteration. The arithmetic–geometric mean of 24 and 6 is the common limit of these two sequences, which is approximately
1734:
6688:
5943:{\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=I(a_{1},g_{1})=I(a_{2},g_{2})=\cdots \\&=I{\bigl (}M(x,y),M(x,y){\bigr )}=\pi /{\bigr (}2M(x,y){\bigl )}.\end{aligned}}}
6546:
6378:
2330:
7760:
203:
176:
9366:
9871:
2397:
2811:
1035:
31:
10021:
9645:
428:{\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=x,\\g_{0}&=y\\a_{n+1}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}+g_{n}),\\g_{n+1}&={\sqrt {a_{n}g_{n}}}\,.\end{aligned}}}
6592:
1698:
Since the arithmetic–geometric process converges so quickly, it provides an efficient way to compute elliptic integrals, which are used, for example, in
8286:
6260:
7367:
2200:
9419:
9858:
6815:
3730:{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},}
3938:{\displaystyle \cos \theta \ d\theta =2x{\frac {(x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta '}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}\ \cos \theta 'd\theta '\ ,}
2263:
7645:
7412:
7376:
7335:
6016:
8281:
7981:
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8885:
8033:
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3043:
10273:
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9565:
9310:
8681:
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7028:
8895:
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7705:
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2732:
10305:
10093:
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8542:
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9978:
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2817:
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10300:
9950:
9693:
9452:
9358:
9338:
9246:
8957:
8775:
8258:
8130:
7899:
Daróczy, Zoltán; Páles, Zsolt (2002). "Gauss-composition of means and the solution of the
Matkowski–Suto problem".
7714:
6942:
9124:
8890:
8748:
9710:
9478:
9199:
9053:
8982:
8902:
8760:
8741:
8449:
8170:
7499:
3368:{\displaystyle I(x,y)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}},}
2799:
2410:
9823:
6246:{\displaystyle \pi ={\frac {4\,M(1,1/{\sqrt {2}})^{2}}{1-\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }2^{j+1}c_{j}^{2}}},}
10193:
9960:
9508:
9473:
9437:
9222:
8664:
8573:
8532:
8444:
8135:
7974:
3221:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}={\frac {g^{2}}{g}}=g}
44:
9230:
9214:
6976:
By 1799, Gauss had two proofs of the theorem, but neither of them was rigorous from the modern point of view.
10102:
9715:
9655:
9592:
8952:
8814:
8804:
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8568:
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10140:
10070:
9555:
9442:
8439:
8336:
8243:
8122:
8021:
7810:
2467:
10261:
9139:
7244:{\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}}\right).}
6383:
10165:
10107:
10050:
9876:
9769:
9678:
9404:
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8836:
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8601:
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8477:
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8001:
7635:
6551:
2400:
997:
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10244:
9134:
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5953:
2343:
10088:
9663:
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9468:
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9225:
9011:
8962:
8880:
8853:
8809:
8765:
8527:
8303:
8183:
2033:
1691:{\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}}
502:
123:
541:
10235:
10160:
10083:
9764:
9528:
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8942:
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8698:
8588:
8578:
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8266:
8222:
8140:
8065:
7967:
7815:
2333:
2194:
436:
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9810:
2596:
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10249:
10060:
9914:
9759:
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9295:
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7944:
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7362:
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6680:
3380:
2795:
2404:
1591:
131:
6518:
6350:
2315:
2175:{\displaystyle M(1,1/{\sqrt {2}})=\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-n^{2}\pi }\right)^{-2}.}
10180:
10135:
9899:
9886:
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9754:
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7723:
7597:
7508:
7467:
7323:
6952:
6906:
2190:
80:
7880:
7832:
7743:
7663:
7386:
181:
154:
37:
30:
This article is about the particular type of mean. For the similarly named inequality, see
10097:
9841:
9703:
9630:
9305:
9179:
9152:
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8725:
8720:
8674:
8404:
8055:
7876:
7828:
7739:
7659:
7588:
Newman, D. J. (1985). "A simplified version of the fast algorithms of Brent and
Salamin".
7382:
1699:
111:
7300:
10295:
10046:
10041:
8504:
8434:
8080:
7317:
6809:
2953:{\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {g_{n}\cdot a_{n}}}\geq {\sqrt {g_{n}\cdot g_{n}}}=g_{n}}
2784:
2780:
2724:{\displaystyle \pi =2{\sqrt {2}}{\frac {M^{3}(1,1/{\sqrt {2}})}{M'(1,1/{\sqrt {2}})}}.}
2382:
1707:
494:
139:
115:
7689:
10289:
10203:
10170:
10033:
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9238:
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7858:
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7631:
7479:
7304:
7279:
6986:
3511:{\displaystyle \sin \theta ={\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},}
2736:
8356:
10145:
10078:
10055:
9970:
9300:
8596:
8494:
8429:
8371:
8293:
8248:
7840:
7627:
498:
6799:{\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\pi /2}(1-k^{2}\sin ^{2}\theta )^{-1/2}\,d\theta .}
7637:
Handbook of
Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
7522:
10188:
10150:
9833:
9734:
9596:
9409:
9376:
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8785:
8780:
8424:
8381:
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8341:
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8100:
7327:
6902:
88:
9034:
8514:
8214:
8145:
8095:
8070:
7990:
7564:
Pi and the AGM: A Study in
Analytic Number Theory and Computational Complexity
7471:
7430:
Pi and the AGM: A Study in
Analytic Number Theory and Computational Complexity
6933:). Subsequently, many authors went on to study the use of the AGM algorithms.
2590:
501:
of the square root are allowed to be taken inconsistently, generally it is a
9187:
9039:
8659:
8454:
8366:
8351:
8346:
8311:
7949:
7537:
Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis
2791:
119:
7773:
6901:
Using this property of the AGM along with the ascending transformations of
2593:
with respect to the second variable) is not algebraically independent over
7914:
7824:
7513:
7494:
17:
8703:
8321:
8198:
8193:
8188:
8160:
6909:
suggested the first AGM algorithms for the fast evaluation of elementary
996:
The first algorithm based on this sequence pair appeared in the works of
149:
10208:
9909:
7735:
7691:
On the Direct
Numerical Calculation of Elliptic Functions and Integrals
7609:
2796:
complete and incomplete elliptic integrals of the first and second kind
7316:
Bullen, P. S. (2003). "The
Arithmetic, Geometric and Harmonic Means".
2790:
The arithmetic–geometric mean can be used to compute – among others –
10130:
9111:
9085:
9065:
8316:
8107:
3230:
7727:
7671:
7601:
7365:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.).
1012:
Both the geometric mean and arithmetic mean of two positive numbers
6659:{\displaystyle M(1,\cos \alpha )={\frac {\pi }{2K(\sin \alpha )}},}
1001:
36:
6338:{\displaystyle c_{j}={\frac {1}{2}}\left(a_{j-1}-g_{j-1}\right),}
8050:
7655:
2735:
GH can be calculated using analogous sequences of geometric and
10019:
9586:
9333:
8632:
8402:
8019:
7963:
2582:{\displaystyle \{\pi ,M(1,1/{\sqrt {2}}),M'(1,1/{\sqrt {2}})\}}
2253:{\displaystyle {\frac {1}{M(1,{\sqrt {2}})}}=G=0.8346268\dots }
7358:
7959:
6887:{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2M(1,{\sqrt {1-k^{2}}})}}.}
2189:
The reciprocal of the arithmetic–geometric mean of 1 and the
7797:"Fast Multiple-Precision Evaluation of Elementary Functions"
1157:; it is also between the geometric and arithmetic mean of
7060:{\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z} }
6425:, which can be computed without loss of precision using
2305:{\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})={\frac {\pi }{\varpi }}}
7404:
Analog
Electronic Filters: Theory, Design and Synthesis
7222:
7207:
7185:
6090:{\displaystyle M(x,y)=\pi /{\bigl (}2I(x,y){\bigr )}.}
5645:
664:
562:
323:
148:
The AGM is defined as the limit of the interdependent
7550:
7158:
7119:
7073:
7031:
6994:
6818:
6691:
6595:
6554:
6521:
6433:
6386:
6353:
6263:
6183:
6124:
6019:
5956:
5718:
5430:
4764:
4270:
3952:
3744:
3525:
3410:
3383:
3248:
3111:
3046:
2997:
2860:
2820:
2621:
2599:
2498:
2476:
2413:
2385:
2346:
2318:
2266:
2203:
2074:
2036:
1742:
1715:
1600:
1230:
784:
The first five iterations give the following values:
539:
439:
to the same number, the arithmetic–geometric mean of
243:
211:
184:
157:
47:
9872:
Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH)
7456:"Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale"
7322:. Dordrecht: Springer Netherlands. pp. 60–174.
6493:{\displaystyle c_{j}={\frac {c_{j-1}^{2}}{4a_{j}}}.}
2969:
is nondecreasing and bounded above by the larger of
1038:. So the geometric means are an increasing sequence
27:
Mathematical function of two positive real arguments
10179:
10116:
10069:
10032:
9987:
9969:
9936:
9927:
9885:
9832:
9793:
9742:
9733:
9654:
9611:
9541:
9507:
9461:
9428:
9390:
9357:
9269:
9178:
9097:
9052:
9020:
8973:
8918:
8844:
8835:
8645:
8587:
8561:
8513:
8468:
8415:
8302:
8257:
8231:
8213:
8169:
8121:
8041:
8032:
7710:"Computation of π using arithmetic–geometric mean"
7243:
7144:
7105:
7059:
7017:
6886:
6798:
6658:
6579:
6540:
6492:
6417:
6372:
6337:
6245:
6089:
6000:
5942:
5700:
5412:
4748:
4257:
3937:
3729:
3510:
3394:
3367:
3220:
3098:{\displaystyle a_{n}={\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}}
3097:
3032:
2952:
2846:
2723:
2607:
2581:
2484:
2458:
2391:
2371:
2324:
2304:
2252:
2174:
2060:
2022:
1728:
1706:The arithmetic–geometric mean is connected to the
1690:
1571:
776:
427:
229:
197:
170:
71:
1062:; the arithmetic means are a decreasing sequence
1034:.) The geometric mean of two positive numbers is
493:The arithmetic–geometric mean can be extended to
7562:Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987).
7428:Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987).
3142:
3113:
2999:
2985:, the sequence is convergent, so there exists a
118:. The arithmetic–geometric mean is used in fast
9420:Multivariate adaptive regression splines (MARS)
7761:Philosophical Transactions of the Royal Society
7460:Journal für die reine und angewandte Mathematik
7106:{\displaystyle a+b\notin \mathbb {Z} _{0}^{-}}
7975:
6812:may be efficiently computed through the AGM,
6079:
6051:
5928:
5900:
5882:
5836:
5686:
5639:
5589:
5571:
5534:
5501:
8:
5950:The last equality comes from observing that
2812:inequality of arithmetic and geometric means
2576:
2499:
2453:
2414:
1592:complete elliptic integral of the first kind
32:Inequality of arithmetic and geometric means
7552:, American Mathematical Society, 1984, p. 6
3033:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }g_{n}=g}
2459:{\displaystyle \{\pi ,M(1,1/{\sqrt {2}})\}}
10029:
10016:
9933:
9739:
9608:
9583:
9354:
9330:
9058:
8841:
8642:
8629:
8412:
8399:
8038:
8029:
8016:
7982:
7968:
7960:
1000:. Its properties were further analyzed by
786:
7814:
7512:
7221:
7206:
7196:
7184:
7171:
7157:
7132:
7118:
7097:
7092:
7088:
7087:
7072:
7053:
7052:
7045:
7044:
7030:
6995:
6993:
6867:
6855:
6834:
6817:
6786:
6776:
6769:
6753:
6743:
6720:
6716:
6711:
6690:
6623:
6594:
6559:
6553:
6526:
6520:
6478:
6464:
6453:
6447:
6438:
6432:
6408:
6403:
6391:
6385:
6358:
6352:
6315:
6296:
6277:
6268:
6262:
6230:
6225:
6209:
6199:
6188:
6169:
6158:
6153:
6137:
6131:
6123:
6078:
6077:
6050:
6049:
6044:
6018:
5981:
5955:
5927:
5926:
5899:
5898:
5893:
5881:
5880:
5835:
5834:
5806:
5793:
5771:
5758:
5719:
5717:
5685:
5684:
5674:
5644:
5638:
5637:
5604:
5594:
5588:
5587:
5576:
5570:
5569:
5549:
5539:
5533:
5532:
5506:
5500:
5499:
5483:
5473:
5469:
5464:
5431:
5429:
5387:
5377:
5341:
5328:
5315:
5296:
5247:
5221:
5156:
5113:
5091:
5081:
5045:
5032:
5019:
5000:
4982:
4962:
4900:
4837:
4819:
4809:
4790:
4780:
4765:
4763:
4737:
4716:
4668:
4647:
4601:
4594:
4582:
4561:
4502:
4492:
4482:
4452:
4442:
4406:
4393:
4380:
4361:
4336:
4329:
4314:
4304:
4285:
4275:
4269:
4216:
4206:
4170:
4157:
4144:
4125:
4107:
4087:
4025:
3962:
3951:
3892:
3871:
3812:
3772:
3743:
3704:
3648:
3638:
3602:
3589:
3576:
3557:
3538:
3524:
3485:
3423:
3409:
3382:
3347:
3337:
3318:
3308:
3293:
3283:
3279:
3274:
3247:
3201:
3195:
3184:
3174:
3163:
3157:
3145:
3132:
3116:
3110:
3087:
3077:
3066:
3060:
3051:
3045:
3018:
3002:
2996:
2944:
2929:
2916:
2910:
2899:
2886:
2880:
2865:
2859:
2838:
2825:
2819:
2705:
2700:
2668:
2663:
2645:
2638:
2631:
2620:
2601:
2600:
2598:
2566:
2561:
2528:
2523:
2497:
2478:
2477:
2475:
2443:
2438:
2412:
2384:
2359:
2345:
2317:
2292:
2279:
2265:
2222:
2204:
2202:
2160:
2144:
2136:
2126:
2125:
2118:
2095:
2090:
2073:
2051:
2046:
2035:
2008:
1982:
1970:
1933:
1924:
1900:
1899:
1892:
1853:
1841:
1804:
1773:
1768:
1741:
1720:
1714:
1667:
1657:
1636:
1625:
1620:
1599:
1532:
1511:
1498:
1479:
1462:
1440:
1413:
1407:
1402:
1370:
1350:
1340:
1321:
1311:
1296:
1285:
1280:
1260:
1231:
1229:
1209:There is an integral-form expression for
721:
708:
663:
650:
619:
606:
561:
548:
540:
538:
513:To find the arithmetic–geometric mean of
417:
409:
399:
393:
374:
354:
341:
322:
303:
279:
252:
244:
242:
210:
189:
183:
162:
156:
72:{\displaystyle \operatorname {agm} (1,x)}
46:
7319:Handbook of Means and Their Inequalities
7280:"The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss"
3377:Changing the variable of integration to
7539:, Notices of the AMS 22, 1975, p. A-486
7368:NIST Handbook of Mathematical Functions
7263:
7049:
6969:
1020:are between the two numbers. (They are
9946:Kaplan–Meier estimator (product limit)
7566:(First ed.). Wiley-Interscience.
7432:(First ed.). Wiley-Interscience.
6011:Finally, we obtain the desired result
1036:never greater than the arithmetic mean
41:Plot of the arithmetic–geometric mean
7273:
7271:
7269:
7267:
3236:Proof of the integral-form expression
110:is the mutual limit of a sequence of
7:
10256:
9956:Accelerated failure time (AFT) model
863:.416 407 864 998 738 178 455 042...
10268:
9551:Analysis of variance (ANOVA, anova)
7923:"Arithmetic–geometric mean process"
7902:Publicationes Mathematicae Debrecen
6681:elliptic integral of the first kind
6418:{\displaystyle g_{0}=1/{\sqrt {2}}}
1118:. These are strict inequalities if
9646:Cochran–Mantel–Haenszel statistics
8272:Pearson product-moment correlation
7197:
6996:
6985:In particular, he proved that the
6580:{\displaystyle g_{0}=\cos \alpha }
6200:
3240:This proof is given by Gauss. Let
3152:
3123:
3009:
1408:
25:
7018:{\displaystyle \mathrm {B} (a,b)}
10267:
10255:
10243:
10230:
10229:
7401:Dimopoulos, Hercules G. (2011).
7145:{\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})}
6001:{\displaystyle I(z,z)=\pi /(2z)}
2372:{\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})}
912:13.458 171 481 725 615 420 766 8
906:13.458 171 481 725 615 420 766 8
9905:Least-squares spectral analysis
7152:is transcendental follows from
2847:{\displaystyle g_{n}\leq a_{n}}
2779:. The arithmetic–harmonic mean
2061:{\displaystyle x=1/{\sqrt {2}}}
880:139 030 990 984 877 207 090...
874:203 932 499 369 089 227 521...
8886:Mean-unbiased minimum-variance
7407:. Springer. pp. 147–155.
7371:. Cambridge University Press.
7178:
7162:
7139:
7123:
7012:
7000:
6875:
6846:
6828:
6822:
6766:
6730:
6701:
6695:
6647:
6635:
6617:
6599:
6166:
6141:
6074:
6062:
6035:
6023:
5995:
5986:
5972:
5960:
5923:
5911:
5877:
5865:
5856:
5844:
5812:
5786:
5777:
5751:
5738:
5726:
5668:
5656:
5528:
5516:
5450:
5438:
5374:
5361:
5334:
5308:
5293:
5280:
5238:
5214:
5202:
5196:
5184:
5181:
5173:
5149:
5137:
5131:
5119:
5116:
5078:
5065:
5038:
5012:
4997:
4984:
4979:
4955:
4943:
4937:
4925:
4922:
4917:
4893:
4881:
4875:
4863:
4860:
4734:
4709:
4697:
4691:
4679:
4676:
4665:
4640:
4628:
4622:
4610:
4607:
4579:
4554:
4542:
4536:
4524:
4521:
4469:
4439:
4426:
4399:
4373:
4358:
4345:
4342:
4203:
4190:
4163:
4137:
4122:
4109:
4104:
4080:
4068:
4062:
4050:
4047:
4042:
4018:
4006:
4000:
3988:
3985:
3889:
3864:
3852:
3846:
3834:
3831:
3805:
3793:
3787:
3775:
3697:
3685:
3679:
3667:
3635:
3622:
3595:
3569:
3554:
3541:
3478:
3466:
3460:
3448:
3264:
3252:
3149:
3120:
3040:However, we can also see that:
3006:
2712:
2688:
2675:
2651:
2573:
2549:
2535:
2511:
2450:
2426:
2366:
2350:
2286:
2270:
2229:
2213:
2102:
2078:
1951:
1939:
1822:
1810:
1758:
1746:
1682:
1676:
1610:
1604:
1468:
1449:
1446:
1427:
1250:
1238:
920:The number of digits in which
687:
675:
585:
573:
360:
334:
66:
54:
1:
10199:Geographic information system
9415:Simultaneous equations models
7694:. Cambridge University Press.
2589:(where the prime denotes the
230:{\displaystyle x\geq y\geq 0}
9382:Coefficient of determination
8993:Uniformly most powerful test
2983:monotone convergence theorem
2608:{\displaystyle \mathbb {Q} }
2485:{\displaystyle \mathbb {Q} }
9951:Proportional hazards models
9895:Spectral density estimation
9877:Vector autoregression (VAR)
9311:Maximum posterior estimator
8543:Randomized controlled trial
7945:"Arithmetic–geometric mean"
7928:Encyclopedia of Mathematics
7454:Schneider, Theodor (1941).
7328:10.1007/978-94-017-0399-4_2
7284:L'Enseignement Mathématique
7278:Cox, David (January 1984).
6503:Complete elliptic integral
1729:{\displaystyle \theta _{3}}
10322:
9711:Multivariate distributions
8131:Average absolute deviation
7795:Brent, Richard P. (1976).
7715:Mathematics of Computation
7590:Mathematics of Computation
7495:"The Lemniscate Constants"
7025:is transcendental for all
2260:In 1799, Gauss proved that
29:
10225:
10028:
10015:
9699:Structural equation model
9607:
9582:
9353:
9329:
9061:
9035:Score/Lagrange multiplier
8641:
8628:
8450:Sample size determination
8411:
8398:
8028:
8015:
7997:
7500:Communications of the ACM
7472:10.1515/crll.1941.183.110
6808:That is to say that this
2800:Jacobi elliptic functions
2468:algebraically independent
1145:is thus a number between
901:
884:
867:
850:
833:
822:
808:
796:
789:
93:arithmetic–geometric mean
10194:Environmental statistics
9716:Elliptical distributions
9509:Generalized linear model
9438:Simple linear regression
9208:Hodges–Lehmann estimator
8665:Probability distribution
8574:Stochastic approximation
8136:Coefficient of variation
6948:Gauss–Legendre algorithm
6911:transcendental functions
6114:Gauss–Legendre algorithm
3395:{\displaystyle \theta '}
9854:Cross-correlation (XCF)
9462:Non-standard predictors
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